经济动态的5D模型中的Hypercrater分岔、吸引子共存和展开

摘要

利用数值方法研究了Asada等人提出的离散区域间宏观动力学模型的复杂动力学特征。模型是五维的，有四个参数。结果表明了高维离散系统的动态行为模式，如分叉过程和吸引子共存。在二维参数子空间的三种情况下，确定了平衡区域的稳定性，并利用必要系数准则确定了平衡区域的边界，即flip和Neimark-Hopf分支曲线。在第一种情况下，闭合不变曲线(CICs)通过5d -火山口型分叉出现，并且在一定的参数值范围内，稳定平衡与与亚临界分叉相关的不稳定CIC以及外部稳定CIC共存。第二种情况的一个显著特征是两个吸引的CICs在稳定区域之外共存。在这两种情况下，相关的迟滞效应都用数值模拟加以说明。在第三种情况下，一个显著的特征是，在一个具有吸引力的中投演变为一个混乱的吸引者之前，它的表现是明显的。在相空间的子空间中给出了CICs和混沌吸引子的例子。

1.介绍

我们认为，经济交易的两个区域之间有固定的汇率5D非线性离散时间模型。该模型是卡尔多[原始想法的延伸1这可能与分析货币一体化下的两个国家之间的经济相互依赖有关，比如欧元区的两个国家。这两个地区通过贸易和资本流动在经济上相互作用。我们注意到Asada研究了连续时间内类似的5D区域间模式[2还有马利克和辛卡[3.］.本模型中，第一次浅田等人研究。[4.]，主要采用解析方法，而Asada等人则提出了相应的弹性汇率模型，并进行了数值探索．[5.］.Lorenz还研究了其他基于区域间贸易互动的两区域Kaldorian商业周期模型[6.]及Puu [7.］.

在过去的研究中（见[8.]，以下简称论文一）我们对该模型进行了数值探索，并确定了商业周期出现的交易阈值。在本文中，我们进一步进行数值探索，以揭示模型动力学的不同方面。目的之一是说明数值方法对高维动态系统的可行性和有效性抗张性和几个参数。

目前的探索涉及参数范围的三种典型情况。在每一种情况下，我们用数值方法确定了参数空间中的稳定区域，并将flip和Neimark-Hopf分支曲线作为该区域边界的一部分。我们还计算分岔和李雅普诺夫指数图，这些图提供了发生的闭合不变曲线(CICs)和导致它们发生的分岔类型的信息。

这里的具体目的是说明在这个模型中出现的渐近动态行为的某些显著模式，据作者所知，这在高维系统中还没有出现过。事实上,在第一种情况下考虑CICs发现通过“灾难性”5 d-crater-type分岔,由于存在一个地区的模型的参数值的稳定平衡经济与一个吸引中投共存,以及亚临界分岔的排斥中投的特点。我们详细地探讨了这个分叉过程的事件，并通过数值模拟说明了相关的迟滞效应。在第二种情况下，CICs首先以超临界分岔的形式出现，一个显著的特征是吸引CICs的共存和不连续连续，发生在稳定区之外。再次，我们探索这种吸引子共存的情况，并说明相关的滞后效应。在第三种情况下，CICs同样以超临界分岔的形式出现，在这种情况下，一个显著的特征是有吸引力的CIC的展开。相空间部分给出了与CICs相对应的波动和经济变量的混沌行为的例子。

论文的内容如下。节2我们简要地给出了模型的方程。节3.我们提出平衡和简要的位置在参数空间和该区域的边界曲线，即翻转和Neimark-Hopf分岔曲线的各节讨论的稳定区域。我们在三种情况考虑勘探的结果提出，在稳定区域和分岔和Lyapunov指数图的形式，并在部分中讨论4.来6.．部分7.总结并得出结论。

2.模型方程

我们考虑Asada等人提出的固定汇率下Kaldorian区域间动态的5D模型[4.］.本文所探讨形式的模型方程为以下5个非线性差分关系: 这里我们有缩写 两个地区的名义货币供应总额固定为，函数是卡多里安人的特殊情况吗S.给出的投资函数对收益的依赖关系 下标区域和的索引号是多少表示时间段。价格水平被认为是固定的，系统变量的含义如下。是地区的实际收入，实际的实物资本存量名义货币股票。模型的参数为各地区商品市场调整速度，资本流动程度，以及区域间贸易的程度．对于模型的完整描述和它的经济基础，我们是指一纸

3.平衡稳定性与分岔

很容易发现，该体系在 除是积极的,和．也是正的，均衡是正的，如果 平衡点的稳定性由该映射的雅可比矩阵的特征多项式的根决定(2．1）： 而为了稳定一切的根源必须在复平面的单位圆内。我们数值确定稳定区域的基本工具是网格搜索技术。这涉及到计算特征多项式及其在二维参数空间中稠密网格节点上的根，并绘制平衡稳定的点。

