磁流变阻尼器半导体悬架系统的非线性动力学分析

摘要

本文探讨了非线性振荡器的动态行为，该行为模拟了道路轮廓强制的四分之一车。通过采用改进的BOORC-WEN Force-Vlocity建立了磁流变（MR）悬架系统（F-v)的磁流变阻尼器模型。采用非线性稳定性分析的方法，发现磁流变悬架存在混沌运动的可能性。通过数值计算检测到的分岔图和相应的Lyapunov指数(LE)谱图，可以观察到不同路况激励下交变周期振荡、准周期振荡和混沌振荡的复杂动力学行为和振荡机理。以及倍周期分岔、鞍节点分岔和反向倍周期分岔对混沌的动力学演化过程。

1.介绍

磁流变液(MRF)是一种悬浮的微米大小的磁性颗粒在载体流体。磁流变液在磁场作用下，流变学发生了从自由流动的牛顿液体到屈服强度可控的半固态宾汉的连续可逆变化，称为磁流变效应[1.–3.］．基于磁流变阻尼器的磁流变阻尼器(MRD)在许多领域都具有有效的减振前景，如基于磁流变阻尼器的半主动悬架系统，在提高车辆的平顺性和操纵安全性方面受到了广泛的关注[4.–6.]然而，由于磁流变阻尼器具有高度的非线性特性和典型的滞回特性导致的混沌运动，因此在控制磁流变阻尼器以获得优异性能方面仍然存在许多挑战。

近几十年来，磁流变悬架的研究主要集中在半主动控制算法上。许多新的想法被提出，如“天钩”控制或基于人工智能的控制，并已在实际的运载工具中实现。然而，由于磁流变悬架的非线性特性，可能会存在混沌行为，目前对这一问题的研究还不够深入。李等人[7.[通过衍生Melnikov方法验证了滞后特征的非线性悬架系统中的混沌运动，并通过鉴定甜瓜纲要方法验证了Quasipheri周期到混沌的路径。SIEWE SIEWE [8.[，]应用多尺度方法分析了具有周期激励路面轮廓的四分之一车系统的局部分岔，发现系统存在共振和反共振现象以及鞍节点分岔等多种非线性行为。Litak等人[9]使用Melnikov分析理论，预测了在由谐波和噪声组成的路面轮廓下，单自由度（DoF）车辆模型可能过渡到混沌运动的最低临界振幅。Luo和Rajendran[10]通过建立映射结构，对单自由度半主动悬架模型的周期运动和稳定性进行了研究，并采用分段线性方程建立了MRD模型。但以上模型都是简单的单自由度模型，由于忽略了车轮运动，与实际情况有很大的不同，这可能解释了在[中出现了不可能的0.4 m振幅。9］．因此，Borowiec和Litak [11]应用Melnikov理论和递推方法研究了一辆2自由度四分之一汽车，并找出了其向混沌的过渡。在早期的研究中，悬架系统由于其简单性，大多被视为单自由度系统。此外，MRD的计算模型大多采用多项式或分段线性模型[9]，而Bouc-Wen模型被认为可以很好地描述MRD的动态性能[12–14］．基于Bouc-Wen模型的磁流变悬架系统由于模型结构复杂，目前还没有系统非线性动力学研究。

在本文中，从实验结果中，使用作者提出的修改的BOUC-WEN模型来建模这样的商业MRD。建立了2-DOF模型以表达MR悬架系统，通过采用鉴定结果。根据稳定性标准分析系统的稳定性，并且通过在不同的道路轮廓下绘制频率响应，分叉图和相位肖像来确定MR悬架系统的所有可能运动。计算Lyapunov指数（LE）以检测混沌运动。具有功率谱密度组合的时间序列用作特殊系统参数的辅助手段。

本文的结构如下。在部分2.在第二节中，采用改进的Bouc-Wen磁流变液动力学计算模型，建立了二自由度磁流变悬架系统的动力学模型3.，通过计算不动点雅可比矩阵的特征值来分析系统的稳定性。然后进行了数值计算，确定了动力特性，并进行了稳定性分析。综合的数值结果包括频率响应、分岔图、相平面图、庞加莱图和时间序列;从而揭示了混沌运动的转变过程。最后，本章给出了研究结论4.．

2.四分之一轿车半主动悬架系统动力学模型

２.１.力学模型与公式

在图1.，季度MR悬架系统的经典动态模型[15]提出了一种新的磁流变阻尼器，它涉及车辆的主要部件，如车身、悬架弹簧、磁流变阻尼器和车轮。其中，只有磁流变阻尼器具有很强的力滞后和饱和非线性。其他部件已通过线性化处理。和定义为簧下质量和非簧下质量。,,代表悬架刚度，直接驱动电流和MRD的产生阻尼力。和表示轮胎等效刚度和阻尼系数,,分别定义为簧上和簧下质量的路面激励和垂直位移。根据牛顿第二运动定律，动力学方程表示为

