改进的价值在-风险的异方差过程及其覆盖概率

摘要

在金融风险管理通常使用的风险度量，即价值在险价值（VaR），进行了研究。特别是，我们发现了异方差工艺使得它的（条件）覆盖概率接近标称值VaR的预测。要做到这一点，我们注重估计变化的影响，如渐近偏差和均方误差。数值分析进行说明这计算为自回归条件异（ARCH）模型，可观察到的波动类型模型。在比较中，我们发现风险价值的潜在波动率模型，即随机波动的自回归（SVAR）模型。研究发现，估计可变性的效果显著获得的VaR预测有更好的覆盖。另外，我们可能只能评估无条件覆盖概率的VaR预测SVAR模型的。这是由于该模型的波动过程中是不可见的。

一。介绍

风险管理和风险度量已成为金融和精算从业人员以及学术界讨论的重要课题。他们努力寻找更好的风险模型，并将其应用于实际问题。在这个领域中，一个具有挑战性的课题是寻找风险价值（VaR）及其准确性评估。VaR可以简单地定义为资产收益率分布的分位数，条件是最后一次观察，例如[1个]。事实上，风险价值是一个代表可容忍的最大收益损失或投资组合收益的价值;因此，VaR的计算可以乘以投资组合的市场价值，见[2个]. 这一价值对于金融机构的资本储备至关重要。它也可以作为一个警报，以避免更严重的金融风险。

从统计学的角度来看，VaR预测是对未来观测的预测上限(上限)概念的一种应用，它给出了损失的一组随机变量。假设是由参数向量确定的概率分布的随机损失序列θ.可用的损失数据 .在本文中，我们所关注的一个共同的风险度量金融风险管理，即价值在险价值（VaR）。具体来说，我们的目标是发现使得其具有覆盖范围（条件）概率等于α,也就是说, 哪里最新的先前信息n个. 众所周知θ，很容易找到a满足这个条件的。实际上，θ是未知的。估计的预测通过替换获得的θ由一个估计量 .这样的覆盖概率可能不够，除非n个是非常大的。它可以示出的（条件）覆盖概率不同于α通过 .

我们采用Kabaila和Syuhada的方法[三,4个]修改估计值预测得到改善具有更好覆盖特性的预测，即它不同于α通过 .要改进这一点预测方面，我们需要评估估计变量如渐近偏差和均方误差的影响。什么时候？是极大似然或条件极大似然估计量，这种渐近（条件）偏差可以使用[5个]。

本文考虑寻找一类异方差过程的估计和改进的VaR预测。特别地，我们讨论了自回归条件异方差（ARCH）和随机波动率自回归（SVAR）模型。众所周知，这两个模型的主要区别在于波动函数，ARCH模型具有可观测的波动函数，而SVAR模型中的波动函数仍然是随机的或潜在的。因此，我们得到了只依赖于ARCH模型的最后一次观测的VaR预测。此外，SVAR模型的VaR预测方法与ARCH模型有很大的不同。此外，SVAR模型的估计和改进的VaR预测只能通过无条件覆盖概率进行评估。

本文的其余部分安排如下。剖面图2个描述估计和改进的VaR预测的理论背景。章节中给出了一类异方差过程和ARCH、SVAR模型的VaR预测计算三和4个，分别是。

2.估计和改进的VaR预测的描述

风险价值（VaR）是指在给定的显著性水平下可容忍的最大损失。让表示估计的VaR预测。该预测的准确性可以通过其覆盖率(条件)概率来计算: 其中期望是关于 ,鉴于之前的信息是及时的n个.计算 （2个)，我们推导出以下泰勒展开式: 哪里表示右第个组成部分我们用过爱因斯坦求和符号。可以看出，估计变量的影响对VaR预测的覆盖度(条件)概率有显著的贡献。如[5个,6个], 哪里是预期的信息矩阵。由此得出的是

为了得到一个改进的VaR预测，我们遵循Kabaila和Syuhada的方法[三]. 定义

因此，命令 , .改进的VaR预测，表示为 ,是 覆盖（条件）概率等于 .我们开始通过查找 通过仿真。我们在接下来的两节做了ARCH（1）和SVAR（1）工艺。我们的目的是为了说明在获得这两个过程的预测价值中的不同方式。我们可能只能够计算为SVAR过程预测的VaR无条件的覆盖概率。

