非对称并联机器人手腕的运动学和动力学

抽象的

本文介绍了一种非对称并联机器人手腕，该手腕能产生解耦的无限扭转运动，实现了较高的定位精度。对机械手的运动学、灵巧度和奇异度进行了研究，实现了机械手性能轮廓的可视化。利用拉格朗日乘子法，在考虑所有移动部件的情况下，推导出了机械臂的运动方程，从而有效地研究了机械臂的动力学特性。对所建立的动力学模型进行了数值说明，并与简化公式进行了比较，以表明其计算精度。

1.介绍

并联腕式机构，也称为球面并联机构(SPMs)，已经在相机定位中得到了应用[1，微创外科[2]腕关节[3.多亏了他们的大定向工作空间和高有效载荷能力。由于SPM可以产生三次纯旋转，另一个潜在的应用是它可以作为复杂表面加工的工具头。然而，一般的SPM只能在规定的倾斜角下产生有限的扭转运动，而在一些常见的材料加工(如铣削)中需要无限的扭转。载于[3.]可以达到无限的扭转，而其独特的结构引入了复杂的输入机构。此外，一般的SPMs定位精度较低[4没有球窝关节作为旋转中心。提出了一种非对称并联机器人手腕，该手腕能产生无限扭转运动，且定位精度更高。该机械手采用万向节作为转动中心，中心有输入轴支撑，简化了机械手结构。

SPMs在许多方面都得到了广泛的研究，如工作空间[5，6,灵巧7- - - - - -9],奇点[10]，僵硬[4，11]，以及类型综合[12- - - - - -14］.这些性能标准可分为两类:一类与机械手的运动学性能有关，另一类与机械手的动静态/动态性能有关[15］.在运动学考虑，反映形状，大小和奇点存在的工作空间的质量是机械手设计的首要重要性。另一个最重要的问题是灵巧度，它通常是通过运动雅可比矩阵的条件数来评估的。另一方面，SPMs的动态特性受到的关注相对较少。腕式机构用于开发主动球面关节时，其动力学特性是其设计和应用的重要内容。推导运动方程最常用的方法有递归牛顿-欧拉法和拉格朗日方程[16- - - - - -18，已经被应用于不同的并行机器人。递归牛顿-欧拉法包括两个步骤:第一步是向外递归，计算从底部到末端连杆的速度和加速度;第二步是向内递归，计算从末端连杆到基座的关节处的力和力矩。由于虚拟工作的原则，staiku [19]用这种方法推导出敏捷腕关节的逆动力学[11］.机械手的运动方程也可以用拉格朗日方法配制，其中包括两种类型：一个，其中一个具有依赖坐标，另一类具有独立坐标[20.］.本文采用第一种类型来开发动态模型，采用拉格朗日乘法器的方法。

介绍了一种非对称并联机器人手腕，并对其进行了运动学/动力学分析。给出了灵巧度在工作空间上的等值线，并对其奇异性进行了分析。利用拉格朗日乘数法，在考虑所有移动部件的情况下，推导出机械臂的运动方程，从而有效地计算出机械臂的功耗。对所建立的动力学模型进行了数值说明，并与简化模型进行了比较。

2.机械手在研究

所提出的非对称手腕机构如图所示1(一)，其移动平台（MP）通过轴承由外林和内振铃组成。外圈的取向由两个R在本文中，R、U和P分别代表转动关节、万向关节和移动关节。,an underlined letter indicates an actuated joint) legs and constrained in a vertical plane by a fully passive RRU leg or an alternative RPU one. Through a U-joint, the decoupled rotation of the inner ringer is driven by the center shaft that supports the MP to improve the positioning accuracy. This manipulator can generate an unlimited torsion, which can be used in milling and work as an active spherical joint.

坐标系统为机械手制作如图所示1 (b)，其原点位于旋转中心，即点．三个转动关节的轴thRRR腿平行于单位向量，,,分别。这两条腿都具有相同的近端和远端弯曲链路和．基本平台定义为和，定义移动平台上的连接接头为．

