正方形膜片CMUT电容计算使用新的偏转形状函数

文摘

新高度准确的封闭电容计算模型开发了计算电容的电容式微型机械超声换能器(CMUTs)用正方形膜片。模型开发了用一个二维多项式函数,更准确地预测正方形膜片变形的挠度曲线的影响下的统一的外部压力,也考虑边缘场的功放。模型对比验证模型预测偏转概要文件和电容值与实验结果发表在其他地方和有限元分析(FEA)由作者对不同材料性质、几何规格,和加载条件。新模型的电容值被发现是在良好的协议与发表的实验结果最大偏差为1.7%,和1.5%的最大偏差观察相比,有限元分析的结果。模型可以帮助改善CMUT设备的设计方法的准确性和其他MEMS-based电容式传感器由正方形膜片。

1。介绍

电容式微型机械超声换能器(CMUTs)已经成为技术的选择范围广泛的应用,如医疗诊断成像无损检测、材料特性、和汽车防撞协助或盲点监控应用程序(如公园。这种类型的传感器在压电同行表现出很多优点,如固有的低功耗、高分辨率和灵敏度,优秀的稳定性和耐久性,对温度变化的敏感性较低,低噪声特性,以及单片和IC集成(1- - - - - -3]。典型CMUT几何建广场,圆形或六角形隔膜分开固定背面电极由一个小的空隙。受到一个事件超声波时,膜片变形和隔膜和固定的背面电极之间的电容变化动态入射波的动态特性。使用一个合适的微电子电路将电容的变化转换成一个有用的电压信号(4]。

CMUT的灵敏度取决于电容的变化,准确分析方法需要计算变形之间的电容隔膜和任何数量的背面板变形。然而,随着隔膜严格夹在边缘,隔膜偏转的中心地区相比更接近边缘导致cosine-like变形曲线。作为一个电极是弯曲的,平行板近似计算电容将介绍重大错误。准确分析方法计算电容的几何形状是弯曲电极分为大量元素的地方元素区域是小到足以被认为是形成一个平行板几何与平面电极,然后整合在弯曲电极的长度和宽度来确定总电容。因此,准确测定电容不仅取决于膜片中心挠度的准确性也在膜片的变形形状的准确性。

的确切形状偏离夹边隔膜是未知的,广义板理论已经被不同的作者来获得一个应用变形曲线的函数形式,必须满足边界条件,隔膜几何,和特定的负载条件。典型方法确定夹膜片的变形曲线用于设计CMUTs可以分为3大类:(1)与小挠度薄板,大挠度薄板(2),(3)膜近似。

(1)与小挠度薄板
当偏转microfabricated薄隔膜的厚度相比要小得多隔膜的横向变形是由弯曲应力和残余应力在制造过程中开发的。作者在5)提出了一个近似的数学表达式来确定薄板小挠度变形曲线政权使用三角级数。然而,模型需要大量的计算,因为它需要大量的数值计算来确定一组系数。作者在6]利用伽辽金方法和多项式基函数来确定偏转的形状。然而,模型是有限的精度和收敛性7]。作者在7)提高了精度和收敛性的方法6)代替多项式基函数与三角基函数。然而,该模型没有反对任何验证有限元分析(FEA)或实验结果。

(2)大挠度薄板
当偏转microfabricated薄的隔膜就相当于或大于其厚度,由于拉伸应变能的中间面隔膜再也不能被忽视。因此,在大挠度薄板,方法,占隔膜中腔的拉伸与弯曲应力和残余应力在制造过程中必须使用开发。基于多项式函数形式(8)利用里兹能量法和正弦/余弦函数的傅里叶级数的形式使用卡门方程[9已经被许多作者探索。然而,这些方法计算非常昂贵和一个确切的解决方案需要无数的术语。在[5),更紧凑polynomial-based函数可以解决使用能量最小化方法提出了确定薄板的大挠度变形曲线的政权。但这也是计算相当昂贵,因为它涉及11个待定常数的测定11非线性方程组的数值方法,利用逐次逼近的方法(5]。
作者在10)提出了挠曲形状函数使用一个学期里的傅里叶近似精确弯曲形状,其中包括一个双余弦平方项。由于其简单的形式,夹的功能被广泛用于混凝土简分析膜片受到大的变形量。然而,其准确性是妥协由于在傅里叶级数截断高阶术语。基于双正弦平方项提议类似的功能(11)也遭受同样的精度问题。

