自动车载排的时间延迟稳定性裕度计算

抽象的

在车辆无线通信中，由于带宽的限制和通信信道的拥塞，不可避免地会产生时延，给自动车辆队列带来极大的干扰。本文重点研究了精确计算时滞稳定裕度的方法。在本研究中，我们将此问题视为具有时滞的一致性系统的稳定性问题，其中将队列中的每一辆车辆识别为一个节点，并将互连的信息流表示为一个图。然后结合车辆自身和邻近车辆的状态设计分布式控制器。根据闭环系统的特征方程，分析了整个队列的稳定性，得到了精确时滞稳定裕度的充要条件。特别是对于无向拓扑的自动车辆队列，精确的时滞稳定裕度由增广拉普拉斯矩阵的最大特征值决定。在此基础上，提出了一种快速求解精确时滞稳定裕度的方法。最后，数值仿真结果表明，该方法为自动化车辆队列提供了准确且满意的时滞稳定裕度。

1.介绍

车辆排是智能车辆基础设施协调系统的重要组成部分（IVICS），它是智能交通系统的前沿（ITS）[1］．自动车载排由一组协调车辆组成，该协调车辆以相同的速度移动并保持预定的形成几何形状。由于团队合作，自动车载排在提高交通能力，增强公路安全性和减少废气排放和燃料消耗的情况下导致2］．

近年来，自动车辆排技术引起了广泛关注[3.-6.]，可以被识别为四个组分，即车辆纵向动态，互联信息流，分布式控制器和互相间隔政策的组合[7.那8.］．首先，车辆纵向动力学描述了每辆车的主要纵向行为。其次，互连信息流描述了车辆队列中的车辆如何与其他车辆交换状态信息。而它的物理实现依赖于无线车对车(V2V)和车对基础设施(V2I)通信[9.］．此外，互连信息流的结构可以在无向和定向的拓扑方面被分为两种类型。第三，分布式控制器用于每个车辆的特定反馈控制。大多数控制器是线性的[7.那10］．第四，车辆间距政策安排了两辆连续车辆之间的期望距离，进而决定了编队的几何形状。

在自动车载排中，互连的信息流程取决于无线通信。由于频带宽度和通信通道拥塞有限，因此将时间延迟引入车辆排速度是不可避免的[11那12］．同时，时间延迟是在无线通信网络中固有的现象，这是公认的主要因素为车辆排，并且导致不稳定的字符串[13］．因此，在随着时间延迟的情况下，研究车辆排液非常重要。其中，我们专注于在无向和定向拓扑下的自动车载排的计算时间延迟稳定性余量。

为了获得时间延迟稳定性余量，大多数文献分析了车辆排的闭环系统，并将整个车辆排识别为共识系统[14］．时滞的共识系统的稳定性分析问题，大多数现有的研究通常采用的Lyapunov-Krasovskii泛函方法[15那16]，Lyapunov-Razumikin方法[12那17]和广义奈奎斯特标准[18那19］．然而，这些研究只能提供充分的条件，相对保守，未能找到准确的时滞稳定裕度。相反，由于这些结果主要依赖于一些线性矩阵不等式，它们通常是不精确和繁琐的部署。

通过这一事实，我们专注于提供分析方法，以便在指导和无向拓扑下找到自动车载排的确切时间延迟稳定性余量。其中，二阶共识系统用于建模车辆排的纵向动力学，设计控制增益，并描述互连信息流。通过研究闭环系统特征方程的根部的分布，我们为车辆排的稳定性提供了必要的和充分条件。然后，基于必要和充分的条件，可以找到确切的时间延迟稳定性余量。特别地，对于无向拓扑结构，通过分析增强拉普拉斯矩阵的每个特征值与其相应的时间延迟之间的单调性关系，据揭示了确切的时间延迟稳定性余量由最大的特征值确定。因此，进一步提出了一种更快速地计算确切的时间延迟稳定性余量的方法，用于无向拓扑。

总之，这项工作的主要贡献是双重的。首先，以最好的作者的知识，这是第一次，确切的时间延迟稳定裕度分析收购二阶排。确切的时间延迟的稳定裕度是通过搜索闭环系统的特征方程的纯虚根获得，并且它进一步表明，只有正纯虚根应考虑在内。其次，对于无向拓扑结构，原本我们提出了一个简单快速的方法来计算出准确的时间延迟稳定裕度。只有一个时间延迟，这对应于增强拉普拉斯矩阵的最大特征值，需要计算。因此，没有必要来计算其他特征值的延迟。对于大型车辆排，第二个贡献是非常有用的，以显着降低计算负担。

