文摘
利用循环代数C-KdV层次结构,可积耦合及其bi-Hamiltonian你获得的结构方案和二次形式的身份。该方法可用于生产可积耦合和其他可积系统的哈密顿结构。
1。介绍
可积耦合孤子理论的一个新课题;特别是,寻找新的可积耦合哈密顿结构更为重要。一些已知的可积耦合可积的层次结构。但是他们的哈密顿结构尚未提出因为存在一个限制在跟踪标识到二次形式标识(1)和变分身份(2提出了]。在这篇文章中,一个高维李代数和循环代数构造(3,4]。在你的帮助下计划(5)和二次形式的身份,C-KdV层次结构以及它的可积耦合bi-Hamiltonian结构产生。
2。半直接的和李代数的基本原则
让是一个真实的或复数域上的线性空间一起乘法,对任何,如果满足(1)分配律 (2)乘法交换性 然后,被称为代数。
李代数是一个在数域代数,如果其乘法满足以下:(1)双线性 (2)反交换的 (3)雅可比的身份 在哪里表示的乘法, 。李代数的乘法叫做谎言的产品。一种最重要的代数躺在可积系统,在那里表示矩阵的顺序在数域。
满足对于任意的李代数;然后叫做理想。
李代数被称为简单的李代数如果有和0作为理想,没有其他谎言理想。半单李代数可以写成 在哪里是简单的李代数。我们已经知道,,都是半单代数撒谎已经研究了很久以前嘉当[5]。我们也知道李代数可以写成 在哪里是半单代数和撒谎可解李代数(3,6,7),表示半直接求和。我们可以将上面的基本原理应用于可积耦合系统。
3所示。C-KdV层次结构
首先,让我们回忆的建设C-KdV层次结构(8,9]。考虑的基础上 循环代数提出了为。
读取C-KdV谱问题 在设置,解决固定零曲率方程, 产生 光谱的相容性条件问题 确定C-KdV孤子方程的层次结构 在哪里
4所示。一个新的可积耦合C-KdV的层次结构
在下面,我们扩大李代数成一个更大的一个下面的李代数: 我们一起交换关系如下: 采取和,很容易验证 在哪里是半单代数和撒谎可解李代数(3,6,7]。
的李代数,我们构建了循环代数如下(4,10),与交换关系如下: ,,当,,当。的帮助下上面的方程,我们考虑一个摘要的问题: 集 解决固定零曲率方程(10)许可证 在哪里,,,非零常数。
假设;然后(10)可以写成 直接计算读取 取;零曲率方程 相当于 在哪里和哈密顿运营商。
从(22),一个递归运算符得到满足吗 在哪里 很容易验证 因此,层次结构(26)是刘维尔可积。采取,,,(26)降低(13)。根据可积理论,层次结构(26)的可积耦合C-KdV层次结构。此外,在以下部分,我们将指出存在bi-Hamiltonian结构构建的谎言循环代数。
5。Bi-Hamiltonian结构的层次结构(26)
让 我们有=。
接下来,从,我们得到 求解矩阵方程为产生了 所以我们有。
直接计算读取 在哪里和。
用上述公式二次形式的身份收益率 系数的比较导致双方的上述方程 修复我们把上面的方程和发现。
所以 系数的比较双方的上述方程 在这种情况下,我们有。
所以 因此,bi-Hamiltonian系统的结构(26)是由 从系统(26),我们很容易给以下方程:
6。结论
一方面,我们获得一个新的可积耦合C-KdV层次通过扩大更大的李代数。另一方面,bi-Hamiltonian C-KdV层次结构的可积耦合结构观察到使用二次形式的身份。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
支持的部分项目是中国自然科学基金(批准号11271008),一流的学科在上海大学,上海大学。