raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

复杂性

1099 - 0526<我年代年代npub-type="ppub"> 1076 - 2787

Hindawi

10.1155 / 2020/8823458

8823458

研究文章

非线性动力学在化学反应一个调幅激励:滞后,振动共振,多稳定性和混乱

Monwanou

答:V。

¹ Koukpemedji

答:一个。

¹ ² Ainamon

C。

¹ Nwagoum图瓦

p R。

¹ ³ ⁴

https://orcid.org/0000 - 0001 - 9369 - 9583 Miwadinou

c . H。

¹ ⁵

Chabi Orou

j·B。

¹ Gavrilu

爱丽娜

^{1

Laboratoire de Mecanique des流体

de la Dynamique Nonlineaire et de la Modelisation des系统以及(LMFDNMSB)

数学研究所de et de科学体格

波多诺伏

贝宁

imsp-benin.com} ^{2

采用顶级de体格

FAST-Natitingou

大学国家科学、技术、数学Ingenierie等

阿波美

贝宁} ^{3

在工程实验室模拟和仿真

仿生学和原型和TWAS研究单位

理学院

雅温得我大学

p . o . 812

雅温得

喀麦隆

uy1.uninet.cm} ^{4

研究单元的工业系统工程和环境(RU-ISEE)

Fosto-Victor大学理工学院

Dschang大学

134信箱

Bandjoun

喀麦隆

univ-dschang.org} ^{5

部门de体格ENS-Natitingou

大学国家科学、技术、数学Ingenierie等

阿波美

贝宁}

2020年

5 10 2020年

2020年 9 8 2020年 29日 8 2020年 17 9 2020年 5 10 2020年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

本文处理的影响一个调幅(AM)励磁的非线性动力学四分子之间的反应。计算固定点的自治非线性化学体系已经详细使用万向的方法。霍普夫分岔已成功也检查。路线通过分岔结构混沌进行了调查,李雅普诺夫指数,阶段肖像和庞加莱截面。控制力的影响对混沌运动分析,发现和控制效率的情况<我nline-formula> g = 0 (未调整的情况下)<我nline-formula> g ≠ 0 与<我nline-formula> Ω = ω 和<我nline-formula> Ω / w ≠ p / 问 ;<我nline-formula> p 和<我nline-formula> 问是简单的正整数。振动共振(VR)、磁滞和共处几个流动详细研究了基于点力的频率之间的关系。分析调查结果并辅以数值模拟进行验证。

