指数T-X分布族:性质及其在保险数据中的应用gydF4y2Ba

摘要gydF4y2Ba

重尾分布在精算和金融科学中发挥着重要作用。在本文中，我们引入了一类分布，我们称之为指数T-X (ETX)族。在此基础上，对威布尔模型进行了新的扩展。该模型在建模重尾数据时非常灵活。推导了模型的数学性质，得到了模型参数的极大似然估计。采用蒙特卡洛模拟方法对最大似然估计的性能进行了评价。还计算了风险价值和风险尾值等精算措施。并在此基础上进行了仿真研究。最后，给出了一个重尾汽车保险理赔数据集的应用。提出的模型与一些著名的竞争分布进行了比较。gydF4y2Ba

1.介绍gydF4y2Ba

广义而言，统计分布在应用领域的数据建模中发挥着重要作用，特别是在风险管理、经济、金融和精算科学中。然而，程序的质量主要取决于所考虑现象的假定概率模型。在应用领域中，保险损失通常为正、右偏、单峰和重尾;参阅莱恩的作品[gydF4y2Ba1gydF4y2Ba， Cooray和Ananda [gydF4y2Ba2gydF4y2Ba]，Klugman等。[gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba，和Ahmad等[gydF4y2Ba4gydF4y2Ba]．精算师经常寻找重尾分布，以充分提供相关业务风险水平的良好估计。重尾分布是指右尾概率大于指数概率且满足的分布gydF4y2Ba

重尾分布的一个重要特征是正则变分性质。一个服从的分布称为正则变化的gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba是所谓的规律变化指数。具有正则变化特性的分布是建模重尾数据集的非常有竞争力的模型。有兴趣的读者可参考McNeil的著作[gydF4y2Ba5gydF4y2Ba和belilant等[gydF4y2Ba6gydF4y2Ba]．gydF4y2Ba

众所周知的概率模型，如Log-Normal，Pareto，Gamma，Beta和Weibull分布非常有用，可用于在应用中建模数据。然而，这些经典分布在建模保险损失方面具有一定的缺陷。例如，（i）对累积分布函数（CDF）没有闭合表达式的Log-Normal，Gamma和Beta分布，并且许多数学属性的计算变得困难，（ii）帕累托分布单调的密度形状，不提供适当合适的许多应用，（iii）威布尔分布涵盖了小损失的行为，但不能迎合大损失的行为[gydF4y2Ba7gydF4y2Ba]．gydF4y2Ba

因此，从业人员对提出这些现有发行版的扩展版本表现出了浓厚的兴趣。新的发展已经通过许多方法构建，如(i)两个或更多分布的组合，(ii)分布的复合，和(iii)分布的有限混合(Scollnik和Sun [gydF4y2Ba8gydF4y2Ba和Ahmad等人[gydF4y2Ba9gydF4y2Ba]）。gydF4y2Ba

两个或多个分布的组合是获得新的柔性重尾分布族的一个突出方法，这为Cooray和Ananda所示的重尾损失提供了一个相当好的拟合[gydF4y2Ba2gydF4y2Ba]，Nadarajah和Abu Bakar [gydF4y2Ba10.gydF4y2Ba]和阿布巴卡尔等人。[gydF4y2Ba11.gydF4y2Ba]．然而，需要指出的是，由合成方法获得的新分布涉及三个以上的参数，在估计过程中造成困难，需要计算努力。gydF4y2Ba

另一种突出的方法是混合分布，以满足单模态、右偏态和重尾的数据建模，如Punzo所示[gydF4y2Ba12.gydF4y2Ba]、Mazza及Punzo [gydF4y2Ba13.gydF4y2Ba]、Tomarchio和Punzo [gydF4y2Ba14.gydF4y2Ba]和朋格和巴纳托[gydF4y2Ba15.gydF4y2Ba]．但是，通过这种方法得到的密度可能没有一个封闭的表达式，这使得估计更加繁琐，如Punzo等[gydF4y2Ba16.gydF4y2Ba]．为了简要回顾分布的合成，我们参考Tahir和Cordeiro的工作[gydF4y2Ba17.gydF4y2Ba]．gydF4y2Ba

有限的混合物模型代表了一种进一步的方法来定义非常灵活的分布，该分布也能够捕获，例如，如Bernardi等人的作品所示的底层分布的多模。[gydF4y2Ba18.gydF4y2Ba]，Miljkovic和Rrun [gydF4y2Ba19.gydF4y2Ba]和punzo等人。[gydF4y2Ba20.gydF4y2Ba]．为这种更大的灵活性付出的代价是一个更加复杂和具有计算挑战性的推断。gydF4y2Ba

