ddn 自然与社会中的离散动力学 1607-887X 1026 - 0226 Hindawi出版公司 841324 10.1155 / 2011/841324 841324 研究文章 经济动态的5D模型中的Hypercrater分岔、吸引子共存和展开 浅田和另外 托伊奇罗 1 Markellos 帕纳约蒂斯 2 Baodong 1 经济学院 中央大学 东中野,八条野742-1号 东京192-0393 日本 chuo-u.ac.jp 2 工程学院 佩特雷大学 26500年佩特雷 希腊 upatras.gr 2011 12 12 2011 2011 05 05 2011 05 08 2011 19 08 2011 2011 版权所有©2011 Toichiro Asada和Panagiotis Markellos。 这是一篇在知识共享署名许可下发布的开放存取的文章,它允许在任何媒体上无限制地使用、传播和复制,只要原始作品被适当地引用。

在Asada等人提出的离散区域间宏观动力学模型中,利用数值方法探索了复杂的动力学特征。该模型为五维四参数模型。结果显示了由高维离散系统产生的动力学行为模式,如分岔过程和吸引子共存。在三种二维参数子空间的情况下,利用必要的系数准则确定了平衡区的稳定性,并确定了平衡区的边界flip和Neimark-Hopf分岔曲线。在第一种情况下,发现闭合不变曲线(CICs)通过5D火山口型分叉出现,并且对于某些参数值范围,稳定平衡与与亚临界分叉相关的不稳定CIC以及外部稳定CIC共存。第二种情况的一个显著特征是稳定区外两个吸引CIC共存。在这两种情况下,通过数值模拟说明了相关的滞后效应。在第三种情况下,一个显著的特征是在吸引CIC演化为混沌吸引子之前,其明显的展开。在相空间的子空间中给出了CICs和混沌吸引子的例子。 1.导言</t我tle> <p>我们考虑了具有固定汇率的两个地区之间经济交易的5D非线性离散时间模型。该模型是Kaldor的原始思想的扩展[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B11"> 1</gydF4y2Baxref>这可能与分析货币一体化下的两个国家之间的经济相互依赖有关,比如欧元区的两个国家。这两个地区通过贸易和资本流动在经济上相互作用。我们注意到Asada研究了连续时间内类似的5D区域间模式[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B4"> 2</gydF4y2Baxref>]还有马利克和辛卡[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B16"> 3.</gydF4y2Baxref>].本模型最早由Asada等人研究[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B7"> 4</gydF4y2Baxref>],主要采用解析方法,而Asada等人则提出了相应的弹性汇率模型,并进行了数值探索<我t一个lic> .</我t一个lic>[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</gydF4y2Baxref>].Lorenz还研究了其他基于区域间贸易互动的两区域Kaldorian商业周期模型[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B15"> 6</gydF4y2Baxref>]及Puu [<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B17"> 7</gydF4y2Baxref>].</gydF4y2Bap> <p>在之前的一篇论文中(见[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B6"> 8</gydF4y2Baxref>我们从数值上探讨了这个模型,并确定了商业周期出现的贸易门槛。在本文中,我们进一步进行了数值探索,以揭示模型动力学的不同方面。目的之一是说明数值方法对高维多参数动力系统的可行性和有效性。</gydF4y2Bap> <p>目前的探索涉及参数范围的三种典型情况。在每一种情况下,我们用数值方法确定了参数空间中的稳定区域,并将flip和Neimark-Hopf分支曲线作为该区域边界的一部分。我们还计算分岔和李雅普诺夫指数图,这些图提供了发生的闭合不变曲线(CICs)和导致它们发生的分岔类型的信息。</gydF4y2Bap> <p>这里的具体目的是说明在该模型中出现的某些显著的渐近动力学行为模式,据作者所知,这些模式以前从未针对高维系统提出过。事实上,在第一种情况下,认为CIC是通过“灾难性”5D火山口型分叉发生的,因此存在一个模型参数值区域,经济的稳定平衡与吸引CIC共存,以及具有排斥CIC特性的亚临界分叉。我们详细探讨了这一分岔过程,并通过数值模拟说明了相关的滞后效应。在第二种情况下,CICs首先通过超临界分岔出现,一个显著的特征是吸引CICs的共存和不连续序列,发生在稳定区之外。我们再次探讨吸引子共存的情况,并说明相关的滞后效应。在第三种情况下,CIC类似地通过超临界分叉出现,这种情况下的一个显著特征是吸引CIC的展开。相空间部分给出了与CICs和经济变量混沌行为相对应的波动示例。</gydF4y2Bap> <p>论文的内容如下。节<gydF4y2Baxref ref-type="sec" rid="sec2"> 2</gydF4y2Baxref>我们在第节中简要介绍了模型的方程<gydF4y2Baxref ref-type="sec" rid="sec3"> 3.</gydF4y2Baxref>给出了平衡点的位置,并简要讨论了参数空间截面上的稳定区域以及该区域的边界曲线,即flip和Neimark-Hopf分岔曲线。我们在考虑的三种情况下的探索结果以稳定区域和分岔图和李雅普诺夫指数图的形式给出,并在本节中讨论<gydF4y2Baxref ref-type="sec" rid="sec4"> 4</gydF4y2Baxref>到<gydF4y2Baxref ref-type="sec" rid="sec6"> 6</gydF4y2Baxref>.部分<gydF4y2Baxref ref-type="sec" rid="sec7"> 7</gydF4y2Baxref>总结并得出结论。</gydF4y2Bap> </sec> <sec sec-type="section" id="sec2"> <title>2.模型方程</t我tle> <p>我们考虑Asada等人提出的固定汇率下Kaldorian区域间动态的5D模型[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B7"> 4</gydF4y2Baxref>].本文I中探讨的模型方程为以下五种非线性差分关系:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq1"> <label>(2.1)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> [</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.36</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 75</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> [</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.36</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 75</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 5</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> [</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 10</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> [</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow></mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> [</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow></mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̅</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在这里我们缩写了<gydF4y2Badisp-formula id="EEq6"> <label>(2.2)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mtable class="gathered"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> [</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 10</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> [</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1,2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 40</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> .</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>两个地区的名义货币供应总额固定为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ̅</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 600</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是卡尔多里亚人的一个特例<我t一个lic> 年代</我t一个lic>给出的投资函数对收益的依赖关系<gydF4y2Badisp-formula id="EEq8"> <label>(2.3)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 80</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> 弧</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> 棕褐色的</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> [</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 9</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 80</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 250</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 35</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> .</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </disp-formula>下标<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1,2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </mml:mi> </mml:math> </inline-formula>区域和的索引号是多少<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示时间段。