4.风险价值预测和SVAR的其覆盖概率(1)过程
波动率建模的另一种方法是随机波动率自回归过程。与ARCH不同,SVAR过程具有潜在波动函数。尽管如此,从理论观点来看,SVAR(1)模型是真实金融市场收益行为的一个很好的代表。
这一节的目的是寻找这种SVAR过程的估计的和改进的VaR预测以及它们的覆盖概率,最重要的是展示SVAR模型在寻找VaR预测方面与ARCH模型有何不同。希望有覆盖概率<我t一个lic>
α我t一个lic>由于SVAR过程的VaR预测还没有被很多作者讨论。大多数关于SVAR的论文研究的都是参数估计方法,估计波动率和/或评估波动率预测的均值平方误差。
我们认为这是如下开发的SVAR(1)模型。假设<我nline-formula>
Y米米l:mi>
t米米l:mi>
在时间资产收益率<我t一个lic>
t我t一个lic>,我们假设平均收益为零。分布<我nline-formula>
Y米米l:mi>
t米米l:mi>
,有条件的方差,是正常均值为零,方差<我nline-formula>
EXP米米l:mtext>
V米米l:mi>
t米米l:mi>
,其中<我nline-formula>
V米米l:mi>
t米米l:mi>
如下顺序一个或AR(1)处理的自回归过程。换一种说法,
(16)米米l:mtext>
Y米米l:mi>
t米米l:mi>
=米米l:mo>
EXP米米l:mi>
V米米l:mi>
t米米l:mi>
2米米l:mn>
ε米米l:mi>
t米米l:mi>
,米米l:mo>
V米米l:mi>
t米米l:mi>
=米米l:mo>
γ米米l:mi>
+米米l:mo>
δ米米l:mi>
V米米l:mi>
t米米l:mi>
-米米l:mo>
1米米l:mn>
+米米l:mo>
η米米l:mi>
t米米l:mi>
,米米l:mo>
为<我nline-formula>
t米米l:mi>
=米米l:mo>
0,1米米l:mn>
,米米l:mo>
…米米l:mo>
,那里的<我nline-formula>
ε米米l:mi>
t米米l:mi>
s为独立同分布的(独立同分布)<我nline-formula>
N米米l:mi>
0,1米米l:mn>
和<我nline-formula>
η米米l:mi>
t米米l:mi>
的是独立同分布<我nline-formula>
N米米l:mi>
0米米l:mn>
,米米l:mo>
σ米米l:mi>
η米米l:mi>
2米米l:mn>
。的阵列<我nline-formula>
η米米l:mi>
t米米l:mi>
的年代,<我nline-formula>
ε米米l:mi>
t米米l:mi>
的是独立的。让<我nline-formula>
θ米米l:mi>
=米米l:mo>
γ米米l:mi>
,米米l:mo>
δ米米l:mi>
,米米l:mo>
σ米米l:mi>
η米米l:mi>
2米米l:mn>
是SVAR(1)模型,其中的参数<我t一个lic>
δ我t一个lic>是持久性的参数,同时<我nline-formula>
σ米米l:mi>
η米米l:mi>
2米米l:mn>
表示波动休克的波动。在这里,我们限制的情况下,该SVAR(1)模型是静止的协方差,即,持久性参数<我nline-formula>
δ米米l:mi>
<米米l:mo>
1米米l:mn>
。的正态性假设<我nline-formula>
ε米米l:mi>
t米米l:mi>
可以通过使用其它分布可以放宽,参见,例如,[
8 ]谁已经显示SVAR的相比于SVAR正常重尾分布中的主导地位。当采用两个高斯分布<我nline-formula>
ε米米l:mi>
t米米l:mi>
和<我nline-formula>
η米米l:mi>
t米米l:mi>
,我们将模型为“高斯SVAR(1)模型。”
我们开始寻找VaR的预测如下。考虑静止高斯SVAR的情况下(1)模型,即持久性参数<我nline-formula>
δ米米l:mi>
<米米l:mo>
1米米l:mn>
和<我nline-formula>
ε米米l:mi>
t米米l:mi>
和<我nline-formula>
η米米l:mi>
t米米l:mi>
是<我nline-formula>
N米米l:mi>
0,1米米l:mn>
和<我nline-formula>
N米米l:mi>
0米米l:mn>
,米米l:mo>
σ米米l:mi>
η米米l:mi>
2米米l:mn>
分别分布。的无条件分布<我nline-formula>
V米米l:mi>
t米米l:mi>
是<我nline-formula>
N米米l:mi>
μ米米l:mi>
V米米l:mi>
,米米l:mo>
σ米米l:mi>
V米米l:mi>
2米米l:mn>
,其中<我nline-formula>
μ米米l:mi>
V米米l:mi>
=米米l:mo>
γ米米l:mi>
/米米l:mo>
1米米l:mn>
-米米l:mo>
δ米米l:mi>
o米米l:mi>
和<我nline-formula>
σ米米l:mi>
V米米l:mi>
2米米l:mn>
=米米l:mo>
σ米米l:mi>
η米米l:mi>
2米米l:mn>
/米米l:mo>
1米米l:mn>
-米米l:mo>
δ米米l:mi>
2米米l:mn>
。我们观察到,
(17)米米l:mtext>
P米米l:mi>
θ米米l:mi>
Y米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
≤米米l:mo>
z米米l:mi>
=米米l:mo>
P米米l:mi>
θ米米l:mi>
EXP米米l:mi>
V米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
2米米l:mn>
ε米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
≤米米l:mo>
z米米l:mi>
=米米l:mo>
E米米l:mi>
θ米米l:mi>
P米米l:mi>
θ米米l:mi>
EXP米米l:mi>
V米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
2米米l:mn>
ε米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
≤米米l:mo>
z米米l:mi>
V米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