在本文中，我们引入了一类分布，称为指数T-X (ETX)分布族。该方法具有规则的尾行为，因此可以有效地用于重尾数据建模。利用ETX方法研究了一类特殊的指数T-X Weibull (ETX-Weibull)分布模型。随后，我们通过实证证明，在使用汽车保险索赔数据进行模型验证的不同措施方面，ETX-Weibull分布比众所周知的竞争分布提供了更好的拟合。gydF4y2Ba

我们希望ETX-Weibull分配将吸引更广泛的应用程序在保险损失数据和财务回报中。已经执行了使用最大似然估计方法的ETX-Weibull分布参数的估计。此外，还计算出一些诸如风险（VAR）和风险（TVAR）的风险（VAR）和尾值（TVAR）的替代措施。gydF4y2Ba

本文的其余部分由六个部分组织如下：在部分中讨论了方法和ETX-Weibull模型gydF4y2Ba2gydF4y2Ba．得到了ETX-Weibull参数的极大似然估计gydF4y2Ba第三节gydF4y2Ba．提供了一个蒙特卡罗模拟研究gydF4y2Ba第四节gydF4y2Ba．推导了ETX-Weibull分布的精算测度及其模拟研究gydF4y2Ba第五节gydF4y2Ba．文中给出了汽车保险理赔数据集的一个实际应用gydF4y2Ba第六节gydF4y2Ba．最后，该文章在上一节结束。gydF4y2Ba

2.方法，特殊模型和属性gydF4y2Ba

本节将介绍所提出的方法所采用的方法以及所提出模型的一个特殊模型。此外，还导出了正则变分结果和其它数学性质。gydF4y2Ba

２.１.方法gydF4y2Ba

在本小节中，我们使用T介绍一系列新的分布系列gydF4y2Ba-XgydF4y2Ba家庭的方法(gydF4y2Ba21.gydF4y2Ba]．让gydF4y2Ba说，是随机变量的概率密度函数（PDF）gydF4y2BaTgydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba 为了gydF4y2Ba ,让gydF4y2Ba 说，是随机变量的累积分布函数（CDF）的函数gydF4y2BaXgydF4y2Ba，取决于参数向量gydF4y2Ba并满足下列条件:gydF4y2Ba（1）gydF4y2Ba （2）gydF4y2Ba 是可微且单调递增的吗gydF4y2Ba（3）gydF4y2Ba 作为gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 作为gydF4y2Ba

t-gydF4y2BaXgydF4y2Ba家庭方法定义为gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba 满足上述条件。对应于(gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)是gydF4y2Ba

对于T-的贡献工作gydF4y2BaXgydF4y2Ba方法，我们指的是Ahmad等人的工作。通过服用gydF4y2Ba为带有速率参数的指数分布的PDFgydF4y2Ba 给出的gydF4y2Ba 并更换（gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba） 和gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba我们得到了拟议的家庭的CDF。如果是随机变量gydF4y2BaXgydF4y2Ba跟随我们ETX系列的成员之一，然后其CDF提供gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba 是基线随机变量的生存函数（SF），具体取决于参数gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba

据我们所知，迄今为止尚未使用该方法。这是使用所提出的方法的另一种动机。因此，使用所提出的方法，也可以获得许多新的分布。对应的概率密度函数（PDF）（gydF4y2Ba5gydF4y2Ba） 是（谁）给的gydF4y2Ba

新的PDF是最具易行的gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 有简单的分析表达式。在实践中使用ETX系列的基本动机如下：gydF4y2Ba（1）gydF4y2Ba引入其他参数的新突出方法，以生成基线模型的广义版本而不是添加两个或更多参数gydF4y2Ba（2）gydF4y2Ba提高经典分布的特点和灵活性gydF4y2Ba（3）gydF4y2Ba与基线模型相比，使峰氏菌变得更加灵活gydF4y2Ba（4）gydF4y2Ba获得适合重尾数据建模的新模型gydF4y2Ba（5）gydF4y2Ba定义具有封闭形式的cdf和sf的特殊型号以及故障率函数gydF4y2Ba（6）gydF4y2Ba提供比其他具有相同或更多参数的生成分布更好的一致性gydF4y2Ba

对应的生存函数（SF）和危险率函数（HRF）（gydF4y2Ba5gydF4y2Ba）分别给出gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba

基于(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba），我们提出了一个三参数特殊子模型，称为ETX-Weibull分布。我们为拟议分发的VAR和TVAR推出了显式表达式。最重要的是，我们提供了对VAR和TVAR的全面模拟研究，并经验证明ETX-Weibull分布是一种重型模型，可以在保险科学和其他相关领域中非常有效地使用。gydF4y2Ba

