基于改进NGA的关节空间双线时间最优轨迹规划方法

抽象的

针对遗传算法(GA)优化过程耗时较长，影响算法所带来的预期时间节省的问题，采用基于三次样条的时间最优轨迹规划方法，对遗传算法的经典适应度共享函数进行修正，基于小生境遗传算法(NGA)和适应度共享技术，设计了一种利用精英策略特性的双线程方法。仿真结果表明，该方法能够缓解优化算法耗时长而轨迹运行时间短的矛盾，证明了该方法的有效性。改进的适应度共享技术减少了相关参数确定的主观过程，优化的轨迹结果满足机器人关节的性能约束。

1.介绍

遗传算法（GA），能够避免局部最小值，与梯度信息无关，非常适合大规模复杂优化问题，传统方法难以模拟和解决。在封装 - 托盘和工件焊接等实际工业应用领域，已经开发出大量的GA变体，以帮助在某种规格中获得工业机械手的性能最佳轨迹。

董等人。[1]和陈[2将遗传算法应用于码垛机械手的路径优化，提高了机械手的工作效率。在这种情况下，机械手的码垛工作可以归类为拣放工作。Liu等[3.]采用基于视觉的工业机器人改进遗传算法，规划猪腹部切割的轨迹。侯等[4]采用基于遗传算法的多目标优化算法研究了两机器人协同系统的工件焊接问题。Du等人采用了一种改进的多岛迁移遗传算法[5]规划液压压力系统中横梁的下降运动，从而获得具有强烈减压抑制能力的轨迹。ren等人。[6基于遗传算法解决了再生制造中异步并行拆卸(aPDP)的运动规划问题，是一种较串行拆卸有发展前景的技术。

大多数目前的研究研究都致力于加速GA的局部融合，并扩展其搜索全球解决方案空间的能力。两个主要类别可以实现目标，首先将与另一种优化算法结合Ga。由于GA具有全局优化能力，因此在本地搜索中利用了一个具有普遍的算法来组合。张等人。[7通过添加WOA操作来解决机械手的动态建模问题，使用GA组合鲸鲸优化算法（WOA）。周等人还提出了一种类似的方法。[8]，其中利用了灰狼优化算法，并在遗传算法运行之前引入了灰狼捕食行为。该混合遗传算法可以提供极端学习机的输入权值和偏差。拟牛顿求解法是一种局部快速收敛的经典方法，Khawli [9]在激光跟踪器的帮助下完成机械手的校准作业。在 [10.]，将独立进化和双种群返祖迁移机制引入遗传算法，利用混沌搜索算法(Chaos Search Algorithm, CSA)周期性地向种群提供新生个体。也有混合遗传算法，将遗传算法的早熟缺陷作为快速收敛的优点。在 [11.[CSA用于遍历整个解决方案空间，目的是缩小所出现的最佳解决方案的可能范围，而具有过早缺陷的GA完成本地搜索。第二类将是从生物学或其他学科从生态学或其他学科进行改进的混合算法。IMGA的Muti-Island迁移模型[5]源自自然迁移理论，在自然迁移理论中，种群被虚构的岛屿隔离开来，独立繁殖。几代之后，个体在岛屿之间迁移，保证了遗传多样性。Liu等[12.]采用了精英群体的概念，克服了遗传算法的早熟缺陷，提高了遗传算法的全局搜索能力，用最精英的群体代替最差的群体。Chen和Zhou采用量子遗传算法(QGA) [13.]为具有浮动基座的空间机械手进行轨迹规划。它借阅量子理论的概念，并用量子态编码Ga的染色体，而群体旋转门可以通过量子旋转门来实现，丰富GA的遗传多样性。

优化时间优化的目的是缩短轨迹运行时间，提高效率和生产率。然而，遗传算法计算量大，优化过程耗时长，影响了算法的效率，影响了算法的结果。关于如何提高遗传算法在实际实现中的实用性的研究很少被提及。在利用遗传算法规划机械臂最优轨迹时，传统方法总是将优化算法和机械臂执行算法排列成顺序结构。更具体地说，只有满足遗传算法的终止条件，机械手才能继续执行最优轨迹，才会返回优化结果。然而，在现实中，轨迹可能在几秒钟内完成，但优化它往往需要比原始运行时间多出几倍的时间。如果轨迹只需要执行一次，那么就不值得对其进行优化，特别是在典型的制造场景中。即使对于重复轨迹，也要考虑优化时间投资带来的改进是否具有成本效益。在改进不明显的情况下，投入时间资源来优化时间最优轨迹也是徒劳的。因此，在传统方案下，算法的终止条件是否合理，遍历域粒度是否合适的问题尤为突出。 The negative result of the coarse design of the termination conditions is that the optimization process time will negate or even devour the ideal advantage of trajectory optimization.