=米米l:mo>
E米米l:mi>
θ米米l:mi>
Φ米米l:mi>
z米米l:mi>
EXP米米l:mi>
V米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
/米米l:mo>
2米米l:mn>
=米米l:mo>
∫米米l:mo>
-米米l:mo>
∞米米l:mi>
∞米米l:mi>
Φ米米l:mi>
z米米l:mi>
EXP米米l:mi>
v米米l:mi>
/米米l:mo>
2米米l:mn>
f米米l:mi>
V米米l:mi>
v米米l:mi>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
d米米l:mtext>
v米米l:mi>
,米米l:mo>
哪里<我nline-formula>
Φ米米l:mi>
⋅米米l:mo>
是标准正态分布的累积分布函数(CDF)和<我nline-formula>
f米米l:mi>
V米米l:mi>
⋅米米l:mo>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
表示的无条件概率密度函数(pdf)<我t一个lic>
V我t一个lic>。
定义
(18)米米l:mtext>
H米米l:mi>
z米米l:mi>
,米米l:mo>
θ米米l:mi>
,米米l:mo>
α米米l:mi>
=米米l:mo>
∫米米l:mo>
-米米l:mo>
∞米米l:mi>
∞米米l:mi>
Φ米米l:mi>
z米米l:mi>
EXP米米l:mi>
v米米l:mi>
/米米l:mo>
2米米l:mn>
f米米l:mi>
V米米l:mi>
v米米l:mi>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
d米米l:mtext>
v米米l:mi>
-米米l:mo>
α米米l:mi>
,米米l:mo>
还和定义<我nline-formula>
风险价值米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
α米米l:mi>
要用于溶液<我t一个lic>
z我t一个lic>的<我nline-formula>
P米米l:mi>
θ米米l:mi>
Y米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
≤米米l:mo>
z米米l:mi>
=米米l:mo>
α米米l:mi>
即
(19)米米l:mtext>
H米米l:mi>
z米米l:mi>
,米米l:mo>
θ米米l:mi>
,米米l:mo>
α米米l:mi>
=米米l:mo>
0。米米l:mn>
对于一个指定的估计量<我nline-formula>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
,我们将获得<我nline-formula>
z米米l:mi>
=米米l:mo>
风险价值米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
α米米l:mi>
,即“估计VaR预测”。
积分的定义评价<我nline-formula>
H米米l:mi>
z米米l:mi>
,米米l:mo>
θ米米l:mi>
,米米l:mo>
α米米l:mi>
o米米l:mi>
解析并不简单。尽管如此,如下我们可以评估这个数字。首先,我们开展这个积分的截断。下部和上部结合被设定为<我nline-formula>
μ米米l:mi>
V米米l:mi>
-米米l:mo>
k米米l:mi>
σ米米l:mi>
V米米l:mi>
和<我nline-formula>
μ米米l:mi>
V米米l:mi>
+米米l:mo>
k米米l:mi>
σ米米l:mi>
V米米l:mi>
表示,其中<我t一个lic>
k我t一个lic>是一个正整数。因此,截短的误差以上由界
(20)米米l:mtext>
∫米米l:mo>
-米米l:mo>
∞米米l:mi>
μ米米l:mi>
V米米l:mi>
-米米l:mo>
k米米l:mi>
σ米米l:mi>
V米米l:mi>
Φ米米l:mi>
z米米l:mi>
EXP米米l:mi>
v米米l:mi>
/米米l:mo>
2米米l:mn>
f米米l:mi>
v米米l:mi>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
d米米l:mtext>
v米米l:mi>
+米米l:mo>
∫米米l:mo>
μ米米l:mi>
V米米l:mi>
+米米l:mo>
k米米l:mi>
σ米米l:mi>
V米米l:mi>
∞米米l:mi>
Φ米米l:mi>
z米米l:mi>
EXP米米l:mtext>
v米米l:mi>
/米米l:mo>
2米米l:mn>
f米米l:mi>
v米米l:mi>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
d米米l:mtext>
v米米l:mi>
≤米米l:mo>
2米米l:mn>
∫米米l:mo>
μ米米l:mi>
V米米l:mi>
+米米l:mo>
k米米l:mi>
σ米米l:mi>
V米米l:mi>
∞米米l:mi>
f米米l:mi>
v米米l:mi>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
d米米l:mtext>
v米米l:mi>
=米米l:mo>
2米米l:mn>
1米米l:mn>
-米米l:mo>
Φ米米l:mi>
k米米l:mi>
。米米l:mo>
如果我们设置<我nline-formula>
k米米l:mi>
=米米l:mo>
4米米l:mn>
,则截断误差的上界为<我nline-formula>
6.33米米l:mn>
×米米l:mo>
10米米l:mn>
-米米l:mo>
5米米l:mn>
。另外,如果我们截断的积分与下界<我nline-formula>
μ米米l:mi>
V米米l:mi>
-米米l:mo>
5米米l:mn>
σ米米l:mi>
V米米l:mi>
和上界<我nline-formula>
μ米米l:mi>
V米米l:mi>
-米米l:mo>
5米米l:mn>
σ米米l:mi>
V米米l:mi>
即<我nline-formula>
k米米l:mi>
=米米l:mo>