2．2.MRD的改进Bouc-Wen计算模型

准确、实用的MRD动态模型对MRD的应用至关重要。然而，目前还没有公认的MRD动态模型。其中，相对有效模型包括Spencer的Bouc-Wen模型和基于Bouc-Wen的现象模型[14］．数字2.给出了典型Bouc-Wen现象模型的结构，准确地描述了磁流变仪固有的滞后非线性特性。但由于模型中的线性输出项只是表示阻尼力与控制电流之间的关系，因此无法描述磁场的非线性响应和饱和特性。因此，作者引入了sigmoid函数来改进传统的Bouc-Wen现象模型[16］．通过将滞后特性与电流调制分离解耦，有效地解决了这个问题: 在哪里和表示分别为驱动MRD的直流和其最大值，以及．为作者提出的饱和非线性直流控制函数,,因为．为屈服被动阻尼力，滞后量取决于活塞相对位移速度MRD的．为MRD的活塞行程，和内部变量是否没有单位，和,,,,,,,,,,,,分别是常数。

如图所示3(一个)，该车辆悬挂系统的CARRERA镁质MRD则从[16]，这允许最大控制直流0.5 A处于12 V [16］．根据MRD的实测特征数据，将模型参数识别为84.1,528.1,0.092,.526,.069，0373.7，33849.1,816.9,368.7,222.7,,0.6,04。数字3 (b)给出了修正Bouc-Wen滞回曲线的比较在1.5 Hz振幅12.5 mm的谐波激励和不同的直接驱动电流(0-0.4 A)下，模型和候选MRD的测试数据表现出理想的协调。

从上述结果可以看出，MRD具有明显的强非线性特性。由于阻尼力依赖于驱动电流和励磁频率，因此曲线在不同的驱动和激励曲线下变化明显[17]因此，在工程应用中，滞后引起的非线性行为不容忽视。

3.磁流变悬架的非线性动力学特性

稳定性无疑是汽车悬架控制领域的关键要求。在以往的研究中，通过与传统被动悬架的振动传递率和振动幅值的比较，更重视磁流变悬架的综合性能。在这里，非线性动力响应和失稳过程的机理是需要解决的问题。

在本节中，根据现代控制理论和非线性动力学理论对MR悬架进行稳定性分析。在无量纲非线性模型的平衡状态下，检查MR悬架系统的稳定性。进一步，进行分岔分析，结合LE评估，以描述非线性动力学此外，还绘制了相图和庞加莱映射图，给出了系统在不同激励条件下更直观的响应。

３．１．稳定性分析

时间系数的定义，其中，运动的相应无量纲方程式被写为[7.,10] 在哪里为道路剖面的无量纲形式。状态空间定义为,在那里,,,,,．状态空间从(5.),这是 分别。

在不考虑激励输入的情况下，我们进一步得到系统的状态方程，如下所示：(1.) (7.)： 在哪里

系统参数根据实际车辆选取[15]：62.5公斤,0公斤,7000 N / m,85000 N / m,00 不适用·．无论MRD的半主动控制如何，驱动电流都是恒定的.5 A等模型参数如上所述。通过设置(8.)为零时，就得到平衡。显然，系统有一个不动点，其稳定性由雅可比矩阵的特征方程(10):

矩阵的特征值(10)计算为,我,,,,．请注意,和有两对共轭复根吗是积极的,是零，因此系统在．

此外，由于上述六维系统中存在二次项和绝对项，很难得到解析解。因此，通常采用数值方法来分析这类系统。考虑到应用背景，车辆行驶过程中道路轮廓的频率和幅值范围是确定的，通常在15 Hz以下，10 cm以下[4.–6.］．我们采用共谐激励作为路面。它表示为，其中表示路面的粗糙度，以及是角频率．道路激励的无量纲形式为．针对这种特殊的复杂系统，应用了以下非线性动力学分析方法:(1)通过获得频带响应，找出系统对相应道路轮廓的敏感区域。(2)通过绘制分岔图，研究了不同道路参数下系统的非线性动力学特性。结合计算得到的LE谱，可以进一步确定系统在相应道路轮廓下的混沌运动。(3)基于上述分析，利用相平面图、时间序列和临界参数下系统响应的功率谱生动地描述了动力学演化过程。

3.2。数值效果

众所周知，振动系统的动力学可以通过频率响应图进行分析[18.］．因此，对于所研究的系统，通过绘制簧载质量的振动幅值来获得频率响应表达．此外，LE光谱[19.，用来揭示系统频率响应的细节。数字4(一)给出了模型的频率响应，包括道路的通频带，图4 (b)也给出了LE谱。这条路频率以0.001 Hz的增量缓慢增加。如图所示4(一)存在系统响应的临界跳.752 赫兹[20.]在共振点附近。跳跃现象导致运动发生变化，但系统保持稳定，如灰色阴影所示。然而，图中显示了更复杂和不同的行为提高到2.71 Hz，在短时间内恢复稳定。与增大时，系统处于2.75 Hz ~ 4 Hz的不稳定区域，表明当在该区域内或附近，如红色阴影所示。如图所示的LE谱证实了这一点4 (b)．该图说明了在红色的不稳定区域中的Le光谱中存在正界面，这表明了混沌的存在。接下来，频率响应返回到正常，所有LES小于零，这表明系统保持稳定至15Hz。

