文摘
提出了一种解决方案的稳定性和轨迹跟踪quadrotor系统使用模型预测控制器设计使用一种叫做拉盖尔函数的正交函数。quadrotor派生的线性模型和使用的。检查控制器的性能我们比较它与线性二次调节器和更传统的线性状态空间政策委员会。在MATLAB模拟轨迹跟踪与稳定执行和结果提供。
1。介绍
quadrotor是一架直升飞机,有四个等距的转子,通常安排在广场的角落的身体。当这些转子旋转时,他们推动空气向下,在此过程中创建一个推力,使quadrotor高空。与传统的直升机(有两个转子),需要一个挡板机制为了有更多的自由度,这类机制以来quadrotor系统不需要两个额外的转子提供相同级别的控制,与传统的直升机固定挡板机制。
任务控制quadrotor从根本上是一个困难和有趣的问题。有六个自由度(三个平移和三个转动),只有四个独立输入(转子速度),表演严重欠。为了实现六自由度,旋转与平移运动耦合。由此产生的动力是高度非线性,特别是在会计的复杂空气动力的影响。最后,与地面车辆,表演几乎没有摩擦,防止他们的运动,所以他们必须提供自己的阻尼为了停止移动并保持稳定。这些因素加在一起,创建一个非常具有挑战性的控制问题。
2。文献综述
在许多控制技术用于quadrotor控制PID,货币政策委员会等,最近已被广泛使用。
在PID控制是最受欢迎的选择几种类型的过程,事实证明,优化成为一个巨大的挑战尤其是像quadrotor MIMO系统。许多技术已经被用来划分quadrotor几个输出系统控制问题。虽然这工作在某些情况下,它必须指出,这需要走的最自然的方式控制系统和设计许多输出控制器可能会使维护更加困难。
等方面是一个相对现代控制方法非常强大但仅限于应用线性系统模型是可用的。使用这个方法来控制非线性系统线性模型必须获得相应的非线性模型。评估等控制器的性能,我们需要比较它与其他控制技术的结果。这意味着设计相同的系统使用另一个控制技术可麻烦。正因为如此,等本质上是非常受欢迎的使用线性系统或使用其他控制技术控制获得的结果可供比较。
另一方面,货币政策委员会可以处理线性和非线性系统(1]。比较之间的非线性系统及其相应的线性模型可以很容易地用很少的修改。PID相比,为复杂的MIMO系统调优MPC甚至更容易。
然而,在试图跟踪参考轨迹的最佳方式,同时遵守限制MPC更比PID或计算等方面。这个计算负担使得货币政策委员会不太适合于“快速”的过程。它需要非常强大的处理器硬件实现中使用。毫无疑问很多努力被放在减少计算以便MPC更快更容易实现即使在低成本的处理器。
在[2王]提出了一种设计MPC使用正交函数的方法。这种方法使得计算低于传统货币政策委员会。减少数量的计算可以使用这种技术在快速系统动力学是必需的。我们将使用这个方法在我们的任务控制quadrotor使用货币政策委员会。
其他应用MPC quadrotor可以在找到3,4]。在[4)控制结构包括一个基于MPC控制器跟踪参考轨迹和基于非线性的第二个控制技术稳定旋转运动。同样在3MPC控制器是用来控制位置,和第二个前馈控制器用于执行quadrotor系统的稳定。
在这两个(3,4控制回路使用两个控制器:基于MPC控制器用于跟踪参考轨迹的位置和第二个控制器使用其他技术(设计)用于稳定的旋转运动。摘要MPC是用来控制位置和旋转运动。这是有利于均匀性和易于维护。
3所示。Quadrotor的运动学和动力学
由12个州quadrotor完全描述。第一个六个州描述quadrotor的平移运动。这些国家是,在惯性坐标系和代表位置,这表示速度矢量沿车身骨架。同样的,其余六个变量描述旋转运动。这些都是,,通常被称为欧拉角,,这表示角速度。