5米米l:mn>
,那么我们得到由上面所限定的截断误差<我nline-formula>
5.733米米l:mn>
×米米l:mo>
10米米l:mn>
-米米l:mo>
7米米l:mn>
。第二步是进行数值积分,找到<我nline-formula>
风险价值米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
α米米l:mi>
通过数值解<我nline-formula>
H米米l:mi>
z米米l:mi>
,米米l:mo>
θ米米l:mi>
,米米l:mo>
α米米l:mi>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
。
现在,为了计算改进的VaR预测,我们首先观察
(21)米米l:mtext>
P米米l:mi>
θ米米l:mi>
Y米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
≤米米l:mo>
风险价值米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
α米米l:mi>
=米米l:mo>
P米米l:mi>
θ米米l:mi>
ε米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
≤米米l:mo>
风险价值米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
α米米l:mi>
EXP米米l:mi>
V米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
/米米l:mo>
2米米l:mn>
=米米l:mo>
E米米l:mi>
θ米米l:mi>
P米米l:mi>
θ米米l:mi>
ε米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
≤米米l:mo>
风险价值米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
α米米l:mi>
EXP米米l:mi>
V米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
/米米l:mo>
2米米l:mn>
Y米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
…米米l:mo>
,米米l:mo>
Y米米l:mi>
n米米l:mi>
,米米l:mo>
V米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
=米米l:mo>
E米米l:mi>
θ米米l:mi>
Φ米米l:mi>
风险价值米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
α米米l:mi>
EXP米米l:mi>
V米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
/米米l:mo>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
和以前一样,我们通过模拟估计这个(无条件的)期望。
定义
(22)米米l:mtext>
d米米l:mi>
θ米米l:mi>
=米米l:mo>
P米米l:mi>
θ米米l:mi>
Y米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
≤米米l:mo>
风险价值米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
α米米l:mi>
-米米l:mo>
α米米l:mi>
,米米l:mo>
然后让<我nline-formula>
f米米l:mi>
⋅米米l:mo>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
为的概率密度函数<我nline-formula>
Y米米l:mi>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
。改进的VaR预测<我nline-formula>
V米米l:mtext>
+米米l:mo>
基于“增大化现实”技术米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
α米米l:mi>
是(谁)给的
(23)米米l:mtext>
V米米l:mtext>
+米米l:mo>
基于“增大化现实”技术米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
α米米l:mi>
=米米l:mo>
风险价值米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
α米米l:mi>
-米米l:mo>
d米米l:mi>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
f米米l:mi>
风险价值米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
α米米l:mi>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
。米米l:mo>
蒙特卡罗模拟估计得到的估计和改进的VaR预测如下。我们首先从样本容量平稳的高斯SVAR(1)模型运行模拟数据<我nline-formula>
n米米l:mi>
=米米l:mo>
100米米l:mn>
和参数<我nline-formula>
θ米米l:mi>
=米米l:mo>
0.01米米l:mn>
,米米l:mo>
0.95米米l:mn>
,米米l:mo>
0.17米米l:mn>
。参数估计通过应用最大似然效重要抽样(ML-EIS)方法进行的,我们已经使用了<我nline-formula>
米米米l:mi>
=米米l:mo>
50米米l:mn>
模拟运行以获得<我nline-formula>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
。
对于上述的模拟的单次运行中,我们得到<我nline-formula>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