本文采用精英策略的小生境遗传算法(NGA)和改进的NGA适应度共享函数，构建了一种双线并行处理机器人最优轨迹优化任务和机器人关节空间实时执行任务的算法。针对常规使用遗传算法时，在相对于优化过程的轨迹运行时间较短的情况下，由于终止条件的粗劣设计和遍历域的粒度会影响预期的时间节省问题，提出了一种基于遗传算法的轨迹优化算法。

2.基于三次样条的时间最优轨迹规划

一般来说，为了减少对机器人关节的冲击，保证机器人末端执行器的平稳运动，应该选择高阶平滑函数作为插值函数，用于计算给定点之间的插值轨迹。在设计最佳目的时要注意。由于效率一直是工业机器人的首要指标，所以我们选择了最优的轨迹运行时间。最后，适当的仿真结果有助于经济地选择机器人关节执行机构。由于这些原因,接头位置命令发送给伺服系统时间信息,它总是通过逆运动学计算和插值,应该尽量利用的潜力驱动系统领域的速度,加速度,混蛋限制也在共同边界位置的范围。在此基础上，根据机械手体的性能上限，对轨迹进行了最大程度的优化。

选择立方样条曲线作为核心插值功能，因为它具有属性导电性，确保连续加速度，并且可以使用遗传算法完全适合于优化的矩阵形式。如果追求更高阶连续性和更平滑的轨迹，B样条函数可能是另一个竞争候选者。

2.1。使用立方样条轨迹的联合空间轨迹的矩阵形式

使用立方样条曲线的联合空间轨迹规划的数学解决方法可以从3阶多项式轨迹规划方法导出[14.]。

考虑中间点应该具有的三个连续性条件： ， ，和沿着轨迹连续。使用速度的连续性以矩阵形式写入线性方程，如等式所示（1)．通过替换关节位置向量代表长度为的路径点n以及时间间隔向量在路径点，初始和最终速度之间 ， ，还有初始和最终加速度和 ，因此，加速度向量在满足边界条件的样条结点处可以计算。

系数矩阵并且条件放置在右侧的右侧，矢量形式方程式的公式（1)分别表示为方程(2)和(3.)．基于在轨迹的开头和末端清楚地定义位置连续性约束的事实，应该介绍2个虚拟点：在开始时一个，最后一个虚拟点。添加这两个虚拟点后，位置矢量的元素数达到 ．

这两个虚点的实际位置并没有明确指定，而是由基于连续性条件的其他当前信息决定的，如式(4)．三次样条曲线保证了关节在位置、速度、加速度场的连续空间运动要求，可有效降低关节刚度和柔性冲击。

一旦所有的加速度都用公式确定了(1)，可代入三次样条插值公式(式(5）））。根据预定控制周期，输入时间变量t可用于计算需要定期输出到伺服系统以执行的关节位置和速度。

２.２.时间最优轨迹目标及约束的表达

从生产效率的角度出发，设定机器人关节空间约束条件，由电机和减速器引导，充分发挥其潜能。以最优轨迹运行时间为优化目标，其约束条件的自然语言表达为各关节在每个轨迹点上对应的速度、加速度和jerk不超过关节性能的上限。优化目标及约束条件如式(6),我是时间间隔的索引，而j是关节指数;而且， ，及 ，分别为上限值j关节在加速度和速度领域。根据(15.]可以计算沿轨迹的速度加速和混凝土的最大值，这也如下所示：

3.修改NGA

生态位是从生物学领域借用的一个概念，指那些适应物种的栖息地和行为。具有小生境行为的遗传算法可视为小生境遗传算法（NGA）。目前，NGA有能力有效地增加个体间的差异，丰富群体的多样性，从而确保精英基因不会支配整个群体。