1。介绍</t我tle> 非线性动力学是一个多学科领域,不仅数学,而且工程,物理,化学,生物。专著,撰写“(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xgydF4y2Baref>),将是第一个开始如果学习这个话题感兴趣。在过去的十年里,研究复杂动力学和化学振荡反应的外部扰动的影响下得到太多的关注和各种倍周期分岔通向混沌运动等结果,准周期的途径混乱,多个吸引子共存,滞后,取得了振动共振(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xgydF4y2Baref>]。化学振荡反应在连续搅拌釜反应器生化振荡(装运箱)是第一个发现的。相当大的理论进展化学振荡的性质,唯一已知的化学振荡器要么是生物起源、糖酵解和oxidase-peroxidase系统;要么发现意外,像布雷和BZ反应;或变异的反应(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xgydF4y2Baref>]。在这些化学振荡、各种动力学行为被许多研究人员研究。例如,非平衡现象如振荡、双稳态,复杂的振荡,quasichaotic行为的反应是由这些研究显示。的一个主要挑战是预测和控制这些现象为潜在的应用在非线性化学振荡(见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B15"> 15</xgydF4y2Baref>])。这些振荡的研究已经取得了与定期的外部激励或参数激励(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B11"> 11</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xgydF4y2Baref>]。此外,这些振荡的研究更有利与AM(调幅)[系统<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xgydF4y2Baref>]。然而,一些新的动力学现象包括可控频率也可以。Binous和Bellagi<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xgydF4y2Baref>]目前四个问题的解决方案是从化学和生化工程的研究领域。这些问题说明各种极限环等非线性动力学的重要方面,准周期的和混乱的行为,时间序列和相位肖像,功率谱,时滞重建图,霍普夫分岔,分岔图和稳态多样性。在大量的例子,他们选择下面的案例研究,因为它说明了非线性动力学的基本概念:糖酵解振荡器模型在1968年首先提出Selkov为了阐明机制活细胞用来获取能量从糖分解;oregonator模型导出了场,珂珞语,诺伊斯在1970年代早期,这阐明了著名的振荡行为观察Belousov-Zhabotinsky (BZ)反应;在生化反应器稳态多样性莫诺和底物抑制动力学;和有三autocatalator,首先提出了彭,斯科特,肖沃特在1990年。Guruparan et al。<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xgydF4y2Baref>)认为Brusselator化学系统由一个调幅(AM)力和数值Brusselator化学系统的动力学研究与广泛不同的频率由一种调幅的力量。他们显示磁滞和振动共振的发生和几个轨道周期t的共存,分岔的线路混乱,准周期的和混乱的轨道。准周期的轨道,他们有特征周期轨道混沌轨道,滞后,使用分岔图和振动共振,最大李雅普诺夫指数,相图、庞加莱映射和共振的情节。Shabunin et al。<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xgydF4y2Baref>]介绍了点阵极限环(LLC)模型作为最小平均场方案可以在晶格模型反应动力学(低维支持)产生非线性极限环振荡。他们发现,在一个外部的影响周期力,LLC的动态可能大幅修改。同步现象,分岔,转换混乱也观察激发力的函数。利用剧烈变化的动力学由于周期性强迫,他们发现它是可能的修改输出/产品或化学反应的产率,通过应用一个周期力,而不需要改变属性或实验条件的支持。Blekhman和兰达<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xgydF4y2Baref>]认为biharmonical外力引起的共振和两个不同的频率(所谓的振动共振)使用一个双稳态振荡器被杜芬方程为例。结果表明,在弱阻尼振荡的情况下,这些共振是共轭;他们发生在低和高频率是不同的。此外,发生共振的振幅高频激励是不同的。也表明,高频动作引发的变化的数量稳定稳定状态;这些分岔也共轭,表面上的原因在过阻尼振子共振。Roy-Layinde et al。<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xgydF4y2Baref>]研究了振动共振的现象(VR)和分析在biharmonically双流体驱动的等离子体模型与非线性耗散。他们派生分析方程的缓慢振荡系统的主题参数快速信号的使用直接的方法分离运动。外部应用高频电场的存在被发现明显修改系统动力学和,因此,导致虚拟现实。他们已经鉴定出虚拟现实的起源在等离子体模型中,不仅有效等离子体的潜在贡献的有效非线性耗散。除了几个动态变化,包括多个对称破裂的分岔,吸引子逃,扭转了倍周期分岔,数值模拟也显示单引号和双共振的发生引起的破坏对称分岔。兰达问麦克林托克和(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B8"> 8</xgydF4y2Baref>)认为高频力的影响反应的双稳态系统低频信号过阻尼和弱阻尼情况。他们表明,响应可以通过适当的优化选择振动振幅。这个振动共振显示许多类比著名的随机共振现象,但随着振动力量填补这个角色通常由噪声。Jeevarathinam et al。<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xgydF4y2Baref>]分析了振动共振杜芬振荡器系统在存在gamma-distributed时延反馈和一个综合时滞(均匀分布在有限区间时滞)反馈。特别是,应用理论的过程中,他们获得的响应幅度的表达式的低频驱动双调和的力量。double-well潜力和单井潜在的情况下,它们能够识别区域在两个共振的参数空间,一个共振,或没有发生共振。理论上预测的值响应振幅和共振发生的一个控制参数的值是在良好的协议与数值模拟。分析显示了强大的影响力,这两种类型的时滞反馈振动共振。在本文中,我们寻求滞后,振动共振,混沌系统中四个分子之间的反应时受到外部调幅激发。更准确地说,经过深入分析霍普夫分岔点和固定的自治系统,调制振幅的影响力化学反应的动力学作了详细研究和控制力的效率进行了分析。本文结构如下:部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec2"> 2</xgydF4y2Baref>给化学模型的数学建模,而部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xgydF4y2Baref>分析了不动点和他们的稳定和霍普夫分岔的可能性获得。节<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec4"> 4</xgydF4y2Baref>深入详细的分岔和路线混乱,定期外部激励下的系统。部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec5"> 5</xgydF4y2Baref>处理振动共振、分岔、路线混乱,双稳性,对吸引子共存,滞后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec6"> 6</xgydF4y2Baref>分析是激发时的影响<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mi> Ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≠</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我t一个lic> p</我t一个lic>和<我t一个lic> 问</我t一个lic>是简单的正整数。最后,给出了研究的结论部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec7"> 7</xgydF4y2Baref>。</年代ec><年代ec id="sec2"> <title>2。化学模型及其数学方程</t我tle> 在这项工作中,我们考虑四个分子之间的反应的自治系统(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</xgydF4y2Baref>]:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (1)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mo> ⟶</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mo> ⟶</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mo> ⟶</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <italic> X</我t一个lic>,<我t一个lic> Y</我t一个lic>,<我t一个lic> 年代</我t一个lic>分子的类型<我t一个lic> X</我t一个lic>和<我t一个lic> Y</我t一个lic>分别和空的格子<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>相应的反应动力学常数。复杂的振荡动力学和实验观察到的空间模式的形成与巨大的成功预测通过活性多分子的模式(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B21"> 21</xgydF4y2Baref>]。事实上,在80年的开始,实验,“假期模型”是被动的四分子阶段写的。在这些模型中,增加空站点的数量导致自催化行为的增加,从而导致振荡行为。之间的反应一氧化氮和一氧化碳(没有+ CO),一氧化氮和氨(没有+ NH<年代ub>3</年代ub>(不二氢),一氧化氮和+ H<年代ub>2</年代ub>),所有使用铂表面Pt作为催化剂,是众所周知的空缺的模型(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xgydF4y2Baref>]。在这些反应中,一个自催化行为与空网站观察,这解释了,在其他非线性现象,观察到的“表面爆炸”现象经常在多相催化代表产品的窄峰浓度以固定时间间隔(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B21"> 21</xgydF4y2Baref>]。gydF4y2Ba在平均场方法,动力学方程的相对浓度的进化分子(<我t一个lic> x</我t一个lic>,<我t一个lic> y</我t一个lic>)和空网站(S)可以写成如下(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</xgydF4y2Baref>]:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 很容易证明,保护的一个条件满足:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> cste</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:math> </inline-formula>。通过选择这个常数等于1,我们有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>,并把它在方程(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2Baref>),该系统减少了以下系统:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 这个系统的复杂动态行为的作用下深入研究了正弦力(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</xgydF4y2Baref>]。最近,调幅力的重要性已被证明特定的控制复杂的动力学系统,如机械和电气系统(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B15"> 15</xgydF4y2Baref>)和生物化学和化学系统(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B11"> 11</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xgydF4y2Baref>]。在这项工作中,我们考虑分子的动力学在外部调幅励磁下的化学反应,可以描述一个系统的两个订单1的微分方程。所以我们修改原始模型(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xgydF4y2Baref>)有限责任公司通过添加一个振荡器振幅调制力向右第一个方程的主题。所以,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> F</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> G</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> 因为</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> 罪</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mi> F</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>未调制的力的振幅,<我t一个lic> G</我t一个lic>是调制的程度,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>AMF的频率。gydF4y2Ba使用时间尺度改变<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mi> τ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>和符号<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> τ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们减少了系统(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xgydF4y2Baref>)如下:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal"> 因为</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> τ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> τ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ˙</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ;</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> F</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mi> G</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mtext> ,</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</年代ec><年代ec id="sec3"> <title>3所示。平衡点及其稳定性分析</t我tle> 我们考虑系统(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</xgydF4y2Baref>)在缺乏激励和我们寻求固定的点。事实上,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 0。</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 系统的分辨率由这两个方程归结为以下方程:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 0。</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 自治系统的不动点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0,0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>的坐标<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>求解后得到以下方程:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0。</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 求解方程(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq15"> 15</xgydF4y2Baref>),我们组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。gydF4y2Ba所以,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0。