3.机械手运动学

移动平台外环的方向由欧拉角呈现，其旋转矩阵表示为．因此，内环的取向可以用卡丹角来描述它产生旋转矩阵，输出轴表示为， 在哪里．

在规定的坐标系下，单位向量是派生

单位向量中间转动关节的轴这条腿表示为 在哪里和分别代表正弦函数和余弦函数。

单位向量顶级旋转关节腿是一个功能的外圈定位: 在哪里上转动关节的轴的单位矢量是多少当移动平台在它的home配置时，腿。

3.1。逆几何

根据下面的运动学约束方程， 球面三角方程thRRR腿写成 与

输入角位移可解为 解决（5)，逆几何问题有四个解对应于四个工作模式，其特征为符号的．在这里,选择“Mode”作为工作模式。

根据U-Conn的运动[21，输入角度中心轴的源自如下：

３.２．运动学的雅可比矩阵

区分(4)和(8）关于时间，角度率和输入速度之间的关系衍生成 与

由于角度率可以转化为角速度，即， 操纵器的运动雅可比矩阵表示为

等式（9)或将移动平台的内环的运动与输入角速度联系起来。

３．３．机械手的运动

本节给出了机械手移动体的速度方程，通过对速度方程对时间求导，可以推导出加速度方程。

3.3.1。MP外圈

由于移动平台的外环的分离运动，可以从中提取其角度率（9） 如下： 另一方面，角速度，可以通过(4)，即， 根据(11)，则存在以下关系:

3.3.2。活跃的腿

指图2(一个)，速度中间关节的这条腿是用下面的公式找到的: 消除和，点乘方程(16）双方收益率 远端连杆的角速度参照系中的腿被发现为 可通过以下变换矩阵在局部框架中进行cast:

3.3.3。被动的腿

由于被动腿的运动限于垂直平面内，故将被动腿考虑为平面四杆机构，如图所示2 (b)，其输入/输出(I/O)方程可写成无量纲形式[22]： 与 区分(20.)与时间的关系导致 与

知道这件事之后，，,，耦合器连杆的线速度和角速度和可以找到。

4.SPM的工作空间、灵巧性和奇异性

工作空间(WS)是最重要的设计问题之一，因为它定义了机器人/机械手的工作体积，并决定了位于移动平台或末端执行器上的参考系所能达到的面积[23，24］.工作空间的大小和形状对于机械手的整体几何性能评价至关重要[25］.工作空间大小可以由其几何形状参数定义，如圆柱形/球形工作空间的半径或立方体工作空间的立方体侧面。在本文的范围内，将球形帽定义为和在图中3.被视为常规工作区(RWS)。

4．1.灵敏度分析

灵巧是另一个最重要的关注，通常由运动雅可族矩阵的条件数进行评估。对SPM的研究表明较小的角度可以达到更好的灵巧度[6，9］.数字4展示了基于工作空间的2范数的雅各比亚矩阵条件数量的分布，其中，．这些性能轮廓表明具有不同设计的机械手的Dexterous WS区域。

为了评估常规工作空间的运动性能，一个常用的指标是全局条件调节指数(GCI) [7］.GCI在工作区上定义，在实际中采用离散方法计算，即 在哪里为离散数。由上式得到的指标为算术平均数，可以用二次平均数代替，以更好地指示灵巧性;随后，GCI被重新定义为 因此，GCI为图中的六种设计4的计算方法见表1，由此可见，第四种设计的GCI值最大。

4．2．奇异性分析

从图4，可以看出，除图外，等值线的最小值均出现在工作空间中心区域4 (e)，它暗示了可能的奇点。由于中心轴的输入/输出是解耦的，对奇异位形没有影响，因此采用(14),即

对于I型奇点，当矩阵中至少有一个对角元素时发生等于零;也就是说，一条腿的近端和远端连接是共面的，导致 在哪里．与（3.)，并求解每条腿的三个(超定)方程，即输入角度和欧拉角和可以计算来描述奇异构型。取图中的参数集4作为例子，奇点的情况不存在;的情况下时，我们发现解和对应于这条腿是明确的是受其运动范围的影响吗，或,，如图所示5．

由正雅可比矩阵可知，当远端杆面法线呈线性相关时，即两个远端杆面与移动平台共面时，SPM处于II型奇异点 同样地，与…相比2),角，,可以通过求解这六个超定方程组得到。数字6举例说明了二类奇点的两个例子，其中这种类型的奇点在第二个设计的工作空间中不存在。

根据以上分析，虽然在图中设置了参数4 (e)结果表明，该方法的GCI较低，无奇异性的规则工作空间比其他设计方法大得多。这意味着和更大的可以使机械手具有更好的工作空间性能。

5.机械手的动力学建模

为了有效计算功耗，将所有的移动体都考虑在内进行动力学建模。所研究的SPM的动力学可以用拉格朗日方程求解[20.)如下: 在哪里是系统的拉格朗日，包括移动平台和三条腿，和．此外,外力的矢量是矢量吗表征执行器扭矩。矩阵为系统约束雅可比矩阵，由速度方程(9),即 因此，得到约束矩阵为．此外,是拉格朗日乘数的向量。

