与阻抗边界计算声场的坦克有限元法

抽象

在本文中，一种用于在水箱与阻抗边界计算的声场的有限元方法是基于在一个管驻波的理论提出。槽壁的等效声阻抗是通过有限元软件建立三维轴对称虚拟驻波管，于是计算出与该阻抗被用作罐的边界的边界。由于阻抗是材料本身的特性，可用于三维声场的计算所计算出的阻抗值。由于在玻璃容器的一个点源的声场是利用所提出的方法，正确性其中通过实验评估计算。通过比较实验和数值计算结果，所提出的方法被示出为是正确的。

1.简介

在一个长方形的封闭空间声场是一个重要和经典问题在声学和具有应用到办公楼，生产设备，汽车，船舱，混响室，等等。理解这个问题，预测声场和噪音控制有帮助。在应用中，它通常是更实际的考虑比一个有理想的边界一般阻抗边界条件矩形封闭空间，但前者的做法是尚未在声学领域充分研究。甲nonanechoic罐是广泛用于校准传感器[重要声学测量设备1，2]和测量的声功率[3，4]和水下声学材料的吸声系数五，6]。合理、有效地预测非消声储罐内的声场，有助于了解其声场特性，为利用非消声储罐进行声学测量提供必要的依据。

在nonanechoic罐预测声场的精度在很大程度上取决于与该声场的边界建模的正确性。一个理想的边界相比，阻抗边界是更符合实际的声场线。阻抗边界结合了能量幅度和响应的相位变化的衰减，并与吸收边界相比它具有明显的优势[7]。

1944年，Morse和螺栓[8建立了矩形房间内声场的理论模型。将声压模态与阻抗边界相结合，推导出非线性超越特性方程。当声场边界阻抗值相同时，通过求解该特征方程得到众所周知的莫尔斯表。Maa [9]推导出的声场的非线性超越特征方程为矩形封闭的空间，当声场的边界的阻抗值不同。因为该特征方程没有解析解，它只能数值求解。

求解非线性方程经典数值方法（例如，牛顿迭代）不适合用于解决上述方程，因为它们产生只有一个根单个的初始猜测。那珂等人。[10]提出的间隔牛顿/广义二分法来帮助解决这种非线性方程组。Bistafa和莫里西[11]提出了本征值问题提出作为从非物理参考配置，其中所有特征值是已知的，明显的同伦延续之一的新的数值方法。Du等。[12提出用傅里叶级数分析具有一般阻抗边界条件的矩形腔内声场，从而将求解非线性超越方程特征根的问题转化为求解标准矩阵特征值的问题。然而，上述方法要求声场是矩形的。相反，谢等人[13]提出了一种基于弱变分原理的研究声腔的墙壁有任意的倾向和阻抗条件内的声场的方法。

因为空气和水的物理性质有很大的不同，一个nonanechoic罐的声学特性是从在空气中的那些混响室的相当不同[14]。更复杂的分析在水箱与阻抗边界的声场。来计算与阻抗边界，Stotts和科克[水下声场15提出了一种双向耦合模态方法，其满足节约能源。

有限元法是应用最广泛的数值分析技术之一。有限元法可以应用于几乎所有的连续介质问题或场问题，因此在包括声学在内的物理领域引起了广泛的关注。随着计算机技术的发展，声学有限元法被广泛地应用于声学问题的求解。Vorlander [16]研究的概念和室内声学的计算机模拟的不确定性，以及他认为，可靠性依赖于选择的边界条件，例如吸收和散射正确的输入数据的技能。Aretz和Vorlander [17研究了不同边界形式的多孔吸收器对小房间模拟声场的影响。他们通过实验测量和有限元方法分析了一个几何形状清晰的比例模型房的声场。Naka等人将几何方法与有限元方法相结合，计算出具有真实阻抗边界条件的房间内声场。

上面提到的所有方法都需要房间有一个规则的形状。在本文件中，一种方法，提出了使用声学软件来计算阻抗边界声场。这种方法的优点是，它不是由声场的形状的计算期间限制和阻抗值可以是任意的。有没有对罐壁的材料具体要求。只要所述材料的参数是已知的，可以使用该方法来执行声场预测。此方法使用驻波管（SWT）的原理来测量材料的声阻抗，以及虚拟SWT被建立在软件中，以获得在声场的边界的阻抗值。与获得的阻抗值，在水箱中具有相同的阻抗边界的声场可以计算出来。我们使用此提出来计算的声场的方法，由于在玻璃水箱的点源。通过比较实验结果的数值结果中，我们验证了该方法的准确性。然后，我们计算，并与不同的阻抗值大nonanechoic池比较声场分析的边界阻抗值如何影响声场。

2.声场与阻抗边界

2.1。矩形封闭空间的声学说明与阻抗边界

尺寸的矩形封闭的空间和相关联的坐标系示于图1。对于具有均匀阻抗的封闭空间，亥姆霍兹方程可以表示为 哪里 驱动波数是否随频率变化和是声音的速度。亥姆霍兹方程可以通过分离变量来解决。因为在不同的方向上的解决方案具有相同的形式，我们采取了X方向作为这里的例子。在本征函数X方向可以写成 哪里是在波数X方向和一种和乙是常数。在边界条件X方向可以写成 哪里是墙壁上外向法线单位矢量，是介质的密度，以及是墙壁的阻抗。将式（2)带入式(3）给出

