石墨烯的闪烁噪声行为之间普通半导体的理论比较

摘要

石墨烯是用于传感器的实施特别感兴趣的材料，并且基于这样的材料的装置的最终性能通常通过其闪烁噪声特性来确定。事实上，石墨烯展品，相对于绝大多数普通的半导体，闪烁噪声的功率谱密度为电荷载流子密度的函数的奇特行为。虽然在大多数材料闪烁噪声服从经验的Hooge法，具有功率谱密度成反比的自由载流子的数量，在双层，有时单层石墨烯违反直觉的行为，其中在所述电荷中性点的最小闪烁噪声的，已经观察到。我们提出一个解释此形成鲜明差异，利用我们在其中执行质量作用定律和电荷的波动，从捕捉/脱阱现象推导出中性条件两者的典范。这里，特别地，我们专注于石墨烯和其它半导体材料之间的比较，结论是最小的电荷中性点闪烁噪声的只能以对称的电子 - 空穴的行为，石墨烯的条件特征的存在出现，但未在其他常用半导体找到。

1.介绍

在电子设备的实际操作中，随机波动（“噪声”）总是叠加到传输所需信息的确定电量（“信号”）上。这种波动源于潜在的微观现象，在传感器中，它们可能会限制可实现的灵敏度，或者，在波动增强型传感的情况下[1，有助于提高传感器的性能，特别是在选择性方面。电子设备中可能存在几种形式的随机电子涨落:散粒噪声、热噪声、产生复合噪声、突发噪声和 （闪烁）噪音，仅举几个主要的[2-9]。它们的物理来源不同，功率谱密度依赖于表征设备运行的物理参数，如温度、频率、偏置电流、电荷密度和材料电阻率。

特别是，了解支配电子设备的固有噪声，特别是传感器的物理机制，可以显著帮助他们制造和最佳偏置点，其操作的最佳材料的选择设计师。

这里，我们关注 （闪烁）噪声，因此从它的功率谱密度，这是反比于频率行为被调用。这从诱捕和脱阱的载流子，由于杂质（陷阱）位于内侧或其中该装置电流流沟道附近型噪声主要起源的。一般情况下，其振幅是因此正比于陷阱浓度。

的功率谱密度 电流噪声通常近似具有经验的Hooge式[10个]: 哪里是的Hooge常数，是平均偏置电流，是设备中载波的数量，是频率。根据这个公式， 噪声应更大时数设备中载波数较低。这实际上是通常在普通半导体中观察到的现象[11个，德意志北方银行]，例如硅或砷化镓。然而，不同的行为已经在石墨烯样品进行的测量观察到。

单层石墨烯是一种新近分离材料[13个]由碳原子的平面六边形格子组成。它是具有零能隙的半导体[14个-19个，即使能隙可以引入，例如通过侧向约束[20个-22个]，应变[23个，24个]，掺杂[25个-27个]，功能化[28个，29个]，或在材料层中引入一个抗毒素晶格[30个，31个]。它在导电带和价带之间的退化点周围的色散关系(所谓的狄拉克点，即。，电中性点)为线性，因此石墨烯载流子的有效质量为零。自从它从石墨中分离出来以后，它就成为了一项大型研究的焦点(最近又扩展到更广泛的二维材料家族[32个-34个，因为它具有非常吸引人的电、热、光和机械性能[35-47]。而且，石墨烯具有非常罕见的物理现象[48-50，这是相对论力学的典型特征，因为它的有效质量输运方程与狄拉克方程一致[18岁，51，52描述相对论性自旋的波动方程/两个粒子)。双层石墨烯由两个耦合石墨烯层组成[14个，15个，53-56]. 具有Bernal堆积的双层石墨烯具有零间隙的非线性色散关系，但在正交电场作用下很容易产生能隙，从而引起两层电化学电位的偏移。

石墨烯是特别感兴趣的实现传感器由于其quasi-two-dimensional性质,导致一个非常大的表面体积比:由于传感器与分析物的相互作用主要是由于表面发生吸附、传导是大部分财产,将导致一个大的表面体积比一个大电阻的相对变化时,传感器与分析物的相互作用。