(3)膜近似
作者在5,12)使用了一个膜近似确定中心挠度和夹薄膜片的变形曲线。的薄膜厚度相比有更大的横向维度,由于弯曲应变能变得极小相比由于残余应力和非线性拉伸中间平面。作为在夹紧边缘弯矩为零,不像盘子,零梯度切平面的位移沿边缘表面不再是一个膜(所需要的边界条件5,12]。作者在5)提出了一种基于双膜挠度形状函数余弦函数的傅里叶级数是一项近似代表实际偏转的形状。功能后,膜的变形曲线x——或者y设在模仿了单模字符串附加到两端的振动位移正常初始字符串位置固定节点零但切线节点的字符串值不为零。然而,模型无法描述隔膜的弯曲形状准确,和作者(12)提高模型的准确性通过添加两个方面来减少有限元分析和实验结果的偏差。尽管修改后的模型显示了良好的协议与实验结果在薄和相对较大的sidelengths膜片,作者的调查表明,它不同意与偏转厚膜片的形状,更像是盘子。进一步,偏差增加单调sidelengths小于1毫米的薄膜片暗示实际行为的薄膜片不仅取决于deflection-thickness比率,而且在横向dimension-thickness比率。
典型的像用于CMUTs膜片厚度0.4的范围内μm 1 - 3μm。由作者进行分析,比较不同模型的有限元分析和实验结果表明,即使是很薄的隔膜,夹紧边缘不容忽视的弯矩和膜近似将无法捕捉的实际变形形状隔膜。分析还表明,双余弦或双余弦平方或双正弦平方函数也未能充分捕捉变形形状的本质。作者观察到,偏转形状函数提出了(5,10- - - - - -12)在从3 d有限元分析精度明显偏离最大偏差1 - 3的50 - 60%μ米厚,200 - 1000μm sidelength膜片。因此,这种偏差影响到计算电容值准确性差。作者的调查表明,如果使用现有的偏转形状函数,产生的电容值在误差高达16 - 18% 2μ厚200μm sidelength广场隔膜CMUT设备。
此外,常用的平行板电容近似理论计算忽略了边缘场电容与隔膜边缘,由于无限板的假设。然而,作者的调查表明,边缘场电容与隔膜边缘还在变形导致的总电容。
在这种背景下,本文发展一个新的,随时可用,简单,高度准确均匀偏转形状函数加载夹正方形膜片用于典型CMUT设计空间。polynomial-based函数在(5)薄板的大挠度已经修改为包含两个经验确定参数开发新功能。新的经验参数捕获十一个待定常数的贡献的多项式函数可以确定只有通过大量的数值分析(5]。由此产生的偏转形状函数显示了出色的精度的典型CMUT设计空间,也适用于这两个小型和大型偏转政权。进一步,电容的计算方法已经被开发出来,它使用新的偏转形状函数,包括边缘场效应计算电容的正方形膜片CMUT精度高于文献中可用。
剩下的纸被组织在以下方式:部分2设备操作的简要描述,包括问题定义和评论偏转形状函数在(5,10,12),与有限元分析结果的差异;部分3描述了开发一个新的偏转形状函数,可以更准确地代表了偏转形状的正方形膜片用于CMUT设备;部分4描述了电容计算公式,考虑了边缘场效应;部分5和6提供的验证新的偏转形状函数和电容模型通过比较使用IntelliSuite有限元分析结果和实验结果发表在其他地方。部分7总结这项工作的结果。