价格水平被认为是固定的,系统变量的含义如下。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是地区的实际收入,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>实际实物资本存量,以及<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>名义货币股票。模型的参数为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>各地区商品市场的调整速度,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>资本流动程度,以及<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>区域间贸易的程度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>.要更全面地描述该模型及其经济基础,请参阅论文一。</gydF4y2Bap> </sec> <sec sec-type="section" id="sec3"> <title>3.平衡稳定性和分岔</t我tle> <p>很容易发现,该体系在<gydF4y2Badisp-formula id="EEq9"> <label>(3.1)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mtable class="gathered"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1,2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 625</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ±</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1000</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 5</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1000</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 10</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> {</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 5</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mrow> <mml:mo> [</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> }</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 6</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> [</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 400</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1,2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 300</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 5</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mrow> <mml:mo> [</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 20.</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> [</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 400</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> .</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>除<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是积极的,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>也是正的,均衡是正的,如果<gydF4y2Badisp-formula id="EEq12"> <label>(3.2)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 21</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 22</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 91</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 143</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 42</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 242</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 287</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.03</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> .</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </disp-formula>平衡点的稳定性由映射的雅可比矩阵的特征多项式的根决定(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 2.1</gydF4y2Baxref>):<gydF4y2Badisp-formula id="EEq13"> <label>(3.3)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 5</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 5</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </disp-formula>而为了稳定一切的根源<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 5</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>必须在复平面的单位圆内。我们数值确定稳定区域的基本工具是网格搜索技术。这涉及到计算特征多项式及其在二维参数空间中稠密网格节点上的根,并绘制平衡稳定的点。</gydF4y2Bap> <p>翻转分岔曲线用系数关系表示<gydF4y2Badisp-formula id="EEq14"> <label>(3.4)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 5</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </disp-formula>作为必要条件,而Neimark-Hopf分叉曲线必须满足的系数关系作为必要条件,可以通过要求特征多项式的两个根具有单位积来获得(见论文I)(密集网格点):<gydF4y2Badisp-formula id="EEq15"> <label>(3.5)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> [</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> {</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> [</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> }</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </gydF4y2Bamml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> .</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>每个(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq14"> 3.4</gydF4y2Baxref>)和(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq15"> 3.5</gydF4y2Baxref>)表示模型参数之间的关系<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>.对于其中两个参数的固定值,它表示其余两个参数之间的关系,在其余参数的平面上提供一条或多条曲线。由(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq14"> 3.4</gydF4y2Baxref>)形成稳定区域边界的部分,即翻转分岔曲线,以及类似的由(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq15"> 3.5</gydF4y2Baxref>)形成边界的Neimark-Hopf分岔曲线部分。在这样的参数平面上,循环行为的离散等价物CICs通过Neimark-Hopf分岔曲线上的分岔局部生成。</gydF4y2Bap> <p>分岔是由离散系统的Neimark-Hopf分岔定理在理论上建立的(见[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B10"> 9</gydF4y2Baxref>,<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B13"> 10</gydF4y2Baxref>])。该方法成功地应用于高维系统的分岔预测,在分岔参数临界值处的雅可比矩阵的关键特征值对的相同假设下,附加了其他特征值都满足稳定性准则的似是而非的条件<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> |</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> |</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,利益是指均衡失稳时发生的CICs。</gydF4y2Bap> <p>在超临界分岔的情况下,当平衡失去稳定性时,就会产生一个吸引CIC。另一方面,在亚临界分叉的情况下,平衡失去稳定性,因为排斥CIC在其上崩溃。这两个分支都是局部的。然而,在亚临界分岔之前,通常会有一个全局分岔,在稳定区域内也会产生一个有限振幅的吸引CIC。