在石墨烯中，闪烁噪声功率谱密度与电荷密度（通常通过调整栅极电压）的函数关系的测量显示了各种不同的行为[57-70]。虽然大多数单层样品中观察到一个“Λ”形行为[60-63]，类似于普通的半导体，在悬浮单层石墨烯和大多数双层样品中，都测量到了“M”形(或“V”形)的行为，并在Dirac点附近载流子密度最低的地方测量到了闪烁噪声的局部最小值[58，59，61-69]，在什么距离的Hooge公式所预期的对比度。若干问题的解释已经被提出来理解这种行为[61，62，64-66，68]。

一个有趣的理论[71]利用所捕获的载体和石墨烯的带结构的特殊属性的静电屏蔽以解释观察到的特征。我们已经开发了不同的方法[72这导致了类似的结果，利用基于电荷中性守恒和质量作用定律的模型(如果闪烁噪声的主要波动比载流子的发电重组时间慢，那么质量作用定律必须得到满足)。

在这里，我们这种模式扩展到通用半导体的情况下，我们用它来解释石墨烯样品中观察到的行为之间的这种差异的起源和典型的普通半导体的那个。特别是，我们表明，最小的 在电子和空穴具有相同迁移率的材料(如石墨烯)中，电荷中性点处的噪声是可以预料到的，在这种材料中存在着相当低的潜在无序。这实际上是悬浮石墨烯或双层石墨烯的情况(随机放置的带电杂质的静电效应被强烈屏蔽)。在普通半导体中，电子和空穴的行为通常是不同的[50，73时，闪烁噪声功率谱密度中的局部最小值就不那么明显了，并且完全被不可避免的潜在无序的存在所抑制。

2.仿真模型

为了涉及的（微观的）现象，其由在电荷载流子的运动，并且通过所述陷阱在装置的端子上的（宏观）的电流其捕获和再发射，我们可以使用拉莫-肖克莱定理[74，75](然后由佩莱格里尼用电运动学定理推广[71，76，77]）。我们假设散射现象发生在时间尺度远远快于所考虑的漏白/脱阱的事件，在这样一种方式，能够真正定义漂移电流。在端子的电流由下式给出 哪里是基本电荷的模量;和分别是电子和空穴，的漂移速度; 是，将与坐标点产生的电场 由施加到一个我们想要计算当前的电极（而另一个电极接地并在没有移动电荷）的单位电势[74]; 是装置中实际存在的电场；（ ）和（ ）是迁移率以及电子（空穴）的表面密度;和设备的面积是否等于宽度的乘积和长度 。以来 为单位施电势的电场，故电场与施电势之比，其量纲为长度的倒数。的实际函数依赖性 由触头的细节和由所述设备的纵横比的影响。的组分 沿每个电荷的漂移速度(因此沿 ）表示与其中在该装置有助于总电流的每个点的载体运动，因此是类似于通过参照Vandamme等人介绍了灵敏度系数的权重。[78-80]。由于本研究从设备的不同区域的贡献的相对权重是不是必需的目的，我们假设一个常数 （等于 和平行于 ),i、 e.均匀的灵敏度系数。

在这种近似下，触点处的瞬时电流由[72]

在三维器件的情况下，该积分具有与在所述体积的组成来代替 ，和和成为体积密度（而不是表面密度）。平均电流可以写成

如果，通常情况下[71，俘获和脱俘获事件对载流子密度的影响相对于对移动和电场的影响而言是非常普遍的，我们可以把由于载流子被捕获和脱捕获而引起的电流波动表示为 哪里和分别是电子和空穴浓度的波动。因此，电流波动与平均电流之比等于 其中在该区域的电子和空穴的总数量被定义为 和 ，分别，而它们作为捕集-脱阱现象的效果变型已被指出与和 。