对于方程（4）有一个非零解，系数行列式必须等于0，从而给

该升的第一个特征函数X则方向为 哪里是升方程的次方根（五)。方程(五）是非线性的，并且可以只数值求解。在该特征方程和本征函数ÿ方向具有相同的形式中的那些X方向，并且本征函数可被写为 哪里是升在该特征方程的根第ÿ方向。同样的，特征方程和特征函数ž方向具有相同的形式中的那些X方向，并且本征函数可被写为 哪里是升在该特征方程的根第ž方向。

由于方程（五）是非线性的，就没有办法来分析通过解析计算阻抗边界的封闭空间中的声场的问题。这个问题只能通过数值计算来解决。

2.2。驻波管理论

波管是一种常用的测量材料声学参数的仪器。利用驻波比法和波管中传递函数法可以测量声材料的吸声系数和声阻抗。这些方法是已制定国际标准的标准测试方法[19，20]。直径的管d如图所示2以及声材料的正常声阻抗（或正常声阻抗率 ）安装在管的末端。当管壁为刚性时，在截止频率以下会产生平面波 ，这是由计算

管内声场可以表示为 哪里入射波和是反射波。该反射波由在管端部的声学材料负载引起的，不仅在从入射波尺寸不同，但也可以具有不同的相位。之间的关系和可以表示为 哪里声压反射系数和是相位差。将式（11)带入式(10）给出

从公式（12)时，管道内的速度为

在接口在介质与材料之间，声阻抗可表示为

因此，在已知管道内声场的情况下，可以得到声材料的阻抗，也可以根据材料的阻抗计算出声场。

3.有限元的解决方案

声学有限元应用现今广泛用于预测在封闭的腔和水箱的声场。有高计算效率和准确性很多成熟的商业声学有限元软件。当使用声有限元软件计算在封闭空间中的声场，难度的边界条件的准确描述。一种用于在水箱计算声场所提出的数值方法可分为两个主要步骤。第一步是用软件来构建虚拟SWT并计算罐壁的材料的声阻抗。第二步骤是使用所获得的阻抗值，计算的声场。该acoustic calculation software used here is Actran.The sound field of a glass tank with 1.474 m inner length, 0.9 m inner width, 0.013 m thickness, and 0.6 m depth is calculated using this method. The proposed method can not only calculate the sound field of glass tanks but also be used for calculation as long as the material parameters of the tank wall are known.

3.1。声场驻波管

具有阻抗边界的三维声场的计算虽然复杂，但在具有管道末端阻抗边界的SWT中，声场的计算较为简单。为了验证有限元软件Actran的计算能力，并计算具有阻抗边界的声场，用有限元法和解析法计算了具有管端阻抗边界的SWT声场。

分析计算是基于2.2节，与所述阻抗值设定为 。该FE计算模型显示在图3为此，建造了一根带刚性壁的管子。该管长1米，直径0.1米。水的声速是1500米/秒，密度是1000公斤/米³。在虚拟SWT的一端添加一个1m /s的速度源作为声源。该size of the acoustic grid is 0.05 meters, which can satisfy more than 10 grids per wavelength at 2000 Hz. A velocity source of 1 m/s is imposed at one end of the tube, and an impedance boundary with an impedance value of是强加在另一端的。现场点被放置在管道中以采样声压。

计算了2000 Hz时管道内的声场，结果如图所示4。由于声场的量纲振幅在解析计算和数值计算中有所不同，因此将结果除以最大值进行归一化处理。坐标系的原点在阻抗边界处。

如图4，解析计算和数值计算的归一化结果是一致的。从而验证了用有限元软件Actran计算具有阻抗边界的声场的准确性。

3.2。获取物质阻抗使用虚拟驻波管

当使用阻抗边界模拟nonanechoic罐的边界，所述阻抗的特定值应首先被确定。根据实际情况，三维轴对称虚拟SWT被建立在ACTRAN，如图示意性示出五。由于计算模型是轴对称的，为了节省计算时间，建立了二维旋转模型。充水虚拟SWT长度为5 m，由式(7），the diameter of the virtual SWT is selected as 0.2 m, and the corresponding cut-off frequency is 4,400 Hz. The sound velocity of the water is 1500 m/s and the density is 1000 kg/m³。在虚拟SWT的一端添加一个1m /s的速度源作为声源。厚度为0.013 m的玻璃，杨氏模量为6×10¹⁰+ 1.2×10⁹ĴN / m²，Poisson’s ratio of 0.23, and a density of 2500 kg/m²被添加到驻波管的另一端。To obtain a more realistic impedance value, an air region, of which the sound speed is 340 m/s and the density is 1000 kg/m³和吸声边界是在虚拟SWT的最外端增加。为了获得在管的平面波，刚性边界被包含在虚拟SWT的边界。要使用一个SWT测量材料的阻抗，在管中的声压必须测量。然而，在虚拟SWT，测量点可直接在材料和获得的声压与振动速度的介质之间的界面放置。场点被添加到水和玻璃的界面，以获得复杂的声压和复杂的点的界面处的速度。

