应用程序的-Drazin逆热方程和延迟微分方程

文摘

我们认为的应用-Drazin逆一些类的抽象柯西问题,即热方程算子系数和延迟微分方程在巴拿赫空间。

1。介绍

在本文中,我们利用封闭的线性算子的广义逆Drazin获得显式两种类型的抽象柯西问题的解决方案。第一种是运营商的热方程系数。第二种类型是一个延迟微分方程。

首先让我们考虑运营商的热方程系数。让是一个希尔伯特空间中有界的线性算子和是一个全纯价值函数。下面的初值问题 研究了(1假设下)沃尔泰拉运营商,其虚部的跟踪类。特别是,它已被证明,如果quasinilpotent和虚部 跟踪类的,那么柯西问题有一个独特的全纯溶液在零附近。

我们学习上面的柯西问题的情况是一个积极的运营商,不是一个累积谱点的 。我们的结果是扩展的1)的类-Drazin可逆的运营商比这更一般的quasinilpotent运营商。

我们将显示如果是积极的,-Drazin可逆的系统解决方案 存在,是由一个显式公式。我们说一个函数 是解决上述初值问题如果它满足的偏微分方程 对于一些 , 与作为一个解析函数满足了界限 ,在那里和是一些积极的常数。

其次我们考虑下面的时滞微分方程 在巴拿赫空间 ,由Gefter研究和Stulova [2假设下)是一种可逆的线性算子的有界逆关闭 ;延迟项是一个复杂的常数,然后呢是一个价值全纯函数的零指数型。回想一下,整个函数是零指数型的,对于每一个 ,存在 这样 为每一个 。我们推广的结果(2)代替可逆的封闭的线性算子与一个-Drazin可逆算子。我们将显示如果是-Drazin可逆的和是整个函数的零指数型,然后延迟方程(3)一个完整的解决方案零指数型和它所表达的是一个明确的公式。

后(3),一个封闭的线性算子是-Drazin可逆的如果不是一个累积谱点的 。通过 , , ,和我们表示,范围,领域,零空间 ,分别。一个有界的线性算子被称为-Drazin逆的如果 , , 这样一个操作符是独一无二的,如果它存在,用 。从[3),我们有以下分解结果。

定理1。如果是一个巴拿赫空间-Drazin可逆算子 ,然后 , ,在那里是封闭的、可逆的,是有界和quasinilpotent直接求和,然后呢 此外,如果相对应的光谱投影吗 ,然后 。

上述结果对我们的分析是至关重要的。

2。解决方案与正算子系数热方程

在本节中,我们获得一个分析的解决方案(2),推广了[1,定理),运营商的系数被假定为代替quasinilpotent -Drazin可逆的。

定理2。让是一个封闭的积极的运营商-Drazin可逆的,是一个解析函数满足约束条件的, 对于一些正的常数和 。然后系统(2)有唯一解的公式 在哪里 ,代表了产生的线性有界算子半群 ,和代表一个有界算子这样 。

证明。自是由定理-Drazin可逆的,(1), , ,在那里是可逆的关闭,是有界的quasinilpotent直接求和。因此问题(2)有唯一解当且仅当每个下面的两个初始值问题都有一个独特的解决方案 和 ,分别。 自运营商是正的,这是自伴的。因此,自伴的,虚部的是零。应用(1,定理)问题(8), 是问题的唯一解8)。接下来,我们将展示 是问题的唯一解7)。操作员表示一个操作符这样 。这样一个操作符的存在保证的积极性 。
自是正的, ,这意味着 。因此,存在常数 和 这样 观察到上述不等式减少热方程的分析与经营者系数的标准热方程标量系数 这允许我们用标准的结果与标量系数热方程问题(7)。特别是,使用过去的不平等,界限 ,和热方程的基本解,一个可以区分下积分的积分,并验证 , 和所有收敛。使用的导数半群 ,它是简单的检查 满足的偏微分方程(7)。此外, 唯一的解决办法如果吗 , 。
自 和 ,我们获得

应用上述结果可以说明了 在哪里 更多细节关于这个运营商我们参考读者4,389页)。

3所示。解决延迟微分方程

在本节中,我们获得一个全纯时滞微分方程解决方案(3)。结果推广了[2,定理]。

定理3。让是一个封闭的线性算子-Drazin可逆的,是一个完整的零指数型的函数。然后(3)有一个零指数型解决方案给出的公式 在哪里 和是th原始的 ;也就是说, 。

证明。自是-Drazin可逆的, , ,在那里是封闭的和可逆的有界和quasinilpotent直接求和。因此(3)有解当且仅当每个下面的两个初始值问题有一个解决方案 和 ,分别。 自运营商是封闭的,可逆的,应用(2,定理)(17),我们有 问题的唯一解(17)。接下来,我们将展示 是一个零指数型解决方案的问题(18)。后(2,引理),我们首先表明如果是零指数型那么 。让 零指数型和 。自 为每一个 , 对于一些 。让 ,我们有 现在,修改的证明(2,定理)与th导数所取代th原始 , 通过和通过 ,我们获得的融合和它的总和是零的整函数指数型。简单的检查,无限的总和是一个解决方案(18)。自 和 ,我们获得

4所示。结论

节2我们已经获得热方程的唯一解算子系数 ,这被认为是自伴的和积极的希尔伯特空间。我们的结果扩展了(1,定理在这个意义上是代替quasinilpotent -Drazin可逆的。节3我们得到一个明确的解决方案为延迟微分方程奇异算子系数。我们的结果扩展了(2,定理在这个意义上是-Drazin可逆的,而不是通常意义上的可逆的。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

引用

1. Gefter和a . Vershynina”全纯解沃尔泰拉的热方程算子系数,”功能分析和拓扑的方法,13卷,不。4、329 - 332年,2007页。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
2. Gefter和t . Stulova”解决方案零指数型的非齐次差分方程在巴拿赫空间”进展和挑战在动力系统中,激飞程序在数学和统计数据54的卷施普林格Proc。数学。统计。施普林格,页253 - 263年,柏林,德国,2013年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
3. j。j Koliha和t . d . Tran的Drazin逆封闭线性算子的渐近收敛-半群。”《华尔街日报》的算子理论,46卷,不。2、323 - 336年,2001页。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
4. t·加藤微扰理论的线性算子卷,132经典数学施普林格,柏林,德国,1995年。视图:MathSciNet

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