5．1.移动平台的拉格朗日

由于移动平台的内外环之间存在解耦旋转，因此移动平台的拉格朗日包括以下两部分: 在哪里和表示内和外圈的质量惯性矩。

5.2。活动腿的拉格朗日

由于SPMs的所有活动体都围绕旋转中心旋转，从本节推导出的活动腿的运动３．３．2的拉格朗日这条腿的推导如下: 与 在哪里近端连杆的质量转动惯量是多少和远端连杆的质量是关于点的惯性矩吗．此外,和表示分别的近端和远端链路的质量的中心和．

让为中心轴的转动惯量，其拉格朗日量表示为

5.3。被动腿的拉格朗日

推导出被动腿的拉格朗日公式为 在哪里，和，连杆的质量和转动惯量是多少和,分别。

将之前的拉格朗日量代入(29)，该动力系统运动方程中的各项[20.可以导出。有一个外部力矩向量时，作动器转矩表示为

6.数值模拟

按照章节规定4，机械手的动态特性与参数图4 (d)将通过模拟展示，其中尺寸和质量特性如下: 基于运动和动态模型，逆动态仿真具有低/高速运动，由以下两个轨迹定义： 图中显示了移动平台和两个轨迹的速度和加速度7(一)和7 (b),分别。通过对比发现，当机械手在高速运动时，输入速度的差值会减小。因此，对执行器的输入要求将更加各向同性。

相应的仿真结果，通过图示出了不考虑被动和远端链路的简化模型的比较8和9．结果表明，被动连杆和远端连杆的重力和惯性力对两个并联作动器的输出力矩和功率影响较大，特别是在灵巧度较差的区域。在某些方向上，完成模型的致动器扭矩/功率的大小小于简化模型，原因是连杆重力作用于致动器的扭矩与加速度方向相同。另一方面，由于自由度的解耦，重力和惯性力对第三作动器的影响较小。

数字10演示当机械手用外部力矩跟踪第二个轨迹时执行器的扭矩/功率作用在移动平台上的笛卡尔空间。它说扭矩/功率分布非常接近;因此，简化后的模型可以用来近似外界力矩比惯性力影响更大时的机械臂动态特性。三种情况下对第三执行器的扭矩要求最小，但其输出功率在三种执行器中最高。

7.结论

本文介绍了一种具有大方向工作空间的非对称并联机器人手腕。其独特的结构使机械手可以产生解耦的无限扭转旋转，保证了较高的定位精度。该机械手既可作为铣削等复杂表面加工的刀头，又可作为主动球面关节工作。

研究了所提出的操纵器的运动学性能，并在进一步研究中可视化工作空间的灵敏度的性能轮廓。此外，通过求解几何约束方程来分析奇点。使用Lagrange乘法器的经典方法，导出了研究中的操纵器的运动方程。考虑到所有移动的机构，以有效清楚地描述这种动态系统。数值模拟表明，一些忽视中间体重量的简化模型不能适当地对系统的动态表征。开发的动态模型可用于致动选择或动态评估。将来，将进行操纵器的最佳设计以改善灵敏度和减少能量消耗。

命名法

：	机器人系统的拉格朗日
，，：	内/外环的角速度和th远端链接
：	致动器扭矩的矢量
：	无源腿的四杆连杆的输出角度
：	内环的角速度
，	内环的正、反运动学雅可比矩阵
：	约束雅可比矩阵
	运动学的雅可比矩阵
，：	外环的正、反运动学雅可比矩阵
，	移动平台的内外环的旋转矩阵
：	转变矩阵th远端链接
：	输入轴的单位向量th腿
：	中间转动关节的单位向量th腿
：	上转动关节的单位向量th腿
：	的输入角。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