本文的其余部分安排如下。问题陈述中提出了节2．本节详细阐述了自动车辆排的时滞稳定裕度的计算3.．在部分4.提供数值模拟以证明所提出的算法的有效性和优越性。最后，结论总结在一节中5.．

2.问题陈述

对于自动的车辆排，它可以被视为四个组件的组合，即、车辆纵向动力学、互联信息流、分布式控制器、车辆间距策略等。在这一部分中，将分别对这四个组成部分进行详细的描述。

2.1。互联信息流模型

在我们的工作中，我们考虑的排相同的互联车辆，包括一个领导者和追随者。在无向拓扑和有向拓扑中有两种典型的互连信息流。对于无向拓扑(如图所示)1（a）)，除leader车辆向follower车辆传输外，follower车辆与相邻车辆共享状态信息。对于有向拓扑(如图所示)1（b）），车辆仅从以下和前车辆接收状态信息。根据图论，这两种拓扑之间存在一些不同的特性。特别是，分析无向拓扑的稳定性更容易。

对于无向拓扑和有向拓扑，追随者之间的互连信息流都可以用图来建模 那其中每个车辆被识别为节点。 是一组节点和是边的集合。与图相关联的邻接矩阵其特点是 那在哪里 ．非负邻接权重意味着节点可以从节点获取信息吗 ;否则， ．此外，我们假设（无自环被允许，除非另有说明）。

为了模拟领导者和跟随者之间的互连的信息流，增强图被定义为 那在哪里 为包含leader和follower的节点集合，索引0表示leader车辆。边缘设置是否附加了从领导者到追随者的信息流，并且为增广邻接矩阵。

在建模互联信息流后，我们的目标是用图表描述其属性和 ．因此，两个重要矩阵(IE。，拉普拉斯矩阵和钉扎矩阵）如下介绍。首先，拉普拉斯矩阵 那这与图表相关联 那被定义为

其次是钉扎矩阵 那其与增强图相关联的描述从领导者到追随者的互连信息流，定义为 在哪里如果是边缘 ;否则， ．表达意味着个车辆可以从领导者的信息。在复杂网络的字段被称为钉扎增益20.］．如果 那车辆据说被固定在领导者身上。

根据代数图论[21]，增强图形应包含的领导者车辆的至少一个生成树生根如果车辆排渐近稳定。生成树是由增强曲线的一些或全部的边缘形成的代数树链接所有节点。图表包含一棵生成树意味着它的边的子集形成一棵生成树。因此，对于一个稳定的车辆组队，应该至少存在一条从leader到每个follower的直接路径。相反，每个追随者都可以直接或间接地从领导者那里获取信息。

2.2。车辆纵向动力学

对于每辆车的纵向动态，它是由二阶线性模型的数学特征。此外，为了降低模型复杂性，应用了输入输出反馈线性化以构建模型。然后，纵向动态车辆用来表示 在哪里和是位置和速度分别th车辆。推进力表示控制输入。一次is appropriately chosen, the vehicular platoon is capable of achieving the desired spacing, maintaining an identical speed, and performing synchronous braking maneuvers.假设在每个车辆中存在内环自动控制器，用于响应控制输入 ．

２.３.车辆间间距的政策

该intervehicle间距政策在车辆排控制了至关重要的作用。在相反，跟踪引导者车辆的速度，实现预定的形成几何形状，车辆排控制的目的是通过intervehicle政策的制约： 在哪里是所需的间间距之间车辆和车辆。假设 ．车辆排的队形几何是由 ．有两种主要的互动间距政策，即、恒距离(CD)策略和恒时间车头时距(CTH)策略。对于裁谈会政策，被设置为常量数： 在哪里间距是常数吗车辆及其先前的车辆。

对于第四届政策，取决于车辆速度 ： 在哪里是恒定的时间进展。

按照一些几何考虑，间隔政策可以重铸成与前导车辆的间距一样吗 ．因此，排在（4.)可以重写如下: 在哪里从领导者到领导者的期望距离是多少车辆。

2.4。带时间延迟的车载排的分布式控制器

如今，大多数文献集中于无延时设计为车辆排控制器[21那22]并且分布式控制器设计如下： 在哪里和是位置和速度的控制增益。

然而，由于通信信道的有限频带宽度和拥塞，时间延迟不可避免地出现在车辆排。同时，时间延迟是在无线通信网络中，这是公认的车辆排的性能的主要因素的固有现象，导致该字符串不稳定性。因此，通过考虑时间延迟引入到互连的信息流，用于车辆与排时间延迟分布式控制器可以被设计为 在哪里表示时间延迟。一般来说，通过GPS保证整个队列的时钟同步[23的值可根据传输时间计算出来。