翻转分岔曲线用系数关系表示 为必要条件，而neimmark - hopf分岔曲线作为必要条件必须满足的系数关系，则需要特征多项式的两个根具有单位积(见论文I)(稠密网格的点): 每个(3．4） 和 （3．5）表示的模型参数之间的关系那．对于两个参数的固定值所代表的其余两个参数中的其余参数的平面内提供一个或多个曲线之间的关系。从所产生的曲线段（3．4)形成稳定区域边界的翻转分岔曲线部分，类似地，由(3．5)形成边界的Neimark-Hopf分岔曲线部分。在这样的参数平面CICs中，循环行为的离散等价是由Neimark-Hopf分岔曲线上的分岔局部产生的。

分岔是由离散系统的Neimark-Hopf分岔定理在理论上建立的(见[9.那10])。该方法成功地应用于高维系统的分岔预测，在分岔参数临界值处的雅可比矩阵的关键特征值对的相同假设下，附加了其他特征值都满足稳定性准则的似是而非的条件，利益是指均衡失稳时发生的CICs。

在超临界分岔的情况下，当平衡失去稳定性时，吸引的CIC从平衡中诞生。在亚临界分岔的情况下，另一方面，平衡失去稳定性，因为排斥的CIC在其上崩溃。这两种分岔都是局部的。然而，亚临界分岔之前通常有一种全局分岔，其中在稳定区域内也会产生一个有限振幅的吸引CIC。在这种情况下，我们有两个不同类型的吸引子共存，平衡点本身和一个稳定CIC，不稳定CIC也存在。这个过程始于在稳定区域内产生两个CIC当平衡在分岔曲线上失去稳定性时，开始和结束。在稳定区域外，只剩下稳定的外部CIC。这种两相分岔过程有时称为弧坑分岔（参见[11]). 它可以被认为是在失去平衡稳定性时发生的灾难性事件，因为这一过程中所涉及的经济稳定状态的演变缺乏连续性。请注意，如Benhabib和Miyao所述[12从经济的角度来看，超临界和亚临界轨道似乎都是可信的。然而，在经济动态中，通常是超临界稳定CICs被视为程式化的业务或增长周期。

在下一节中，我们将讨论模型参数范围的三种具体情况下的一些有趣的动态。

4.超火山口分岔、点共存和CIC吸引子

在本节中，我们假设两个地区的商品市场调整速度相同并采用价值用于普通速度的调整。然后剩下两个参数和的模型。这种情况最清楚地展示了区域的经济相互作用，因为它使区域相互作用参数自由变化，使人们能够探索区域相互作用对经济动态的影响。通过我们的网格搜索技术找到的这种情况下的稳定区域如图所示1．由关系产生的曲线的所有分支(3．4） 和 （3．5)，但很容易看到形成稳定区边界曲线的相关分段。表示条件的曲线(3．2)的正平衡也被画成一条连续的线(在图的底部)。该地区的右上角“角落”在那．为稳定图的经济解释区域收入的分岔图和如图所示2为，与非常接近初始值的平衡来计算。

有限振幅的突然出现在分叉参数的值，表明稳定性损失是由次临界neimmark - hopf分岔引起的，并且有限大小吸引子出现在平衡稳定性损失之前。

在图中3.我们给出了一些数值实验的结果，目的是获得不稳定CIC的存在的数值-视觉证据，亚临界分岔的特征，在分岔参数的临界值时，导致平衡在其上崩溃而失去稳定性。图中的各分岔图及相应的李雅普诺夫指数图3.以相同的初始值计算，等于所有变量的均衡值，除了在每种情况下，它的起始值都用一个点标记。

可见，出发的距离越大值越接近平衡值，则在分岔图和李雅普诺夫指数图中CIC出现的时间越早。稳定的中投最早出现在对于起始距离+10(或更多)个单位在第一个图表中。在第二个图中，起始距离为+8个单位稳定的中投稍后出现(在），以及用于在6个单位的起始距离的第三图中它出现的更晚(在）.最后，在最后一张图中，起始距离接近于零CIC时平衡在失去稳定性出现稳定．

在几段起始距离内重复这个实验，上方和下方的平衡值（粗线），我们得到在图的所有分岔图所示的曲线3.．为起始距离在这些曲线之间，轨道会收敛到平衡点，并且开始的距离上下曲线的上方或下方的轨道收敛到外部稳定的CIC。这些曲线提供了寻求的可视化不稳定CIC的振幅，其导致平衡在分叉参数的临界值处崩溃而失去稳定性。根据这些结果，在分叉参数值的区间内稳定平衡与一个内部不稳定的CIC和一个外部稳定的CIC共存，如二维系统的火山口分岔情况。对于目前的高维系统，我们称之为“超陨石坑”分岔过程。外稳定CIC显示为两个值在图4.．

