电缆力量优化，通用斜拉桥配重

摘要

在斜拉桥，尤其是不对称的桥梁中，始终使配重与电缆预张力部队一起工作以获得合理的完成状态。为了解决考虑配重的缆绳桥梁的优化问题，提出了用于估计电缆力和配重的集成优化方法（IOM）。在该方法中，提出了对配重作用于锚点的配重。之后，最小加权总弯曲能量和配重的概要的概述被认为是多目标问题的两个目标函数。最后，使用动态加权系数方法来解决这个问题并实现帕累托解决方案集。IOM在一个简单的数字模型中提供了详细的程序，然后将其应用于永鼎特殊形状的斜拉桥。结果表明，由于IOM可以实现配重的装载位置的优先选择，而且还因为引入配重维度而获得更好的合理的整理状态;动态加权系数方法可以快速找到Pareto最佳解决方案集，并通过决策者进一步筛选;配重非常有助于减少缆绳座椅中的扭转和其他空间效果。IOM可用作缆绳座椅的通用优化方法。

1.介绍

斜拉桥是超静定结构，其结构性能受预应力的影响很大。因此，索预紧力的确定在设计过程中至关重要。

但近年来，随着斜拉桥向大跨度、空间化、艺术化的方向发展，各种奇形怪状的斜拉桥越来越多地出现[1- - - - - -3.］．有时不能通过单独调节电缆力来实现合理的终点;配重用于与电缆预张力的工作一起工作[4］．例如，在大跨径斜拉桥中，边跨常采用比跨中钢箱梁重的混凝土梁，或增加额外的配重来平衡主跨的自重[5］．此外，曲线桥[1]或特殊形状的桥梁[2，3.，平衡物常用于控制结构在横向方向上的不对称效果。

在文献中提出了几种方法，用于确定缆绳留桥的预张力力[6，7]，可分为四种类型:特定结构条件下的优化方法、最小弯曲能量法、单位荷载法和数学优化方法。

指定结构状态的优化方法采用电缆缓存桥结构作为优化目标的内部力和位移，并且限制通常被设置为指定的值或可行区域。Wang等人。[8针对锚固点垂直位移为零，提出了斜拉桥零位移法;Chen等[9]后来提出了力平衡法。该方法能考虑梁的附加弯矩，比零位移法更合理。这些方法的优化目标和力学概念明确，计算过程方便。但不能同时考虑塔和梁的受力和变形。

弯曲能量最小方法的目标函数综合地考虑了主梁和桥梁的力和变形，反映了电缆力优化的基本特征，可以获得更合理的优化结果。基于最小弯曲能量理论，梁等。[10提出了一种实用的预紧力估算方法，该方法在国内得到了广泛应用。然而，由于缺乏约束条件，PM只能在桥梁初步设计阶段发挥作用。宋等人[2]，采用带约束的弯曲能量最小法，将目标函数导出为后张拉索力的二次形式，并将该方法应用于毛罗西斜拉桥，表明该方法对非对称斜拉桥具有很大的适用性。

单位负荷法[11]是建立索力与目标函数关系的环节，也是一种综合的索力优化工具。宋等人[2， Li等人[12， Hassan等[13]采用单位荷载法建立了弯曲能量最小或位移汇总的数学优化模型。

建立模型后，数学优化方法可以发挥其作用。它们可以根据不同类型斜拉桥的结构特点选择目标函数、约束条件和优化算法，所得到的结果也可以考虑斜拉桥各构件的受力和变形，具有较强的适用性。哈等人[14考虑非线性非弹性特性（单目标），使用遗传算法（GA）到最佳停留电缆的钢斜拉桥的最佳停留电缆。Hassan等人。[13[使用加权系数方法将结构的形状作为目标，并通过Ga实现了多目标优化[15，16］．这种方法的缺点是显而易见的。(1)加权系数是敏感的，需要一定的经验来确定。(2)由于Pareto解的缺失，使其仍然是单目标优化。一些更知名的优化技术还包括模拟退火算法[1，17，粒子群算法[18，19］．它们具有全局收敛性好、通用性强、易于并行处理等优点，被广泛应用于结构优化设计领域。尽管有这些优点，但当面对多目标优化时，这些方法要么过于昂贵而难以学习，要么不是真正的多目标优化。