</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 通过万向技术(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B11"> 11</xgydF4y2Baref>),解决方程(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq16"> 16</xgydF4y2Baref>)寻找一个trinome的根源。如果∆三项式的判别,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> D</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 27</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> Δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 27</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 在这里,<我t一个lic> α</我t一个lic>> 0,<我t一个lic> β</我t一个lic>> 0<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>然后<我t一个lic> D</我t一个lic>> 0。gydF4y2Ba方程(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq16"> 16</xgydF4y2Baref>)只有一个真正的解决方案,这是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mi> T</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ±</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。所以,我们有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,在那里<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq18"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (18)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mroot> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mroot> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mroot> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mroot> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mroot> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mroot> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mroot> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mroot> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>与<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq19"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 27</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 相反,通过结合系统的方程(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 12</xgydF4y2Baref>),我们有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>。gydF4y2Ba因此,我们有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1,0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。gydF4y2Ba总的来说,自治系统承认四固定的点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0,0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>(微不足道的),<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>(semitrivial),<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1,0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>(semitrivial),<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>(重要的)。gydF4y2Ba每个不动点的稳定性的研究是由搜索相关的自治系统的雅可比矩阵。自治系统的雅可比矩阵与每个固定点相关联<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0,0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>或<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>如下:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq20"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> J</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0,0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>雅可比矩阵的特征值<我t一个lic> J</我t一个lic>是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>相反,实数,因为迹象<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>。因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是一个鞍点。然后,雅可比矩阵的两个特征值<我t一个lic> J</我t一个lic>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>,因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是unrobust点。相反,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1,0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>,因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>是一个健壮的点。最后,对于<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,特征方程的特征值<我t一个lic> J</我t一个lic>是<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq21"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>在哪里<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq22"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (22)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msubsup> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msubsup> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:msubsup> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>,然后方程(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq21"> 21</xgydF4y2Baref>)只有一个解决方案,以及不动点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是一个中心。为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:msubsup> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>特征值是<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq23"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (23)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 在这种情况下,平衡点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是一个节点。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:msubsup> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>然后<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq24"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (24)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是集中或中心。由于Routh-Hurwitz标准(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B23"> 23</xgydF4y2Baref>),不动点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是稳定的,当且仅当吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>如果不是不动点是不稳定的。我们现在霍普夫分岔寻找假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。让我们插入<我t一个lic> λ</我t一个lic>在方程(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq21"> 21</xgydF4y2Baref>),我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq25"> <mml:mtd> <mml:mtext> (25)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>。gydF4y2Ba假设<我t一个lic> β</我t一个lic>固定的,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>作为分岔参数,区分双方的特征方程(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq21"> 21</xgydF4y2Baref>)相关<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>关于<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,我们获得<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq26"> <mml:mtd> <mml:mtext> (26)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq27"> <mml:mtd> <mml:mtext> (27)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> e</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 我</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。因此,如果对<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> e</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≠</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>是一个平衡点霍普夫分岔值系统<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。简而言之,我们有如下定理<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm1"> 1</xgydF4y2Baref>。<年代t一个tement id="thm1"> <title>定理1。</t我tle> 如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>是固定的,系统(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xgydF4y2Baref>)没有在平衡点霍普夫分岔点力量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>通过临界值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>同时,验证下面的关系(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq16"> 16</xgydF4y2Baref>和<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq17"> 17</xgydF4y2Baref>):<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq28"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (28)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mlabeledtr id="EEq29"> <mml:mtd> <mml:mtext> (29)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msubsup> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msubsup> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 8</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ≠</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0。</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> 为了支持这个定理,我们代表相关的特征值的实部平衡点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>特征值的情况是复杂的函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>固定的值<我t一个lic> β</我t一个lic>。图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</xgydF4y2Baref>显示了重要的价值观<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.00845</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.0237</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.059</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.0875</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>霍普夫分岔对应点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>分别。通过一个简单的计算,我们同时显示这些值验证(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq28"> 28</xgydF4y2Baref>)和(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq29"> 29日</xgydF4y2Baref>)。还应该指出的是,临界值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>霍普夫分岔的增加<我t一个lic> β</我t一个lic>。