在这种情况下,我们有两个不同类型的吸引子共存,平衡点本身和一个稳定的CIC,不稳定的CIC也存在。这个过程开始于稳定区域内两个CICs的生成,结束于分岔曲线上的平衡失去稳定性。在稳定区域之外,只剩下稳定的外部CIC。这种两相分岔过程有时被称为火山口分岔(见[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B12"> 11</gydF4y2Baxref>])。它可以被认为是一个灾难性的事件,发生在失去均衡稳定的情况下,因为在这个过程中,经济的稳定状态的进化缺乏连续性。请注意,如Benhabib和Miyao所述[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B8"> 12</gydF4y2Baxref>从经济的角度来看,超临界和亚临界轨道似乎都是可信的。然而,在经济动态中,通常是超临界稳定CICs被视为程式化的业务或增长周期。</gydF4y2Bap> <p>在下一节中,我们将继续讨论模型参数范围的三种特定情况下的一些有趣的动力学。</gydF4y2Bap> </sec> <sec sec-type="section" id="sec4"> <title>4.超火山口分岔、点共存和CIC吸引子</t我tle> <p>在本节中,我们假设两个地区的商品市场调整速度相同<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>并采用该值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>对于一般的调整速度,我们只剩下两个参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的模型。这种情况最清楚地展示了区域的经济相互作用,因为它使区域相互作用参数自由变化,使人们能够探索区域相互作用对经济动态的影响。通过我们的网格搜索技术找到的这种情况下的稳定区域如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</gydF4y2Baxref>.由关系产生的曲线的所有分支(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq14"> 3.4</gydF4y2Baxref>)和(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq15"> 3.5</gydF4y2Baxref>),但很容易看到形成稳定区边界曲线的相关分段。表示条件的曲线(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 3.2</gydF4y2Baxref>)的正平衡也被画成一条连续的线(在图的底部)。该地区的右上角“角落”在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.5633</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1.0863</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.用于经济解释中的稳定性图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>区域收入的分岔图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</gydF4y2Baxref>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.8</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,初始值非常接近平衡值。</gydF4y2Bap> <fig id="fig1"> <label>图1</gydF4y2Balabel> <p>稳定区域的平衡<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>参数平面。翻转分叉曲线如虚线所示。</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.001"></graphic> </fig> <fig-group id="fig2"> <p>分岔图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.8</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.</gydF4y2Bap> <fig id="fig2a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.002a"></graphic> </fig> <fig id="fig2b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.002b"></graphic> </fig> </fig-group> <p>在分岔参数值处突然出现有限振幅<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.568</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,表明稳定性损失是由次临界neimmark - hopf分岔引起的,并且有限大小吸引子出现在平衡稳定性损失之前。</gydF4y2Bap> <p>在图<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig3"> 3.</gydF4y2Baxref>我们给出了一些数值实验的结果,目的是获得不稳定CIC的存在的数值-视觉证据,亚临界分岔的特征,在分岔参数的临界值时,导致平衡在其上崩溃而失去稳定性。图中的各分岔图及相应的李雅普诺夫指数图<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig3"> 3.</gydF4y2Baxref>已使用相同的起始值计算,等于所有变量的平衡值,除了<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>其起始值在每种情况下都用点标记。</gydF4y2Bap> <fig-group id="fig3"> <p>分岔图(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>)和李雅普诺夫指数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.8</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,以及<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的数值实验,旨在检测吸引子共存的间隔和亚临界分叉的“看不见的”排斥CIC。</gydF4y2Bap> <fig id="fig3a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.003a"></graphic> </fig> <fig id="fig3b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.003b"></graphic> </fig> <fig id="fig3c"> <label>(c)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.003c"></graphic> </fig> <fig id="fig3d"> <label>(d)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.003d"></graphic> </fig> <fig id="fig3e"> <label>(e)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.003e"></graphic> </fig> <fig id="fig3f"> <label>(f)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.003f"></graphic> </fig> <fig id="fig3g"> <label>(g)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.003g"></graphic> </fig> <fig id="fig3h"> <label>(h)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.003h"></graphic> </fig> </fig-group> <p>可见,出发的距离越大<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>值越接近平衡值,则在分岔图和李雅普诺夫指数图中CIC出现的时间越早。稳定的中投最早出现在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.535</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>对于起始距离+10(或更多)个单位<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在第一个图表中。在第二个图中,起始距离为+8个单位<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>稳定的CIC稍后出现(在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.546</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>),在第三个图中,起始距离为+6个单位<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>它出现的更晚(在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.559</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>).最后,在最后一张图中,在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>稳定的CIC出现在平衡失稳时<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.568</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.</gydF4y2Bap> <p>在几段起始距离内重复这个实验<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,平衡值上下(重线),得到Figure的所有分岔图中所示的曲线<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig3"> 3.</gydF4y2Baxref>. 对于起始距离,在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在这些曲线之间,轨道收敛到平衡点,对于起始距离<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在上面或下面的曲线轨道收敛到外部稳定的CIC。这些曲线提供了所寻求的图像<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在分岔参数的临界值处,不稳定CIC的振幅,该CIC导致平衡在其上崩溃而失去稳定性。