=米米l:mo>
0.016米米l:mn>
,米米l:mo>
0.962米米l:mn>
,米米l:mo>
0.178米米l:mn>
。相应蒋梅鑫0.95 VaR的预测<我nline-formula>
风险价值米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
0.95米米l:mn>
通过评估获得<我nline-formula>
H米米l:mi>
z米米l:mi>
,米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
,米米l:mo>
0.95米米l:mn>
通过数值积分,其中<我nline-formula>
风险价值米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
α米米l:mi>
通过的数值解计算<我nline-formula>
H米米l:mi>
z米米l:mi>
,米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
,米米l:mo>
0.95米米l:mn>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
为<我t一个lic>
z我t一个lic>。所得估计值为0.95 VaR预测<我nline-formula>
风险价值米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
0.95米米l:mn>
是2.28。请注意,评估整体时,我们选择<我nline-formula>
k米米l:mi>
=米米l:mo>
4米米l:mn>
从而使整体截断误差已经通过上述界<我nline-formula>
6.33米米l:mn>
×米米l:mo>
10米米l:mn>
-米米l:mo>
5米米l:mn>
,这是相当小的。
我们发现改进的VaR预测,对应于此蒋梅鑫一个用<我nline-formula>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
作为模拟的“真实参数值”。我们开展<我nline-formula>
米米米l:mi>
=米米l:mo>
1000米米l:mn>
模拟运行。这些模拟被用来估计<我nline-formula>
d米米l:mi>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
很明显。VaR预测上调至0.95<我nline-formula>
V米米l:mtext>
+米米l:mo>
基于“增大化现实”技术米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
0.95米米l:mn>
=米米l:mo>
2.511米米l:mn>
,其从蒋梅鑫0.95 VaR的预测显著不同<我nline-formula>
风险价值米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
0.95米米l:mn>
。
4.1。数值插图
In order to describe clearly in real application setting for the abovementioned VaR forecast methods, we provide a numerical study of VaR forecasts especially for the case Generalized ARCH and SVAR models (and some extensions of volatility models i.e., GJR Generalized ARCH and Threshold Generalized ARCH) with some distributions assumptions. We have used NASDAQ and NYSE data (YahooFinance) for duration of 1 January 2007 till 10 December 2016 that comprises of 2516 observations. The choice of volatility models may not be easy with regard to different results as the effect of involving features attached to the models (Table
1)。
表格1
VaR的预测(和改进)广义ARCH和SVAR模型和波动模型的一些扩展。
波动率模型
风险价值米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
0.99米米l:mn>
风险价值米米l:mtext>
n米米l:mi>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
;米米l:mo>
θ米米l:mi>
^米米l:mo>
0.95米米l:mn>
GARCH-<我t一个lic>
n我t一个lic>(1,1)
0.0210(0.0274)
0.0148(0.0218)
GARCH-<我t一个lic>
t我t一个lic>(1,1)
0.0236(0.0289)
0.0167(0.0229)
SVAR -<我t一个lic>
n我t一个lic>(1)
0.0240 (0.0330)
0.0200(0.0258)
SVAR -<我t一个lic>
t我t一个lic>(1)
0.0245(0.0311)
0.0216(0.0277)
GJR-GARCH-<我t一个lic>
n我t一个lic>(1,1)
0.0228(0.0341)
0.0162 (0.0268)
GJR-GARCH-<我t一个lic>
t我t一个lic>(1,1)
0.0249(0.0367)
0.0176(0.0278)
TGARCH -<我t一个lic>
n我t一个lic>(1,1)
0.0228(0.0266)
0.0195(0.0217)
TGARCH -<我t一个lic>
t我t一个lic>(1,1)
0.0243(0.0299)
0.0162(0.0265)