有很多方法可以将标准遗传算法快速转化为小生境遗传算法，其中第一个就是Fitness Sharing技术[16.]。健身共享技术是一个常见的解决方案在多目标优化问题中解决Pareto正面。第二种常见技术是直接啼叫[17.]。它将使用一些指标将整个人口划分为几个小群体。每个小人口单独产生其后代，资源竞争将在后代和父母之间发生。只有获奖者可以保留。与之前提到的这两个温和的技术不同，个人清除[18.]是一种更激进的技术。在某种程度上，它只能在同一利基人口中储备最好的个人，意思是激进的发展。

3.1。修改适合分享功能

本文在经典的适应度共享技术的基础上，提出了一种基于精英策略的NGA算法。利用适应度函数定量估计生态位拥挤。经典适应度函数如式(7),是距离（染色体差异）之间的距离我个人和jth个体;此外是利基的半径，通常与人群中个体之间的最大距离和经典价值有关。α为1，通常用于控制适应度函数的陡度。对于同一小生境中不同个体，经典适应度函数的资源分配方式是线性的。这种方式会导致对染色体差异小的个体间拥挤程度的低估，而对染色体差异大的个体间拥挤程度的高估。

引入生态位行为可以显著减少种群中相似个体的数量，丰富种群基因库的多样性。两个人用一个小d价值，预计估计严重的拥挤程度估计，对次优个体征收更高的罚款，并降低均匀基因的概率被遗传到下一代。同样，两个人带着巨大的人d预计该值将有一个适度小的拥挤估计值。实现这一目的的一般做法是调整α值(19.]。通过增加可以获得更尖锐的健身功能α．但是，在确定时仍有一些额外的考虑因素α，并且最佳值不易确定。

如图所示1(一)，经典的健身功能和标准的正态分布曲线具有非常高的轮廓相似性。基于正常分布已广泛用于模拟自然系统的事实，本文提出了用改进的正态分布函数取代经典的健身功能，以减少挤出程度的定量估计的主观过程。表示修改后的适应度函数。作为适应度函数表达式，需要满足原经典适应度函数的两个基本要求：第一，两条相同染色体的拥挤度等于1；第二，当两条染色体的差异超过生态位半径时，拥挤度估计接近且渐近为零。这两个要求可以表示为

为了满足第一要求，分别偏离整体和幅度的拉伸，适用于高斯分布;同时，利用高斯分布的“三Σ原理”，让三次标准偏差等于利基的半径，以满足第二种要求。因此，等式（9)，并代入方程(8）计算系数k和标准偏差Sigma，如等式所示（10.)．基于修改后的高斯分布函数的健身功能如公式所示（11.），与古典健身功能的比较如图所示1 (b)．

３．２．基于精英策略的NGA流程描述

NGA算法的完整流程图如图所示2，算法步骤描述如下:

第一步。（人口初始化）。应初始化代表整个人口的大规模矩阵，而其行数比实际路径点的数量多，而且其列数等于人口的大小;每列都被声明为个人。

第2步。(原始适应度计算和约束判断)。对每一个个体应用四种边界约束判断，包括位置边界、速度边界、加速度边界和加速度边界。违反这些约束条件的个人将被抛弃。如果满足所有约束条件，则计算出原始适应度分数，该分数与轨迹行驶时间完全相等。

步骤3（健身分享）。健身共享技术可以将原始健身分数转换为共享的健身。致力于该转换的功能被称为健身功能。经典的健身功能如等式所示（7）和修改的一个显示为等式（11）。此外，个人的健身函数值之和我关系到j（包括本身）被称为利基计数，其将用于转换原料健身。利基计数是一个适当的指标，表明竞争对手在同一个利基中的个人中发生了多大。较大的利基计数，比赛越重。

步骤4（选择操作）。统一的轮盘选择方法将用于从种群中选择有机会产生后代的父集合。

第五步(种群繁殖)。精英操作，包括变异操作的交叉操作，将同时应用于从上一步获得的父集合，产生构成下一代的三种类型的后代。

步骤6（终止判断）。在这一步中判断NGA停止标准。如果满足标准，则优化过程结束并返回步骤2并继续。

3.3. 利用精英策略特点的双线程方法

在精英策略中，每一代的精英个体直接进入子序列生成，最精英的个体是最新的机械手轨迹优化结果。这些早期的优化结果在后期可能会被个别精英群体淘汰，产生更好的结果，但实际上它们都是可行的结果，从某种意义上说，这是一种资源的未充分利用。如果应用程序的GA方法是设计为一个dual-thread方法,机械手工作线程和GA优化线程同时工作,GA优化线程可以提供每一代的最优个体结果机器人工作线程使用在早期阶段,因此,资源可以得到充分利用。