2。问题说明

一个正方形膜片CMUT的结构如图1由介电spacer-supported夹广场隔膜分开固定背面板薄空隙。隔膜sidelength是、厚度,空气隙的厚度。当暴露于外部压力均匀,隔膜偏转导致减少之间的空隙,导致增加电容隔膜和背面板。压力撤销时,隔膜会回到原来的位置导致减少电容。在一段时间内不同事件的压力,电容的变化遵循相同的事件的压力动态特征。这电容变化量转换为有用的电压信号使用的偏置电压和电荷积分器。

隔膜被认为是均匀和各向同性与完美的边界条件。假设夹边举行隔膜严格对任何平面外旋转或位移边缘但允许位移与隔膜的平面平行。在边缘,平面外位移为零和切平面位移沿边缘表面恰逢隔膜中间平面的初始位置。边界条件施加的夹边在数学上可以表示为(5,10] 变分法后,严格加强广场的载荷挠度模型隔膜下大挠度由于应用统一的压力可以表示为(13] 在哪里隔膜偏转的中心,残余应力,隔膜材料的泊松比。常数,决心通过调整解析解与数值结果(12] 泊松比相关的函数是由(12] 在(2),是隔膜的抗弯刚度和表达吗 杨氏模量和有效板模量,表示为 在哪里隔膜材料的杨氏模量。在(2方括号内),第一项右边代表膜片刚度由于残余应力,第二项是由于弯曲刚度,第三项是由于非线性弹簧刚度硬化。真正的根上面的三阶多项式(2)代表横膈膜中心偏转。另外两根都是虚构的,没有实际意义。一旦获得中心偏转,膜片的变形曲线可以得到任何偏转后形状函数在引言部分讨论。

数据2和3显示有限元分析确定偏转的比较两个多晶硅膜片的概要文件,1和3μ米厚,分别与偏转后获得形状函数在(10,12]。这两个偏转形状进行比较的功能是选择使用最广泛,可能由于其简单性。设备规格表中列出1已经使用了有限元分析仿真。从隔膜偏转概要文件策划中心设在使用相同的中心挠度值作为有限元分析后获得的病例和绘制膜片厚度的百分比。的数据,很明显,(12)同意与1 -挠度概要文件μ米厚的隔膜,它预测显著高于3 -挠度值与有限元分析μ米厚的隔膜。相比之下,挠度值计算后(10)较低相比,有限元分析结果为1和3μ米厚膜片的挠度值1明显较低μ米厚的隔膜。此外,有限元分析结果显示相对大的下垂偏转薄比厚膜片概要文件。预计这种行为作为薄膜片应力占主导地位,而厚的行为更像盘子(弯曲为主)。

数据4和5显示为同一横隔膜偏转概要文件但策划中心沿对角线方向的右上角隔膜。从数据的最大偏差百分比资料后(10,12]相对于有限元分析结果估计约57%和68%,分别。这些偏差太大,忽略在任何设计过程。从结果,虽然很明显10是偏厚膜片的更准确,(12)是薄的更准确。然而,他们两人从三维有限元分析结果明显偏离膜片通常用于CMUT设计空间。

当隔膜位于x - y飞机,变形之间的平行板电容隔膜和背面板可以计算后(14] 在哪里自由空间和介电常数吗代表了挠度变形表面隔膜也称为偏转形状函数。

从这些数据2- - - - - -5,很明显,现有的偏转形状函数并不是足够精确描述夹正方形膜片的偏转概要设计空间内考虑这项工作。因此,使用它们,特别是[10,12),将导致重大错误如果用于(7)计算电容。