为了计算和 ，我们用下面的办法[72]（其不同于在参考文献中。[71]但结果却相似）。让我们考虑一个陷阱，然后定义在受捕获事件的杂质能级的电子的数量（0或1）。在下文中，我们将与指示相对于变化的值与没有俘获电子（即，当没有电子被捕获的所有变型是零）。当电子或空穴被俘获时，相应的电荷载流子的数目瞬间变化一个，但随着时间间隔超过热产生复合时间，必须满足质量作用定律和电中性。因此，对于一个泛型变体数量陷阱中的电子( ，以来 如果没有电子被困，而 如果有一个电子被俘获和在设备中的载波必须满足

方程的第一关系（7)可以得到微分关系 （即，具有两个构件的质量作用定律乘以面积的平方 )。（同样地，它可以得到提的是质量作用定律有之前和之后的检查诱捕事件有效。因此，无论是 和 必须满足；减去两个方程，忽略二阶项相对于所述其他的，方程的第一关系（7)。)的数量是一个常数，通常取决于半导体的类型和温度，因此，它不会因俘获事件而改变。即使是石墨烯亦取决于费米能级的位置[81]，我们可以假设它的变异因捕获事件可以忽略不计。

方程的第二个关系式(7)强制设备的电中性：假设整个设备（包括偏压电极）在检查事件之前是中性的，则捕获事件产生的总电荷变化必须为零： （参见图1），其中，我们已在自由空穴，自由电子，并且被陷阱捕获的电子，这都有助于总电荷的数量的变化。

方程的系统（7）有以下解决方案：

在这些解中，量和只通过它们的比例出现;因此，准确的选择了其中的面积和被评估是不相关的。

从方程式中可以看出(7）和（8)，同时满足质量作用定律和电中性的必要性唯一地决定了变化的价值和源于俘获事件：因此这些电子和空穴涨落是完全相关的。

代这些表达式代入式（6）， 我们获得

因此，对于一个陷阱，我们有(为闪烁噪声功率谱密度): 其中，忽略平均值的贡献，具有洛伦兹依赖于频率的特征松弛时间(从是随机电报信号）82]。

如果我们假设器件中存在的许多陷波是相互独立的，那么就可以把它们的谱加起来得到总的噪声谱。陷阱效应与适当分布的时间常数相结合，可以得到 噪音[83，84]: 与是依赖于浓度，分布和收集器的特性的系数，而是一个数字接近1。

我们将报告闪烁噪声功率谱密度作为（即，电荷密度除以 ),在实际实验中，它是一个可以通过调整与器件电容耦合的栅门的偏置电压来调整的量。

从方程(8），我们可以观察到的是，如果电子浓度比孔大得多，即，当 ，我们有而 ，即，在捕获电荷的变化通过电子完全筛选。以类似的方式，当空穴浓度强烈支配（即， ), 和 ，这意味着陷阱电荷的变化完全被空穴所屏蔽。在中间条件下，通过电子浓度和空穴浓度的变化来屏蔽陷阱电荷的变化。特别是在中立点(when) ),陷阱电荷的一半通过空穴数的变化进行屏蔽，另一半则通过电子数的相反变化进行屏蔽: 和 。

从方程(11个)，我们观察到闪烁噪声功率谱密度消失的时候 。的行为在这一点上是对称的，如果和一致;否则，这种对称就不存在了。如果 ，在这一点上消失，其周围对称的是电荷中性点(在哪里 ）;当电导带和价带对称时，得到了电导带和价带间隙中间对应的费米能量的这个条件。

的数量和通过能量色散关系，依赖于 ，即，on the relative position of the Fermi energy with respect to the local value of the potential energy. However, the nonuniform distribution of charged dopants and impurities (including the randomly located charged traps themselves) introduces a potential disorder (i.e., a random spatial variation of the potential energy) which can substantially alter this result. In order to introduce the effect of this random spatial energy variation in our calculations, for each value对于费米能量我们把结果平均在一个高斯分布的能量上 ： 哪里 表示归一化高斯分布空平均值和标准偏差 。