3.自动车载排的时间延迟稳定性裕度

在这一部分，我们的目标是计算两个无向和定向拓扑下用于自动的车辆排的时间延迟的稳定裕度。为了获得时间延迟的稳定裕度，就必须精心分析车辆排的闭环系统。另外，计算准确的时间延迟稳定裕度，必须获得必要和充分条件。此外，它显露的确切时间延迟稳定裕度是由最大特征值确定，并且提出了一种无向拓扑用于计算精确的时间延迟的稳定裕度的更快速的方法。

3.1。稳定性分析自动车辆排

为了分析系统的稳定性（3.）与分布式控制器（9.），错误状态，这是与用于前导车辆的状态信息的比较来确定，定义如下： 在哪里是间距错误状态和是速度错误状态。和代表领导者车辆的位置和速度。

通过将错误状态代入分布式控制器(9.），它可以在故障状态的条款重铸

因此，通过使用错误动力学(11），系统（3.)可以重写如下:

为简单起见，我们定义了错误状态向量作为 ．然后，将车队的集体闭环动力学重写为紧凑形式: 与 在哪里和表示 -尺寸标识矩阵和零矩阵。

在此基础上，建立了车辆组队的闭环动力学模型。下面根据增广拉普拉斯矩阵进行稳定性分析。

在其中，我们定义增广拉普拉斯矩阵的特征值作为 那这在数学上反映了增强图形的重要特征 ．通过利用特征值 那分析闭环动力学的稳定性是方便的（13）。此外，为了促进闭环动态的稳定性分析（13)，我们在[24将整个车队划分为一些小型同步子系统。

然后，系统的特征方程（13)是由 在哪里

分析闭环动态稳定之前（13），一些lemmas如下提供。

引理1。当增广图包含一个生成树，所有的特征值位于开的右半复平面，即那 ．
lemma.1描述的特征值的分布 那并且表明稳定性和计算增强图的确切时间延迟稳定性余量是根本的 ．

雷玛2。当图是无向的，所有的特征值都是为正数，即那 ．
lemma.2介绍了无向拓扑结构的特殊性。当随动车辆之间的互连的信息流被无向，它是简化验证稳定性的理论推导是有用的。引理的证明1和2可以在[21］．

引理3。闭环动态（13）如果才能呈渐近稳定，只有在每个等式（16）是赫尔维茨稳定，即，闭环系统的特性方程的根部全部位于开放的左半复平面中。
基于对上述3个引理，我们得到了闭环动态第一稳定性结果（13）。

定理1。如果闭环动态（13)渐近稳定，则不等式成立: 在哪里是 ． 和是真正的部分和虚构的部分 那分别。

证明。闭环动态（13）应该对无延迟案例主要是稳定的[25］．当 那存在 作为可能是复数，(18）转变为第四阶等式 然后，稳定性（19）基于Routh-Hurwitz稳定标准进行检查： 该劳斯表中公式列出来（20.）。考虑到这个定义在 （9.）事实从引理1，它得出结论是（18如果才能才能脱渐近稳定 把所有考虑，如果闭环动态（13)渐近稳定，不等式(17）持有。

备注1。稳定条件（17)的定理1是闭环动态的必要和充分条件（13）对于无延迟情况，但它只是延迟案例的必要条件。为了 那闭环动力学的稳定性(13)不仅与控制增益和互连信息流的结构有关，而且还与时延有关。