3所示。新的偏转形状函数

开发的新的偏转形状函数修改中给出的方程(5薄板的大挠度。后(5),严格的侧向和横向位移与sidelengths固支薄板和可以近似 在哪里和的位移在中间平面板吗和方向,分别和边界和消失代表了横向偏转。作为同时消失的边界,它的一阶导数,所有必要的边界条件施加的夹边是通过(8)。待定参数在(8)可以由应用虚位移原理和能量最小化方法(5]。然而,确定11个待定参数的计算是非常昂贵的,因为它将涉及11个非线性方程组的数值解利用逐次逼近的方法。最引人注目的特征(8多项式基函数)捕获的实际形状变形曲线的精度高于双余弦平方(10)或双正弦平方(11)功能和数量与中心的隔膜偏转后可以计算(2)。而不是试图确定11个待定参数通过求解十一非线性方程组每次利用逐次逼近的方法,简单明了的方法可以制定一个偏转的形状函数的基函数一样(8),然后确定一个或两个经验参数捕获十一个未知参数值的贡献为目标设计空间合理的准确性。这种方法后,审判偏转形状函数 一直在方括号中的第二项代表制定必要的调整来补偿多项式函数的偏差与实际偏差的形状。的系数可以确定任何目标设计空间与挠度试验得到的资料或通过比较有限元分析。调查试验的有效性函数(9(后),偏转概要文件获得9)= 0(虚线)和= 1.1(实线)比较图6FEA-determined偏转概要的多晶硅薄膜对小隔膜偏转(大约21%的膜片厚度)。从图可以看出,挠度试验后获得函数= 1.1显示了良好的协议与有限元分析得出挠度概要文件对于小隔膜偏转。

调查的有效性(9)膜片受到大的偏转,偏转概要文件的类似的情节比较多晶硅薄膜受到统一的压力172 kPa,有限元分析和试验获得函数(9)(虚线)和(实线),绘制在图7。最大的隔膜偏转将隔膜厚度的240%。它可以看到从图7,而对于,(9)预测偏转概要文件同意与有限元分析的结果,因为,它同意与有限元分析的结果。这些观察表明,尽管试验函数(9)提供了精度比,可以通过(10]或[12),通过调整可以进一步提高准确率并引入附加的条款(9)充分捕捉隔膜的非线性行为在大挠度。因此,一个策略被采用,以确定最优值与偏转概要文件获得以下(9)部分的有限元分析结果,然后介绍一个或多个条款(9)的偏差来补偿(9)从其余的有限元分析仿真结果。

通过仔细调查,确定第四阶项的形式()可以最小化的偏差的范围内。背后的基本原理是,由于高阶,这个词会为较小的值对挠度的影响可以忽略不计()。由于对称性,同理适用于隔膜偏转方向。这种方法后,一个新的术语介绍了(9)获得新的偏转形状函数 上述方程可以改写它的一般形式 的系数是可调节的设计空间。为目标CMUT设计空间(隔膜厚度1 - 3的范围μm和sidelength范围200 - 1000μ米),调查显示三个术语()(11)是必要的对于大挠度情况下只有两个术语()是必要的为小挠度情况下实现高度的准确性。指定的设计空间的参数,,被确定为 通过比较的结果(11)和三维有限元分析使用IntelliSuite广泛的设备规格和加载条件。

4所示。电容的计算

常用的平行板电容模型表达(7)不考虑边缘场效应。然而,作者的调查显示,与小sidelength膜片(毫米),边缘场电容的贡献增加,可以为膜片sidelength 100高达9%μ3 m和空隙μm。因此,有必要包括边缘场电容而计算的总电容CMUTs通常由膜片与sidelengths小于1毫米。

虽然一个精确的边缘场电容值只能通过求解泊松方程使用3 d领域解算器,一个近似的边缘场电容值可以通过修改公式提出了(15)之间的电容计算超大规模集成片上互连分开一个电介质在硅衬底的厚度,表示为 在哪里l的长度和W是金属互连的宽度,,在那里相对介电常数的介电层。的数量在(13)只是平行板电容。第二项在方括号代表边缘场电容由于互连长度(由于互连宽度(),第三项),第四项是由于互连厚度()。重新安排(13),边缘场的参数可以表示为一个函数的平行板电容形式: 在哪里平行板电容(),边缘场因子表示为