这些结果表明,在分岔参数值的区间内,该方法是可行的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mn> 0.535</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.568</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>稳定平衡与内部不稳定CIC和外部稳定CIC共存,如二维系统的火山口分岔情况。对于当前的高维系统,我们称之为“超评级”分岔过程。外部稳定CIC显示为两个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在图中<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig4"> 4</gydF4y2Baxref>.</gydF4y2Bap> <fig id="fig4"> <label>图4</gydF4y2Balabel> <p>稳定的中投<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.8</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.55</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>(大胆,与稳定的均衡共存),<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.7</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>预测</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.004"></graphic> </fig> <p>亚临界坑分叉过程从数学和经济的角度都有有趣的含义。在两个维度的情况下(见,例如,[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B12"> 11</gydF4y2Baxref>,<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B3"> 13</gydF4y2Baxref>- - - - - -<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B9"> 15</gydF4y2Baxref>])数学兴趣与研究分岔过程的第一阶段有关,在该阶段,平衡点仍然稳定,吸引CIC与排斥CIC共存。从经济学角度来看,兴趣与解释吸引子共存情况下涉及的动力学有关。当ilibrium与吸引CIC共存,共存的排斥CIC限制了平衡的吸引盆地,并确保小冲击不会影响系统的动态行为。然而,大冲击可能导致永久性波动。从经济政策角度来看,滞后效应可能存在于吸引CIC的情况下由于政策对参数的调整不能保证回归到稳定均衡,所以这种共存会产生不确定性。</gydF4y2Bap> <p>这种效应在Agliari的一个重要的二维经济模型中得到了说明[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B1"> 16</gydF4y2Baxref>].在这里,我们用目前的5D模型来说明相同的效果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.8</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>图形<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</gydF4y2Baxref>通过参数的突然变化,显示了系统在两次冲击作用下的轨迹<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(参数冲击)。初始分岔参数的值为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.55</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>平衡是稳定的,并与稳定的CIC共存(见图)<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</gydF4y2Baxref>).我们在平衡值附近开始迭代,在一个暂态阶段后,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>迅速稳定到平衡值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 178.03</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 200</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>通过将参数值更改为,对系统施加冲击<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.6</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>平衡是不稳定的。轨迹开始波动,并在一个暂态阶段后获得有规律的大波动。它被稳定的中投公司所吸引。</gydF4y2Bap> <fig-group id="fig5"> <p>轨迹<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.55</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>最初被稳定的平衡所吸引。当第一次冲击后价值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>改变为0.6,弹道被稳定的CIC吸引。(a)第二次冲击发生后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 515</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>轨道被平衡所吸引。(b)第二次冲击发生后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 500</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>这条轨迹继续受到中投的吸引。两个参数冲击用点表示。</gydF4y2Bap> <fig id="fig5a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.005a"></graphic> </fig> <fig id="fig5b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.005b"></graphic> </fig> </fig-group> <p>稍后,通过将参数恢复到其先前的“稳定”值,应用第二次冲击。</gydF4y2Bap> <p>如果在施加第二次冲击时,变量的值足够接近稳定平衡,则轨道再次被平衡吸引。在我们的示例中,第二次冲击施加在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 515</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig5a"> 5(一个)</gydF4y2Baxref>.</gydF4y2Bap> <p>然而,如果在施加第二次冲击时,变量的值离稳定平衡有足够远的距离,那么轨道就会被共存的稳定CIC所吸引。在我们的例子中,第二次冲击发生在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 500</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig5b"> 5 (b)</gydF4y2Baxref>.轨迹并没有像预期的那样回到平衡状态,而是继续像第二次冲击前那样波动(软线)。共存的轨迹继续吸引了中投公司因为在不同时间的应用程序的第二个冲击新值的参数变量的值对应于一个点在相空间中仍然属于盆地共存中投公司的吸引力。这就是滞后效应。</gydF4y2Bap> </sec> <sec sec-type="section" id="sec5"> <title>5.吸引闭合不变曲线的共存</t我tle> <p>现在让我们具体说明区域2的货物市场调整的固定速度,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,以及两国经济通过贸易互动程度的极值,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.在这种情况下,我们只剩下两个自由参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我t一个lic> <italic> β</我t一个lic> </italic>.为规范<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>平衡表达式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 3.1</gydF4y2Baxref>)简化为<gydF4y2Badisp-formula id="EEq16"> <label>(5.1)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mtable class="gathered"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 250</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 500</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 166.667</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 990.510</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 25</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 860.058</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 25</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 301.917</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 15</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> .</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在这种情况下,平衡的稳定区域如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</gydF4y2Baxref>.稳定区域中特征方程的根全部为实数的部分显示为暗阴影。部分根为复共轭的部分显示为亮阴影。右上角的“角”位于<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1.0099</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.03663</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.</gydF4y2Bap> <fig id="fig6"> <label>图6</gydF4y2Balabel> <p>稳定区域的平衡<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>参数平面。翻转分叉曲线如虚线所示。