推论1。为了 那当图表是无向，闭环动态（13）是渐近稳定的，对于任何 ．
当图是无向，存在根据引理2．因此，不平等（17）持有任何 ．

3.2。计算自动车载排的确切时间延迟稳定性余量

对于延迟案例 那我们审查了特征方程（16“

很明显是准多项式和其特征方程是一个超越方程。因此，分析特征方程的根是很复杂的。尽管如此，我们仍然致力于检查根的性质，以找到确切的时间延迟稳定裕度。

定理2。对于闭环动力学(13)满意的条件(17),让是以下等式的根源： 与 ．拿 在哪里 与和 ．让 ．然后，系统（13如果才能才能脱渐近稳定 ．

证明。根据中华的推论26，我们知道对于一个拟多项式 那如果 赫尔维茨稳定和不稳定 那必须存在一个根上的假想轴 ．在我们的工作中，如果稳定条件（17）在定理中1纳，在 （22）Hurwitz稳定 ．因此，可以利用[中的推论2.4]。26]找到确切的时间延迟稳定性余量 ．之后，我们的目标是找到根上的假想轴 ．
相对于虚根 那存在 那这意味着真实和虚构的部分 零，显示为 通过重新排列（25)，得到如下两个三角函数: 在哪里 ．根据众所周知的三角性财产 那结论是 然后，两个真实值的根 那它们分别是阳性和阴性的，可以解决。同时，获得了 基于（26）。延迟还推导出 那的整数应选择作为令人满意的最小值 ．
下一步，我们的目标是展示，只有情况要考虑的需求。两起案件的图 那即，无向和指向拓扑，如下所示，如下所示：（一世）无向图 ：在这种情况下, ．的两个实值根27） 是 那和 ．很明显 ．在此基础上，人们可以发现， ．必须存在这样我们就可以简单地服用 ．总之，只考虑正根就可以获得 那因为虚构的根源形成复杂的缀合物对。(2)定向图形 ：在这种情况下, ．此外，还必须有一个共轭特征值的对于指示的图形 那其中共轭本征值也是一个根（27）。我们将共轭特征值定义为 ．让 ．根据(27)，这很容易看出来 ．然后，人们可以找到 ．必须存在这样我们就可以简单地服用 ．因此，对于有向图 那只考虑正根仍足以获得 ．然后，通过合成上述两种情况 那积极的根源（27）解决如下： 最后，我们扫描所有特征值计算所有并找到确切的时间余量 ．

备注2。定理2提供了一种方法用于查找的确切时间延迟的稳定裕度闭环动态（13）。定理2为稳定的延迟情况下的必要和充分条件。

3.3。在无向拓扑下计算确切时间延迟稳定性余量的快速方法

一个大规模的车辆队列通常会产生大量的图特征值 ．扫描所有特征值是耗时的计算所有 ．然而，众所周知，最关键的特征值直接决定了精确的时滞稳定裕度。如果找到最关键的特征值，就不需要扫描所有其他特征值。另外，由于有向图最关键特征值的分析非常繁琐，因此我们只考虑无向拓扑。因此，我们着重于在无向拓扑下寻找最关键的特征值，以减少计算量，快速准确地计算出时滞稳定裕度。

定理3。对于闭环动力学(13），在无向图下 那让 ．然后，是最关键的特征值，它决定了确切的时间延迟稳定性余量 ．

证明。虽然很难直接确认是否的单调性取决于单调的单调性 那我们计划通过两个步骤来揭示它们之间单调的关系。通过治疗作为立即变量，第一步是验证的单调性取决于单调的单调性 那和第二步骤是验证的单调性取决于单调的单调性 ．
在第一步，我们只考虑这种情况按照定理2．当图是无向的,(28)变成如下形式: 根据雷姆玛2那对于无向拓扑是否为正实数，可以看出随着增加的增加变大 ．然后，证明了立即变量的单调性取决于单调的单调性 ．
在第二步中，我们的目标是验证的是单调的取决于单调的单调性 ．关于(24),有 与 ．我们打算申请部分导数属性来符合单调性。部分衍生物 计算如下： 与 ．
在 （30.),这个词 仍然存在。因此，要确定(30.）为正或负。为了解决这个问题，我们推导出的偏导数再次，以及辅助功能由下式给出 与比较（31），（30.)可以重写为 然后，将偏导数 是计算 它的定义是在 （9.），值得注意的是 什么时候 那和 什么时候 ．然后，得出结论 在 （32）什么时候 那这意味着随着增加的增加而变小 ．到目前为止，我们验证了单调性的取决于通过使用部分衍生性。
考虑到以上两个步骤，可以证实随着增加的增加而变小 ．因此，最大的特征值是最关键的，并决定了确切的时间延迟稳定裕度 ．

备注3。定理3.揭示了对无向图的确切时间延迟稳定性余量与增强拉普拉斯矩阵的特征值之间的固有关系 ．根据定理3.，只计算一个对应于最大特征值的延迟足以获得准确的时间延迟的稳定裕度，并且它不再是必要的，以扫描其它特征值。对于大型车辆排，利用定理3.可以显着降低计算负担。

4.数值模拟

在本节中，进行了数值模拟以验证主要结果的有效性。其中，考虑了具有五个相同车辆（一个领导者和四个追随者）的自动车载排。为单车道道路进行仿真。作为[中描述的智能运输系统场景27，我们采用了领先者车辆传递给跟随者车辆的互联信息流结构。设钉扎矩阵为 ．同时，从动车辆与其相邻汽车共享状态信息，并形成无向拓扑或定向拓扑结构（如在图中描绘1）。值得注意的是相互关联的信息流的配置包含一个生成树和满足引理1．The leader vehicle maneuvers at a constant velocity of 20 m/s (即，72 km / h）。选择CD策略作为Intervehicle间距策略，并且所需的间距设置为 ．初始错误状态定义为m和m / s。在以下两种情况下，无向拓扑和有向拓扑，模拟研究稳定性和精确的时滞稳定裕度。