标准偏差这种高斯表示对电势分布的影响的估计，并且因此上的相对位置关于势能的费米能，代表势能无序源的随机带电杂质的势能。因此不仅取决于紊乱源“强度”，而且对材料的静电屏蔽效率，这可以通过衍生来估计 （或者来自量子电容，它与量子电容成正比[45]）。如果该衍生物是较大的，同样的带电杂质诱导的具有较小变化（因此 ),因为足以通过移动电荷密度的相反变化来屏蔽杂质的静电效应 。

当包括潜在的疾病，我们将报告闪烁噪声功率谱密度函数 ，即，平均超过能量的同高斯分布：

潜在障碍的平均值(见方程(德意志北方银行))降低噪声谱对电荷密度的依赖性，平滑效果随无序强度的增加而增加。

3，石墨烯

首先，让我们来分析单层和双层石墨烯（与伯纳尔堆积）的情况下。在这种材料中，电子和空穴的频带是近似对称和 。因此,方程(6）成为

类似的简化可在方程进行（9） - （德意志北方银行）;例如，等式（11个）成为

对于石墨烯，我们计算的载流子浓度和由状态，并且在整个能量范围的职业功能的密度的乘积进行积分： 其中，DOS是态密度和为电子的费米-狄拉克占位函数(因此，为孔的占用函数)。DOS则取决于单层石墨烯或双层石墨烯的色散关系，即[14个，18岁，53，54]: 哪里是波矢量和狄拉克点之间的差， （与约化普朗克常数和 石墨烯的费米速度）， 是石墨烯层间耦合，并（负责可能的带隙开口的术语）是两层现场能量之间的差，这是近似正比于载流子浓度（更详细地说， )。

以数字表示2-五，we report some results obtained for graphene at 300 K, without potential disorder averaging. Figures2和3指单层石墨烯，而图4和五参考双层石墨烯。

以数字表示2和4，我们报告数量 和 （由公式（评价8作为…的函数(分别用于单层石墨烯和双层石墨烯)。与一般情况一样，当空穴为主导载流子时，阱内电荷变化主要由空穴屏蔽，而当电子为主导载流子时，电荷变化主要由电子屏蔽。相反，它被电中性点的电子和空穴对称地屏蔽了。

以数字表示3和五，我们报告的数量 （由公式（评价11个作为…的函数（分别用于单层和双层石墨烯）。从石墨烯开始 ，闪变噪声功率谱密度的行为与中性点完全对称。特别是在电荷中性点（狄拉克点），其中 和 ，电流的波动(因此噪声功率谱密度)完全消失(见方程(16个))。比较数据3和五我们注意到，由于它们的色散关系不同，双层石墨烯的狄拉克点周围的倾角比单层石墨烯的要宽。

以数字表示6和7，我们给出了平均单层光谱的类似结果（图6)和比莱尔(图7)石墨烯在300k以上的潜在无序状态。特别地，我们报告的值 （即，出现在方程积分（德意志北方银行作为…的函数（即，电荷密度除以the electron charge, averaged according to Equation (14个)). 对于单层和双层石墨烯，我们给出了以下四个不同值的结果 ：10、20、30和40 meV。在这两种情况下，我们都观察到电荷中性点处的光谱最小值趋于消失，增加了无序的强度：因此，闪烁噪声功率谱密度的行为从“M”形演变为“λ”形。但是，我们可以从 （电荷中性点等于 在单层石墨烯和左右 在双层石墨烯），潜在波动的场次是在双层石墨烯比单层石墨烯的约六倍。这是两种材料的不同的色散关系的结果，与双层石墨烯，其特征在于狄拉克点[近平坦的频带50]。因此，对于类似的杂质分布，值的应考虑单层石墨烯，其约为双层石墨烯的六倍。因此，对于无序的实际值，单层石墨烯通常不会在电荷中性点显示最小的闪烁噪声功率谱密度。相反，在足够干净的双层石墨烯样品中，经常观察到“M”形行为，在Dirac点处最小。在悬浮单层石墨烯的情况下也观察到类似的“M”形行为，对于悬浮单层石墨烯，其电位无序比在基底上的单层石墨烯弱得多。