Lee等人。[20.]考虑了配重的影响，但不涉及配重的计算。Song等人[5]，以某大跨度斜拉桥为例，假设边跨配重为连续均布荷载，采用爬山算法计算考虑配重的桥梁索力。该方法的权值连续均匀分布的假设限制了其应用场景。此外，爬山算法效率低，容易陷入局部收敛。到目前为止，对配重斜拉桥的优化问题还没有系统有效的研究。大多数工程师仍然使用人工迭代进行多次试验计算，以协调和优化初始张力和配重。该方法工作效率低，目标状态效应不稳定，不能充分发挥斜拉桥的性能。

在此基础上，提出了一种适用于非对称斜拉桥的考虑配重的通用集成优化方法。首先阐述了算法的优化方案。其次，通过某斜拉桥沿桥向非对称的数值模型，对该算法的计算过程进行了论证，并与弯曲最小能量法和不考虑配重的协调优化法进行了比较研究。最后，将IOM应用于高度不对称的永定河异型斜拉桥，对配重分布和空间扭转等问题进行了详细的研究和论证。

2.优化配方

２.１.设计变量

通过调节预张力以优化目标函数来实现电缆撑杆桥的合理完成的死状态。如图所示1，在不考虑配重的情况下，可将该函数视为平面上的一条优化曲线W = 0, and its minimum value is recorded as the local best point一个在飞机上。但在计算配重时，目标函数可扩展为包含优化曲线的三维优化曲面。优化表面上的最低点可以被认为是空间全局最佳点B．这很容易知道f（B)≤f（一个)．

一开始，设计师并不知道配重应该布置在哪里。为了解决这个问题，我们可以假设配重作用于所有锚点，配重的数量对应于索的数量。求解完成后，只要计算出的Wi值很小或为零，即可认为锚固点是未加权的。首先，设计变量可以表示为 在哪里T是电缆的预张力，W是锚点的配重，和n是电缆的数量。

２.２.目标函数

目标函数确定了斜拉桥的合理完工状态。弯曲能量最小法不仅综合考虑了主梁和桥塔的内力，而且反映了索力优化的本质特点。将各单元弯矩平方和的总和定义为弯曲能，弯曲能可以用阵列表示为 在哪里 ， = 1, 2, 3，···，n．为元素我，和分别为截面长度和转动惯量。是年轻的材料模量。引入刚度B可根据不同单元的承载力分配弯矩，使各单元的应力基本保持一致。是在死载状态下元素左端的弯矩矢量。为恒载状态下单元右端弯矩矢量。可以整理如下: 在哪里 ， ，和 ． 和代表单元变量的动作下元素的左右弯矩的影响矩阵X；和分别表示合理完成状态恒载作用下单元左、右端弯矩矢量。

不难看出，不同的锚点在改变主要目标函数时具有不同的效率。设计者希望通过在一些最佳的有效锚固点上添加少量的平衡物来获得一个合理的桥梁状态。平衡的总结 可以设置为二级目标函数，使得有限的配重将偏向有效的锚点;其他将自动设置为零。以这种方式，同时也将限制配重的数量。影响矩阵的表达形式是

2.3。约束

设置约束的目的是限制允许工程范围内的设计变量的数学解。在确定各种缆绳座桥的合理完成状态的过程中，有五种可能的约束。

2.3.1。电缆力的约束

在哪里是电缆力的下限值，是索力的上限值，和是死载下的电缆力;为单位索力和配重作用下索力的影响矩阵。

2.3.2。电缆力均匀性的约束

如果只采用索力约束条件进行优化，得到的索力分布可能非常不均匀。有必要引入相邻斜拉索的索力分布作为索力均匀性条件。设同一索平面上三个相邻斜拉索的索力为 ， ，和 ．索力的均匀性定义为 ，影响矩阵的表示形式为 ，在哪里

索力均匀性约束定义为 在哪里和为索力均匀性的最小值和最大值。

2.3.3。位移的约束

根据恒载对位移的影响，结构位移约束条件可表示为

， 为位移的上下限;为结构在恒载作用下的位移;单位电缆力和配重的结构位移的影响矩阵。

2.3.4。内力约束

线性刚度的引入B在主目标函数中可以根据不同单元的承载能力分配适当的弯矩，使各单元的最大应力保持在一定的水平。因此，不需要对整个结构进行内力限制。仅在某些情况下，可能需要对某些特殊截面进行内力控制，约束条件可设为 在哪里是内部力的下限;是内部力的上限;是死载下结构的内部力;和是单位电缆力和配重的结构内力的影响矩阵。