在诞生的那一刻,通过霍普夫分岔点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,振荡无限小振幅和near-harmonic形状(见图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</xgydF4y2Baref>)。<f我g我d="fig1"> <label>图1</gydF4y2Balabel> 特征值的实部与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>为不同的值<我t一个lic> β</我t一个lic>。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>点再保险(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>)= 0。<ggydF4y2Baraphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.001"></graphic> </fig> <fig-group id="fig2"> <label>图2</gydF4y2Balabel> 阶段肖像自治系统的相应参数值在定点霍普夫分岔<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>(一):<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:msubsup> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> ′</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.00845</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>;<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.01</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和(b):<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:msubsup> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mrow> <mml:mo> ′</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.0237</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>;<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.027</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>。<f我g我d="fig2a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.002a"></graphic> </fig> <fig id="fig2b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.002b"></graphic> </fig> </fig-group> </sec> <sec id="sec4"> <title>4所示。分岔和路线混乱< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = "八" > < mml: mi > g < / mml: mi > < / mml:数学> < / inline-formula > = 0</t我tle> 之前学习的影响是励磁系统的动态,让我们分析每个参数的影响<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我t一个lic> β</我t一个lic>,<我t一个lic> f</我t一个lic>未调整的的动态系统。事实上,我们代表分岔图、李雅普诺夫指数,相空间和庞加莱截面作为控制参数<我t一个lic> f</我t一个lic>和<我t一个lic> β</我t一个lic>。在这项工作的遗骸,我们<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.0481</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mi> ß</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我t一个lic> x</我t一个lic>(0)= 0.5,<我t一个lic> y</我t一个lic>(0)= 0.5。从模拟的结果的情况下进行的未调整的系统(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0),我们注意研究的化学反应可以提供一个非常丰富的动态周期等multiperiodic,准周期的,混沌振荡。此外,我们观察到的现象如滞后、多稳定性,周期共存,multiperiodic,准周期的,混沌吸引子(见图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig3"> 3</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</xgydF4y2Baref>)。所有这些现象证明中可以观察到非常复杂的动态非线性化学反应进行了研究。因此,图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig3"> 3</xgydF4y2Baref>对应的分岔图和系统的李雅普诺夫指数<我t一个lic> f</我t一个lic>不同的域≤0<我t一个lic> f</我t一个lic>≤0.003,其他参数固定。从这个图中,可以看出,化学振荡是准周期的,multiperiodic和混乱。当我们比较系统的动态<我t一个lic> f</我t一个lic>从0增加到0.003(蓝色)时获得的<我t一个lic> f</我t一个lic>从0.003下降到0(红色),我们注意到除了观察到的相同性质的化学振荡在大域,系统介绍了共存周期吸引子的6<我t一个lic> T</我t一个lic>与准周期的流动为0.0011162 <<我t一个lic> f</我t一个lic>< 0.001131,流动周期为5<我t一个lic> T</我t一个lic>与准周期的流动为0.001521 <<我t一个lic> f</我t一个lic><≤0.00156103和0.001598<我t一个lic> f</我t一个lic>< 0.0017485,流动周期为5<我t一个lic> T</我t一个lic>流动的时间10<我t一个lic> T</我t一个lic>0.00156103 <<我t一个lic> f</我t一个lic>< 0.001598,流动周期为5<我t一个lic> T</我t一个lic>与混沌吸引子为0.00298 <<我t一个lic> f</我t一个lic>≤0.003。化学振荡的混沌行为预测的分岔图和相应的李雅普诺夫指数(图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig3"> 3</xgydF4y2Baref>证实了相空间(图)<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig4a"> 4(一)</xgydF4y2Baref>)和相应的庞加莱截面(图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig4b"> 4 (b)</xgydF4y2Baref>)获得<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0.0025。为<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0.00165和两个不同的初始条件,我们绘制了相空间和相应的庞加莱截面图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</xgydF4y2Baref>。我们显然注意通过这个图共存的准周期的流动(数字<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig5a"> 5(一个)</xgydF4y2Baref>和<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig5b"> 5 (b)</xgydF4y2Baref>)的流动<我t一个lic> 5 t</我t一个lic>(数据<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig5c"> 5 (c)</xgydF4y2Baref>和<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig5d"> 5 (d)</xgydF4y2Baref>)因此证明这一现象。了解非线性参数的影响<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我t一个lic> β</我t一个lic>在化学反应的振荡的性质考虑,我们认为现在<我t一个lic> β</我t一个lic>作为分岔参数。因此,图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</xgydF4y2Baref>显示参数的影响<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>在分岔图<我t一个lic> β</我t一个lic>在0.03和0.1之间变化。在这个图中,可以看到混乱的,周期性的,还取决于multiperiodic,准周期的行为<我t一个lic> β</我t一个lic>。我们注意,混沌振荡只能存在≤0.02时<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>< 0.05,在这个领域之外,化学振荡周期。应该注意的是,数值模拟显示<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我t一个lic> β</我t一个lic>几乎相同的影响反应的化学动力学研究。<f我g-group id="fig3"> <label>图3</gydF4y2Balabel> 分岔图和相应的李雅普诺夫指数的非线性化学反应<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0481,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0413,<我t一个lic> β</我t一个lic>= 0.0667,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0。分岔图和相应的李雅普诺夫指数是通过扫描参数<我t一个lic> f</我t一个lic>向上(蓝色)和向下(红色)。<f我g我d="fig3a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.003a"></graphic> </fig> <fig id="fig3b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.003b"></graphic> </fig> </fig-group> <fig-group id="fig4"> <label>图4</gydF4y2Balabel> 混沌相位图和庞加莱截面图参数的非线性化学反应<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig3"> 3</xgydF4y2Baref>和<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0.0025。<f我g我d="fig4a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.004a"></graphic> </fig> <fig id="fig4b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.004b"></graphic> </fig> </fig-group> <fig-group id="fig5"> <label>图5</gydF4y2Balabel> 相空间及其相应的庞加莱截面非线性化学反应<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0.00165和其他参数图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig3"> 3</xgydF4y2Baref>。(a, b)准周期的吸引子的初始条件(0.5,0.5)和5 (c, d)吸引子的时期<我t一个lic> T</我t一个lic>初始条件(0.1,0.1)。<f我g我d="fig5a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.005a"></graphic> </fig> <fig id="fig5b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.005b"></graphic> </fig> <fig id="fig5c"> <label>(c)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.005c"></graphic> </fig> <fig id="fig5d"> <label>(d)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.005d"></graphic> </fig> </fig-group> <fig-group id="fig6"> <label>图6</gydF4y2Balabel> 的影响<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>分岔图上的非线性化学反应<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0481,<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0.00165,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0:(一)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.02;(b)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.03;(c)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.05。<f我g我d="fig6a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.006a"></graphic> </fig> <fig id="fig6b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.006b"></graphic> </fig> <fig id="fig6c"> <label>(c)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.006c"></graphic> </fig> </fig-group> </sec> <sec id="sec5"> <title>5。是力对系统的影响与<斜体>Ω< /斜体>≫<斜体>ω< /斜体></t我tle> <sec id="sec5.1"> <title>5.1。振动共振和振幅响应</t我tle> 在一个非线性动力系统由组成的低频的重调的力量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>和高频<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,当振幅<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>高频力是不同的,在低频振幅响应<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>展示一个共鸣。这种高频率及共振称为振动共振(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xgydF4y2Baref>]。确定虚拟现实中,我们使用频率响应的振幅<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>的信号。的确,用四阶龙格-库塔算法,时间步长,我们数字集成系统(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</xgydF4y2Baref>)的化学反应正在考虑。