</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.006"></graphic> </fig> <p>我们看到,对于在模型的当前情况下采用的规范,增加了参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,区域1货物市场的调整速度会迅速破坏均衡(对于较小的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>).只有当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(大概)不到一半<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>.另一方面,增大参数<我t一个lic> <italic> β</我t一个lic> </italic>,区域间资本流动程度对均衡的破坏速度较慢,且不明显地影响到不稳定过程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>.Neimark-Hopf分岔曲线可以识别为稳定区域边界的一部分,并显示为一条连续的直线。</gydF4y2Bap> <p>在前面的例子中,我们使用数值模拟来获得适当的分岔图和李雅普诺夫指数图。在图<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig7"> 7</gydF4y2Baxref>我们给出了变量的分岔图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </mml:mi> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>以及相应的李雅普诺夫指数图,为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为分岔参数。这些分岔图提供了发生波动的振幅大小的直观估计。</gydF4y2Bap> <fig-group id="fig7"> <p>的分岔图和李雅普诺夫指数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为分叉参数。</gydF4y2Bap> <fig id="fig7a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.007a"></graphic> </fig> <fig id="fig7b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.007b"></graphic> </fig> <fig id="fig7c"> <label>(c)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.007c"></graphic> </fig> <fig id="fig7d"> <label>(d)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.007d"></graphic> </fig> </fig-group> <p>在本模型中,Neimark-Hopf分岔曲线引起了超临界分岔。最初产生的CICs以连续的方式增加振幅。但是,对于较小的参数值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,例如现值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>我们遇到一个不连续的吸引子序列。这表现为在分岔图中观察到的一个突然的跳跃,其中振幅大小突然减小。如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig7"> 7</gydF4y2Baxref>这种突然的跳跃发生在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.40</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.</gydF4y2Bap> <p>振幅的突然变化意味着一个吸引子的不连续连续性,该吸引子在此连续值之前存在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>到该值之后存在的另一个吸引子。然而,我们发现,出现不连续的分叉参数的连续值取决于用于计算分叉图的起始值。而不连续出现在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.40</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>如果起始值接近平衡,则在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.45</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>如果初始值离平衡值很远。这在图中很清楚<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig8"> 8</gydF4y2Baxref>详细显示了两种计算的结果。这与Section中的现象相同<gydF4y2Baxref ref-type="sec" rid="sec4"> 4</gydF4y2Baxref>(数字<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</gydF4y2Baxref>和<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig3"> 3.</gydF4y2Baxref>)表示吸引子共存,但现在共存的吸引子都是闭合不变曲线。本例中共存的两个吸引子如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig9"> 9</gydF4y2Baxref>和<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig10"> 10</gydF4y2Baxref>.</gydF4y2Bap> <fig-group id="fig8"> <p>(a)的分岔图细节<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.(a)初始值远离均衡时的计算结果。(b)初始值接近平衡时计算的。</gydF4y2Bap> <fig id="fig8a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.008a"></graphic> </fig> <fig id="fig8b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.008b"></graphic> </fig> <fig id="fig8c"> <label>(c)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.008c"></graphic> </fig> <fig id="fig8d"> <label>(d)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.008d"></graphic> </fig> </fig-group> <fig id="fig9"> <label>图9</gydF4y2Balabel> <p>两个吸引闭合不变曲线共存于<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.42</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,就像<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>飞机。</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.009"></graphic> </fig> <fig-group id="fig10"> <p>共存的两个吸引闭合不变曲线的发展<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>如<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>飞机:(a)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.05</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>至0.4,及(b)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.45</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>到0.85。</gydF4y2Bap> <fig id="fig10a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.0010a"></graphic> </fig> <fig id="fig10b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.0010b"></graphic> </fig> </fig-group> <p>这一现象与上一节描述的超陨石坑分叉过程具有相似的特征。但是,不是在平衡的稳定区域内的“点到中投”的相互作用,我们现在是在稳定区域外的“中投到中投”的相互作用。当第一家中投公司还在吸引人的时候,第二个吸引人的中投公司突然出现了<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.40</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>),就像在火山口分叉处,当平衡点仍在吸引时,吸引CIC出现。这两家中投公司随后共存,直到第一家中投公司变得不稳定(在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.45</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>),对于较大的参数值,第二个CIC控制系统,作为唯一的吸引子。</gydF4y2Bap> <p>吸引CICs共存的含义类似于第节中讨论的陨石坑分叉<gydF4y2Baxref ref-type="sec" rid="sec4"> 4</gydF4y2Baxref>.经济学的解释是,小的冲击一般不会影响波动,但较大的冲击可能导致相当不同的波动。在这两种类型的吸引子共存的特征中,有相关的滞后效应。</gydF4y2Bap> <p>在图<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig11"> 11</gydF4y2Baxref>我们现在为本例中共存的吸引CICs之间的相互作用说明这个效应<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>.初始参数的值为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.43</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.第一个CIC仍然是稳定的,但第二个CIC已经存在(见图)<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig8"> 8</gydF4y2Baxref>).由于初始值远未达到平衡,在一个过渡阶段之后,轨迹就落在了第一个CIC上。