2.3.5。相对位移的约束

对于异形斜拉桥，如断面工程应用中永定桥的双梁模型，为防止结构在横向产生过大的扭转变形，仍需限制两梁竖向位移的差异，同时，也可采用同样的方法考虑塔的两肢沿桥向位移的差异。可表示为结构相对位移: 在哪里 ， 为相对位移的下限和上限;在结构的死载下主要梁或塔之间的位移差异是;是在单元电缆力和配重下主梁或塔之间的位移差的影响矩阵。

２.４.多目标优化

两个目标功能（U和年代)已在本组成立2.2，这构成了一个多目标优化问题。

单目标优化问题通常只有一个最优解，通过比较简单常用的数学方法或程序工具箱可以得到最优解。而在多目标优化问题中，目标函数是相互制约的。提高一个目标的性能常常是以降低其他目标的性能为代价的。不可能有一个能优化所有目标性能的解，所以对于多目标优化问题;答案通常是一组非劣解——帕累托解。

求解多目标优化主要有两种解决方案:(1)以NSGA-II为代表的智能算法[21];（2）加权系数法表示的传统优化方法[15］．

传统的加权系数优化方法的缺点在于权重选择的随意性。由于工程技术人员难以确定最优加权系数，因此得到的设计变量具有很强的任意性。实际上，权系数的任意选择对应于多目标优化中的Pareto最优解集。

设弯曲能之和的重量系数为U_x权重之和的权重系数为年代_x，一个单目标函数 通过传统的线性加权系数方法建立。乘以双方U_x假设 ，我们有 在哪里F（x）仅反映数值关系，并且不代表任何物理意义。在解决实用程序函数的最小值之后，设计变量应替换为原始目标函数以具有其物理含义。

如图所示2，权重系数越大 ，值越大U而且值越小年代．当 > (待确定)时，次目标函数值为零，则问题简化为不考虑配重的桥梁索力优化问题。当非常小,F几乎不受年代和U将逐渐稳定U_最小值，这对应于可以通过随机重量找到的弯曲能量的最小概述。当= 0，影响年代消失了。

综上所述，非对称斜拉桥的合理完成状态可表示为: 在哪里F（X）是二次编程形式的单目标实用功能，省略持续术语。它包含主要目标函数U和二级目标函数年代．值得注意的是是一个变量。对于不同的加权系数 ，不同的解决方案F（x)。然后，将的解代入，得到帕累托的解F（x)U（x),年代（x)．只要取多个加权系数，就可以得到一系列的解，形成一个完整的帕累托解。 是从上一节中选择的约束条件。例如，考虑内力约束时，式(9）可以表示为 ，所以一个是和b是 ．

2．5．优化过程

数字3.示出了考虑配重的IOM算法的流程图。其中，如果所有配重都被排除在设计变量之外，则可以同时实现不考虑配重的CM。(1）建立斜拉桥的有限元模型。（2)提取斜拉桥在成桥恒载作用下的位移、索力和内力的影响向量。求出斜拉桥在单位索力作用下的位移、内力和索力的影响矩阵。提取在单位配重作用下斜拉桥的位移、内力和索力的影响矩阵。（3）取T作为设计变量，不考虑配重;制定合理的约束条件;建立了COM的数学模型并求解。(4）如果解决方案T₀和U₀不能求解，修改约束条件，重新求解。如果有解，则认为一组预紧力的结果为T₀弯曲能的总结被认为是U₀．如果不满足计算，修改约束条件只能到达无法解决的情况。然后，必须考虑配重。(5）介绍了运用;取X作为一个独立的变量。建立IOM的数学模型并解决。（6）如果解不能解，修改约束条件，重新解。如果有解，根据帕累托曲线选择最优;一组预紧力的结果被认为是X₁，弯曲能量摘要被认为是U₁．如果不满足计算，请再次修改约束，然后再次进行满意度。

3.数值例子

本节介绍了一座简单的斜拉桥数字模型。侧跨到中间的比例为0.55，显示沿桥的不对称性。三种不同的优化方案用于优化合理的结束状态：（1）弯曲能量最小的实用方法（PM）[12(2)不考虑配重的协调优化方法(COM);(3)考虑锚点配重的综合优化方法(IOM)。并对三种相应的合理完成状态进行了比较。