2．2.特殊模型gydF4y2Ba

考虑由。给出的双参数威布尔分布的分布和密度函数gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba分别在哪里gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba然后，给出了ETX-Weibull分布的cdfgydF4y2Ba 用pdf.gydF4y2Ba

参数的影响gydF4y2Ba所提模型pdf的形状如图所示gydF4y2Ba1gydF4y2Ba．呈现这些密度图gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba不同的值gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba从图中gydF4y2Ba1gydF4y2Ba，很明显，所提出的模型倾向于重尾分布，因为值gydF4y2Ba增加。这些图说明了附加参数gydF4y2Ba对所提出的模型的PDF行为具有显着影响。gydF4y2Ba

２.３.数学性质gydF4y2Ba

在本节中，推导了所提出的家庭的一些数学特性，例如定期不同的尾部行为，定量函数，时刻和时刻生成函数。gydF4y2Ba

2.3.1。有规律变化的尾巴行为gydF4y2Ba

定期不同的尾部行为是识别重尾部分布的重要特征。在本小节中，我们处理拟议家庭的定期变分行为。根据 [gydF4y2Ba22.gydF4y2Ba[就SF而言，我们有以下特征。gydF4y2Ba

定理1。gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba 规律是变化的，那么也是吗gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba假使，假设gydF4y2Ba 是否都是有限的但非零的gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba使用表达式gydF4y2Ba7gydF4y2Ba，我们观察到gydF4y2Ba 自gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba(中的表达式gydF4y2Ba11.gydF4y2Ba)减少gydF4y2Ba 对于每个都是有限的但非零的gydF4y2Ba ；gydF4y2Ba因此，gydF4y2Ba 经常变化。gydF4y2Ba

备注1。gydF4y2Ba根据Karamata的表征定理[gydF4y2Ba23.gydF4y2Ba),这个函数gydF4y2Ba的形式gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba在哪里gydF4y2Ba 所谓的规律变化指数，和gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba

2.3.2。正则变分的结果gydF4y2Ba

如果分布gydF4y2Ba具有幂律行为，则根据[gydF4y2Ba22.gydF4y2Ba),我们有gydF4y2Ba

现在，通过Karamata的特征定理[gydF4y2Ba23.gydF4y2Ba]这意味着我们应该能够写作gydF4y2Ba 作为gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba正在慢慢地改变。请注意,gydF4y2Ba

自gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba我们可以写gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba因此，如果gydF4y2Ba正在慢慢变化，然后获得的变分结果是正确的。现在，根据Resnick [gydF4y2Ba24.gydF4y2Ba我们必须为所有人证明这一点gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba

化简之后，我们得到gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba然后gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba和gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba因此，从表达式(gydF4y2Ba18.gydF4y2Ba）， 我们有gydF4y2Ba 是什么导致了这个事实gydF4y2Ba

2.3.3。分位数函数gydF4y2Ba

分配器的分量函数非常有用，可以通过Monte Carlo仿真生成随机数。随机变量的分位数函数gydF4y2BaXgydF4y2BaCDF（gydF4y2Ba5gydF4y2Ba） 是（谁）给的gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2BatgydF4y2Ba是等式的解决方案gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba和gydF4y2BaugydF4y2Ba ．gydF4y2Ba非线性表达式(gydF4y2Ba21.gydF4y2Ba）可用于从所提出的类的任何子模型获取随机数。gydF4y2Ba

2.3.4。时刻gydF4y2Ba

假设gydF4y2BaXgydF4y2Ba是一个随机变量，pdf（gydF4y2Ba6gydF4y2Ba）;然后gydF4y2Ba拟议家庭的时刻得出gydF4y2Ba

用这个级数gydF4y2Ba

更换gydF4y2BaxgydF4y2Ba通过gydF4y2Ba 在(gydF4y2Ba23.gydF4y2Ba）然后使用它（gydF4y2Ba22.gydF4y2Ba），我们到达gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba

为了gydF4y2BargydF4y2Ba＝gydF4y2Ba1 2 3 4gydF4y2Ba，gydF4y2Ba我们得到了ETX家族的前四个瞬间。形状参数对偏度和峰度的影响可以通过矩量检测出来。的gydF4y2Ba可以使用（即可计算ETX-Weibull分布的时刻（gydF4y2Ba24.gydF4y2Ba） 如下。使用双参数Weibull分布的PDF和CDF（定义gydF4y2Ba2.2节gydF4y2Ba），gydF4y2Ba可以表示为gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba 表示与基线威布尔的指数威布尔（exp-weibull）密度（定义gydF4y2Ba2.2节gydF4y2Ba)，带功率参数gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba因此,gydF4y2Ba减少到gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba使用等式（gydF4y2Ba24.gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba26.gydF4y2Ba),gydF4y2BargydF4y2Ba ETX-Weibull分布的矩减小为gydF4y2Ba