quadrotor的自由体图如图1。力和时刻(,)产生的转子角速度可以被描述作为和,分别。同样,扭矩,和推力(与转子的角速度 在哪里和quadrotor是手臂的长度。
(一)
(b)
的运动学方程描述quadrotor给出 在哪里,代表,代表,代表。同样,动力学方程可以用牛顿运动定律推导中列出 在哪里,,各自的惯性矩的是什么,,quadrotor的轴。的模拟控制器quadrotor我们考虑,,,作为系统的输入。
3.1。线性化
为了设计一个线性控制器是至关重要的(2)(3)简化为线性的。滚,音高,航向角被认为在非常小的角度(5导致以下:
4所示。控制器设计
为了控制的态度(,,),高度()、位置(,),我们提出一个控制架构图2我们利用MPC设计三个控制器。控制器产生的态度,,致动器的信号而高度控制器为系统生成所需的推力。位置控制器控制位置和方向和生成控制信号和,当结合信号作为参考信号控制器的态度。
在下一节中我们观察三种控制器的设计。
4.1。离散化
在本节中,离散时间状态空间方程所需高度,位置,姿态控制。
以下4.4.1。高度控制器
负责高度控制的线性方程 这两个方程可以组合给下列二阶歌唱: 这可以简化为二阶的颂歌 在哪里或。方程(7)可以写成状态空间形式在以下方程: 使用向前欧拉方法和选择一个采样间隔,我们可以表达(8在离散形式 美国和分别代表了位置和速度,我们可以选择一个合适的输出矩阵这取决于我们要测量状态。在本文中,我们感兴趣的位置,因此,我们将使用输出矩阵。
4.1.2。位置控制器
负责的位置和速度控制方程方向 这两个方程可以组合给二阶歌唱: 类似的方程负责的位置和速度控制方向 产生二阶歌唱: 方程(11)和(13)可以组合在一起,形成一个状态方程等 正如之前提到的,我们可以用欧拉方法来表达(14)的离散形式。考虑 美国和代表这个职位而和代表着速度。因为我们对这个职位感兴趣,我们将使用输出矩阵但是我们可以用一个不同的如果我们感兴趣的速度输出矩阵。但重要的是要注意,我们不能使用或由于没有保证我们能够独立控制每个测量输出为零稳态误差。这是通常的一个系统输入,输出,(6]。
4.1.3。态度控制器
在姿态控制我们感兴趣的是控制辊、沥青和偏航(标题)这样我们负责指导quadrotor生成适当的扭矩信号所需的方向与所需的态度。负责卷控制方程 这两个方程可以组合给二阶歌唱: 同样负责球场的方程给出 产生二阶歌唱: 也负责标题的方程表示为 像在横滚和俯仰,产生二阶的颂歌: 方程(17),(19)和(21)可以合并和写在状态空间形式 在哪里,,所需的扭矩给所需的卷,球场上,分别和偏航。
再一次,使用向前欧拉方法我们表达(22)的离散形式 因为我们感兴趣的测量,,中,我们将使用输出矩阵。
到目前为止,我们已经制定了必要的方程用于构建三个控制器。图2以框图的形式展示了,到目前为止我们所做的。但这并不是故事的全部。在下一节中,我们将看看如何模型预测控制应用于使用离散状态空间方程quadrotor系统在本节规定。
5。模型预测控制
的许多原则部署在控制复杂系统如quadrotor使用MPC是使用模型,减少计算负担是必要的在网上实现。也同意线性模型在这方面有更好的表现比他们代表的非线性模型。在这和后面的部分qudrotor控制器的性能设计使用Laguerre-based MPC (LMPC)而设计使用更常见的线性状态空间方法提出了(7]。我们将调用线性状态空间方法SS-MPC。
5.1。线性状态方程MPC (SS-MPC)