３.１.例描述

在ANSYS软件中建立了斜拉桥的仿真模型。整个结构沿跨度的中间对称。半结构的几何尺寸和可变数如图所示4．整个结构沿中坡对称，因此建立了半系统有限元模型。中跨跨度为120米，侧跨度为55米。主塔在桥式甲板上方45米，桥式甲板下方15米。塔和梁合并在一起。塔和梁的结构材料是钢，表格中的具体材料参数如表所示1．

共有12个设计变量，分别为6根索的预紧力(T)及6个配重的值(W)．当支线长度小于500μm时，支架电缆的非线性几何效果不强，并且通过将靠近目标状态的电缆力值施加到支撑电缆的电缆力值来校正弹性模量足够准确[20.］．在这种情况下，使用恩斯特公式计算弹性模量约简T= 1200kn，修改后的电缆弹性模量为:

３．２．计算过程

在每个电缆点位置的单位重量下，主要目标函数的影响向量显示在图中5．侧跨配重一般能减小主目标函数，且收益为正。跨中配重增加了弯曲能量，不适合配置。此外，配重在外部锚点的影响W11为最佳，配重设计时应主要集中在侧跨侧点。在大跨径斜拉桥中，配重一般布置在侧跨外侧，这也可以从前面讨论的配重效率中得到解释。

与年代为自变量和U为因变量，可绘制帕累托边界散射图，如图所示6．配重（三角形）的零位置用作COM优化结果，并且配重的150 kn位置（五角星）是IOM优化结果。

通过分析可以发现，以加权系数为自变量的单目标优化方法也可以得到与多目标优化相似的Pareto目标解。其理论基础最简单，易于工程师接受。

4.结果分析

设计变量结果如图所示7．协调优化方法不向所有正效应点添加配重(W11日∼W13在图中4)，但只在W11、最高效的节点。添加配重后，索力分布无明显变化。

结构弯矩的比较如图所示8．无论点或使用COM,主梁的弯矩本质上是相同的,但塔的底部弯矩使用COM是只有一半的点,表明桥塔在这个例子的刚度很小,和主梁弯矩的变化更敏感。与不考虑配重的斜拉桥优化相比，IOM显著提高了边跨外主梁截面的弯矩，同时桥塔弯矩几乎为零。从图中可以看出塔架弯矩的大小差异，图中塔架弯矩的改善并不明显6．3e13的差值只有COM值的1/8，这可能是由于塔的刚度较弱造成的。结构变形对比如图所示9．PM变形最大，COM次之，IOM变形最小。桥塔在合理完工状态下的弯矩和位移基本为零。

5.工程应用

5.1。项目概述

永定河异型斜拉桥主塔外形为不均匀倾斜的双塔柱拱结构。桥塔双塔柱中心线在塔底沿桥间距25.1米，形成同一塔的双塔柱不均匀倾斜。斜拉索采用竖琴式布置，间距渐变，塔上索间间距为2.90~7.26 m。主塔高于桥面的垂直高度约为112.195米，北塔柱倾角约为61.251°。桥面以上低塔垂直高度约为76.5米，南塔柱倾角约为71.127°。数字10图为永定河大桥总体布置及电缆编号。

5.2。有限元模型

在MIDAS CIVIL软件中建立了三维有限元模型。如图所示11，横向与纵向之间不存在对称关系，表现出高度不对称。桥架中有112根电缆，杨氏模量的修正视为所有电缆的初始张力为3000 kN。

该桥为斜拉桥，采用塔梁加固体系。高塔与梁、墩加固。低塔用梁加固，然后在桥墩上设置滑动轴承。塔梁的连接、塔与塔塔支座的连接、主梁节点与斜拉索节点的连接、塔节点与斜拉索节点的连接均采用“主从约束”刚性连接进行模拟。采用弹性连接的方法对侧墩进行了模拟。

整体结构模型共3857个节点和4941个元素。

5．3.集成优化

设计变量为112根索的初始张力和112个锚点配重，共224个设计变量。在复杂模型中，PM方法的适用性难以保证。因此，在本项目中只比较了IOM和COM。主目标函数选取南北主梁与桥面上方桥塔的弯曲应变能之和(不含桥面弯矩)，次目标函数选取锚固点上配重之和。相似的数据2和6，权重系数设定为10¹³对于IOM和10²³COM。