三。ARCH（1）过程估计和改进VaR预测的计算

考虑拱门（1）过程满足 对于所有整数t型，其中独立一致分布式和 .我们使用Kabaila的模拟算法演示了VaR预测的计算[7个]用于计算一些特定类型的条件期望。

给出了可估计的VaR预测 哪里 是 .为了找到改进的VaR预测，我们需要找到 ,为并规定 .我们首先观察到 并用Kabaila方法进行仿真估计[7个]如下所示。

定义 和 .条件期望(11个)等于 哪里 和 .让表示的概率密度函数是的，条件是 ,评估时间是的. 可以证明 哪里 表示的概率密度函数 ,评估时间十.

该模拟用于估算θ由米独立模拟运行，其中千个运行包括以下步骤：步骤1：模拟观察的 步骤2:计算和存储和

估计θ是

这个估计的标准误差是用Kabaila定理4.2得到的[7个]。

我们通过仿真来说明估计和改进的VaR预测的计算。我们采取以下情况： , ,和 .预估的0.95 VaR预估 .估计VaR预测的条件覆盖概率是用模拟运行。由此得出的估计(11个)为0.9423，标准误差为0.00019。改进后的0.95 VaR预测因此估计为0.7173。估计的标准误差(11个)表明，这一估计导致了对改进的VaR预测的足够准确的估计。注意，计算是使用MATLAB和MATLAB统计工具箱进行的。

四。SVAR（1）过程的VaR预测及其覆盖概率

波动性建模的另一个过程是随机波动性自回归（SVAR）过程。与ARCH不同，SVAR过程具有潜在的波动函数。然而，从理论上讲，SVAR（1）模型是真实金融市场中收益行为的一个很好的表示。

本节的目的是寻找这种SVAR过程的估计和改进的VaR预测以及它们的覆盖概率，最重要的是，展示SVAR模型在寻找VaR预测方面与ARCH模型的不同之处。具有覆盖概率的可取性α对于SVAR过程的VaR预测还没有被很多学者讨论过。SVAR上的大多数文献都研究了参数估计方法，在预测均方误差的背景下估计波动率和/或评估波动率预测。

我们考虑如下所示的SVAR(1)模型。假设在时间资产收益率t型，我们假设平均收益为零。分布 ,以方差为条件，均值为零且方差为正态 ,哪里遵循一阶自回归过程或AR（1）过程。换句话说， 为 ,其中，s为独立同分布的（独立同分布）和的是独立同分布 .的数组的和是独立的。让 是SVAR（1）模型的参数，其中δ是持久性参数，而表示波动性冲击的波动性。这里，我们仅限于SVAR（1）模型是协方差平稳的情况，即持久性参数 .正态性的假设可以通过使用其他发行版来放松，例如，[八]与SVAR正态分布相比，who证明了重尾分布SVAR的优势。当两种情况都采用高斯分布时和 ,我们称之为“高斯SVAR（1）模型”

我们开始发现VaR预测如下。考虑平稳高斯SVAR(1)模型的情况，即，持久性参数和和是和 分别分布。无条件分配是 ,哪里和 .我们观察到 哪里是标准正态分布的累积分布函数（CDF）和 表示的无条件概率密度函数（pdf）五.

定义 同时定义作为解决方案z轴的 ,即。，

对于指定的估计量 ,我们将获得 ,这就是“估计VaR预测”

积分的定义评价 分析起来并不简单。尽管如此，我们可以用下面的数字来计算。首先，我们对这个积分进行截断。下界和上界被设置为和 ,分别是，其中千是一个正整数。因此，截短的误差以上由界

如果我们将 ,例如，截断误差的上界是 .另外，如果我们截断的积分与下界和上限 ,即。， ,然后我们得到了以上为界的截断误差 .第二步是进行数值积分通过数值解 .

现在，为了计算改进的VaR预测，我们首先观察到 和以前一样，我们通过模拟估计这个（无条件的）期望。

定义 ,让 是概率密度函数 .改进的VaR预测是由

蒙特卡罗模拟估计得到估计和改进的VaR预测如下。我们首先运行一个平稳的带有样本大小的高斯SVAR(1)模型的模拟数据和参数 .采用最大似然有效重要抽样（ML-EIS）方法进行参数估计，并使用模拟运行以获得 .