亚临界坑分叉过程从数学和经济的角度都有有趣的含义。在两个维度的情况下(见，例如，[11那13-15])。数学上的兴趣涉及分岔过程的第一阶段的研究，其中平衡仍然是稳定的，吸引CIC和排斥CIC共存。从经济学的观点来看，利益涉及对吸引子共存情况下所涉及的动力学的解释。当稳定平衡与吸引CIC共存时，同时存在的排斥CIC限制了平衡的吸引池，并确保小冲击不影响系统的动态行为。然而，大的冲击可能导致永久性的波动。在经济政策方面，在吸引子共存的情况下可能出现的滞后效应会产生不确定性，因为政策调整参数不能保证回归到稳定的均衡状态。

这种效应在Agliari的一个重要的二维经济模型中得到了说明[16］.在这里，我们说明在本5D模型的情况下相同的效果．数字5.通过参数的突然变化，显示了系统在两次冲击作用下的轨迹(参数冲击)。初始分岔参数的值为平衡是稳定的，并与稳定的CIC共存(见图)2）.我们在平衡值附近开始迭代，在一个暂态阶段后，迅速稳定到平衡值．在通过将参数值更改为，对系统施加冲击平衡点不稳定。轨迹开始波动，在一个瞬态阶段后达到有规律的大波动。它被稳定的CIC吸引。

在稍后的一段时间内，通过将参数恢复到以前的“稳定”值，施加第二次冲击。现在有如下两种可能性。

如果在施加第二次冲击时，变量的值足够接近稳定平衡，则轨迹再次被平衡所吸引。在我们的例子中，第二次冲击发生在如图所示5(一个)．

然而，如果在施加第二次冲击时，变量的值与稳定平衡点的距离足够远，则轨道反而被共存的稳定CIC吸引。在我们的示例中，这发生在施加第二次冲击时如图所示5 (b)．轨迹不返回到平衡作为可以预期，但继续波动（软线）作为第二次冲击之前。轨迹继续，因为在这个不同的应用程序中的第二冲击的该参数的变量具有对应于相位空间中的点，其仍属于共存的吸引域值的新值的时间，以通过共存CIC被吸引CIC。这是滞后效应。

5.吸引闭合不变曲线的共存

现在让我们具体说明区域2的货物市场调整的固定速度，以及两个经济体通过贸易相互作用程度的极值，．在这种情况下，我们只剩下两个自由参数和β．为规范平衡表达式(3．1)简化为 这种情况下平衡的稳定区域如图所示6.．稳定性区域中特征方程的根都是实数的部分用暗阴影表示。其中一些根是复共轭的部分用阴影表示。右上角的“角”是．

我们看到，对于模型当前情况下采用的规范，参数的增加，区域1商品市场调整的速度，迅速破坏均衡(对于小的值).只有当是（大约）小于一半.另一方面，参数的增加β，各区域之间的资本流动性的程度，那么快的不稳定平衡，不会明显影响，由于不稳定的过程．Neimark-Hopf分岔曲线可以识别为稳定区域边界的一部分，并显示为一条连续的直线。

在前面的例子中，我们使用数值模拟来获得适当的分岔图和李雅普诺夫指数图。在图中7.我们给出了变量的分岔图 ,以及相应的李雅普诺夫指数图，为与为分岔参数。这些分岔图提供了发生波动的振幅大小的直观估计。

在模型的当前情况下，Neimark-Hopf分岔曲线产生超临界分岔。最初产生的CICs以连续方式增加振幅。但是，对于较小的参数值，例如现值，在一定的值之后我们有吸引的不连续的继承见面。这表现为突然跳跃在我们的振幅大小的突然下降的分岔图清楚地观察到。如图所见7.这种突然的跳跃发生在．

幅值的突然变化意味着在该序列值之前存在一个吸引子的不连续序列到该值之后存在的另一个吸引子。然而，我们发现，出现不连续的分叉参数的连续值取决于用于计算分叉图的起始值。而不连续出现在如果初始值接近平衡值，它出现在如果初始值离平衡值很远。这在图中很清楚8.详细示出两个计算的结果。这是相同的现象，如第4.(数据2和3.)表示吸引子的共存，但现在共存的吸引子都是闭合不变曲线。本例中共存的两个吸引子如图所示9.和10．