参数变化下的分岔图和最大LE图是分析非线性动力行为的有效方法。数字5.给出了分岔图和相应的LE图，有在上述不稳定区域变化。通过绘制位移的频闪点得到分岔图因为对车辆的安全至关重要。如图所示5(一个),当.08 Hz时，系统失去周期1稳定性，从周期1分为周期2运动。对于2.08-2.74) Hz时，系统的周期2运动通过倍周期分岔发展为周期8。此外，有趣的是，复杂运动发生在(2.439-2.488)，最大LEs为正。同时，需要注意的是，分岔图中的点仅限于包络曲线，分布并不广泛。因此，这一领域的确切动态行为将在稍后确定。接下来，在陌生区域短暂停留后，系统恢复到周期运动，直到.719 Hz，通过从周期-8到周期-2的反倍周期分岔。但系统经过周期2运动后直接进入混沌状态，如图所示5 (b)，最大的le osw。什么时候2.78-4）Hz，周期性运动，周期 - 加倍分叉和混沌动作出现，并且系统遭受鞍节点分叉。除了混沌运动开始的阈值之外，还有一些“周期性窗口”，这可能是瞬态混乱的特征。马鞍节点分叉点之前和之后的最大LES在标志中相反。然后，对于超过3.73Hz的较大频率，不再有“周期性窗口”，呈现到截止值的截止值在模拟。在图5 (c)，我们可以观察到系统通过反向时期加倍的分叉来逃离混沌以定期运动。

为了更清晰地描述动态行为，我们用线来描述相图和点来描述庞加莱图[21.］．数据6(一)–6 (h)显示以下道路频率的结果： （一种）5赫兹;(b)2赫兹;（C）点赫兹;(d).245赫兹;(e).471 赫兹；（f）8赫兹;(g).071赫兹;(h)2赫兹;(我).75 Hz，振幅固定在0.08米。位移和速度采用。表现为周期动态响应，包括周期-1、周期-2、周期-4和周期-8。在图6(一)，根据庞加莱映射的单环圆和单点，提出周期1运动。将周期-1运动依次替换为周期-2、周期-4、周期-8运动，证实了分岔过程的分析。数字6（e）显示位于的相平面.471 Hz在上述奇怪区域。请注意，即使包含大量闭合曲线，相平面仍保持规则，且庞加莱图包含有限的点。为了验证动态行为，在上述奇怪区域，我们绘制了时序图，并计算了功率谱密度（PSD）图为.4617 研究表明，当系统落在奇异区域时，存在周期和混沌共存状态[22.]，如图所示7.．数字6 (f)揭示了混沌吸引子，因为相平面和庞加莱映射都在相空间中不规则分布。在混沌区域，通过相平面画像和庞加莱映射确定鞍节点分岔，如图所示6 (g),6 (h),6(我).注：如图所示6(我)，一个新的混沌吸引子存在为，与Figure ?相比，覆盖面积更大6 (f)．这意味着振动幅值随着路面激励频率的小幅增加而迅速增大，不利于行车安全。

路面振幅在车辆动力学分析中也是非常重要的。数字8.说明了不同路面激励幅值下，路面幅值对系统动力学、全局分岔图和LE谱的影响。振幅从0.005米到最大0.1米不等，包含正常道路状况和频率固定在5hz。可以观察到位移和速度展示周期性响应，包括周期1、周期2和周期4运动，直到道路振幅增加到.0315 m。数字9表示对应的相图和庞加莱图0.001 m、0.02316 m、0.02720 m、0.06 m。相平面和庞加莱图绘制在图中9(一个),9 (b),9 (c)，证实了如图所示的倍周期分岔过程8(一个).注.02720 m时，出现了一个极限圆，对应于图中周期-2过程中的跳跃现象8(一个). 当路面激励的振幅增加大于.0315 m时，系统从图中进入混沌区域8.因为LE的最大值变为正数。另外，如图所示9 (d)的相平面和庞加莱映射.06 m变得不规则。系统保持混沌运动，悬架振动幅值远远大于持续极限，严重威胁车辆的操纵安全。

以上分析结果是对道路剖面下发生混沌的一组参数的完整描述。该分析方法对悬架参数的估计具有一定的指导意义，可避免车辆在运行过程中出现不可预知的混沌现象。

4。结论

本文研究了MRD实际应用中的非线性动力学问题。基于商业MRD的已确定数据建立了二进制MR车辆悬架。通过在固定点计算雅加诺矩阵的特征值，发现了系统中混沌运动的可能性。然后通过数值模拟确认理论分析。在单频谐波激励下，用频率变化分析非线性动态演化过程。主要结论是，通过时期加倍分叉，鞍座节点分岔和逆时间加倍的分岔，通过动态演变，在中频带和高幅度的道路表面附近出现了系统稳定性的丧失。这些显示参数激励在MR悬架系统中的振动中的重要性。该研究为工程应用中的非线性动态分析和控制方法提供了参考。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

致谢

国家自然科学基金资助项目(no. 51475246, no. 51277098, no. 51075215);江苏省自然科学基金资助项目(no. 51475246, no. 51277098, no. 51075215)。BK20131402)。

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