的gydF4y2BaETX-WEIBULL分布的中心时刻可以表示为gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba遵循从(gydF4y2Ba27.gydF4y2Ba） 和gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba因此,gydF4y2BaETX-Weibull分布的形式gydF4y2Ba

因此，第二，第三个和第四次，gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba和gydF4y2Ba ，gydF4y2BaETX-Weibull分布的gydF4y2Ba29.gydF4y2Ba）通过更换gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba分别。基于这些矩，我们可以得到ETX-Weibull分布的偏度和峰度测度。定义了ETX-Weibull分布的偏度和峰度gydF4y2Ba

这些措施对异常值不太敏感。图中显示了Etx-Weibull分布的歪斜和峰度的图表gydF4y2Ba2gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

此外，瞬间发挥作用，说gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba的表达式为:gydF4y2Ba

3.最大似然估计gydF4y2Ba

在以下部分中，我们使用最大似然估计方法来估计模型参数。让gydF4y2Ba 是随机样本的观察值gydF4y2BangydF4y2Ba摘自PDF (gydF4y2Ba6gydF4y2Ba）有参数gydF4y2Ba和gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba然后，对应的日志似然函数对应（gydF4y2Ba6gydF4y2Ba） 是（谁）给的gydF4y2Ba

逻辑似然函数可以直接或通过求解通过差异获得的非线性似然函数来最大化（gydF4y2Ba25.gydF4y2Ba)．我们使用了拟合优度函数gydF4y2BaRgydF4y2Ba采用“L-BFGS-B”算法得到最大熵。的偏导数gydF4y2Ba25.gydF4y2Ba）分别给出各自的参数，通过gydF4y2Ba

对上述表达式进行数值求解，同时得到最大似然估计量。gydF4y2Ba 的gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba分别。gydF4y2Ba

4.蒙特卡罗模拟研究gydF4y2Ba

在本节中，我们评估了最大似然估计的行为，用于有限的大小样本gydF4y2BangydF4y2Ba．基于ETX-Weibull分布进行了仿真研究。随机数是通过ETX-Weibull使用的分位数技术生成的gydF4y2Baoptim ()gydF4y2BaRgydF4y2Ba函数的参数gydF4y2Ba方法=“L-BFGS-B”gydF4y2Ba；见附录。仿真研究基于以下步骤：gydF4y2Ba（1）gydF4y2Ba我们生成gydF4y2BaNgydF4y2Ba= 1000个尺寸样本gydF4y2Ba 来自ETX-Weibull分布gydF4y2Ba（2）gydF4y2Ba计算模型参数的最大似然估计gydF4y2Ba（3）gydF4y2Ba计算MSEs和偏差gydF4y2Ba 为了gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba分别gydF4y2Ba

仿真结果如图所示gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba6gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

从这些图中，我们观察以下结果：gydF4y2Ba(我)gydF4y2Ba随着样本量的增加，估计值趋于稳定gydF4y2BangydF4y2Ba增加gydF4y2Ba（ii）gydF4y2Ba估计的mse衰减为零gydF4y2BangydF4y2Ba增加gydF4y2Ba(3)gydF4y2Ba绝对偏见减少为gydF4y2BangydF4y2Ba增加gydF4y2Ba(iv)gydF4y2Ba作为样本量gydF4y2BangydF4y2Ba增加，估计的偏差减少gydF4y2Ba

通过图呈现的数值结果揭示了马尔斯的一致性。gydF4y2Ba

5.保险精算的措施gydF4y2Ba

精算科学机构最重要的任务之一是评估投资组合工具的市场风险，这些风险来自于基础变量的变化，如股票价格、利率或汇率。在本节中，我们计算所提出的分布的VaR和TVaR。gydF4y2Ba

5．1.风险价值gydF4y2Ba

在精算学的背景下，衡量VaR被从业者广泛使用作为标准的金融市场风险。它也被称为分位数风险测度或分位数保费原则。例如，VaR总是以给定的置信度指定的gydF4y2Ba(通常是gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba99%)，并表示仅等于或超过投资组合价值的损失百分比gydF4y2BaXgydF4y2Ba百分比的时间。随机变量的VaRgydF4y2BaXgydF4y2Ba是个gydF4y2Ba其cdf分位数;参见Artzner(1999)的作品。如果gydF4y2BaXgydF4y2Ba有CDF（gydF4y2Ba6gydF4y2Ba),然后gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2BatgydF4y2Ba是等式的解决方案gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba

5.2。风险尾值gydF4y2Ba

另一个重要的度量是TVaR，也称为条件尾部期望(CTE)或条件尾部期望(TCE)，它可以用来量化给定概率水平以外的事件发生时损失的期望值。让gydF4y2BaXgydF4y2Ba遵循拟议的家庭;然后是TVARgydF4y2BaXgydF4y2Ba被定义为gydF4y2Ba

使用 （gydF4y2Ba10.gydF4y2Ba） 在 （gydF4y2Ba27.gydF4y2Ba）， 我们有gydF4y2Ba

5.3。风险措施的仿真研究gydF4y2Ba

在本小节中，我们为不同参数集的传统Weibull和Etx-Weibull模型的两个参数的风险措施提供了数值研究。该过程描述如下：gydF4y2Ba(我)gydF4y2Ba随机样本的大小gydF4y2BangydF4y2Ba= 150由Weibull模型和ETX-Weibull模型生成，参数通过最大似然法估计gydF4y2Ba（ii）gydF4y2Ba重复1000次来计算这些分布的VaR和TVaRgydF4y2Ba

一个具有较高风险度量值(VaR和TVaR)的模型被称为具有较重的尾部。仿真结果如表所示gydF4y2Ba1gydF4y2Ba和gydF4y2Ba2gydF4y2Ba结果表明，与传统的威布尔分布相比，该模型具有更高的风险测度值。根据表中提供的结果gydF4y2Ba1gydF4y2Ba和gydF4y2Ba2gydF4y2Ba以及数字gydF4y2Ba7gydF4y2Ba和gydF4y2Ba8gydF4y2Ba，我们可以轻松检测到ETX-Weibull分布比Weibull分布更重。VAR和TVAR的仿真研究是一种突出的方法，以凭经验确定重型尾部分布。gydF4y2Ba

支撑工作台gydF4y2Ba1gydF4y2Ba，Weibull和Etx-Weibull分布的Var和TVAR的图表在图中勾勒出来gydF4y2Ba7gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

支撑工作台gydF4y2Ba2gydF4y2Ba，Weibull和Etx-Weibull分布的Var和TVAR的图表在图中勾勒出来gydF4y2Ba8gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

6. VAR和TVAR的应用和数值计算gydF4y2Ba

在本节中，我们通过分析汽车保险索赔数据来说明ETX-Weibull模型，以展示所提出的方法如何在实践中工作。此外，我们使用真实数据集计算Weibull和Etx-Weibull分布的实际测量。gydF4y2Ba

6．1.汽车保险理赔数据gydF4y2Ba

在本小节中，我们通过分析代表汽车保险索赔数据的重尾真实数据集来说明所提出的模型。数据集可以在gydF4y2Bahttp：//auto_insurance_claims_sample.csv.gydF4y2Ba．[gydF4y2Ba25.gydF4y2Ba]．这些数据用于ETX-Weibull分布与其他重尾分布的比较。为了便于比较，我们考虑了一些众所周知的(i)双参数模型，如Lomax, Burr-XII (BX-II)， gamma和对数正态分布，(ii)三参数模型，如修正Weibull (MW)和Weibull- claim (W-Claim)分布，以及(iii)四参数分布，如新Weibull- Burr-XII (NWBX-II)分布。竞争分布的分布函数如下:gydF4y2Ba(我)gydF4y2BaLomax分布：gydF4y2Ba （ii）gydF4y2BaBX-II地理分布:gydF4y2Ba (3)gydF4y2Ba日志正态分布：gydF4y2Ba (iv)gydF4y2Ba伽马分布:gydF4y2Ba （v）gydF4y2BaW-索赔分配：gydF4y2Ba （vi）gydF4y2BaMW地理分布:gydF4y2Ba （vii）gydF4y2BaNWBX-II地理分布:gydF4y2Ba

为决定拟议和其他竞争性分布的良好性，我们认为某些分析措施。这些措施包括Akaike信息标准（AIC），贝叶斯信息标准（BIC），Hannan-Quinn信息标准（HQIC）和一致的Akaike信息标准（CAIC）。这些措施如下。gydF4y2Ba(我)gydF4y2BaAIC是给出的gydF4y2Ba （ii）gydF4y2BaBIC是给出的gydF4y2Ba (3)gydF4y2BaHQIC为gydF4y2Ba (iv)gydF4y2BaCAIC由gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba表示MLES评估的日志似然函数，gydF4y2BakgydF4y2Ba是模型参数的数量，以及gydF4y2BangydF4y2Ba为样本量。表中给出了模型参数的最大似然估计gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba，而分析结果在表中呈现gydF4y2Ba4gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