对于上述的一次模拟运行，我们得到 .相应的估计0.95var预测是通过评估 通过其中的数值积分的数值解计算 为z轴. 结果估计的0.95var预测是2.28。注意，在求积分的时候因此截断积分的误差在 ,它相当小。

我们通过使用作为模拟的“真实参数值”。我们开展模拟运行。这些模拟是用来估计的以显而易见的方式。改进的0.95var预测 ,与估计的0.95var预测有显著差异 .

4.1。数值插图

为了清晰地描述上述VaR预测方法在实际应用中的设置，我们提供了一个VaR预测的数值研究，特别是在广义ARCH和SVAR模型的情况下(以及波动率模型的一些扩展。， GJR广义拱和阈广义拱)和一些分布假设。我们使用了2007年1月1日至2016年12月10日期间的纳斯达克和纽约证券交易所的数据(YahooFinance)，包括2516次观察。对于不同的结果，波动率模型的选择可能不容易，因为涉及到附加到模型的特性的影响(表)1个).

5.结束语

估计变差和改进变差的计算可以扩展到两个不同的方向。首先，正如Dendramis等人指出的那样。[9个] So和Yu [10个]例如，它适用于具有重尾分布的波动率模型，例如t型以及GED模型，以及捕捉杠杆效应和非对称性的模型，如指数广义ARCH或GJR广义ARCH。第二个方向是采用保证或满足一致性的调整VaR预测。一些可能的风险度量包括修改VaR以外的观测值平均值或涉及其他相关观测值。

数据可用性

纳斯达克(NASDAQ)和纽约证交所(NYSE)从雅虎财经(Yahoo Finance)获得的数据被用来支持这项研究的结果。

披露

本文发表在2015年第九届加尔各答概率与统计国际三年研讨会上。

利益冲突

作者宣称，他们没有利益冲突。

致谢

作者感谢Paul Kabaila教授(拉筹伯大学)的深入讨论。感谢万隆理工学院对“Riset ITB”的资助。作者还要感谢Evi Lestari在实际数据计算方面的帮助。

参考

1. P、 Christoffersen和D.Pelletier，“风险价值回溯测试：基于持续时间的方法”杂志金融计量学的卷。2，没有。1，第84-108，2004年。查看位置：发布者网站|谷歌学术搜索
2. M、 王伟成，王振华，“银行市场风险管理：风险价值预测准确性的启示”预测杂志卷。22，没有。1，第23-33，2003。查看位置：发布者网站|谷歌学术搜索
3. P. Kabaila和K. Syuhada，“增强现实的预测极限(第页)和拱(第页)进程，”杂志时间序列分析，第29卷，第2期，第213-223页，2008年。查看位置：发布者网站|谷歌学术搜索
4. P、 Kabaila和K.Syuhada，“改进预测区间的渐近效率”统计和概率字母，第80卷，no。17-18页，1348-1353,2010。查看位置：发布者网站|谷歌学术搜索
5. P、 维多尼，“随机过程模型的改进预测区间”杂志时间序列分析，第25卷，no。1，第137-154页，2004。查看位置：发布者网站|谷歌学术搜索
6. O、 E.Barndorff Nielsen和D.R.Cox，“预测和渐近性”伯努利，第2卷，第4期，第319-340页，1996年。查看位置：发布者网站|谷歌学术搜索
7. P. Kabaila，“计算一类条件期望的有效模拟方法，”澳大利亚和新西兰统计杂志，第41卷，第3期，第331-3361999页。查看位置：发布者网站|谷歌学术搜索
8. K、 秋田，新正态随机波动模型，澳大利亚珀斯科廷大学，2004，未出版M。Sc的论文。
9. Y. Dendramis，G. E. Spungin和E. Tzavalis，“在不同的波动过程和回报创新的分布预测风险价值模型”预测杂志，第33卷，第7期，第515-531页，2014年。查看位置：发布者网站|谷歌学术搜索
10. 苏敏强，“风险估计价值GARCH模型的实证分析”，国际金融市场、机构与货币杂志，第16卷，第2期，第180-1972006页。查看位置：发布者网站|谷歌学术搜索

版权

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