共享内存模型，如图所示3(一个)，播放通信中型角色，以及图3（b）展示了机器人轨迹执行线程和轨迹优化计算线程同时工作的双线框架。框架如图所示3（b）由三部分组成:机械手工作线程、最优轨迹规划线程和共享内存区域。其中，机械手工作线程(MWT)在共享内存区域搜索可执行轨迹信息，并将其作为实时运动任务执行;最优轨迹规划线程(OPT)采用精英策略执行NGA，对机械手关节空间轨迹进行优化;共享内存区域(SMA)完成线程之间的数据交换任务。而更高层次的路径规划算法则提供了实现笛卡儿空间的避障和路径几何要求，以及向关节空间轨迹的转换。数字3(一个)SMA的三个分区依次为:(1)用于设置进程间数据访问权限的信号量内存块(S block)，(2)用于恢复优化结果的内存块(R block)，由OPT计算得到并将其转移到MWT。(3)轨迹约束恢复存储块(C块)，用于存储与轨迹相关的所有约束，包括几何约束、运动学约束和动力学约束;最后但并非最不重要的，C块内部的数据共享从MWT到OPT。

双线程框架可以充分利用各一代人的精英个体。每代人口中的最佳精英个体将定期通过SMA分享到MWT。在opt的最终计算完成之前，MWT可以开始执行优化的轨迹。此外，当处理重复路径时，机器人控制器可以从选项中获得更多更优化的更新轨迹。该框架可以有效解决算法终止条件的设计不当和遍历粒度时所引起的问题，并且在采用轨迹时间最优规划的遗传算法以及进一步提高工业应用中遗传算法的实用性。

4.模拟实验

4.1。仿真环境描述

模拟实验中使用的机器人对象是一个类似彪马的机械手STR6-05，其d-h参数如表所示1. 表中列出了相应的运动类型约束2. 模拟实验中要优化的路径对象是由多个中间点描述的相同路径，如表所示3.．

4.2. 普通框架与双线程框架

为了验证所提出的双线框架的有效性，进行了仿真对比实验。采用本文提出的常规单线程法和双线程法，以仿真机械手在同一轨迹上的执行效率(同一限定时间内的执行次数)为比较指标。

特别是对于双线方法，如图所示4，Matlab内存映射文件可以帮助实现双线程方法的仿真。核心是来自Matlab的内存映射函数“MemmapFile”，它从硬盘上的文件到一段连续存储器创建映射。在建立映射之后，存储在存储器中的内容是磁盘文件的相应位置的文件句柄和预设数据元素的长度。在进程在内存中获取FileHandle和相关数据长度信息之后，它可以实时访问和修改文件中指定位置的数据，以便通过不同程序实现相同磁盘文件的实时修改进程，即使用内存映射文件来模拟SMA。MWT和OPT单独占用独立的MATLAB进程来运行，但将统一的内存结构建立到相同的内存映射文件。MWT仿真过程运行了一个机械手模拟GUI，该GUI是基于MATLABRTB（机器人工具箱）开发的[20.]，提供使用操纵子连接模型的运动仿真验证，如图所示5．另一方面，选择基于MATLAB全局优化工具箱的GA算法运行了NGA。两个MATLAB过程之间的特定处理流量遵守建议的双线程框架。

在单线程框架中，MWT和OPT运行在同一个MATLAB进程中，并且具有顺序执行关系:仿真GUI需要等待NGA计算完成，最终结果必须在轨迹执行之前得到。

设计了不同终止条件的单线程框架组和一个双线程框架组的比较组。其优化算法终止条件和NGA参数设置如表所示4．由于个体之间的最大距离（MD）随着人群的发展而变化，因此如果与MD相关的利基半径，则将额外的不确定性引入人口演化。为了减少不确定性，在模拟实验中使用固定的利基半径。在试用和错误之后，0.1是Niche Radius的非优缺，但合理的设定值。每组进行九轮仿真实验，每个圆形的最大运行时间为5分钟至45分钟。