从表格gydF4y2Ba4gydF4y2Ba，很明显，拟议的分布的这些度量值比其他应用的模型要低。对分析数据集拟合的模型的pdf和cdf图绘制在图中gydF4y2Ba9gydF4y2Ba，而数据集的建议分布和箱图的Kaplan-Meier生存曲线图在图中勾勒出gydF4y2Ba10.gydF4y2Ba．从图中gydF4y2Ba9gydF4y2Ba，很明显，所提出的模型非常符合估计的PDF和CDF图。从图中gydF4y2Ba10.gydF4y2Ba，我们可以很容易地发现数据集有一个向右倾斜的重尾(箱形图)，并且ETX-Weibull分布与Kaplan-Meier生存图非常吻合。gydF4y2Ba

6.2。基于汽车保险理赔数据的VaR和TVaR计算gydF4y2Ba

在本小节中，我们使用在小节中分析的数据集的参数的估价值计算威布尔分布和etx -威布尔分布的VaR和TVaR测度gydF4y2Ba6.1节gydF4y2Ba．表中报告了数值结果gydF4y2Ba5gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

正如我们前面提到的，风险度量值较高的分布被认为具有较重的尾部。由威布尔分布和etx -威布尔分布的VaR和TVaR的数值结果如表所示gydF4y2Ba5gydF4y2Ba，很明显，所提出的分布比威布尔分布有更重的尾部，可以作为建模重尾保险数据集的一个很好的候选模型。gydF4y2Ba

7.结束言论gydF4y2Ba

本文提出了一种新的重尾索赔分布。为了便于说明，我们考虑了该族的一个特殊模型，称为ETX-Weibull分布。ETX-Weibull模型在建模重尾数据时非常灵活。推导了该族的一些数学性质，并得到了模型参数的极大似然估计。对这些估计器的行为进行了全面的仿真研究。还计算了ETX-Weibull模型的精算措施，并进行了仿真研究，以显示提出的方法在精算科学中的有用性。对精算措施的仿真研究表明，该模型具有较重的尾部。最后，对一个汽车保险理赔数据集进行了分析，并与其他知名竞争对手进行了比较。应用表明，ETX-Weibull分布可能是建模重尾保险数据集的良好候选。gydF4y2Ba