因此,数值解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>允许振幅响应计算<我t一个lic> 问</我t一个lic>通过以下公式:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq30"> <mml:mtd> <mml:mtext> (30)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> c</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq31"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (31)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> T</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> τ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> τ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="true"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> T</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi mathvariant="normal"> 因为</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> w</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> τ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> τ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mi> T</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>响应时间和<我t一个lic> n</我t一个lic>= 500。gydF4y2Ba我们计算<我t一个lic> 问</我t一个lic>与高频,低频力只与两个部队。gydF4y2Ba为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我t一个lic> 问</我t一个lic>确定是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> c</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>代表输出信号的傅里叶系数和频率<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mn> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> T</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我t一个lic> 问</我t一个lic>这个相同的频率响应的振幅。的确,对于<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 80<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>小,不同的结果如图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig7"> 7</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig9"> 9</xgydF4y2Baref>。数据<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig7a"> 7(一)</xgydF4y2Baref>和<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig7b"> 7 (b)</xgydF4y2Baref>代表了变化<我t一个lic> 问</我t一个lic>分别不同<我t一个lic> f</我t一个lic>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>为<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0时<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0481。从图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig7a"> 7(一)</xgydF4y2Baref>,我们注意的几个山峰,虽然<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0,我们有一个最大的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.003301,<我t一个lic> 问</我t一个lic>= 0.00092802。当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>从0到0.05不等<我t一个lic> f</我t一个lic>6 = 0<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 80<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>VR出现,我们观察到它的持久性,它的形式,其最大振幅和的值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>共振不仅取决于<我t一个lic> f</我t一个lic>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>但也在非线性参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我t一个lic> β</我t一个lic>非线性化学作用的考虑。事实上,multiresonance出现<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>< 0.06(见图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig8a"> 8(一个)</xgydF4y2Baref>当0.06≤)和消失<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>< 0.09。0.09≤<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>≤0.1,虚拟现实变成了双共振与两种不同的问<年代ub>马克斯</年代ub>(见图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig8b"> 8 (b)</xgydF4y2Baref>),再次消失在0.1 <<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>≤0.14,然后在monoresonance的形式重新出现<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>> 0.14(见图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig8c"> 8 (c)</xgydF4y2Baref>)。最后,我们注意到什么时候<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>变化从0到0.05,最大振幅问<年代ub>马克斯</年代ub>降低频率时<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>增加。<f我g-group id="fig7"> <label>图7</gydF4y2Balabel> (一)数值计算的变化<我t一个lic> 问</我t一个lic>对控制参数<我t一个lic> f</我t一个lic>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0481,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0413,<我t一个lic> β</我t一个lic>= 0.0667,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0;(b)的变化数值计算<我t一个lic> 问</我t一个lic>对控制参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0481,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 80年</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0413,<我t一个lic> β</我t一个lic>= 0.0667,<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0。<f我g我d="fig7a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.007a"></graphic> </fig> <fig id="fig7b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.007b"></graphic> </fig> </fig-group> <fig-group id="fig8"> <label>图8</gydF4y2Balabel> 频率的影响<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>在响应幅度Q和g<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0481,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 80<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0413,<我t一个lic> β</我t一个lic>= 0.0667,<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0.001。<f我g我d="fig8a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.008a"></graphic> </fig> <fig id="fig8b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.008b"></graphic> </fig> <fig id="fig8c"> <label>(c)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.008c"></graphic> </fig> </fig-group> <fig-group id="fig9"> <label>图9</gydF4y2Balabel> (一)振幅的影响<我t一个lic> f</我t一个lic>在响应幅度<我t一个lic> 问</我t一个lic>与g<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.016,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 80<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0413,<我t一个lic> β</我t一个lic>= 0.0667;(b)效应的非线性参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>在响应幅度<我t一个lic> 问</我t一个lic>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.016,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 80年</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我t一个lic> β</我t一个lic>= 0.0667,<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0.001;(c)效应的非线性参数<我t一个lic> β</我t一个lic>在响应幅度<我t一个lic> 问</我t一个lic>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.016,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 80<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0413,<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0.001。<f我g我d="fig9a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.009a"></graphic> </fig> <fig id="fig9b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.009b"></graphic> </fig> <fig id="fig9c"> <label>(c)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.009c"></graphic> </fig> </fig-group> 图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig9"> 9</xgydF4y2Baref>显示当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>从0到0.05,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 80<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 0.16</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和的影响参数<我t一个lic> f</我t一个lic>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,都是<我t一个lic> β</我t一个lic>(数据<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig9a"> 9(一个)</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig9c"> 9 (c)</xgydF4y2Baref>分别显示在虚拟现实。从图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig9a"> 9(一个)</xgydF4y2Baref>,我们注意到的振幅响应的最大值减少时<我t一个lic> f</我t一个lic>增加我们获得双共振<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0.0011。图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig9b"> 9 (b)</xgydF4y2Baref>显示的参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>也会影响振动共振。最后,我们注意到图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig9c"> 9 (c)</xgydF4y2Baref>当0.06 <虚拟现实存在<我t一个lic> β</我t一个lic>< 0.08,参数<我t一个lic> β</我t一个lic>也有同样的效果在虚拟现实的情况<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。在结论中,出生和振动共振在化学反应的消失可以强烈控制不仅是学习力也由参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我t一个lic> β</我t一个lic>的化学反应。</年代ec><年代ec id="sec5.2"> <title>5.2。滞后,对吸引子共存,多稳定性</t我tle> 在本节中,我们分析的影响<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>在化学动力学<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≫</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>通过磁滞和对吸引子共存现象。为此,我们代表不同的分岔图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 80年</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>(图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig10"> 10</xgydF4y2Baref>)。<f我g-group id="fig10"> <label>图10</gydF4y2Balabel> 分岔图和相应的李雅普诺夫指数的非线性化学反应<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0481,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 80<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0413,<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0.002,<我t一个lic> β</我t一个lic>= 0.0667。分岔图和相应的李雅普诺夫指数是通过扫描参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>向上向下(a)和(b)。