线性状态空间MPC是使用一个线性状态空间建模和植物的关系使用线性等式和不等式约束建模。当结合凸二次成本函数这意味着可以获得所需的控制作用,在每个取样间隔,通过相应的二次程序的解决方案。这是有吸引力的,因为二次程序可以有效地解决在线(7]。代表SSMPC总体框图如图3。
5.1.1。植物
植物建模状态空间系统:使用以下 在哪里状态噪声和吗是测量噪声。这两个和被认为与零均值高斯分布,各自的协方差的和,交叉协方差。这在数学上表示为
5.1.2中。观察者
使用高斯假设上面说可以做出最佳预测使用卡尔曼滤波器的状态和输出 闭环增益发现通过求解离散代数黎卡提微分方程(敢):
5.1.3。最优状态估计和输出
表示状态的最优估计的一般方程和书面的初始状态和未来的控制输入是由 同样的输出方程 包含所有输出向量的向量可以写成 虽然这包含所有控制操作可以写成 因此,我们可以写作为 在哪里
5.1.4。成本函数
货币政策委员会的主要目标是拒绝干扰同时跟踪参考信号。但在每一个瞬间,确保控制信号是在合理的范围内,实际为驱动。一个目标函数,结合这两个任务 这两个和被认为是对称的正定。
5.2。Laguerre-Based MPC (LMPC)
使用拉盖尔函数模型预测控制的设计开发和总结(2]。作者提出这个变量和多变量系统的设计技术。幸运的是,推导过程的变量和多变量的情况非常相似,知道人会给足够的洞察力的推导过程。为简便起见只给出了变量的情况下,希望这是足以提出LMPC设计技术。
考虑一个植物,输入,输出,状态描述(35),下标代表模型 在哪里是输入变量,过程输出和状态向量。是输入扰动和被认为是一种集成的白噪声序列。
(描述的植物35)可以表示增广状态空间形式2,6] 在哪里,,,国家。是一个零均值白噪声序列与差分方程的扰动有关吗(6]。
5.2.1。设计框架
在设计使用拉盖尔函数MPC控制轨迹表示使用一组正交函数叫什么拉盖尔函数。因为国家和输出向量的描述也可以,因此,他们也可以使用拉盖尔函数表达。
在采样时刻的状态变量可以通过测量。未来的控制轨迹是由 在哪里控制层。
拉盖尔函数可以近似增量中包含的条款。的-transfroms离散的拉盖尔函数可以写成 在离散时间拉盖尔(网络38),的极是离散时间拉盖尔网络和稳定的网络。的参数被称为比例因子和是拉盖尔的数量条款中使用的网络。请注意, 与第一项。
让是逆变换的在离散拉盖尔网络和th术语向量包含所有逆变换的条件。然后利用(39),连续逆变换向量是通过差分方程: 矩阵有大小和是一个函数的参数和。由初始条件 的情况下,矩阵和初始条件是 分别。
在采样时刻,使用拉盖尔函数描述的控制轨迹 在哪里与预测地平线,用于扩张和条款是逆变换的届任期在离散拉盖尔网络。
方程(44)可以写成 在哪里,,系数从系统获得数据。
在未来任意时刻,使用拉盖尔函数描述的状态 同样,被描述为输出
5.2.2。成本函数
成本函数用于选择最优控制轨迹将预测输出尽可能接近点。成本函数 最小化置位点之间的误差信号和输出在最短的时间内通过仔细调整权重矩阵和。
5.2.3。成本函数最小化
的状态变量(46)可以写成 在哪里。
5.2.4。滚动时域控制
在滚动时域控制(RHC)只有第一项,也就是说,在即时实现。其余的序列将被忽略。只有最近的测量是采取形式计算控制信号的状态向量。重复这个过程实时给滚动时域控制律(6,8]。
5.2.5。稳定
在稳定性分析,我们利用指数数据加权技术起源于由安德森和摩尔(9)和应用MPC (6]。更具体地说,我们将专注于离散指数因子在哪里采样间隔和离散加权形成一个等比数列。