附录gydF4y2Ba

仿真研究的R码gydF4y2Ba

在以下R代码中，A用于gydF4y2Ba ，gydF4y2Bas用于gydF4y2Ba ，gydF4y2Ba和g用于gydF4y2BaγgydF4y2Ba．gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Ba图书馆（Rootsolve）gydF4y2Ba库(AdequacyModel)gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Ba#######从{etx-weibull}的大小n的Genertng随机样本gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Barnht_weibull =函数（par，n）gydF4y2Ba｛gydF4y2Ba一个=标准[1];s =[2]相当;g =持平gydF4y2Bau = runif (n)gydF4y2Bax = c ()gydF4y2Bafor（i在1：n）gydF4y2Ba｛gydF4y2BaF = function(x) (1-exp(-g)gydF4y2Ba^*gydF4y2Bax ^ a））gydF4y2Ba^*gydF4y2Ba(s - 1) - u(我)gydF4y2Ba^*gydF4y2Ba(s - (1-exp (ggydF4y2Ba^*gydF4y2Bax ^)))gydF4y2Bax[我]= rootSolve:: uniroot。所有(f, interval = c(0,100000))gydF4y2Ba｝gydF4y2Bareturn（x）gydF4y2Ba｝gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Ba####### {etx-weibull}的pdfgydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Badnht_weibull < - 函数（par，x）gydF4y2Ba｛gydF4y2Ba一个=持平gydF4y2Bas =杆gydF4y2BaG =杆gydF4y2Ba（一种gydF4y2Ba^*gydF4y2BaggydF4y2Ba^*gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba^*gydF4y2Ba(s - 1)gydF4y2Ba^*gydF4y2Ba(x ^ (a - 1))gydF4y2Ba^*gydF4y2Baexp (ggydF4y2Ba^*gydF4y2Bax ^ a）/（（s-1 + exp（-g * x ^ a））^ 2））gydF4y2Ba｝gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Ba####### {ETX-Weibull}的cdfgydF4y2Ba###############################################################gydF4y2BapNHT_Weibull < -函数(par, x)gydF4y2Ba｛gydF4y2Ba一个=持平gydF4y2Bas =杆gydF4y2BaG =杆gydF4y2Ba1 - （（sgydF4y2Ba^*gydF4y2Baexp (ggydF4y2Ba^*gydF4y2Bax ^) / (s - 1 + exp (ggydF4y2Ba^*gydF4y2Bax ^)))gydF4y2Ba｝gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Ba####### {ETX-Weibull}的对数似然函数gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Baloglikelihoodnht_weibull < - 函数（par）gydF4y2Ba｛gydF4y2Ba一个=持平gydF4y2Bas =杆gydF4y2BaG =杆gydF4y2Ba辅助= (s - 1 + exp (ggydF4y2Ba^*gydF4y2Bax ^ a））gydF4y2Baif（a> 0 && s> 1 && g> 0 && min（x）> 0 && min（aux）> 0）gydF4y2Ba｛gydF4y2Baw = log（a）+ log（s）+ log（g）+ log（s-1）+（a-1）gydF4y2Ba^*gydF4y2Balog（x） - （ggydF4y2Ba^*gydF4y2Bax ^ a）-2gydF4y2Ba^*gydF4y2Ba日志（AUX）gydF4y2Ba返回（总和（w））gydF4y2Ba｝gydF4y2Ba别的gydF4y2Ba｛gydF4y2Ba返回(-9999999.9)gydF4y2Ba｝gydF4y2Ba｝gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Ba#######用于{ETX-Weibull}仿真研究的函数gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2BaPar <-C（0.9,1.2,0.5）;a = 0.9;s = 1.2;g = 0.5gydF4y2Ban_replicas = 1000gydF4y2Bamatriz_par < - 矩阵（0,40,3）gydF4y2Bamatriz_bias < - 矩阵（0,40,3）gydF4y2Bamatriz_MSE < -矩阵(0,40岁,3)gydF4y2Bamatriz_std < - 矩阵（0,40,3）gydF4y2BaColnames (matriz_par) <- c(" a "， " s "， " g ")gydF4y2BaColnames (matriz_bias)<- c(" a "， " s "， " g ")gydF4y2Bacolnames（matriz_mse）< - c（“a”，“s”，“g”）gydF4y2Bacolnames（matriz_std）< - c（“a”，“s”，“g”）gydF4y2Ba续= 1gydF4y2Ban = 25gydF4y2Ba而(n < = 1000)gydF4y2Ba｛gydF4y2Bapar_mean <-c（0,0,0）gydF4y2Bastd_mean <-c（0,0,0）gydF4y2Ba偏见<-c（0,0,0）gydF4y2BaMSE < - c (0, 0, 0)gydF4y2Ba复制= 1gydF4y2Ba而(< = n_replicas复制品)gydF4y2Ba｛gydF4y2Ba打印（粘贴（“n =”，n，“，副本=”，副本）））gydF4y2Bax < -rNHT_Weibull (par, n)gydF4y2Ba数据<-x.gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Ba##########优化和生成模拟结果。gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Baresult=optim(c(a, s, g)， loglikelihood dnht_weibull, hessian = F，gydF4y2BaControl = list(fnscale = -1)，gydF4y2Ba方法= " L-BFGS-B ",降低= c(0.001, 1.001, 0.001),上层= c (5 5 5))gydF4y2BaIf (class(result) != " try-error " && result\$收敛== 0)gydF4y2Ba｛gydF4y2BaPar_ {m}ean + Par_ {m}ean + Par_ {m}ean + Par_ {m}ean + Par_ {m}ean + Par_ {m}ean + Par_ {m}ean + Par_ {mgydF4y2Babias = bias +（结果\ $ par - par）gydF4y2Ba= MSE +(结果t$par - par)^2gydF4y2Ba副本=副本+1gydF4y2Ba｝gydF4y2Ba｝gydF4y2Bapar_mean = par_mean / n_replicasgydF4y2Babias = bias / n_replicasgydF4y2BaMSE = MSE / n_replicasgydF4y2Bamatriz_par [cont，] = par_meangydF4y2Bamatriz_std [cont，] = std_meangydF4y2Bamatriz_bias [cont，] =偏置gydF4y2Bamatriz_MSE[控制]= MSEgydF4y2Ba打印(意思= ")gydF4y2Ba打印(par_mean)gydF4y2Ba打印（“偏见=”）gydF4y2Ba打印(偏见)gydF4y2Ba打印（“MSE =”）gydF4y2Ba打印（MSE）gydF4y2BaN = N + 25gydF4y2BaCont = Cont +1gydF4y2Ba｝gydF4y2Ba打印(matriz_par)gydF4y2Ba打印(matriz_MSE)gydF4y2Ba打印(matriz_bias)gydF4y2Ban = seq (25, 1000, 25)gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Ba##########参数绘图gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Ba情节(n (matriz_par[1]),类型=“o”,上校=“绿色”,lty = 1, lwd = 2, xlab =“n”,gydF4y2BaYlab =“估计参数”，Ylim = C（0,3））gydF4y2Ba行(n (matriz_par[2]),坳=“蓝色”,lty = 5, lwd = 2,类型=“o”)gydF4y2Ba行(n (matriz_par[3]),坳=“红色”,lty = 8, lwd = 2,类型=“o”)gydF4y2Ba标题(“估计参数与n的关系图”)gydF4y2Ba图例（700,2.8，Legend = C（表达式（粘贴（alla，“=”，“0.9”）），gydF4y2Ba表达式(粘贴(σ,“=”,“1.2”)),gydF4y2Ba表达（粘贴（伽玛，“=”，“0.5”））），gydF4y2Balty = c（1,5,8），cex = 1，col = c（'绿色'，'蓝色'，'红色'））gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Ba########## MSES的绘图gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Ba情节(n, matriz_MSE[1],坳=“绿色”,lty = 1, lwd = 2,类型=“o”,xlab =“n”,gydF4y2Baylab = " MSE " ylim = c (0, 6))gydF4y2Ba行（n，matriz_mse [，2]，col =“blue”，lty = 5，lwd = 2，type =“o”）gydF4y2Ba行（n，matriz_mse [，3]，col =“红色”，lty = 8，lwd = 2，type =“o”）gydF4y2Ba标题（“MSE vs n的图”）gydF4y2Ba传奇（700,5.5，Legend = C（表达式（粘贴（alla，“=”，“0.9”）），gydF4y2Ba表达式(粘贴(σ,“=”,“1.2”)),gydF4y2Ba表达（粘贴（伽玛，“=”，“0.5”））），gydF4y2Balty = c（1,5,8），cex = 1，col = c（'绿色'，'蓝色'，'红色'））gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Ba##########绝对偏差图gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Ba情节(n, abs (matriz_bias[1]),类型=“o”,上校=“绿色”,lty = 1, lwd = 2, xlab =“n”,gydF4y2Baylab =“绝对偏差”,ylim = c (1.5 0,))gydF4y2Ba行(n, abs (matriz_bias[2]),坳=“蓝色”,lty = 2, lwd = 2,类型=“o”)gydF4y2Ba行（n，abs（matriz_bias [，3]），col =“红色”，lty = 3，lwd = 2，type =“o”）gydF4y2Ba标题（“绝对偏见vs n”））gydF4y2Ba传奇（700,1.4，Legend = C（表达式（粘贴（alla，“=”，“0.9”）），gydF4y2Ba表达式(粘贴(σ,“=”,“1.2”)),gydF4y2Ba表达（粘贴（伽玛，“=”，“0.5”））），gydF4y2Balty = c（1,5,8），cex = 1，col = c（'绿色'，'蓝色'，'红色'））gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Ba##########绝对偏差图gydF4y2Ba###############################################################gydF4y2Ba绘图（n，（matriz_bias [，1]），type =“o”，col =“green”，lty = 1，lwd = 2，xlab =“n”，gydF4y2Baylab = "偏见" ylim = c (1.5 0,))gydF4y2Ba行（n，（matriz_bias [，2]），col =“blue”，lty = 5，lwd = 2，type =“o”）gydF4y2Ba行(n (matriz_bias[3]),坳=“红色”,lty = 8, lwd = 2,类型=“o”)gydF4y2Ba标题(“偏差图vs n”)gydF4y2Ba传奇（700,1.4，Legend = C（表达式（粘贴（alla，“=”，“0.9”）），gydF4y2Ba表达式(粘贴(σ,“=”,“1.2”)),gydF4y2Ba表达（粘贴（伽玛，“=”，“0.5”））），gydF4y2Balty = c（1,5,8），cex = 1，col = c（'绿色'，'蓝色'，'红色'））gydF4y2Ba

数据可用性gydF4y2Ba

这项工作主要是方法学的发展，并已应用于与保险科学有关的次级数据，但如果需要，将提供数据。gydF4y2Ba

信息披露gydF4y2Ba

本文由第一作者(Zubair Ahmad)的博士论文起草。gydF4y2Ba

的利益冲突gydF4y2Ba

作者声明他们没有利益冲突。gydF4y2Ba