文摘
我们将演示如何快速构建量子纠错编码基于二次残留泡利阻塞变换。目前的量子编码有优势的快速设计从阿贝耳组织泡利阻塞矩阵的基础上,可以从二次残留产生的效率。
1。介绍
勒让德符号的应用已经在信号处理、通信、图像压缩、加密等等1,2]。
提供了一个有限域,欧拉准则勒让德被定义为象征
在哪里是一个奇质数的力量。也就是说,,如果对于一些元素,如果对于任何一个元素。基于二次残留,一个定义了一个矩阵
的元素。
引理1.1。两排,也就是说,为,它是
目前,惊人的发展在量子纠错码(QECCs)稳定器的就业形式,即码字子空间在希尔伯特空间由阿贝尔指定组。的问题构建QECCs减少寻找的古典dual-containing(或self-orthogonal)代码(3- - - - - -8]。这种方法的优点是,QECCs可以直接由古典密码与一定的财产,而不是从头开始开发一个全新的QECCs编码理论。不幸的是,需要dual-containing编码的量子编码理论提出了实质性的障碍,特别是在现代的背景下代码,比如量子编码(低密度奇偶校验7]。要解决这个问题,我们考虑建设QECCs有限域通过使用矩阵在(1.2)。也就是说,我们首先替换所有的条目泡利矩阵和获得泡利阻塞矩阵。之后,我们把这种大型泡利矩阵块的块矩阵使用递归技术的快速矩阵块变换(9- - - - - -12]。因为所有行操作从一排排的获得是独立的和交换,交换群可以优雅的生成。因此,生成的一种量子代码结构通过稳定剂形式主义。这种方法提供了极大的灵活性设计量子编码和大型代码长度,因此允许简单地采用低复杂度的一个优势。
本文组织如下。节2,三种泡利阻塞矩阵构造。节3根据泡利阻塞矩阵的性质,阿贝尔群可以生成效率。节4,我们调查基于稳定器结构量子码的形式主义。最后,结论部分5。
2。泡利阻塞矩阵
泡利矩阵已经被广泛应用于信号处理(11),量子信息和量子计算3,13),等等。在本节中,我们研究结构的几种类型的泡利阻塞矩阵根据阿达玛变换的结构基于这些泡利矩阵。
2.1。泡利矩阵
泡利矩阵的定义,在那里
在哪里。为简单起见,我们表示单位矩阵由一块矩阵在这纸上。
泡利矩阵中有以下基本性质:
2.2。泡利阻塞矩阵
定义2.1。表示,然后是一块泡利矩阵当且仅当所有条目吗属于,也就是说,。
基于矩阵在(1.2),我们提出几种方法泡利阻塞矩阵结构的任何两个条目。
建设。把一个矩阵在(1.2),它遵循两种泡利阻塞矩阵:(1)
,这是由替换”“在与和“”,(2)
,这是由替换”“在与和“”。
特别,一个实现了两种类型的泡利阻塞矩阵。
建设。如果对任何正整数,那么矩阵可以构造 在哪里表示,列向量的长度和是单位矩阵。因此,有两种类型的泡利阻塞矩阵:(1) ,这是由替换”“在与和“”,(2) ,这是由替换”“在与和“”。
建设。如果对任何正整数,然后一个结构矩阵通过替换”“在这个矩阵 与块矩阵和““矩阵,在那里 然后,有两块泡利矩阵:(1) ,这是由替换”“在与和“”,(2) ,这是由替换”“在与和“”。
2.3。泡利阻塞矩阵的快速建设
构建大订单泡利阻塞矩阵,我们先介绍两个矩阵的克罗内克积和,也就是说,
与滥用,我们使用符号表示克罗内克积”“在这纸上。
利用泡利阻塞矩阵的克罗内克积(9- - - - - -12泡利阻塞矩阵),一个家庭可能会延长。
定理2.2。假设和两块泡利矩阵。对于任何非负整数数字和,一块大订单夹克矩阵可能是构造(或分解)在以下方式:
证明。基于任意泡利阻塞矩阵大订单,泡利阻塞矩阵为可以通过使用递归关系: 在哪里和。据克罗内克积的性质,很容易计算 然后这就完成了这个定理的证明。
使用泡利阻塞矩阵在建筑1,2,3对克罗内克积(2.7任何大订单),泡利阻塞矩阵可以采用快速算法。该算法的计算复杂度是表所示1。
例如,建设描述了igure 1。根据表1,泡利阻塞矩阵的计算需要添加26和34乘法。与直接计算相比,该算法明显更快。
3所示。阿贝尔群基于泡利阻塞矩阵
让表示的倍张量产品(泡利的克罗内克积)操作符(矩阵)(13]。然后和可能的乘法的因素,形成一组量子位操作,用。一个任意的操作可以表达的独特