在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 300</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>我们对参数应用冲击,将其值更改为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.45</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>第一家中投公司已经变得不稳定。轨迹开始偏离第一个CIC,并选择第二个CIC,后者是唯一吸引参数新值的因素。在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 600</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>对参数施加第二次冲击,使其恢复到初始值。现在揭示了迟滞效应,因为轨迹不返回到第一个CIC,但仍然在第二个CIC上,其特征是一个不同的频率。</gydF4y2Bap> <fig id="fig11"> <label>图11</gydF4y2Balabel> <p>与吸引CICs共存相关的滞后效应。时间的道路<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.43</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>(第一个CIC稳定),有两个参数冲击,显示为黑点,有时<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 300</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>改为0.45(第一个CIC不稳定)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 600</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>恢复为以前的值。</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.0011"></graphic> </fig> </sec> <sec sec-type="section" id="sec6"> <title>6.吸引闭合不变曲线的展开</t我tle> <p>我们现在考虑Section中的参数值<gydF4y2Baxref ref-type="sec" rid="sec5"> 5</gydF4y2Baxref>,除了两国经济通过贸易相互作用的程度的价值,这一价值现在被确定为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.5</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.在这种情况下,平衡表达式简化为<gydF4y2Badisp-formula id="EEq18"> <label>(6.1)</gydF4y2Balabel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mtable class="gathered"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 2625</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 11</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 238.636</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 5875</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 33</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 178.030</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 877.661</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 200</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 11</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 860.283</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 200</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 11</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 301.388</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 60</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 11</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> .</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在这种情况下,平衡的稳定区域如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig12"> 12</gydF4y2Baxref>.和前面的例子一样,稳定性区域中特征方程的根都是实数的部分用暗阴影表示,而一些根是复共轭的部分用光阴影表示。我们看到,对于在这种情况下采用的规范,参数增加了<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>区域商品市场调整的速度1、不迅速破坏均衡,相反<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.</gydF4y2Bap> <fig id="fig12"> <label>图12</gydF4y2Balabel> <p>稳定区域的平衡<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.5</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> </mml:mi> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>参数平面。翻转分叉曲线如虚线所示。</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.0012"></graphic> </fig> <p>Neimark-Hopf分岔曲线可以识别为稳定性区域边界的一部分,如图所示为一条连续的直线<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig12"> 12</gydF4y2Baxref>.边界的其余部分是翻转分岔曲线。稳定区域现在比以前大得多。它的右上角的“角”是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1.1059</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3.6587</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.</gydF4y2Bap> <p>同样,采用了数值模拟,如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig13"> 13</gydF4y2Baxref>给出了的分岔图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>以及相应的李雅普诺夫指数图,为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为分岔参数。CICs是通过超临界分岔产生的,且幅值不断增大。</gydF4y2Bap> <fig-group id="fig13"> <p>的分岔图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和李亚普诺夫指数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.5</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.</gydF4y2Bap> <fig id="fig13a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.0013a"></graphic> </fig> <fig id="fig13b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.0013b"></graphic> </fig> </fig-group> <p>但是,经过一定的分岔参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>我们遇到了吸引子展开的现象,作为连续增加规则CICs的初始阶段和随后的混沌行为阶段之间的中间阶段。这种情况如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig14"> 14</gydF4y2Baxref>. 最初,CIC的发展是为了增加<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>它在超临界分叉处生成后。展开发生在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≅</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2.868</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.引人注目的CIC的演变过程如图所示<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>平面“投影”。展开后,如<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>进一步增加未展开的中投变得混乱。</gydF4y2Bap> <fig-group id="fig14"> <p>顶行:超临界分岔后吸引闭合不变曲线的发展。第二和第三行:吸引子展开。第四行:闭合不变曲线最终成为混沌吸引子。</gydF4y2Bap> <fig id="fig14a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.0014a"></graphic> </fig> <fig id="fig14b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.0014b"></graphic> </fig> <fig id="fig14c"> <label>(c)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.0014c"></graphic> </fig> <fig id="fig14d"> <label>(d)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.0014d"></graphic> </fig> <fig id="fig14e"> <label>(e)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.0014e"></graphic> </fig> <fig id="fig14f"> <label>(f)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.0014f"></graphic> </fig> <fig id="fig14g"> <label>(g)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.0014g"></graphic> </fig> <fig id="fig14h"> <label>(h)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ddns/2011/841324.fig.0014h"></graphic> </fig> </fig-group> </sec> <sec sec-type="section" id="sec7"> <title>7.