拟议中的成本函数类似于一个用于线性二次调节器(等)系统,但包含离散的权重 为指数权重,,,更注重当前状态少强调后续的未来状态。
指数加权成本函数可以表达更简洁 用状态方程 和和。
与,,最小化代价函数相当于DLQR问题解决了使用代数黎卡提微分方程(54)。这一对被认为是可控的,可见,。然后有一个稳定的状态反馈控制增益矩阵, 出一个稳定的闭环系统,其所有特征值在单位圆和描述的闭环系统 从(55),转换后的系统在单位圆通过它所有的特征值。所以 这给了 因此,通过选择有一个伟大的机会,系统是稳定的。几个quadrotor系统上的仿真表明选择略大于团结使系统稳定的几乎所有的时间。
6。仿真参数和结果
为了说明控制器的稳定性,我们将检查如果三种单个控制器的特征值出现在一个单位圆。我们将使用一个轨迹三维平面检查整个控制器跟踪期望轨迹的能力。
表1显示的参数quadrotor用于仿真。
6.1。稳定性分析
在本节中,我们看看LMPC特征值的位置,检查他们是否落在单位圆内系统的稳定性。我们还从系统最优DLQR所得结果进行比较。以确保稳定的部分5.2。5我们使用。
通过观察图4我们注意到所有的特征值出现在单位圆。也从LMPC获得的特征值匹配的最佳DLQR。这不仅显示了系统是稳定的,也显示了控制器执行优化。
6.2。轨迹跟踪
在本节中,我们看看LMPC当用来跟踪性能的3 d轨道。相比也LMPC SS-MPC和个人状态轨迹。轨迹的起点最后一点是。参数而。参见图5。
显然LMPC和SS-MPC跟踪期望轨迹。参见图5,6和7。然而,LMPC执行比SS-MPC,它只需要五个参数()来捕获控制轨迹SS-MPC相比至少25 ((见表)参数2的关系和与)。
(一)
(b)
(一)
(b)
6.3。控制层之间的关系和
控制层()相关参数和(2),
6.3.1。常数
因此我们可以增加控制地平线通过增加参数没有必要改变订单。
再。恒定控制的地平线
假设我们想要达到一个控制地平线,我们通常选择一个参数因为它是一个整数,直接定义的顺序离散拉盖尔网络。Therefater,我们简单地使用(58)找到对应的比例因子如表所示3。
数据8,9,10,11,12,13比较两个LMPC设计这两个产生控制30的地平线。一个设计使用和其他。因此我们可以选择较低的拉盖尔网络术语(计算出低负担),但与一个更大的比例因子达到相同的控制层。计算成本较低,如果使用较少的参数。为,只有一个拉盖尔术语是用来捕获控制轨迹需要九拉盖尔术语来捕获相同的控制轨迹。
7所示。结论
本文提出了解决稳定与轨迹跟踪quadrotor系统使用一个模型预测控制器设计通过使用一种特殊的正交函数叫做拉盖尔函数。二次成本函数类似于用于线性二次调节器(等)已经被使用。在稳定性分析LMPC比较最优DLQR系统而在轨迹跟踪LMPC比较流行的线性状态方程MPC设计技术的植物使用线性等式和不等式约束建模。模拟的结果表明,该控制器执行很好,被认为是可行的。这种感知LMPC可行性提供了额外的好处,它可以处理系统快速采样和需要更复杂的过程动力学(5,10]。通过选择适当的值和LMPC减少了参数的数量需要准确预测当使用传统(MPC)的方法。这是一个巨大的优势,减少了参数的数量,在线实现可能,传统的MPC就失败了。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
这项工作是由韩国国家研究基金会(NRF)授予由韩国政府(最高明的)(没有。2013 r1a2a2a01068127也没有。2013 r1a1a2a10009458)。