非线性动力学在化学反应一个调幅激励:滞后,振动共振,多稳定性和混乱

文摘

本文处理的影响一个调幅(AM)励磁的非线性动力学四分子之间的反应。计算固定点的自治非线性化学体系已经详细使用万向的方法。霍普夫分岔已成功也检查。路线通过分岔结构混沌进行了调查,李雅普诺夫指数,阶段肖像和庞加莱截面。控制力的影响对混沌运动分析,发现和控制效率的情况 (未调整的情况下) 与 和 ; 和是简单的正整数。振动共振(VR)、磁滞和共处几个流动详细研究了基于点力的频率之间的关系。分析调查结果并辅以数值模拟进行验证。

1。介绍

非线性动力学是一个多学科领域,不仅数学,而且工程,物理,化学,生物。专著,撰写“(1),将是第一个开始如果学习这个话题感兴趣。在过去的十年里,研究复杂动力学和化学振荡反应的外部扰动的影响下得到太多的关注和各种倍周期分岔通向混沌运动等结果,准周期的途径混乱,多个吸引子共存,滞后,取得了振动共振(2- - - - - -12]。化学振荡反应在连续搅拌釜反应器生化振荡(装运箱)是第一个发现的。相当大的理论进展化学振荡的性质,唯一已知的化学振荡器要么是生物起源、糖酵解和oxidase-peroxidase系统;要么发现意外,像布雷和BZ反应;或变异的反应(2- - - - - -12]。在这些化学振荡、各种动力学行为被许多研究人员研究。例如,非平衡现象如振荡、双稳态,复杂的振荡,quasichaotic行为的反应是由这些研究显示。的一个主要挑战是预测和控制这些现象为潜在的应用在非线性化学振荡(见[2- - - - - -15])。这些振荡的研究已经取得了与定期的外部激励或参数激励(11,12]。此外,这些振荡的研究更有利与AM(调幅)[系统14]。然而,一些新的动力学现象包括可控频率也可以。Binous和Bellagi2]目前四个问题的解决方案是从化学和生化工程的研究领域。这些问题说明各种极限环等非线性动力学的重要方面,准周期的和混乱的行为,时间序列和相位肖像,功率谱,时滞重建图,霍普夫分岔,分岔图和稳态多样性。在大量的例子,他们选择下面的案例研究,因为它说明了非线性动力学的基本概念:糖酵解振荡器模型在1968年首先提出Selkov为了阐明机制活细胞用来获取能量从糖分解;oregonator模型导出了场,珂珞语,诺伊斯在1970年代早期,这阐明了著名的振荡行为观察Belousov-Zhabotinsky (BZ)反应;在生化反应器稳态多样性莫诺和底物抑制动力学;和有三autocatalator,首先提出了彭,斯科特,肖沃特在1990年。Guruparan et al。3)认为Brusselator化学系统由一个调幅(AM)力和数值Brusselator化学系统的动力学研究与广泛不同的频率由一种调幅的力量。他们显示磁滞和振动共振的发生和几个轨道周期t的共存,分岔的线路混乱,准周期的和混乱的轨道。准周期的轨道,他们有特征周期轨道混沌轨道,滞后,使用分岔图和振动共振,最大李雅普诺夫指数,相图、庞加莱映射和共振的情节。Shabunin et al。5]介绍了点阵极限环(LLC)模型作为最小平均场方案可以在晶格模型反应动力学(低维支持)产生非线性极限环振荡。他们发现,在一个外部的影响周期力,LLC的动态可能大幅修改。同步现象,分岔,转换混乱也观察激发力的函数。利用剧烈变化的动力学由于周期性强迫,他们发现它是可能的修改输出/产品或化学反应的产率,通过应用一个周期力,而不需要改变属性或实验条件的支持。Blekhman和兰达6]认为biharmonical外力引起的共振和两个不同的频率(所谓的振动共振)使用一个双稳态振荡器被杜芬方程为例。结果表明,在弱阻尼振荡的情况下,这些共振是共轭;他们发生在低和高频率是不同的。此外,发生共振的振幅高频激励是不同的。也表明,高频动作引发的变化的数量稳定稳定状态;这些分岔也共轭,表面上的原因在过阻尼振子共振。Roy-Layinde et al。7]研究了振动共振的现象(VR)和分析在biharmonically双流体驱动的等离子体模型与非线性耗散。他们派生分析方程的缓慢振荡系统的主题参数快速信号的使用直接的方法分离运动。外部应用高频电场的存在被发现明显修改系统动力学和,因此,导致虚拟现实。他们已经鉴定出虚拟现实的起源在等离子体模型中,不仅有效等离子体的潜在贡献的有效非线性耗散。除了几个动态变化,包括多个对称破裂的分岔,吸引子逃,扭转了倍周期分岔,数值模拟也显示单引号和双共振的发生引起的破坏对称分岔。兰达问麦克林托克和(8)认为高频力的影响反应的双稳态系统低频信号过阻尼和弱阻尼情况。他们表明,响应可以通过适当的优化选择振动振幅。这个振动共振显示许多类比著名的随机共振现象,但随着振动力量填补这个角色通常由噪声。Jeevarathinam et al。9]分析了振动共振杜芬振荡器系统在存在gamma-distributed时延反馈和一个综合时滞(均匀分布在有限区间时滞)反馈。特别是,应用理论的过程中,他们获得的响应幅度的表达式的低频驱动双调和的力量。double-well潜力和单井潜在的情况下,它们能够识别区域在两个共振的参数空间,一个共振,或没有发生共振。理论上预测的值响应振幅和共振发生的一个控制参数的值是在良好的协议与数值模拟。分析显示了强大的影响力,这两种类型的时滞反馈振动共振。在本文中,我们寻求滞后,振动共振,混沌系统中四个分子之间的反应时受到外部调幅激发。更准确地说,经过深入分析霍普夫分岔点和固定的自治系统,调制振幅的影响力化学反应的动力学作了详细研究和控制力的效率进行了分析。本文结构如下:部分2给化学模型的数学建模,而部分3分析了不动点和他们的稳定和霍普夫分岔的可能性获得。节4深入详细的分岔和路线混乱,定期外部激励下的系统。部分5处理振动共振、分岔、路线混乱,双稳性,对吸引子共存,滞后 。部分6分析是激发时的影响 和 ,在哪里p和问是简单的正整数。最后,给出了研究的结论部分7。