总结结论</t我tle> <p>本文对一个具有固定汇率的非线性5D离散Kaldorian区域间宏观动力学模型进行了数值研究,并提出了一些显著的动态行为模式。据作者所知,在高维离散系统中还没有出现过这些动态行为模式。</gydF4y2Bap> <p>在第一种情况下,我们假定各地区商品市场的调整速度相同<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>并确定了吸引和排斥CICs是在平衡稳定区域内产生的。这是坑型分岔过程的第一阶段,第二阶段是分岔曲线上发生的次临界Neimark-Hopf分岔。因此,模型存在一个参数值区域,其中稳定的平衡与稳定的CIC共存。排斥CIC标志着平衡吸引盆地的边界。在吸引子共存的这个参数区域内,以及平衡因亚临界分岔而失稳后,吸引CIC与平衡相去甚远。经济学的解释是,小冲击不影响系统的渐进行为,但大冲击可能导致永久性波动。按类别观察[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B12"> 11</gydF4y2Baxref>,这是对走廊稳定性概念更为准确的描述[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B14"> 17</gydF4y2Baxref>],因为大的冲击不会导致完全不稳定的动力学。通过数值模拟说明了相关的滞后效应。</gydF4y2Bap> <p>在第二种情况下,我们假设区域2的商品市场的调整速度是固定的,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,以及两国经济通过贸易相互作用程度的一个极端固定值,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.在这种情况下发现的一个显著特征是两个单一吸引CICs之间的共存和动态相互作用,发生在稳定区域之外。再次,通过数值模拟说明了相关的迟滞效应。</gydF4y2Bap> <p>在第三种情况下,我们假设区域2的商品市场调整速度是固定的,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,但两国经济通过贸易进行的互动程度较低,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.5</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>.对于所考虑的参数星座,CICs是通过超临界分岔发生的。在这种情况下,一个显著的特征是正在发生的稳定中投的最终展开。这是图解的方式,通过连续的2D投影图的5D吸引CIC增加的分岔参数。</gydF4y2Bap> <p>由于高维系统在很大程度上尚未被探索,目前的结果有助于证明用数值方法检测和描述由经济动力学的高维离散系统产生的复杂动力学行为模式的可行性,如分叉过程和吸引子共存。</gydF4y2Bap> </sec> <back> <ref-list> <ref id="B11" content-type="article"> <label>1</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kaldor</gydF4y2Basurname> <given-names> N。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 贸易周期模型</一个rticle-title> <source> <italic> 经济日报</我t一个lic> <year> 1940</gydF4y2Bayear> <volume> 50</gydF4y2Bavolume> <fpage> 69</fgydF4y2Bapage> <lpage> 86</gydF4y2Balpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>2</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 浅田和另外</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 固定汇率下的两区域商业周期模型:卡多里安方法</一个rticle-title> <source> <italic> 区域科学研究</我t一个lic> <year> 2004</gydF4y2Bayear> <volume> 34</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</我ssue> <fpage> 19</fgydF4y2Bapage> <lpage> 38</gydF4y2Balpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>3.</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 马利克</gydF4y2Basurname> <given-names> P。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Zimka</gydF4y2Basurname> <given-names> R。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 浅田两地区模型中商业周期的存在性</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性分析:现实世界的应用</我t一个lic> <year> 2010</gydF4y2Bayear> <volume> 11</gydF4y2Bavolume> <issue> 4</我ssue> <fpage> 2787</fgydF4y2Bapage> <lpage> 2795</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 77955768084</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.nonrwa.2009.10.003</gydF4y2Bapub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>4</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 浅田和另外</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 稻叶型</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 三泽</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 区域间动态模型:以固定汇率为例</一个rticle-title> <source> <italic> 区域科学研究</我t一个lic> <year> 2001</gydF4y2Bayear> <volume> 31</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</我ssue> <fpage> 29</fgydF4y2Bapage> <lpage> 41</gydF4y2Balpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 浅田和另外</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 杜斯科斯</gydF4y2Basurname> <given-names> C。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Kalantonis</gydF4y2Basurname> <given-names> v</g我ven-names> </name> <name> <surname> Markellos</gydF4y2Basurname> <given-names> P。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> Kaldorian区域间宏观动力学的数值探索:弹性汇率下倍周期的稳定性和优势增强</一个rticle-title> <source> <italic> 自然与社会中的离散动力学</我t一个lic> <year> 2010</gydF4y2Bayear> <lpage> 29</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 263041</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2677846</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1195.91100</gydF4y2Bapub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>6</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 洛伦兹</gydF4y2Basurname> <given-names> h·W。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 国际贸易有可能发生混乱</一个rticle-title> <source> <italic> 经济快报</我t一个lic> <year> 1987</gydF4y2Bayear> <volume> 23</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</我ssue> <fpage> 135</fgydF4y2Bapage> <lpage> 138</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 895240</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016/0165-1765(87)90026-7</gydF4y2Bapub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="book"> <label>7</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 噗</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 吸引子、分岔和混沌</我t一个lic> <year> 2000</gydF4y2Bayear> <publisher-loc> 柏林,德国</gydF4y2Bapublisher-loc> <publisher-name> 施普林格</gydF4y2Bapublisher-name> <pub-id pub-id-type="other"> 1765410</gydF4y2Bapub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>8</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 浅田和另外</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 杜斯科斯</gydF4y2Basurname> <given-names> C。