4.普通半导体

现在让我们来看一看普通半导体的情况，例如硅和砷化镓，它们在电荷中立点上的闪烁噪声功率谱密度的最小值从来没有在实验中观测到过。

在这种情况下，我们可以采用第2，用体积替换（对于三维通道）区域。为了简化计算并得到一般结果，我们忽略了材料能带结构的细节，并且在假定有效质量不变的情况下，我们使用了载流子浓度的半经典表达式[85，86]: 哪里是导带最小值，是价带最大值，是玻尔兹曼常数，和是绝对温度。

特别是，我们执行使用用于硅和砷化镓材料参数我们的计算。

对于硅，我们考虑以下参数： ， ， ， ，和 。

相反，砷化镓，我们假设如下： ， ， ， ，和 。

以数字表示8和9，we report the results obtained for silicon at 300 K without potential disorder averaging. More in detail, in Figure8，我们给出比值 和 （根据公式计算(8作为…的函数 ，而在图9，我们报告的数量的行为 （根据公式计算(11个作为…的函数 。

以数字表示10个和11个，我们报告了类似的结果砷化镓在300k没有潜在的无序平均。

当我们从报告的参数，违背了石墨烯看到，这些半导体对电子和空穴完全不同的迁移率。这是在结果中观察到的明显的不对称性的原因，与该区域的较大噪声频谱，其中运输通过电子，即为主，具有较高迁移率的载体。我们还可以观察到的不对称性是砷化镓，其为电子和空穴迁移率之间的差越大更强。由于流动性的差异，频谱不泯任何更多的电中性点（其中 ）但是, 。此外，相对于石墨烯（对于该，在没有障碍的，这消失点呈现的频谱的急剧减少相对于两个空穴占主导地位和电子主导传导区），在这里，由于频谱不对称，最低点是突出的要少得多。事实上，尤其是在砷化镓的情况下，它是由空穴支配区域，其中，所述频谱已经很低几乎没有区别。

因此，当引入位错效应时，通过对具有标准差的高斯能量分布进行平均根据等式（德意志北方银行），频谱的局部最小完全消失和频谱显示出“Λ”的形状，与在电子主导区域为中心的最大值，在迁移率μ变大。的行为 （即，出现在方程积分（德意志北方银行作为…的函数(由式(14个））在图报道德意志北方银行和13个对于硅和砷化镓，在300k时分别为4个不同的值 ：10、20、30和40 meV。对这两种半导体都观察到了所描述的行为，但对砷化镓更为明显，因为在没有无序的情况下，光谱中的最小值已经很难识别。

在一个真实的三维材料是困难的，如果不是不可能的事实，为了均匀地调节整个体积中的费米能级的位置，进一步防止电子和空穴电流的波动的在整体设备的完美平衡，并且因此使得它不可能通过实验观察到闪烁噪声消除类似于对石墨烯说明。

5个。结论

利用基于电荷中性和质量作用定律的模型，我们比较了石墨烯和更常见的半导体(如硅和砷化镓)的闪烁噪声行为。我们得出结论,一个最小的闪烁噪声功率谱密度只能观察到电荷中性点材料中电子和空穴有高度对称的交通行为,特别是有大约相同的流动(石墨烯),且仅当潜在障碍低。当这些条件满足时，由俘获现象引起的电子和空穴浓度的相反变化相互抵消，导致电流无波动。相反，如果存在电子/空穴不对称(在普通半导体中)或存在严重的潜在无序，这种最小值就会消失。

我们认为，这样的分析，澄清的原因的机制或预防的降低，在适当的偏压条件下，本征器件的闪烁噪声的，可在特定的高灵敏度传感器，用于低噪声器件的设计中很有用。

数据可用性

用于支持本研究结果的数值数据可根据要求从相应作者处获得。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

致谢

这项工作得到了意大利教育和研究部（MIUR）在交叉实验室项目（卓越部门）框架内的部分支持。

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