2。化学模型及其数学方程

在这项工作中,我们考虑四个分子之间的反应的自治系统(5,16]:

X,Y,年代分子的类型X和Y分别和空的格子 ,和相应的反应动力学常数。复杂的振荡动力学和实验观察到的空间模式的形成与巨大的成功预测通过活性多分子的模式(5,12,16- - - - - -21]。事实上,在80年的开始,实验,“假期模型”是被动的四分子阶段写的。在这些模型中,增加空站点的数量导致自催化行为的增加,从而导致振荡行为。之间的反应一氧化氮和一氧化碳(没有+ CO),一氧化氮和氨(没有+ NH₃(不二氢),一氧化氮和+ H₂),所有使用铂表面Pt作为催化剂,是众所周知的空缺的模型(18]。在这些反应中,一个自催化行为与空网站观察,这解释了,在其他非线性现象,观察到的“表面爆炸”现象经常在多相催化代表产品的窄峰浓度以固定时间间隔(5,12,16- - - - - -21]。

在平均场方法,动力学方程的相对浓度的进化分子(x,y)和空网站(S)可以写成如下(5,16]:

很容易证明,保护的一个条件满足: 因此, 。通过选择这个常数等于1,我们有 ,并把它在方程(3),该系统减少了以下系统:

这个系统的复杂动态行为的作用下深入研究了正弦力(5,16]。最近,调幅力的重要性已被证明特定的控制复杂的动力学系统,如机械和电气系统(14,15)和生物化学和化学系统(3,11- - - - - -13]。在这项工作中,我们考虑分子的动力学在外部调幅励磁下的化学反应,可以描述一个系统的两个订单1的微分方程。所以我们修改原始模型(7)有限责任公司通过添加一个振荡器振幅调制力向右第一个方程的主题。所以,我们有 在哪里未调制的力的振幅,G是调制的程度,和AMF的频率。