执行计算之后，我们提取复杂的压力和在所述场点的复速度，并在根据不同频率计算该材料的阻抗 哪里是阻抗，是复杂的声压，并是复速度。

结果列于表1。数字6显示SWT内部1300hz声场分布;在管中形成驻波，可以清楚地看到节和腹。

利用计算得到的管端等效阻抗，计算SWT中的声场，看看它是否与管端玻璃的声场一致。数字7显示了两个模型在1500赫兹下声压沿轴向的分布。两种模型的计算结果确实是一致的，从而验证了所提方法的可行性。

4.声场由于点源在玻璃池

4.1。有限元方法

利用得到的等效阻抗，可以计算出玻璃箱内的声场。现时的构思[五模拟空气中玻璃或铁罐的边界就是模拟它们的释压边界。由于玻璃和水的特性阻抗很接近，而且比空气的阻抗大得多，所以这种近似是合理的。为了比较差异，我们使用了两种边界条件，并将结果与测试结果进行了比较。FE模型的长度为1.5 m，宽度为0.9 m，深度为0.6 m，如图所示8和坐标系统是根据图定义1。一种point source of 1 Pa is placed at the coordinates (1.3 m, 0.15 m, and 0.3 m), and 100 field points are spaced equally in theX与方向（ÿ，ž）coordinates of (0.45 m and 0.4 m). Since the impedance is the property of the material itself, the calculated impedance values are directly used for the calculation of the three-dimensional sound field.

当使用获得的等效阻抗模拟槽的边界时，阻抗施加在槽的表面，除了在ž= 0.6 m。表面ž = 0.6 m is treated as a water surface given that the characteristic impedance of air is much smaller than that of water and instead a pressure-release boundary is added atž= 0.6 m。

4.2。测试

为了验证所提出的方法，我们在与FE模型尺寸相同的玻璃容器中测量了声场，玻璃的厚度为0.013 m。测试系统如图所示9。一种spherical sound source driven by a power amplifier was placed at the coordinates (1.3 m, 0.15 m, and 0.3 m) and transmitted single-frequency signals. A hydrophone array (type B&K 8103) was placed in the glass tank and moved along theX测量声场的方向。测试中使用的水听器(b&k8103型)长度为50毫米，直径为9.5毫米。水听器和水听器支架的尺寸远小于2000赫兹时的波长，可以忽略水听器的声散射。当声源发出的声能与壁面和介质吸收的声能一致时，封闭空间中的声能达到动态平衡。仿真计算得到了稳态声场。为了在实验过程中获得稳态声场，在声源开始发射10秒后进行数据采集。

5.有限元法和测试的结果

对于在封闭空间内的声场，随着频率的增加，在声场增加声学模式的数量和所述声场的分布变得越来越复杂。在低频，由于干扰，声场将具有明显的分布。当模式的数量是足够的，声场容易扩散。在低频时，除了要考虑的边界的吸收，这也是必须考虑到的反射波的相位，以精确地计算声场。在高频率，由于声场容易扩散，它的意义不大考虑声场的分布，主要是计算在坦克声能量密度。为了验证所提出的方法的准确度，在低频率所提出的方法的计算结果和实验结果，主要比较。

在图10，我们比较，对于频率的不同值，所述有限元分析结果与那些与位于水听器测量（ÿ，ž) = (0.45 m, 0.4 m)，且X。

从图中可以看出10的是，在玻璃箱中的声场是通过使用所获得的等效阻抗精确地模拟。When using pressure-release boundaries to simulate the tank boundaries, the sound field in the glass tank is also calculated accurately at 1,300 Hz. However, as the frequency is increased, the sound field simulated with pressure-release boundaries differs from the actual sound field obtained by the test measurements, the sound field becoming increasingly sensitive to the phase and absorption at the boundaries. Therefore, with increasing frequency, the sound field obtained by simulating the tank boundaries as impedance boundaries becomes more accurate.

6。结论

在这项研究中，采用有限元法计算与阻抗边界的坦克声场。这样做的精度是由声场在由FE方法和分析方法计算出的SWT比较验证。为了获得罐壁的等效正常阻抗，虚拟SWT成立于FE软件和壁材料在所述管的一端被强加。从声压和振动速度的介质和材料之间的界面上，获得等效正常阻抗和在声场的计算中使用。

由于在玻璃容器的一个点源的声场是由所提出的方法来计算。为了比较，也进行了计算使用压力释放边界作为罐边界的结果。实验进行了验证所提出的方法，并模拟舱界限的阻抗边界的结果与实验结果一致。罐的界限可以被模拟为只有当频率比第一模式的频率更低的压力释放边界。该方法适用于配备了声学材料内衬计算不仅水箱而且声场。

数据可用性

用来支持这项研究的结果的数据是可用的，请相应的作者。

的利益冲突

作者宣称，有兴趣就本文发表任何冲突。

致谢

本研究由国家自然科学基金(批准号:)资助。11874131)。

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