调查显示(15)可以用来计算一个严格加强广场的电容隔膜分开地平面的一个小空隙()。第三项(15)代表了边缘场电容由于隔膜的厚度可以被忽视的通量线来自隔膜两侧沿厚度将终止超出设备的背面电极的有效面积,因此,不会造成总电容。因此,对于一个正方形膜片sidelength,undeflected隔膜和背面电极之间的电容可以表示为

变形后,总电容也是由两个因素:平行板电容变形之间的隔膜和背面板可以计算使用(7)和边缘场电容。因此,变形后的总电容可以表示为

由于隔膜边缘严格固定,不接受任何变形和边缘领域被指控的贡献主要集中在边缘,边缘场的因素可以认为不变,尽管膜片变形和相同的公式(15可以用来计算)像以前一样。

5。有限元分析验证

5.1。挠曲形状函数

(我)在小挠度薄板
图8显示了1 FEA-derived-deflection剖面的对比μ米厚的多晶硅薄膜对小隔膜偏转(隔膜的厚度),绘制从中心到边缘的中点上设在,后获得新的(11)和现有的模型10,12]。隔膜规格表中列出1。图中显示优秀的协议之间的有限元分析和预测的新模型偏转概要文件获得在(11)。图9显示了新模型和有限元分析结果优秀的协议相同的隔膜偏转概要的沿着对角线从中心到右上角的隔膜。
类似的比较为3μ米厚的多晶硅薄膜受到外部压力200 kPa如图10(来自中心沿设在)和图11(对角从中心到右上角)。3其他规范μ米厚的隔膜表相同1。数据8- - - - - -11清楚地建立新的偏转后的挠度概要文件获得形状函数在小变形量与有限元分析结果基本一致。

(2)在大挠度薄板
对于大型变位,最佳匹配的有限元分析结果与新模型获得在(11)。数据12和13显示的比较FEA-derived偏转的1μ米厚的多晶硅薄膜与新的和现有的模型对大型隔膜偏转(隔膜的厚度),来自中心沿设在右上角和对角线的中心,分别。3类似的比较μ米厚膜片大挠度图所示14(来自中心沿设在)和图15(对角从中心到右上角)。之间的所有数据显示良好的协议新的偏转形状函数和有限元分析结果为薄和厚膜片在大的偏转。
图16显示了一个比较有限元分析和新模型的预测偏差1 -概要文件μ米厚的多晶硅薄膜在不同加载条件下导致中心挠度膜片厚度高达8倍。所有的情况下,设备规格表中列出1使用。结果仍在良好的协议,除了非常大的偏转(8次隔膜厚度),(11)预测偏转概要文件稍微偏离了有限元分析的结果。
图17显示了一个比较的有限元分析和新模型预测偏差1 -概要文件μ米厚的多晶硅薄膜不同sidelengths不同外部载荷条件。再优秀的有限元分析和新模型之间的协议是观察到除了隔膜与大sidelength (μ米),新的模型预测偏转概要文件稍微偏离了有限元分析。这些数据显然建立发达偏转形状函数(11)可以预测偏差的夹正方形膜片受均匀压力加载具有更高的精度比现有的模型提出了(10]或[12]。

5.2。电容的比较

电容值变形之间的隔膜和固定板隔开一个空气隙厚度μm计算使用(17)为不同的设备参数和材料属性在不同的外部压力。为了比较,偏转使用现有的挠度计算形状函数后(10,12)和新模型(11)。横膈膜中心挠度是由解决(2)。电容值从而计算三个偏转形状函数以及那些从3 d有限元分析在相同条件下获得列在下表中2和3小(),大(分别)变位。而获得的电容值后的新模型与有限元分析的结果对所有优秀的协议~ 1.5%的情况下,最大偏差,获得以下(10,12显示出较大的偏差。挠曲形状函数(10)结果低估的电容值的最大偏差~ 16%,而(12]的结果在一个高估的最大偏差~ 19%。值得一提的是这里的影响边缘领域,当忽略结果最大偏差~ 6%的电容值甚至新的偏转形状函数。