数字6（a）给出了5组相应的仿真实验结果。可以得出一个直观的结论：双线程框架的轨迹执行计数高于所有单线程框架组。在预设的最大运行时间为= 5 min时，所有单线程组的轨迹优化均未给出结果;由于MWT是在OPT之后连续运行的，因此当前重复轨迹的执行数均为零。双线框架有效地利用了种群早期最优精英个体，这样MWT就可以提前获得一个可接受的可执行解决方案，并比传统的单线程框架更早地启动任务。数字6（b）显示在最大运行时间的单个圆形中为每个组随时间而变化的执行计数 = 35 min. From Figure6（b），在不同的阈值条件和框架下看到任务启动序列可以更直观。曲线和曲线之间的交叉点较早X-axis意味着轨迹任务的初步启动时间。每个单线程框架组的轨迹执行效率为3.42计数/ min，2.45计数/ min，3.30计数/ min，3.36计数/ min，对应于阈值设置 ， ， ， ，双线程框架组的执行效率从第一阶段的2.72计数/分钟增加到最后阶段的3.06计数/分钟，效率增加12.5％。

由于第二接头具有更广泛的运动范围并且大量影响了末端效应器的位置，因此已被挑选为代表性关节。数字7（a）和7（b）分别显示了双螺纹和单螺纹框架与str6-05 at第二个接头的最终轨迹的比较结果 = 35 最小值j/一个//p垂直轴上的符号分别表示关节的挺举、加速度、速度和位置。轨迹曲线符合三次样条曲线。根据最后的时间结果显示其横轴和图7（a）可以看出，虽然单线程框架的轨迹优化结果略好于双线程框架，但双线程框架的轨迹执行计数仍然更多。遗传算法结果的随机性导致了这一轮不幸的双线程结果。但是，只要运行时间继续延长，双线程框架仍然有机会产生和更新更好的结果。

4.3. 不同适应度共享方案的比较

为了比较使用修正适应度函数、经典适应度函数和无小生境技术的效果，采用上述双线程框架，算法终止条件为达到预设最大运行时间的上限= 60分钟，或最佳精英个体的相对变化小于阈值 ．在有生态位行为的群体中，生态位半径是0.1。在模拟实验的后期，记录种群矩阵数据。散点图描述了整个种群的原始适应度分数分布，其中每个个体的距离计算是相对于该代中最优秀的精英个体的。直方图进一步介绍了分布。在同一图形上画了两张图表。然后，放大在利基半径内的部分 ，将对分析效果进行观察。

数字8显示结果，并在图中8（a），应用而不是到健身分享，图中8（b），适用健身共享;而且，在图中8（c），不使用健身共享。根据图8（c），通过观察半径内散点的直方图年代放大后的利基，可以看出，在最佳个体附近的人口聚类现象显然出现明显没有利基技术，并且越近最佳的个体，聚类程度越高。这种现象最终将导致“早产”遗传算法和本文提出的双线框架的劣化。通过比较X- 原始数字的轴坐标范围8（a），8（b），及8（c），发现利用生态位技术后，种群的范围跨度较大;此外，所提出的改进适应度共享算法具有最广泛的种群范围跨度，表明改进适应度共享算法能够有效提高种群的遗传多样性。

通过进一步比较两种不同的健身共享行为的人口分布，可以看出，改进的健身分享可以有效地提高施加对更接近最佳个人的人的惩罚，因为更多的人在半径边界附近出现。结果，物种基因库不会被最佳个体基因批量占据。对于分布中位置小于零的个体，它是违反约束的个体，并且将在下一代或新的可行性结果中被淘汰，这些结果优于当前最佳最佳状态。

5.结论

（1）提出了基于高斯分布的经典适应度函数的修正，以减少在合理估计种群个体拥挤度的同时调整适应度函数效果的主观过程。它还帮助NGA算法克服了“早熟”的缺陷。（2）利用NGA精英策略的特点，提出双线框架，充分利用每一代种群的早期最优精英个体，解决了遗传算法终止条件的过程决策问题和遍历域粒度难以确定的问题。

数据可用性

本研究的数据、无第三方库的仿真工具、开发的算法脚本可向通讯作者索取。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