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Markellos</gydF4y2Basurname> <given-names> P。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 卡多里安区域间宏观动态的数值探索:固定汇率下商业周期的稳定性和贸易门槛</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性动力学、心理学和生命科学</我t一个lic> <year> 2011</gydF4y2Bayear> <volume> 15</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</我ssue> <fpage> 105</fgydF4y2Bapage> <lpage> 128</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2796614</gydF4y2Bapub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="book"> <label>9</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 甘多尔福</gydF4y2Basurname> <given-names> G。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 经济动态</我t一个lic> <year> 1996</gydF4y2Bayear> <publisher-loc> 柏林,德国</gydF4y2Bapublisher-loc> <publisher-name> 施普林格</gydF4y2Bapublisher-name> </nlm-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="book"> <label>10</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> “库兹涅佐夫”</gydF4y2Basurname> <given-names> y。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 应用分岔理论的要素</我t一个lic> <year> 2004</gydF4y2Bayear> <volume> 112</gydF4y2Bavolume> <edition> 3日</gydF4y2Baedition> <publisher-loc> 柏林,德国</gydF4y2Bapublisher-loc> <publisher-name> 施普林格</gydF4y2Bapublisher-name> <pub-id pub-id-type="other"> 2071006</gydF4y2Bapub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>11</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 友善的</gydF4y2Basurname> <given-names> C。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 关于Hopf分支的经济学解释</一个rticle-title> <source> <italic> 经济快报</我t一个lic> <year> 1999</gydF4y2Bayear> <volume> 62</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</我ssue> <fpage> 147</fgydF4y2Bapage> <lpage> 154</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 1676061</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016/S0165-1765(98)00224-9</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0918.90031</gydF4y2Bapub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>12</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 贝哈鲍比</gydF4y2Basurname> <given-names> J。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 米瑶</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 广义Tobin模型动力学的一些新结果</一个rticle-title> <source> <italic> 国际经济评论</我t一个lic> <year> 1981</gydF4y2Bayear> <volume> 22</gydF4y2Bavolume> <issue> 3.</我ssue> <fpage> 589</fgydF4y2Bapage> <lpage> 596</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 641118</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2307/2526160</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0478.90010</gydF4y2Bapub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>13</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 阿格利亚里</gydF4y2Basurname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Gardini</gydF4y2Basurname> <given-names> l</g我ven-names> </name> <name> <surname> 噗</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 与闭不变曲线的出现有关的一些全局分支</一个rticle-title> <source> <italic> 数学与计算机模拟</我t一个lic> <year> 2005</gydF4y2Bayear> <volume> 68</gydF4y2Bavolume> <issue> 3.</我ssue> <fpage> 201</fgydF4y2Bapage> <lpage> 219</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2138929</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.matcom.2004.12.003</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1070.65132</gydF4y2Bapub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="incollection"> <label>14</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 阿格利亚里</gydF4y2Basurname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Dieci</gydF4y2Basurname> <given-names> R。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 类kaldor商业循环模型中吸引子与同宿环的共存</一个rticle-title> <source> <italic> 商业周期动力学。模型和工具</我t一个lic> <year> 2006</gydF4y2Bayear> <publisher-loc> 柏林,德国</gydF4y2Bapublisher-loc> <publisher-name> 施普林格</gydF4y2Bapublisher-name> </nlm-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="incollection"> <label>15</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 因特网</gydF4y2Basurname> <given-names> R。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> hopf分岔定理的精确表述及一些注记</一个rticle-title> <source> <italic> 数学方法:动态系统和动态优化</我t一个lic> <year> 2008</gydF4y2Bayear> <fpage> 1</fgydF4y2Bapage> <lpage> 6</gydF4y2Balpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B1" content-type="article"> <label>16</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 阿格利亚里</gydF4y2Basurname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 自适应调整产量的双寡头模型中的同宿连接和次临界Neimark分支</一个rticle-title> <source> <italic> 混沌,孤子和分形</我t一个lic> <year> 2006</gydF4y2Bayear> <volume> 29</gydF4y2Bavolume> <issue> 3.</我ssue> <fpage> 739</fgydF4y2Bapage> <lpage> 755</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016/j.chaos.2005.08.105</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2220392</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1142.91649</gydF4y2Bapub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>17</gydF4y2Balabel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Leijonhufvud</gydF4y2Basurname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 有效需求失败</一个rticle-title> <source> <italic> 瑞典经济学杂志</我t一个lic> <year> 1973</gydF4y2Bayear> <volume> 75</gydF4y2Bavolume> <fpage> 27</fgydF4y2Bapage> <lpage> 48</gydF4y2Balpage> </nlm-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>