在Asada等人提出的离散区域间宏观动力学模型中,利用数值方法探索了复杂的动力学特征。该模型为五维四参数模型。结果显示了由高维离散系统产生的动力学行为模式,如分岔过程和吸引子共存。在三种二维参数子空间的情况下,利用必要的系数准则确定了平衡区的稳定性,并确定了平衡区的边界flip和Neimark-Hopf分岔曲线。在第一种情况下,发现闭合不变曲线(CICs)通过5D火山口型分叉出现,并且对于某些参数值范围,稳定平衡与与亚临界分叉相关的不稳定CIC以及外部稳定CIC共存。第二种情况的一个显著特征是稳定区外两个吸引CIC共存。在这两种情况下,通过数值模拟说明了相关的滞后效应。在第三种情况下,一个显著的特征是在吸引CIC演化为混沌吸引子之前,其明显的展开。在相空间的子空间中给出了CICs和混沌吸引子的例子。
我们考虑了具有固定汇率的两个地区之间经济交易的5D非线性离散时间模型。该模型是Kaldor的原始思想的扩展[
在之前的一篇论文中(见[
目前的探索涉及参数范围的三种典型情况。在每一种情况下,我们用数值方法确定了参数空间中的稳定区域,并将flip和Neimark-Hopf分支曲线作为该区域边界的一部分。我们还计算分岔和李雅普诺夫指数图,这些图提供了发生的闭合不变曲线(CICs)和导致它们发生的分岔类型的信息。
这里的具体目的是说明在该模型中出现的某些显著的渐近动力学行为模式,据作者所知,这些模式以前从未针对高维系统提出过。事实上,在第一种情况下,认为CIC是通过“灾难性”5D火山口型分叉发生的,因此存在一个模型参数值区域,经济的稳定平衡与吸引CIC共存,以及具有排斥CIC特性的亚临界分叉。我们详细探讨了这一分岔过程,并通过数值模拟说明了相关的滞后效应。在第二种情况下,CICs首先通过超临界分岔出现,一个显著的特征是吸引CICs的共存和不连续序列,发生在稳定区之外。我们再次探讨吸引子共存的情况,并说明相关的滞后效应。在第三种情况下,CIC类似地通过超临界分叉出现,这种情况下的一个显著特征是吸引CIC的展开。相空间部分给出了与CICs和经济变量混沌行为相对应的波动示例。
论文的内容如下。节
我们考虑Asada等人提出的固定汇率下Kaldorian区域间动态的5D模型[
很容易发现,该体系在 翻转分岔曲线用系数关系表示 分岔是由离散系统的Neimark-Hopf分岔定理在理论上建立的(见[ 在超临界分岔的情况下,当平衡失去稳定性时,就会产生一个吸引CIC。另一方面,在亚临界分叉的情况下,平衡失去稳定性,因为排斥CIC在其上崩溃。这两个分支都是局部的。然而,在亚临界分岔之前,通常会有一个全局分岔,在稳定区域内也会产生一个有限振幅的吸引CIC。在这种情况下,我们有两个不同类型的吸引子共存,平衡点本身和一个稳定的CIC,不稳定的CIC也存在。这个过程开始于稳定区域内两个CICs的生成,结束于分岔曲线上的平衡失去稳定性。在稳定区域之外,只剩下稳定的外部CIC。这种两相分岔过程有时被称为火山口分岔(见[ 在下一节中,我们将继续讨论模型参数范围的三种特定情况下的一些有趣的动力学。
在本节中,我们假设两个地区的商品市场调整速度相同<我nline-formula>
稳定区域的平衡<我nline-formula>
分岔图<我nline-formula>
在分岔参数值处突然出现有限振幅<我nline-formula>
在图 分岔图(<我nline-formula>
可见,出发的距离越大<我nline-formula>
在几段起始距离内重复这个实验<我nline-formula>
稳定的中投<我nline-formula>
亚临界坑分叉过程从数学和经济的角度都有有趣的含义。在两个维度的情况下(见,例如,[
这种效应在Agliari的一个重要的二维经济模型中得到了说明[ 轨迹<我nline-formula>
稍后,通过将参数恢复到其先前的“稳定”值,应用第二次冲击。
如果在施加第二次冲击时,变量的值足够接近稳定平衡,则轨道再次被平衡吸引。在我们的示例中,第二次冲击施加在<我nline-formula>
然而,如果在施加第二次冲击时,变量的值离稳定平衡有足够远的距离,那么轨道就会被共存的稳定CIC所吸引。在我们的例子中,第二次冲击发生在<我nline-formula>
现在让我们具体说明区域2的货物市场调整的固定速度,<我nline-formula>
稳定区域的平衡<我nline-formula>
我们看到,对于在模型的当前情况下采用的规范,增加了参数<我nline-formula>
在前面的例子中,我们使用数值模拟来获得适当的分岔图和李雅普诺夫指数图。在图 的分岔图和李雅普诺夫指数<我nline-formula>
在本模型中,Neimark-Hopf分岔曲线引起了超临界分岔。最初产生的CICs以连续的方式增加振幅。但是,对于较小的参数值<我nline-formula>
振幅的突然变化意味着一个吸引子的不连续连续性,该吸引子在此连续值之前存在<我nline-formula>
(a)的分岔图细节<我nline-formula>
两个吸引闭合不变曲线共存于<我nline-formula>
共存的两个吸引闭合不变曲线的发展<我nline-formula>
这一现象与上一节描述的超陨石坑分叉过程具有相似的特征。但是,不是在平衡的稳定区域内的“点到中投”的相互作用,我们现在是在稳定区域外的“中投到中投”的相互作用。当第一家中投公司还在吸引人的时候,第二个吸引人的中投公司突然出现了<我nline-formula>
吸引CICs共存的含义类似于第节中讨论的陨石坑分叉 在图 与吸引CICs共存相关的滞后效应。时间的道路<我nline-formula>
我们现在考虑Section中的参数值 稳定区域的平衡<我nline-formula>
Neimark-Hopf分岔曲线可以识别为稳定性区域边界的一部分,如图所示为一条连续的直线 同样,采用了数值模拟,如图所示 的分岔图<我nline-formula>
但是,经过一定的分岔参数<我nline-formula>
顶行:超临界分岔后吸引闭合不变曲线的发展。第二和第三行:吸引子展开。第四行:闭合不变曲线最终成为混沌吸引子。
本文对一个具有固定汇率的非线性5D离散Kaldorian区域间宏观动力学模型进行了数值研究,并提出了一些显著的动态行为模式。据作者所知,在高维离散系统中还没有出现过这些动态行为模式。
在第一种情况下,我们假定各地区商品市场的调整速度相同<我nline-formula>
在第二种情况下,我们假设区域2的商品市场的调整速度是固定的,<我nline-formula>
在第三种情况下,我们假设区域2的商品市场调整速度是固定的,<我nline-formula>
由于高维系统在很大程度上尚未被探索,目前的结果有助于证明用数值方法检测和描述由经济动力学的高维离散系统产生的复杂动力学行为模式的可行性,如分叉过程和吸引子共存。