本研究得到广东省科技项目（批准号：2017B09091012）的资助。

参考

1. h .董G.-s。“基于遗传算法的堆垛机机器人关节空间轨迹规划”，国家自然科学基金青年项目，项目编号:20171212901;模块化机床和自动制造技术， 2017年第5卷，第8页。浏览：谷歌学术
2. X-F。陈，“码垛机器人轨迹规划算法研究，”中国控制工程，第5卷，第925-9292922018页。浏览：谷歌学术
3. “基于改进遗传算法和机器视觉的猪腹部切割轨迹规划”，“基于遗传算法和机器视觉的猪腹部切割轨迹规划”，机器人， vol. 3, pp. 377-384, 2017。浏览：谷歌学术
4. Y.Hou，T. Wang，J. Yue和Z.JIA，“基于多目标遗传算法的双机器人坐标焊接路径规划”中国机械工程，卷。29，不。16，p。1984年，1989年。浏览：谷歌学术
5. H杜，Z。林，Y。张，H。陈和Z。Xu，“压力冲击复合液压机移动横梁变速下落轨迹的改进迁移遗传算法优化，”IEEE访问，第7卷，第39459-39473页，2019。浏览：出版商网站|谷歌学术
6. Y.仁，C. Zhang，F. Zhao，H. Xiao和G. Tian，“基于遗传算法的异步并联拆卸规划”欧洲运筹学研究杂志，卷。269，没有。2，pp。647-660,2018。浏览：出版商网站|谷歌学术
7. “基于中心对称静摩擦模型和鲸鱼遗传优化算法的六自由度机械臂动力学建模”，工程软件的进展，第135卷，第102684条，2019年。浏览：出版商网站|谷歌学术
8. Z.周，C.王，Z.Zhu，Y.王和D. Yang，基于混合灰狼优化的机器人操纵器的滑动模式控制，“替代，第185卷，第364-3802019页。浏览：出版商网站|谷歌学术
9. T. Al Khawli, M. Anwar, A. Sunda-Meya，和S. Islam，“用于工业自动化的激光引导机器人操作的校准方法”IECON 2018-44 IEEE工业电子学会年会论文集，第2489-2495页，IEEE，华盛顿特区，美国，2018年10月。浏览：出版商网站|谷歌学术
10. W.邓，齐湾，P.刘和R.歌曲，“基于双群遗传和混沌优化算法的最优时间轨迹规划”计算机集成制造系统，卷。24，不。1，pp。101-106，2018。浏览：谷歌学术
11. “基于改进混沌搜索算法的机器人最优轨迹规划与仿真，”D.康，陈明，“基于改进混沌搜索算法的机器人最优轨迹规划与仿真，”计算机工程与应用，第53卷，第53期14, pp. 143-147, 2017。浏览：谷歌学术
12. “基于自适应遗传算法的机器人运动轨迹规划，”IEEE访问， vol. 7, pp. 146301-146308, 2019。浏览：出版商网站|谷歌学术
13. Z陈和W。周，“基于量子遗传算法的天基机械手系统路径规划，”机器人学杂志， vol. 2017, Article ID 3207950, 10 page, 2017。浏览：出版商网站|谷歌学术
14. B. Siciliano，L.Sciavicco，L.Villani和G. Oriolo，机器人学：建模、规划和控制，斯伯克科学与商业媒体，柏林，德国，2010年。
15. C林，P。张和J。Luh，“工业机器人三次多项式关节轨迹的制定和优化，”自动控制学报，卷。28，不。12，PP。1066-1074,1983。浏览：出版商网站|谷歌学术
16. J. Rey Horn，N. Nafpliotis和D.E.Goldberg，“一种用于多目标优化的帕累托帕累托遗传算法”IEEE智力世界大会第一次IEEE会议的讨论会议，第1卷，第82-87页，美国佛罗里达州奥兰多市Citeseer，1994年6月。浏览：谷歌学术
17. S. W. Mahfoud，“利基之间的交叉相互作用”进化计算第一个IEEE会议的诉讼程序。IEEE智力世界大会，pp.188-193，IEEE，奥兰多，佛罗里达州，1994年6月。浏览：出版商网站|谷歌学术
18. A.Pétrowski，“作为遗传算法小生境方法的清理程序”，年IEEE国际进化计算会议论文集，PP。798-803，IEEE，Nagoya，日本，1996年5月。浏览：出版商网站|谷歌学术
19. B. Sareni和L. Krahenbuhl，“健身分享和征地方法重新审视”IEEE进化计算交易，卷。2，不。3，pp。97-106，1998。浏览：出版商网站|谷歌学术
20. P. Corke，机器人，视觉和控制：Matlab®的基本算法第二，完全修改， vol. 118，施普林格，德国柏林，2017。

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