使用时间尺度改变 和符号 ,我们减少了系统(8)如下: 与 。

3所示。平衡点及其稳定性分析

我们考虑系统(10)在缺乏激励和我们寻求固定的点。事实上,我们有

系统的分辨率由这两个方程归结为以下方程:

自治系统的不动点和 的坐标 求解后得到以下方程:

求解方程(15),我们组 和 。

所以,我们有

通过万向技术(11),解决方程(16)寻找一个trinome的根源。如果∆三项式的判别,

在这里,α> 0,β> 0 和 然后D> 0。

方程(16)只有一个真正的解决方案,这是 。所以,我们有 ,在哪里 与

相反,通过结合系统的方程(12),我们有 。

因此,我们有和 。

总的来说,自治系统承认四固定的点(微不足道的),(semitrivial),(semitrivial), (重要的)。

每个不动点的稳定性的研究是由搜索相关的自治系统的雅可比矩阵。自治系统的雅可比矩阵与每个固定点相关联或 如下:

为 ,雅可比矩阵的特征值J是 和 ,哪些是实数和符号相反,因为 和 。因此,是一个鞍点。然后,雅可比矩阵的两个特征值J与是 和 ,因此,是unrobust点。相反, ,特征值是 和 ,因此,是一个健壮的点。最后,对于 ,特征方程的特征值J是 与 和 在哪里

如果 ,然后方程(21)只有一个解决方案,以及不动点是一个中心。为 特征值是

在这种情况下,平衡点是一个节点。如果 然后 和是集中或中心。由于Routh-Hurwitz标准(22,23),不动点是稳定的,当且仅当吗 和 如果不是不动点是不稳定的。我们现在霍普夫分岔寻找假设 。让我们插入λ在方程(21),我们有 与 和 。

假设β固定的,作为分岔参数,区分双方的特征方程(21)相关关于 ,我们获得 在哪里 和 。因此,如果对 , ,和 ,然后 是一个平衡点霍普夫分岔值系统 。简而言之,我们有如下定理1。

定理1。如果是固定的,系统(8)没有在平衡点霍普夫分岔点力量 当通过临界值 ,以下哪一个关系(同时验证16和17):

为了支持这个定理,我们代表相关的特征值的实部平衡点 特征值的情况是复杂的函数固定的值β。图1显示了重要的价值观 的霍普夫分岔对应点 和分别。通过一个简单的计算,我们同时显示这些值验证(28)和(29日)。还应该指出的是,临界值霍普夫分岔的增加β。在诞生的那一刻,通过霍普夫分岔点 ,振荡振幅极小,near-harmonic形状(见图2)。

4所示。分岔和路线混乱= 0

之前学习的影响是励磁系统的动态,让我们分析每个参数的影响 ,β,f未调整的的动态系统。事实上,我们代表分岔图、李雅普诺夫指数,相空间和庞加莱截面作为控制参数f和β。在这项工作的遗骸,我们 , , ,x(0)= 0.5,y(0)= 0.5。从模拟的结果的情况下进行的未调整的系统(= 0),我们注意研究的化学反应可以提供一个非常丰富的动态周期等multiperiodic,准周期的,混沌振荡。此外,我们观察到的现象如滞后、多稳定性,周期共存,multiperiodic,准周期的,混沌吸引子(见图3- - - - - -6)。所有这些现象证明中可以观察到非常复杂的动态非线性化学反应进行了研究。因此,图3对应的分岔图和系统的李雅普诺夫指数f不同的域≤0f≤0.003,其他参数固定。从这个图中,可以看出,化学振荡是准周期的,multiperiodic和混乱。当我们比较系统的动态f从0增加到0.003(蓝色)时获得的f从0.003下降到0(红色),我们注意到除了观察到的相同性质的化学振荡在大域,系统介绍了共存周期吸引子的6T与准周期的流动为0.0011162 <f< 0.001131,流动周期为5T与准周期的流动为0.001521 <f<≤0.00156103和0.001598f< 0.0017485,流动周期为5T流动的时间10T0.00156103 <f< 0.001598,流动周期为5T与混沌吸引子为0.00298 <f≤0.003。化学振荡的混沌行为预测的分岔图和相应的李雅普诺夫指数(图3证实了相空间(图)4(一))和相应的庞加莱截面(图4 (b))获得f= 0.0025。为f= 0.00165和两个不同的初始条件,我们绘制了相空间和相应的庞加莱截面图5。我们显然注意通过这个图共存的准周期的流动(数字5(一个)和5 (b))的流动5 t(数据5 (c)和5 (d))因此证明这一现象。了解非线性参数的影响和β在化学反应的振荡的性质考虑,我们认为现在β作为分岔参数。因此,图6显示参数的影响在分岔图β在0.03和0.1之间变化。在这个图中,可以看到混乱的,周期性的,还取决于multiperiodic,准周期的行为β。我们注意,混沌振荡只能存在≤0.02时< 0.05,在这个领域之外,化学振荡周期。应该注意的是,数值模拟显示和β几乎相同的影响反应的化学动力学研究。