在哪里为。忽略的因素,我们表示由一个连接维向量(6]:
的汉明重量的数量是(),这样。辛的任意两个向量的内积和被定义为
在哪里和。根据(6),两个操作和当且仅当上下班
辛两个向量的内积是很重要的,因为它可以方便地用于寻找阿贝尔群的发电机。
假设一块泡利矩阵的每一行用为,一个量子位的操作,称为行运营商可以获得
基于属性的克罗内克积11,14,15),我们实现了交换性泡利阻塞矩阵的行运营商。
定理3.1。在泡利阻塞矩阵提出了建设1(也为建筑2和3),所有独立的行运营商是通勤,因此产生阿贝尔群。
证明。使用泡利阻塞矩阵通过用泡利矩阵构造的条目的阿达玛矩阵,运营商的所有行连接向量可以表示的(3.2),的矩阵因此可以构建。根据阿达玛矩阵的性质,很容易计算 这意味着所有的独立量子位的行运营商通勤(5]。
推论3.2。考虑到任何两个给定的泡利阻塞矩阵和,所有的独立量子位行克罗内克积的运营商通勤。
例3.3。我们考虑非零的平方和,因此,。一个矩阵的行和列被索引,一个获得
根据施工1,一个收益泡利阻塞矩阵:
采取和一个连接矩阵:
很容易检查运营商,这意味着三行
通勤。
另一方面,基于建设2,一个获得
泡利的块矩阵可以实现:
采取和一个连接矩阵:
它很容易检查所有行运营商通勤。
例3.4。根据与和,如果的行和列索引的,一个人
采用施工1我们得到泡利阻塞矩阵:
采取和,一个
这意味着五行符为和通勤。
此外,根据建设3和各自的在(3.14),一个获得一块泡利矩阵为和与连接矩阵表示为
很明显,所有的行运营商通勤。
4所示。稳定器量子编码
在本节中,我们构造量子编码通过使用泡利阻塞矩阵与交换行运营商,独立行运营商可以选择作为交换群的发电机。
给定一个阿贝尔群的,稳定器量子代码是一组量子位量子态与,也就是说,
子空间固定的吗(称为稳定剂)。对于一个稳定器量子编码,编码逻辑量子位元到物理量子比特,有尺寸和有独立的运营商。
构建这样一个量子代码,症结在于寻找一个交换群,稳定剂的代码可以通过(结构生成4所示。1)。
定理4.1。给定一块泡利矩阵用交换行运营商、稳定器量子代码可以采用参数的稳定剂是一组产生量子位的运营商独立的泡利阻塞矩阵的行运营商。
证明。假设有()独立的行。然后发电机的稳定剂可以通过选择生成从这些行独立的行提供。也就是说,任何运营商可以选择生成一个阿贝尔群: 这是一个本质上稳定器。利用(4所示。1),一个稳定器量子代码可以从生成。根据量子单约束提出了(6),接下去。这就完成了这个定理的证明。
例4.2。我们认为泡利阻塞矩阵在(3.15)连接矩阵在(3.16)。众所周知,所有行是独立的。因此,任何行,用,可以选择生成稳定剂与发电机。根据施工条件的量子编码(5),我们得到了量子码的生成矩阵令人满意的
可以写成
在哪里。构建这样一个量子代码,我们假设存在一个酉矩阵这样
根据(4所示。4),生成矩阵计算:
可以构造的量子编码的参数,,,,。
以量子代码作为一个例子,我们选择行生成矩阵:
从(4所示。4),我们得到
因此,量子代码可以由(4所示。8),的汉明重量可以计算的汉明重量位或与。
例4.3。假设,然后我们考虑泡利阻塞矩阵为和连接矩阵(3.17)。很明显,所有行是独立的和交换。选择任何()行运营商从,我们获得稳定剂,可以构造量子编码的参数,,,,,,,,,。
5。结论
家庭的量子密码研究与快速泡利阻塞转换利用二次残留在有限的领域。我们首先研究基于三种施工方法泡利阻塞矩阵与交换行运营商。那么大订单泡利块通过快速泡利矩阵结构构造块构造变换基于身份的递归关系矩阵和先后低阶泡利阻塞矩阵。这些泡利阻塞矩阵有这样的特性,所有行运营商是独立和交换,可以生成一个交换算子组。最后,一个有益的方法构造的量子编码建议通过稳定剂形式根据阿贝尔群从泡利矩阵块了。这段代码可以提供极大的灵活性设计量子编码通过实施提出了快速建设与大的块长度算法。
承认
这项研究受到了WCU r - 32 - 2008 - 000 - 20014 - 0 NRF,韩国。