调整后几种不同条件下的约束如表所示2．预紧力约束的下限为防止拉索松弛，上限为防止拉索断裂;在试验计算的索力基础上，给出了均匀性约束的对称上下限，此处极限值为100;配重约束可以给定一个最大值。

使用COM_1，沿桥梁的最大位移只能限制在0.03米，并且最大扭转位移只能限于0.08米，这非常不令人满意。但是，如果限制继续COM_2被拧紧，该算法将不收敛，表明最大值问题不能这些限制之内得到解决。一个fter considering counterweights, IOM_1 can make it solvable under COM_2’s constraints and IOM_2 can continue to tighten the displacement constraint, and the torsion of the bridge deck can even be limited within 0.01 m. The following COM default to COM_1 and IOM default to IOM_2.

6.结果分析

IOM得到的设计变量如图所示12．由于桥塔的异形特性，南北梁上的索力分布没有表现出一定的规律性，也没有随索长增加而增大。在北主梁中跨索的预紧中，随着索长的增加，预紧甚至有减小的趋势。

根据图中配重的分布情况5，它的作用可以分为两点：（1）平衡侧跨和中间负载。与部分相同3.，侧跨应优先相对于中跨平衡;(2)平衡南北主梁的空间效应，即跨中配重应错开在南北主梁上。

在永鼎河的斜拉桥桥梁中，配重反映了分散分布的特点，并在外面浓密但内部稀疏。“北侧的配重集中在高塔的侧跨度和低塔的中间。除了高塔侧跨度的两个配重外，南侧的配重集中在中坡和高塔的低跨度。交错配重的特点可以确保配重的有效性，同时在补偿非均匀倾斜的桥塔时起着一定的作用。另一方面，侧跨度的重量密度显着高于中间跨度的重量密度，这可以由于沿桥梁方向的不对称跨度比而平衡中间跨度的过度负荷。

南北主梁的竖向位移如图所示13．考虑主梁竖向位移，两种方案均限制在5 cm以内。COM南北主梁竖向位移呈现相反的移动趋势，同一断面竖向位移差最大达到7 cm。

在反复调整约束条件后发现，仅考虑索力的调整不能将南北主梁的竖向位移约束在目标范围内，考虑配重是非常必要的。在此基础上，可将轴向梁南北扭位移差的约束条件收紧为[−0.01,0.01]。可以在图中找到14与不考虑配重的情况相比，扭转位移差异显着改善。

在合理的完成状态下，结构的剩余参数的最大值如表所示3.．主要目标函数U和次要目标函数年代使用COM小于IOM。换句话说，桥塔的弯矩和主光束的弯矩较小地反射在结构的内力中。然而，观察者不应错过沿桥梁方向和主要梁的塔的位移状态的大大改善。IOM增加了配重尺寸，扩大了目标函数值的可行范围，收紧约束条件，并限制了理想范围内的桥塔位移和桥甲板扭转。

7.结论

为解决某非对称斜拉桥的合理完工状态，提出了考虑锚固点配重的综合优化方法:(1）与爬山算法相比，IOM效率高，收敛良好。锚点上的配重的假设适用于所有缆绳槽桥，基于简单的结构力学，可以容易地转换为均匀的重量。（2)配重对提高斜拉桥的合理完工状态具有重要意义。IOM引入了配重维数，扩展了优化空间，获得了比COM更好的桥态。通过改变权重系数，IOM可以提供大量的Pareto解决方案(包括COM)供选择。（3）当约束条件不严格时，采用IOM的主目标函数优于COM。在简单斜拉桥模型对比情况下，IOM无需手动判断受力位置，即可自动将配重布置在最有效的索点，大大改善了结构状态。(4）当约束是严格的时，IOM在目标函数中使用小幅增加，以换取限制条件的收紧，这提高了结构的位移状态使得算法继续收敛。在研究永鼎河的合理完成状态的研究中，COM无法在约束条件下找到令人满意的解决方案，但IOM可以更好地完成。

数据可用性

本手稿中的数据是从构建的有限元模型获得的。

的利益冲突

提交人声明有关本文的出版物没有利益冲突。

致谢

作者非常感谢中国铁道科学院集团有限公司中国院校的财政支持。

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