独立的量子系统的纠缠

文摘

国家的纠缠独立的代数中被认为是和等价条件代数中是独立的。

1。介绍

量子关联是最热门的话题之一,在过去的二十年里,许多学者致力于研究[1- - - - - -11]。在这篇文章中,最特别的量子系统之间的相关性研究,这是“独立”的纠缠状态密切相关。

国家纠缠在量子力学中,两个粒子的性质有一个共同的起源,测量一个粒子的确定不仅它的量子态,而且其他粒子的量子态,这是特点如下。

定义1.1。让和希尔伯特空间,,一个国家的被称为是可分离的如果是一个凸组合的产品状态,这是 否则,就是所谓的纠缠。

代数量子理论中,可以观察到的是由一个伴随算子代数。自然的一个有趣的问题。

问题1。在一个代数,通勤的条件是什么代数中和的纠缠状态下,可以认为,在哪里是代数生成一个可观测的。

请注意,问题是寻求通勤的条件代数和,这样适用。

事实上,条件是,和是独立的。

Haag和卡斯特勒12)引入了一个称为统计独立性概念。如果和表示生成的代数与两个量子子系统相关的可见,统计独立和可以解释如下:任何两个部分国家的两个子系统可以实现同样的制备过程。的统计独立和的类别代数称为独立,这是定义如下:如果任何状态在和在,有一个状态在,这样和,在那里表示unital代数生成的。

鲁斯(13)表征独立。他展示了如果和通勤的代数吗代数,然后和是独立的,当且仅当和暗示。后来,Florig和萨默斯(14)之间的关系进行了研究独立和独立和显示,如果和通勤的代数吗有限的代数,然后他们当且仅当它们独立独立,和是如果每一个正常状态独立在和每一个正常状态在,有一个正常的状态在,这样和。Bunce和Hamhalter15给了一些等价条件通过国家的忠诚代数。金等人在16- - - - - -18证明了如果和是子代数,他们是独立当且仅当任何可见和,,在那里符元组的共同数值范围吗可见,当且仅当和,,在那里是联合频谱。通过这个定理,我们知道美国“几乎”分离(即。,not entangled), which will be characterized and more detailed in the following.

的纠缠粒子是非常重要的,许多问题都是不同的两个粒子的情况下,如“最大纠缠纯国家”。考虑的纠缠粒子在一个代数,我们引入了独立代数中如下。

定义1.2。让是通勤unital代数的代数,在那里生成的可观察到的吗,他们是如果任何国家独立在,有一个状态在,这样。

学习独立的量子系统的纠缠,等价条件量子系统是独立的。

定理1.3。让是通勤unital代数的代数,在那里生成的可观察到的吗,然后下面的语句是等价的。(1) 是独立的。(2)对于任何, 在哪里表示联合数值范围。(3)对于任何,暗示。(4)对于任何, 在哪里表示联合频谱。

1.4的话。的定理,它是可分离的状态密集的状态空间,因为纯粹的状态对应点集的是一个密集的状态空间的子集。特别是,如果是有限维巴拿赫空间,每一个州的 是纯粹的凸组合状态,纯状态对应点的点质量,是纯粹的产品状态;因此没有任何纠缠态给了我们一些提示,是由那些nonindependent纠缠态和非交换可见。

2。一些引理和定理的证明

这是一个众所周知的结果由盖尔芬德和奈马克,如果是一个unital交换代数和是它的最大理想空间呢是等大的同构与。在的情况下被交换的正常操作符,表示最大的理想空间,共同谱是一组 联合数值的范围是一组 注意,联合数值范围是通勤的联合测量可见。这是所示(19),是一个非空的紧凑集。

引理2.1(见[20.])。让是一个通勤元组unital伴随运营商代数,然后 在哪里极端点的设置吗。

定理的证明1。3。(1)(2)让,这就可以证明 的定义, 它遵循的条件被独立,是一个国家,这样,这是,所以 因此
(2)(3)让是任何非零可见,然后,所以 由引理2。1, 所以有一个乘法的线性函数在,这样 因此 因此 这是。
(3)(4)这很容易遵循Urysohn引理。
(4)(1)由Gelfand-Naimark定理,代数生成的通勤可见是等大的同构与, 通过条件(4), 张量积的最小cross-norm。
让是任何国家,然后是一个国家,这是见过 是一个国家;因此,国家是一个国家,满足。

确认

支持的工作是中国自然科学基金(批准号61201084、61102149、61102149)和中央大学的基础研究基金(批准号打击NSRIF 2010057, HEUCF100604)。作者感谢教授w . Arveson大肠Karimi)教授和教授美国Gharibianthe有益的讨论。

引用

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