4.1。无向拓扑

对无向拓扑进行了数值仿真，验证了该定理的有效性2和定理3.．邻接矩阵和拉普拉斯矩阵是由

增广拉普拉斯矩阵的特征值对于无向拓扑是 那 那 那和 ．结果表明，所有的特征值都是正实数，其分布与引理一致2．控制收益调整为和满足定理1．我们扫描每个特征值以得到它 s, s,年代, s. Then, the exact time delay stability margin s is obtained. One can find that the exact time delay stability margin is determined by the largest eigenvalue 那证实了定理的结论3.．两种极端情况都与时间延迟验证年代和 s, which are depicted in Figures2和3.， 分别。可以看出，稳定性在图保证2图中出现了不稳定性3.．因此，在无向拓扑结构下的仿真结果支持定理的主要结果2和3.．

4.2。定向拓扑

对于一个有向拓扑中，数值模拟进行验证定理的有效性2．邻接矩阵和拉普拉斯矩阵是由

增广拉普拉斯矩阵的特征值对于定向拓扑是 那 那 那和 ．可以看出，所有特征值都有积极的真实部位，使其分布与引理相一致1．控制收益调整为和满足定理1．我们扫描每个特征值以得到它 s, s,年代, s. Then, the exact time delay stability margin s is obtained. Two extreme cases are verified with the time delays年代和 s, which are depicted in Figures4.和5.， 分别。可以看出，稳定性在图保证4.和不稳定性发生在图中5.．因此，在针对拓扑下的仿真结果支持定理的主要结果2．

此外，应注意，该示例中的针向拓扑的确切时间延迟稳定性裕度与具有最大模块的一个特征值相关联。这是一个有趣的现象。因此，我们的进一步研究主题是弄清楚这种现象是否是指向拓扑的一般。同时，本文侧重于计算线性动力系统的确切时间延迟稳定性余量。所提出的方法仅适用于线性动力系统，因为我们根据闭环系统的特性方程获得确切的时间延迟稳定性余量。该方法不能直接应用于非线性动力系统。然而，它可以扩展到非线性动力系统，其可以通过动态反馈线性地转换为可控的线性系统。因此，寻找非线性动力系统的确切时间延迟稳定性余量是我们未来的另一个工作。

5.结论

摘要研究了自动车辆排的精确时滞裕度问题。在设计了分布式控制器后，重点分析了整个排的稳定性。通过研究闭环系统特征方程的根分布，得到了精确的时滞稳定裕度。这是一个充分的必要条件，表明我们的结果在克服保守性方面优于现有的大多数方法。通过研究增广拉普拉斯矩阵各特征值与其对应的时滞之间的单调关系，提出了一种快速求无向拓扑精确时滞稳定裕度的方法。分析证明了最大特征值决定了精确的时滞稳定裕度。因此，不再需要计算与其他特征值对应的延迟。对于大型车队，利用本文提出的定理可以大大减少计算量。对无向拓扑和有向拓扑进行了数值模拟，验证了理论推导的有效性。仿真结果还表明，有向拓扑的精确时滞稳定裕度与模量最大的特征值有关。 Figuring out, whether this interesting phenomenon is general, is the subject of our ongoing work.

数据可用性

用于支持本研究结果的数据可根据要求可从相应的作者获得。

利益冲突

张勋勋2012年获西北工业大学控制理论与控制工程硕士学位。2018年毕业于中国长安大学交通信息工程与控制专业，获博士学位。现就职于中国西安建筑科技大学土木工程学院。主要研究方向为蜂群系统建模、分析与控制，多机器人编队控制，车辆自动排控。e - mail: zhangji@163.com李莉，2003年毕业于中国西北工业大学，获控制理论与控制工程硕士学位。2008年获清华大学计算机科学与技术博士学位。目前就职于中国天津师范大学计算机与信息工程学院。主要研究方向为智能控制，模糊系统，自适应控制。朱旭，2014年毕业于西北工业大学控制理论与控制工程专业，获得硕士学位和博士学位。现任长安大学电子与控制工程学院副教授。 His research interest includes multi-UAV cooperative control, automated vehicular platoon control, and fight control.

致谢

该工作是由中国博士后科学基金会提供支持，授予2017M613030。