<f我g我d="fig10a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0010a"></graphic> </fig> <fig id="fig10b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0010b"></graphic> </fig> </fig-group> 当我们比较系统的动态<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>从0增加到0.1(蓝色,图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig10a"> 10 ()</xgydF4y2Baref>)时获得的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>从0.1下降到0(红色,图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig10b"> 10 (b)</xgydF4y2Baref>),我们注意到,同样是观察到的化学振荡,但振幅外x不同尤其是multiperiodical振荡。这种差异在振幅表示表明化学振荡不遵循同样的路径来回当我们增加<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>从0到0.1,当我们从0.1减少到0:这种现象称为磁滞。也需要有一个领域,multiperiodic流动与吸引子共存一段2<我t一个lic> T</我t一个lic>和流动周期为4<我t一个lic> T</我t一个lic>一方面和另一方面的混沌吸引子共存的吸引子期4<我t一个lic> T</我t一个lic>和multiperiodic流动。滞后的现象,对吸引子共存非常可见图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig10"> 10</xgydF4y2Baref>(确认图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig11"> 11</xgydF4y2Baref>)和显示多稳态系统中行为和滞后。因此,对于<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn> 80年</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,化学振荡反应被认为是变得更复杂。图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig12"> 12</xgydF4y2Baref>显示的效果<我t一个lic> β</我t一个lic>在化学振荡和获得的两种现象。我们推断,当参数<我t一个lic> β</我t一个lic>∈(0,0.06),化学振荡不混乱和共存周期性流动和滞后的存在。<f我g-group id="fig11"> <label>图11</gydF4y2Balabel> 庞加莱截面非线性化学反应<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.09和其他参数图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig10"> 10</xgydF4y2Baref>:混沌吸引子的初始条件(0.1,0.1);(b)段4的吸引子<我t一个lic> T</我t一个lic>初始条件(0.5,0.5)。<f我g我d="fig11a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0011a"></graphic> </fig> <fig id="fig11b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0011b"></graphic> </fig> </fig-group> <fig-group id="fig12"> <label>图12</gydF4y2Balabel> 的影响<我t一个lic> β</我t一个lic>在分岔图和相应的李雅普诺夫指数的非线性化学反应<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0481,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 80<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0413,<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0.002(一个):<我t一个lic> β</我t一个lic>= 0.04;(b)<我t一个lic> β</我t一个lic>= 0.08。分岔图和相应的李雅普诺夫指数是通过扫描参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>向上(蓝色)和向下(红色)。<f我g我d="fig12a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0012a"></graphic> </fig> <fig id="fig12b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0012b"></graphic> </fig> </fig-group> 化学振荡变得非常多样,我们注意定期,multiperiodic,准周期的和混乱的行为的存在和持久性滞后和多个吸引子的共存<我t一个lic> β</我t一个lic>∈[0.06,0.7]。最后,对于<我t一个lic> β</我t一个lic>> 0.7,我们观察到混沌振荡主导和滞后现象的消失。的参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我t一个lic> f</我t一个lic>有类似的效果的吗<我t一个lic> β</我t一个lic>原因,我们决定不代表人物翻译这些影响。我们注意到参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>的频率是力有一个非常重要的影响的动态系统以及滞后的现象,对吸引子共存。gydF4y2Ba更准确地说,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>可以用来减少领域准周期的振荡,对吸引子共存的域,并使完全消失滞后。</年代ec></年代ec> <sec id="sec6"> <title>6。系统的影响是力量与< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M229 " > < mml: mi >ω< / mml: mi > < / mml:数学> < / inline-formula > = < inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M230 " > < mml: mi mathvariant =“正常”>Ω< / mml: mi > < / mml:数学> < / inline-formula ></t我tle> 在这里,我力的影响进行了分析<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>=<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。出于这个原因,我们选择<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>作为分岔参数,获得的结果在图所示<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig13"> 13</xgydF4y2Baref>。从图的分析<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig13"> 13</xgydF4y2Baref>,似乎变化<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>可以消失的混乱和准周期的振荡,但保留了滞后的现象,对吸引子共存。此外,模拟(这里没有显示)的数据显示,参数<我t一个lic> β</我t一个lic>和<我t一个lic> f</我t一个lic>减少两种现象同时作用于模型的化学振荡的研究。图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig14"> 14</xgydF4y2Baref>代表了庞加莱截面非线性化学反应并显示3<我t一个lic> T</我t一个lic>周期,4<我t一个lic> T</我t一个lic>周期和混沌振荡也获得图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig13"> 13</xgydF4y2Baref>。最后,我们寻找的效果是力当振幅调制的频率并不共振等,他们的相互关系是非理性的。<f我g-group id="fig13"> <label>图13</gydF4y2Balabel> 参数的影响<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>分岔图上的非线性化学反应<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>=<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0481,<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0.002,<我t一个lic> β</我t一个lic>= 0.04(一个):<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.03;(b)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.028;(c)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.02。分岔图和相应的李雅普诺夫指数是通过扫描参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>向上(蓝色)和向下(红色)。<f我g我d="fig13a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0013a"></graphic> </fig> <fig id="fig13b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0013b"></graphic> </fig> <fig id="fig13c"> <label>(c)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0013c"></graphic> </fig> </fig-group> <fig-group id="fig14"> <label>图14</gydF4y2Balabel> 的影响<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>庞加莱截面的非线性化学反应<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.002和其他参数图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig13"> 13</xgydF4y2Baref>(一)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>期3 = 0.03:吸引子<我t一个lic> T</我t一个lic>;(b)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>期4 = 0.028:吸引子<我t一个lic> T</我t一个lic>;(c)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.02:混沌吸引子。<f我g我d="fig14a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0014a"></graphic> </fig> <fig id="fig14b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0014b"></graphic> </fig> <fig id="fig14c"> <label>(c)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0014c"></graphic> </fig> </fig-group> 为此,我们<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M247"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0481,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M248"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= (<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:msqrt> <mml:mn> 5</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>−1)/ 2;我们也寻求系统通过构建的动态分岔图考虑<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>作为控制参数。数据<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig15"> 15</xgydF4y2Baref>和<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig16"> 16</xgydF4y2Baref>分别代表的影响<我t一个lic> β</我t一个lic>和<我t一个lic> f</我t一个lic>在分岔图。当我们分析这些数据时,我们注意的情况一样的言论<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>=<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>除了在这里的每一个参数<我t一个lic> β</我t一个lic>和<我t一个lic> f</我t一个lic>可以用来减少甚至消除混乱的化学振荡。<f我g-group id="fig15"> <label>图15</gydF4y2Balabel> 参数的影响<我t一个lic> β</我t一个lic>分岔图上的非线性化学反应<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0481,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= (<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:msqrt> <mml:mn> 5</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>−1)/ 2,<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0.002,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.28(一个):<我t一个lic> β</我t一个lic>= 0.04;(b)<我t一个lic> β</我t一个lic>= 0.06;(c)<我t一个lic> β</我t一个lic>= 0.07。分岔图和相应的李雅普诺夫指数是通过扫描参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>向上(蓝色)和向下(红色)。<f我g我d="fig15a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0015a"></graphic> </fig> <fig id="fig15b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0015b"></graphic> </fig> <fig id="fig15c"> <label>(c)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0015c"></graphic> </fig> </fig-group> <fig-group id="fig16"> <label>图16</gydF4y2Balabel> 参数的影响<我t一个lic> f</我t一个lic>分岔图上的非线性化学反应<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.0481,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= (<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:msqrt> <mml:mn> 5</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>−1)/ 2,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>= 0.28,<我t一个lic> β</我t一个lic>= 0.04(一个):<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0;(b)<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0.002;(c)<我t一个lic> f</我t一个lic>= 0.0025。分岔图和相应的李雅普诺夫指数是通过扫描参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>向上(蓝色)和向下(红色)。