结果清楚地表明,电容计算的新模型,结合新的偏转形状函数预测CMUT设备的电容值与广场隔膜具有很高的精确度。是这里提到的三维机电分析模块IntelliSuite使用FASTCAP计算电容和FASTCAP在1%的实际值的准确性(16]。

6。实验验证

本节提供实验验证新偏转的形状函数和电容计算的开发模型。新的偏转形状函数进行验证实验偏转概要介绍在17)和开发模型对实验电容值的电容计算单片机MEMS电容式麦克风,测量了在不同偏置电压从0 - 100伏,在[18]。

6.1。挠曲形状函数

图18显示了新模型预测偏转剖面的对比实验得出挠度13的概要文件μ米厚的单晶硅膜,大小μ米²,一个统一的100 kPa的外部压力,提出了(17]。比较的目的,偏转概要文件后(10,12)也包括在图中。分析概要文件使用相同的中心偏转实验获得的。偏转概要文件之后,新模型与两个策划和,他们几乎互相重叠。由于大膜片厚度(13μ米),第三项(11)只有边际贡献的整体隔膜偏转。从图可以看出,新模型预测偏转资料密切关注实验资料对整个范围。然而,偏转概要文件后(10,12)大幅偏离实验剖面最大偏差在发生μm。估计偏差相对于实验值μ米三偏转后形状函数(10,12),这个模型是42%左右,分别为27%和4%。

6.2。电容的比较

为了验证电容开发模型计算的准确性,我们考虑的单片机MEMS电容式麦克风18]。它由一个3μ米厚的隔膜,大小,声孔分开刚性背面板电极和一个气隙约1μ米的密度声孔144 /毫米²。Al 64 GPa的杨氏模量,泊松比0.36,残余应力的估计约1500 MPa。图19显示了块实验确定电容值与偏压的麦克风说18(后)一起获得分析17使用不同的偏转形状函数)。

挠度的计算资料,实验确定中心挠度值在不同偏置电压获得(18]。由于声学黑洞的存在,实际电容之间的隔膜和背面板将低于电容隔膜如果没有漏洞。因此,考虑到这一事实,电容之间的隔膜和背面板计算第一个假设没有洞,然后等量的电容等于声学黑洞的面积减去获得总电容。这个过程,一个电容值2.13 pF undeflected隔膜,这是非常接近测量值2.12 pF(报道18),显示精度优于0.5%。电容值计算使用新的偏转形状函数(11)表现出与实验结果很好的协议的最大偏差测量范围的1.7%。

7所示。结论

高度精确的分析模型来计算电容CMUT设备夹正方形膜片受统一的压力加载已被提出。引入一个新的偏转形状函数更精确地计算正方形膜片的变形曲线,和边缘场效应纳入发达电容模型。新的偏转形状函数很简单,易于使用,适用于小型和大型隔膜变位。新模型预测偏差的概要文件是在良好的协议与实验和IntelliSuite有限元分析的结果。开发模型是用来计算变形小面积之间的电容隔膜和背面板固定在一个典型的CMUT装置广泛的几何、材料特性,和加载条件。电容值被发现是在良好的协议与实验和三维机电有限元分析使用IntelliSuite最大偏差与约1.7%的16 - 19%的偏差如果型号使用在其他地方。模型可以帮助改善CMUTs的设计方法和设计可以扩展到其他MEMS-based传感器膜片pressure-loaded广场在哪里使用。

确认

本研究支持了加拿大自然科学和工程研究理事会(NSERC)发现批准号RGPIN 293218和安大略卓越中心(奥西)批准号IC50659。作者想要大大感谢提供的额外的慷慨支持加拿大微电子公司(CMC微系统),沃本的智能感知软件公司,马,美国。

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