5。是力对系统的影响Ω≫ω

5.1。振动共振和振幅响应

在一个非线性动力系统由组成的低频的重调的力量和高频与 ,当振幅高频力是不同的,在低频振幅响应展示一个共鸣。这种高频率及共振称为振动共振(3,6- - - - - -9]。确定虚拟现实中,我们使用频率响应的振幅的信号。的确,用四阶龙格-库塔算法,时间步长,我们数字集成系统(10)的化学反应正在考虑。因此,数值解允许振幅响应计算问通过以下公式: 在哪里 与 响应时间和n= 500。

我们计算问与高频,低频力只与两个部队。

为 ,问确定是 , 和代表输出信号的傅里叶系数和频率和问这个相同的频率响应的振幅。的确,对于= 80与小,不同的结果如图7- - - - - -9。数据7(一)和7 (b)代表了变化问分别不同f为= 0和为f= 0时= 0.0481。从图7(一),我们注意的几个山峰,虽然f= 0,我们有一个最大的= 0.003301,问= 0.00092802。当从0到0.05不等f6 = 0= 80 ,虚拟现实似乎和我们观察到它的持久性,它的形式,其最大振幅和的值共振不仅取决于f和但也在非线性参数和β非线性化学作用的考虑。事实上,multiresonance出现< 0.06(见图8(一个)当0.06≤)和消失< 0.09。0.09≤≤0.1,虚拟现实变成了双共振与两种不同的问_马克斯(见图8 (b)),再次消失在0.1 <≤0.14,然后在monoresonance的形式重新出现> 0.14(见图8 (c))。最后,我们注意到什么时候变化从0到0.05,最大振幅问_马克斯降低频率时增加。

图9显示当从0到0.05,= 80与 ,和的影响参数f, ,是β(数据9(一个)- - - - - -9 (c)分别显示在虚拟现实。从图9(一个),我们注意到的振幅响应的最大值减少时f增加我们获得双共振f= 0.0011。图9 (b)显示的参数也会影响振动共振。最后,我们注意到图9 (c)当0.06 <虚拟现实存在β< 0.08,参数β也有同样的效果在虚拟现实的情况 。在结论中,出生和振动共振在化学反应的消失可以强烈控制不仅是学习力也由参数和β的化学反应。

5.2。滞后,对吸引子共存,多稳定性

在本节中,我们分析的影响在化学动力学 通过磁滞和对吸引子共存现象。为此,我们代表不同的分岔图与 (图10)。

当我们比较系统的动态从0增加到0.1(蓝色,图10 ())时获得的从0.1下降到0(红色,图10 (b)),我们注意到,同样是观察到的化学振荡,但振幅外x不同尤其是multiperiodical振荡。这种差异在振幅表示表明化学振荡不遵循同样的路径来回当我们增加从0到0.1,当我们从0.1减少到0:这种现象称为磁滞。也需要有一个领域,multiperiodic流动与吸引子共存一段2T和流动周期为4T一方面和另一方面的混沌吸引子共存的吸引子期4T和multiperiodic流动。滞后的现象,对吸引子共存非常可见图10(确认图11)和显示多稳态系统中行为和滞后。因此,对于 ,化学振荡反应被认为是变得更复杂。图12显示的效果β在化学振荡和获得的两种现象。我们推断,当参数β∈(0,0.06),化学振荡不混乱和共存周期性流动和滞后的存在。