参考

1. C. M. Gosselin和J. F. Hamel合著的《敏捷之眼:一种高性能的三自由度相机定向装置》IEEE机器人与自动化国际会议论文集，卷。1，PP。781-786，San Diego，Calif，USA，1994年5月。视图:出版商的网站|谷歌学术
2. T. Li和S. Payandeh，“用于腹腔镜手术的球形并联机制设计”Robotica，第20卷，第2期。2，页133-138,2002。视图:出版商的网站|谷歌学术
3. H. Asada和J. Granito，“腕部关节的运动学和静态特性及其优化设计”IEEE机器人与自动化国际会议论文集，第244-250页，1985。视图:谷歌学术
4. 吴刚，白淑珍，“具有柔性臂的球面并联机器人的移动平台中心位移，”机制和机器理论，第75卷，第12-26页，2014。视图:出版商的网站|谷歌学术
5. “一种三自由度球面并联机器人的运动学优化设计”，机械设计杂志号，第111卷2，第202-207页，1989。视图:出版商的网站|谷歌学术
6. S. Bai，“规定工作空间的球形平行机械手的最佳设计”机制和机器理论第45卷第5期2，页200-211,2010。视图:出版商的网站|谷歌学术
7. C. Gosselin和J. Angeles，“机器人操纵器的运动优化的全球性能指数”，机械设计杂志，第113卷，第113期。3，页220-226,1991。视图:谷歌学术
8. 白淑珍，“一类具有欧拉参数的球面并联机器人的建模，”Robotica，卷。27，不。2，pp。161-170,2009。视图:出版商的网站|谷歌学术
9. G. Wu，“具有运动动态灵巧的3 rrr球形平行机械手的多目标优化设计”，建模，识别和控制第33卷第3期3，页111-121,2012。视图:出版商的网站|谷歌学术
10. I. A. Bonev和C.M. Gosselin，“球形平行机构的奇点基因座”IEEE机器人与自动化国际会议论文集，页2957-2962,2005年4月。视图:出版商的网站|谷歌学术
11. F. Bidault，C. P. Teng和J. Angeles，“使用两级方法的球面平行机械手的结构优化”ASME设计工程技术会议和计算机和工程会议信息的诉讼程序，第215-224页，美国宾夕法尼亚州匹兹堡，2001年9月。视图:谷歌学术
12. X. Kong和C. M. Gosselin，“三维自由球形平行操纵器的合成”，国际机器人研究杂志，第23卷，第2期。3，页237 - 245,2004。视图:出版商的网站|谷歌学术
13. G. Gogu，“全各向同性三自由度平行手腕”IEEE机器人与自动化国际会议文集(ICRA’07)，第895-900页，罗马，意大利，2007年4月。视图:出版商的网站|谷歌学术
14. M. Karouia和J. M. Hervé，“非对称三自由度球面并联机构”，欧洲力学杂志：A /固体，第24卷，第2期1，页47-57,2005。视图:出版商的网站|谷歌学术
15. S. Caro，D. Chablat，R. Ur-Rehman，以及P. Wenger，“3-PRR平面平行机器的多目标设计优化”全球产品开发，A. Bernard，Ed。，PP。373-383，Springer，柏林，德国，2011年。视图:谷歌学术
16. R. N. Murray, Z. X. Li, S. S. sstry，机器人操纵的数学介绍， CRC出版社，1994。视图:MathSciNet
17. R.费瑟斯通和D.奥林，《机器人动力学:方程和算法》，载IEEE机器人与自动化国际会议论文集(ICRA’00)，第826-834页，2000年4月。视图:谷歌学术
18. j .洛杉矶机器人机械系统基础:理论，方法和算法，春天，纽约，纽约，美国，2007年。视图:出版商的网站|MathSciNet
19. S. Staicu，“敏捷腕部球面并联机器人动力学的递归建模”，机器人技术与计算机集成制造，第25卷，第2期2, pp. 409-416, 2009。视图:出版商的网站|谷歌学术
20. J. G. de Jalon和E. Bayo，多体系统运动学和动力学仿真:实时挑战，施普林格，纽约，纽约，美国，1994。
21. http://en.wikipedia.org/wiki/universal_joint.．
22. F.弗罗伊登斯坦，“四杆机构的近似综合”，共振，第15卷，第5期。8，第740-767页，2010。视图:谷歌学术
23. R. E. Stamper, l - w。Tsai，和G. C. Walsh，“为条件良好的工作空间优化的三自由度平移平台”，在IEEE机器人与自动化国际会议论文集，卷。4，PP。3250-3255，Albuquerque，NM，美国，1997。视图:出版商的网站|谷歌学术
24. X.-J。刘建军，王建军，k.k k。哦，还有J. Kim，“一种设计带有理想工作空间的DELTA机器人的新方法，”智能与机器人系统学报第39卷第3期2，页209 - 225,2004。视图:出版商的网站|谷歌学术
25. P. Wenger和D. Chablat，“一种新型并联机床的运动学分析:正交滑动”，载机器人运动学研究进展，J.Lenarčič和M.M.Stanišić，EDS。，PP。305-314，Springer，阿姆斯特丹，荷兰，2000年。视图:谷歌学术

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