<f我g我d="fig16a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0016a"></graphic> </fig> <fig id="fig16b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0016b"></graphic> </fig> <fig id="fig16c"> <label>(c)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/complexity/2020/8823458.fig.0016c"></graphic> </fig> </fig-group> </sec> <sec id="sec7"> <title>7所示。结论</t我tle> 在这项工作中,我们研究了一个调幅的影响力量四个分子之间的化学振荡反应。我们有寻找不动点及其性质当系统是自主的。似乎完全自治系统承认四个观测点。重要的不动点的性质取决于参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M263"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我t一个lic> β</我t一个lic>和霍普夫分岔,这两个参数的非平凡平衡点。化学系统被认为是被广泛的动态分析未调制的情况下,和周期性,multiperiodic、准周期的,混乱的化学振荡。域存在的滞后、共存时期5的准周期的流动和流动<我t一个lic> T</我t一个lic>和流动周期为6<我t一个lic> T</我t一个lic>,与混沌吸引子共存multiperiodic流动。从模拟,应该注意的是,对于某些值的非线性参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M264"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我t一个lic> β</我t一个lic>、复杂的动力学可以控制,甚至减少到一个周期振荡。为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M265"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>6 = 0<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M266"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M267"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>复杂现象,如振动共振(VR),磁滞,对吸引子共存,是非常显著的,可以通过我的力量或控制参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M268"> <mml:mi> α</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我t一个lic> β</我t一个lic>。这些不同的领域存在的现象不太重要<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M269"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>=<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M270"> <mml:mi> ω</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。当振幅调制频率的力不相互共振,这样他们的关系是非理性的,multiperiodic流动时存在周期≥4<我t一个lic> T</我t一个lic>和他们的域的存在更重要。最后,我们的工作证实了混沌振荡霍普夫分岔和获得的(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xgydF4y2Baref>),证明了虚拟现实的外观,滞后、多稳定性,和各种化学反应的吸引子共存。虚拟现实的存在表明,振荡的振幅的浓度可以探索,而滞后现象表明,振荡的振幅的浓度将无法遵循同样的路径演化的控制参数增加或减少沿着相同的路径。多稳定性和对吸引子共存获得显示的稳定或不稳定性质的化学振荡和化学流动被认为是同一域的参数。使用武力的爹已经表明,可以控制获得的各种复杂现象。</年代ec><back> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</t我tle> 没有数据被用于这项研究。</年代ec><年代ec sec-type="COI-statement"> <title>的利益冲突</t我tle> 作者宣称没有利益冲突有关的出版。</年代ec><ref-list> <ref id="B1" content-type="book"> <label>1</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> “</年代urname> <given-names> 年代。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 非线性动力学与混沌:应用物理学,生物学,化学,和工程</我t一个lic> <year> 2014年</ye一个r> <edition> 2日</ed我t我on> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</pgydF4y2Baublisher-loc> <publisher-name> 英格拉姆出版商服务我们</pgydF4y2Baublisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Binous</年代urname> <given-names> H。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Bellagi</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 引入非线性动力学使用数学化学和生化工程研究生</一个rticle-title> <source> <italic> 计算机应用在工程教育</我t一个lic> <year> 2018年</ye一个r> <volume> 27</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 1</fp一个ge><lpage> 19</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1002 / cae.22070</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85055681881</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Guruparan</年代urname> <given-names> 年代。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 文德兰花Durai Nayagam</年代urname> <given-names> B。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Ravichandran</年代urname> <given-names> V。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Chinnathambi</年代urname> <given-names> V。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Rajasekar</年代urname> <given-names> 年代。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 磁滞、振动共振和混乱brusselator化学系统的激发下振幅调制的力量</一个rticle-title> <source> <italic> 化学科学审查和信件</我t一个lic> <year> 2015年</ye一个r> <volume> 4</gydF4y2Bavolume> <issue> 15</我年代年代ue> <fpage> 870年</fp一个ge><lpage> 879年</gydF4y2Balpage> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Gruebelle</年代urname> <given-names> M。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Wolynes</年代urname> <given-names> p·G。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 振动能量流和化学反应</一个rticle-title> <source> <italic> 的化学研究</我t一个lic> <year> 2004年</ye一个r> <volume> 37</gydF4y2Bavolume> <fpage> 261年</fp一个ge><lpage> 267年</gydF4y2Balpage> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Shabunin</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Astakhov</年代urname> <given-names> V。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Demidov</年代urname> <given-names> V。</g我ven-names> </name> <etal></etal> </person-group> <article-title> 化学反应,迫使极限环振荡建模:同步现象和过渡到混沌</一个rticle-title> <source> <italic> 混乱,孤波和分形</我t一个lic> <year> 2003年</ye一个r> <volume> 15</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 395年</fp一个ge><lpage> 405年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0960 - 0779 (02) 00106 - 6</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0242272670</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Blekhman</年代urname> <given-names> 我我。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 兰达</年代urname> <given-names> p S。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 在共轭共振和轨biharmonical激发下非线性系统</一个rticle-title> <source> <italic> 国际期刊的非线性力学</我t一个lic> <year> 2004年</ye一个r> <volume> 39</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</我年代年代ue> <fpage> 421年</fp一个ge><lpage> 426年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0020 - 7462 (02) 00201 - 9</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0038148104</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Roy-Layinde</年代urname> <given-names> t . O。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 老爷</年代urname> <given-names> j . A。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Popoola</年代urname> <given-names> O . O。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 文森特</年代urname> <given-names> 美国E。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 分析振动共振biharmonically驱动等离子体</一个rticle-title> <source> <italic> 混乱</我t一个lic> <year> 2016年</ye一个r> <volume> 26</gydF4y2Bavolume> <fpage> 1</fp一个ge><lpage> 9</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1063/1.4962403</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84989326328</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 兰达</年代urname> <given-names> p S。</g我ven-names> </name> <name> <surname> McClintock</年代urname> <given-names> p v E。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 振动共振</一个rticle-title> <source> <italic> 物理学杂志》:数学</我t一个lic> <year> 2000年</ye一个r> <volume> 33</gydF4y2Bavolume> <issue> 45</我年代年代ue> <fpage> 433年</fp一个ge><lpage> 438年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1088 / 0305 - 4470/33/45/103</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0034680448</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>9</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Jeevarathinam</年代urname> <given-names> C。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Rajasekar</年代urname> <given-names> 年代。</g我ven-names> </name> <name> <surname> ´桑珠抱一个</年代urname> <given-names> m·a·F。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 杜芬振荡器的振动共振与分布式时滞反馈</一个rticle-title> <source> <italic> 应用非线性动力学杂志》上</我t一个lic> <year> 2015年</ye一个r> <volume> 4</gydF4y2Bavolume> <fpage> 1</fp一个ge><lpage> 15</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.5890 / jand.2015.11.006</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85041354145</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Sarkar</年代urname> <given-names> P。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 雷</年代urname> <given-names> d S。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 在非线性耦合系统振动反共振</一个rticle-title> <source> <italic> 物理评论E</我t一个lic> <year> 2019年</ye一个r> <volume> 99年</gydF4y2Bavolume> <issue> 52221年</我年代年代ue> <fpage> 1</fp一个ge><lpage> 7</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1103 / physreve.99.052221</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85066454698</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Olabode</年代urname> <given-names> d . L。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Miwadinou</年代urname> <given-names> c . H。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Monwanou</年代urname> <given-names> 诉。