化学振荡变得非常多样,我们注意定期,multiperiodic,准周期的和混乱的行为的存在和持久性滞后和多个吸引子的共存β∈[0.06,0.7]。最后,对于β> 0.7,我们观察到混沌振荡主导和滞后现象的消失。的参数和f有类似的效果的吗β原因,我们决定不代表人物翻译这些影响。我们注意到参数的频率是力有一个非常重要的影响的动态系统以及滞后的现象,对吸引子共存。

更准确地说,可以用来减少领域准周期的振荡,对吸引子共存的域,并使完全消失滞后。

6。的影响是在系统的力量=

在这里,我力的影响进行了分析= 。出于这个原因,我们选择作为分岔参数,获得的结果在图所示13。从图的分析13,似乎变化可以消失的混乱和准周期的振荡,但保留了滞后的现象,对吸引子共存。此外,模拟(这里没有显示)的数据显示,参数β和f减少两种现象同时作用于模型的化学振荡的研究。图14代表了庞加莱截面非线性化学反应并显示3T周期,4T周期和混沌振荡也获得图13。最后,我们寻找的效果是力当振幅调制的频率并不共振等,他们的相互关系是非理性的。

为此,我们= 0.0481,= (−1)/ 2;我们也寻求系统通过构建的动态分岔图考虑作为控制参数。数据15和16分别代表的影响β和f在分岔图。当我们分析这些数据时,我们注意的情况一样的言论=除了在这里的每一个参数β和f可以用来减少甚至消除混乱的化学振荡。

7所示。结论

在这项工作中,我们研究了一个调幅的影响力量四个分子之间的化学振荡反应。我们有寻找不动点及其性质当系统是自主的。似乎完全自治系统承认四个观测点。重要的不动点的性质取决于参数和β和霍普夫分岔,这两个参数的非平凡平衡点。化学系统被认为是被广泛的动态分析未调制的情况下,和周期性,multiperiodic、准周期的,混乱的化学振荡。域存在的滞后、共存时期5的准周期的流动和流动T和流动周期为6T,与混沌吸引子共存multiperiodic流动。从模拟,应该注意的是,对于某些值的非线性参数和β、复杂的动力学可以控制,甚至减少到一个周期振荡。为6 = 0 复杂现象,如振动共振(VR),磁滞,对吸引子共存,是非常显著的,可以通过我的力量或控制参数和β。这些不同的领域存在的现象不太重要= 。当振幅调制频率的力不相互共振,这样他们的关系是非理性的,multiperiodic流动时存在周期≥4T和他们的域的存在更重要。最后,我们的工作证实了混沌振荡霍普夫分岔和获得的(5),证明了虚拟现实的外观,滞后、多稳定性,和各种化学反应的吸引子共存。虚拟现实的存在表明,振荡的振幅的浓度可以探索,而滞后现象表明,振荡的振幅的浓度将无法遵循同样的路径演化的控制参数增加或减少沿着相同的路径。多稳定性和对吸引子共存获得显示的稳定或不稳定性质的化学振荡和化学流动被认为是同一域的参数。使用武力的爹已经表明,可以控制获得的各种复杂现象。