这一现象与上一节描述的超陨石坑分叉过程具有相似的特征。但是，不是在平衡的稳定区域内的“点到中投”的相互作用，我们现在是在稳定区域外的“中投到中投”的相互作用。当第一家中投公司还在吸引人的时候，第二个吸引人的中投公司突然出现了)，就像在火山口分叉处，当平衡点仍在吸引时，吸引CIC出现。这两家中投公司随后共存，直到第一家中投公司变得不稳定(在)，对于较大的参数值，第二个CIC主导系统，作为唯一的吸引器。

这种吸引CICs共存的影响与本节讨论的火山口分叉的影响相似4.．经济解释是小幅震荡通常不会影响波动较大，但震荡可能会导致完全不同的波动。在这两种类型的吸引共存的特点是相关联的滞后效应。

在图中11我们现在为本例中共存的吸引CICs之间的相互作用说明这个效应．初始参数的值为．第一个CIC仍然是稳定的，但第二个CIC已经存在(见图)8.).当起始值远离平衡点时，经过一个瞬态阶段后，轨迹稳定在第一个CIC上。在我们对参数施加冲击，将其值更改为针对第一CIC已变得不稳定。轨迹开始从第一CIC和在第二CIC了事，用于所述参数的新的值，后者是唯一的吸引偏离。在对参数施加第二次冲击，使其恢复到初始值。现在揭示了迟滞效应，因为轨迹不返回到第一个CIC，但仍然在第二个CIC上，其特征是一个不同的频率。

6.吸引闭合不变曲线的展开

我们现在考虑Section中的参数值5.，除了两国经济通过贸易相互作用的程度的价值，这一价值现在被确定为．在这种情况下，平衡表达式简化为 这种情况下平衡的稳定区域如图所示12．和前面的例子一样，稳定性区域中特征方程的根都是实数的部分用暗阴影表示，而一些根是复共轭的部分用光阴影表示。我们看到，对于在这种情况下采用的规范，参数增加了，区域1的商品市场调整的速度，不会很快动摇平衡，相反的情况下．

Neimark-Hopf分岔曲线可以识别为稳定性区域边界的一部分，如图所示为一条连续的直线12．边界的其余部分是翻转分岔曲线。稳定区域现在比以前大得多。它的右上角的“角”是．

再次，数值模拟被使用，在图中13我们提出的分岔图以及相应的李雅普诺夫指数图，为与为分岔参数。CICs是通过超临界分岔产生的，且幅值不断增大。

但是，经过一定的分岔参数我们遇到了吸引子展开的现象，作为连续增加规则CICs的初始阶段和随后的混沌行为阶段之间的中间阶段。这种情况如图所示14．最初，CIC的发展是为了增加价值它在超临界分叉处生成后。展开发生在．引人注目的CIC的演变过程如图所示和那飞机“预测”。展开后,进一步增加未展开的中投变得混乱。

7.Summary-Conclusions

本文对一个具有固定汇率的非线性5D离散Kaldorian区域间宏观动力学模型进行了数值研究，并提出了一些显著的动态行为模式。据作者所知，在高维离散系统中还没有出现过这些动态行为模式。

在第一种情况下，我们假定各地区商品市场的调整速度相同并确定吸引和排斥CIC是在平衡稳定区内产生的。这是火山口型分岔过程的第一阶段，第二阶段是发生在分岔曲线上的亚临界Neimark-Hopf分岔。因此，对于w稳定平衡与稳定CIC共存。排斥CIC指示平衡吸引盆地的边界。在吸引子共存的参数区域内，以及平衡通过亚临界分岔失去稳定性后，吸引CIC远离平衡。经济解释值得注意的是，小的冲击不会影响系统的渐近行为，但大的冲击可能会导致永久性的波动[11]，这是对走廊稳定性概念的更准确描述[17，因为大的冲击不会导致完全不稳定的动力学。通过数值模拟说明了相关的迟滞效应。

在第二种情况下，我们假定区域2的产品市场的调整的固定速度，以及两个经济体通过贸易相互作用程度的极端固定值，．在这种情况下发现的一个显著特征是两个单一吸引CICs之间的共存和动态相互作用，发生在稳定区域之外。再次，通过数值模拟说明了相关的迟滞效应。

在第三种情况下，我们假定区域2的商品市场调整的定速，和以前一样，但更小的程度这两个经济体通过贸易的互动，．对于所考虑的参数星座，CICs是通过超临界分岔发生的。在这种情况下，一个显著的特征是正在发生的稳定中投的最终展开。这是图解的方式，通过连续的2D投影图的5D吸引CIC增加的分岔参数。

由于高维系统在很大程度上尚未被探索，目前的结果有助于证明用数值方法检测和描述由经济动力学的高维离散系统产生的复杂动力学行为模式的可行性，如分叉过程和吸引子共存。

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