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Chabi Orou</年代urname> <given-names> j·B。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 被动的流体动力学力对谐波的影响,在非线性化学动力学混沌振荡</一个rticle-title> <source> <italic> 自然史D</我t一个lic> <year> 2019年</ye一个r> <volume> 386387年</gydF4y2Bavolume> <fpage> 49</fp一个ge><lpage> 59</gydF4y2Balpage> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>12</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Miwadinou</年代urname> <given-names> c . H。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Monwanou</年代urname> <given-names> 答:V。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Yovogan</年代urname> <given-names> J。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Hinvi</年代urname> <given-names> l。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Nwagoum图瓦</年代urname> <given-names> p R。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Chabi Orou</年代urname> <given-names> j·B。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 建模非线性耗散的化学动力学强制修改Van der Pol-Duffing振荡器与不对称势:混沌行为的预测</一个rticle-title> <source> <italic> 中国物理学杂志</我t一个lic> <year> 2018年</ye一个r> <volume> 56</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</我年代年代ue> <fpage> 1089年</fp一个ge><lpage> 1104年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.cjph.2018.03.033</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85046370855</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Enjieu Kadji</年代urname> <given-names> h·G。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 娜娜Nbendjo</年代urname> <given-names> b R。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 被动空气动力学控制等离子体不稳定性</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性科学与数值模拟通信</我t一个lic> <year> 2012年</ye一个r> <volume> 17</gydF4y2Bavolume> <issue> 4</我年代年代ue> <fpage> 1779年</fp一个ge><lpage> 1794年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.cnsns.2011.09.017</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 80055006339</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>14</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Miwadinou</年代urname> <given-names> c . H。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Monwanou</年代urname> <given-names> 答:V。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Hinvi</年代urname> <given-names> l。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Chabi Orou</年代urname> <given-names> j·B。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 振幅调制信号对混沌运动的影响在混合Rayleigh-Lienard振荡器</一个rticle-title> <source> <italic> 混乱,孤波和分形</我t一个lic> <year> 2018年</ye一个r> <volume> 113年</gydF4y2Bavolume> <fpage> 89年</fp一个ge><lpage> 101年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.chaos.2018.05.021</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85048482856</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>15</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Miwadinou</年代urname> <given-names> c . H。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Monwanou</年代urname> <given-names> 答:V。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Koukpemedji</年代urname> <given-names> 答:一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Kpomahou</年代urname> <given-names> y . j . F。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Chabi Orou</年代urname> <given-names> j·B。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 混沌运动在强制混合Rayleigh-Li´恩纳德与参数周期性荷载和外部振荡器</一个rticle-title> <source> <italic> 国际期刊的分歧和混乱</我t一个lic> <year> 2018年</ye一个r> <volume> 28</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</我年代年代ue> <fpage> 1</fp一个ge><lpage> 16</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1142 / s0218127418300057</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85045398409</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>16</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Shabunin</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 巴拉</年代urname> <given-names> F。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Provata</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 振荡反应动力学表面:晶格模型极限环</一个rticle-title> <source> <italic> 物理评论E</我t一个lic> <year> 2002年</ye一个r> <volume> 66年</gydF4y2Bavolume> <fpage> 1</fp一个ge><lpage> 11</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1103 / physreve.66.036219</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 41349109928</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="book"> <label>17</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Nicolis</年代urname> <given-names> G。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Prigogine</年代urname> <given-names> 我。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 非平衡系统的自组织</我t一个lic> <year> 1977年</ye一个r> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</pgydF4y2Baublisher-loc> <publisher-name> 威利</pgydF4y2Baublisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>18</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Imbihl</年代urname> <given-names> R。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Ertl</年代urname> <given-names> G。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 在多相催化振荡动力学</一个rticle-title> <source> <italic> 化学评论</我t一个lic> <year> 1995年</ye一个r> <volume> 95年</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</我年代年代ue> <fpage> 697年</fp一个ge><lpage> 733年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1021 / cr00035a012</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 3743127068</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="article"> <label>19</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Takoudis</年代urname> <given-names> c·G。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 施密特</年代urname> <given-names> l D。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 阿里斯</年代urname> <given-names> R。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 等温持续振荡在一个非常简单的表面反应</一个rticle-title> <source> <italic> 表面科学</我t一个lic> <year> 1981年</ye一个r> <volume> 105年</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 325年</fp一个ge><lpage> 333年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0039 - 6028 (81)90165 - 5</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0012009520</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="article"> <label>20.</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kevrekidis</年代urname> <given-names> i G。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 施密特</年代urname> <given-names> l D。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 阿里斯</年代urname> <given-names> R。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 一些常见的周期性强迫反应系统的特性</一个rticle-title> <source> <italic> 化学工程科学</我t一个lic> <year> 1986年</ye一个r> <volume> 41</gydF4y2Bavolume> <issue> 5</我年代年代ue> <fpage> 1263年</fp一个ge><lpage> 1276年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0009 - 2509 (86)87099 - 3</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0022582309</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>21</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 泰勒</年代urname> <given-names> m·A。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Kevrekidis</年代urname> <given-names> i G。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 一些常见的耦合反应系统的动态特性</一个rticle-title> <source> <italic> 自然史D:非线性现象</我t一个lic> <year> 1991年</ye一个r> <volume> 51</gydF4y2Bavolume> <issue> 1 - 3</我年代年代ue> <fpage> 274年</fp一个ge><lpage> 292年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0167 - 2789 (91)90239 - 6</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0000794747</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="book"> <label>22</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 哈亚希</年代urname> <given-names> C。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 物理系统的非线性振动</我t一个lic> <year> 1964年</ye一个r> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</pgydF4y2Baublisher-loc> <publisher-name> 麦格劳-希尔</pgydF4y2Baublisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B23" content-type="book"> <label>23</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Nayfeh</年代urname> <given-names> a . H。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 微扰技术概论</我t一个lic> <year> 1981年</ye一个r> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</pgydF4y2Baublisher-loc> <publisher-name> 约翰威利& Sons</pgydF4y2Baublisher-name> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>