数据可用性

没有数据被用于这项研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

引用

1. 美国“非线性动力学与混沌:应用物理学,生物学,化学,和工程英格拉姆出版商服务我们,纽约,纽约,美国,第二版,2014年版。
2. h . Binous和a . Bellagi”引入非线性动力学数学化学和生化工程研究生使用,“计算机应用在工程教育,27卷,不。1 - 2018页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
3. s . Guruparan b文德兰花Durai Nayagam,诉Ravichandran诉Chinnathambi和s Rajasekar“滞后、振动共振和混乱brusselator化学系统的激发下振幅调制的力量,”化学科学审查和信件,4卷,不。15日,第879 - 870页,2015年。视图:谷歌学术搜索
4. m . Gruebelle和p·g . Wolynes振动能量流和化学反应”,的化学研究37卷,第267 - 261页,2004年。视图:谷歌学术搜索
5. a . Shabunin诉Astakhov诉Demidov et al .,”建模的化学反应,迫使极限环振荡:同步现象和过渡到混乱,”混乱,孤波和分形,15卷,不。2、395 - 405年,2003页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. i . i Blekhman和p·s·兰达在共轭共振和轨非线性系统biharmonical激发下,“国际期刊的非线性力学,39卷,不。3、421 - 426年,2004页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
7. t . o . Roy-Layinde j . a .老爷o . o . Popoola和美国e·文森特”分析biharmonically驱动等离子体的振动共振”混乱26卷,1 - 9,2016页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. p·s·兰达和p .问麦克林托克诉大肠”,振动共振”,物理学杂志》:数学,33卷,不。45岁,433 - 438年,2000页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. c . Jeevarathinam s Rajasekar, m·a·f·´桑珠抱一个“达芬振荡器的振动共振与分布式时滞反馈,”应用非线性动力学杂志》上4卷,页1 - 15,2015。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
10. p . Sarkar和d s雷”,在非线性耦合系统振动反共振”,物理评论E,卷99,不。52221年,页1 - 7,2019。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
11. d . l . Olabode c . h . Miwadinou v . a . Monwanou和j·b·Chabi Orou,“被动的流体动力学力对谐波的影响在非线性化学动力学混沌振荡,”自然史D卷。386387年,49-59,2019页。视图:谷歌学术搜索
12. c . h . Miwadinou a . v . Monwanou j . Yovogan l . a . Hinvi p·r·图瓦Nwagoum和j·b·Chabi Orou,“建模非线性耗散的化学动力学强制修改Van der Pol-Duffing振荡器与不对称势:混沌行为的预测,”中国物理学杂志卷,56号3、1089 - 1104年,2018页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
13. h . g . Enjieu Kadji和b . r .娜娜Nbendjo,“被动空气动力学控制等离子体的不稳定,”非线性科学与数值模拟通信,17卷,不。4、1779 - 1794年,2012页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
14. c . h . Miwadinou a . v . Monwanou l . a . Hinvi和j·b·Chabi Orou,“振幅调制信号对混沌运动的影响在混合Rayleigh-Lienard振荡器,”混乱,孤波和分形卷,113年,第101 - 89页,2018年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
15. c . h . Miwadinou a . v . Monwanou a . a . Koukpemedji y . j . f . Kpomahou和j·b·Chabi Orou,“混沌运动在强制混合Rayleigh-Li´恩纳德振荡器和外部参数的周期性作用,”国际期刊的分歧和混乱,28卷,不。3,硕士论文,2018页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
16. a . Shabunin f·巴拉,a . Provata”表面上振荡反应动力学:晶格极限环模型,”物理评论E卷,66年,页1 - 11,2002。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
17. g . Nicolis i Prigogine,非平衡系统的自组织威利,纽约,纽约,美国,1977年。
18. r . Imbihl和g . Ertl”在多相催化振荡动力学”,化学评论,卷95,不。3、697 - 733年,1995页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
19. c . g . Takoudis l·d·施密特,r·阿里斯”等温持续振荡在一个非常简单的表面反应,”表面科学,卷105,不。1,第333 - 325页,1981。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
20. i . g . Kevrekidis l·d·施密特,r·阿里斯”一些周期性强迫反应系统的共同特征,”化学工程科学第41卷。。5,1263 - 1276年,1986页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
21. m·a·泰勒和i . g . Kevrekidis”,一些常见的耦合反应系统的动态特性,”自然史D:非线性现象,51卷,不。1 - 3、274 - 292年,1991页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
22. c·哈亚希物理系统的非线性振动美国麦格劳-希尔,纽约,纽约,1964年。
23. a . h . Nayfeh微扰技术概论约翰·威利& Sons,纽约,纽约,美国,1981年。

版权

版权©2020 A。诉Monwanou等。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。