文摘
灰色预测模型,基于GM(1,1)方法,是灰色理论的一个重要分支和最活跃的研究最丰硕的成果,它是应用最广泛的,因为它小样本大小,建模过程简单,易于使用。这种优势已经成功地应用在许多领域,如交通、农业、能源、医药、和环境,已逐渐发展成为一个主流的预测建模方法。本研究结合了三个Whitenization灰色模型(TWGM(1,1)),适合非齐次指数律的序列,和优化的粒子群算法(PSA)订单和背景值系数条件下的模拟误差的平方和最小,因此,为了解决这个问题,累积顺序是固定的“1”,“0.5背景值系数值是固定的。”因此,parameter-optimized灰色系统模型与灵活性、适应性、动态调整的目的是模拟和预测中国的高等教育毛入学率。应用表明,该模型比别人有更好的模拟和预测的整体性能。一方面,参数优化模型显著提高自己的业绩,另一方面,其智能和可调自适应性提高准确性和进一步扩展其应用程序。
1。介绍
自Ju-Long教授(1]在1982年建立了灰色系统理论的灰色预测模型基于GM(1,1)方法是最活跃,成果丰硕,广泛应用灰色理论的分支。小样本大小的特性,建模过程简单,和低成本的学习,它已经成功地应用于许多领域,如交通、农业、能源、医药和环境(2- - - - - -6]。模型逐渐发展成为一个主流的预测建模方法。高等教育的入学率受多种因素的影响,如社会、经济、文化和地理因素,它的特点是部分已知和部分未知信息;因此,GM(1,1)模型,作为模型来研究不确定性系统的问题”部分已知和未知部分,已经被用于预测高等教育的入学率。例如,刘等人。7)利用GM(1,1)预测模型进行数学分析高等教育的毛入学率。它科学地预测,缓解了大学生的就业形势。它为促进社会稳定和经济发展提供了参考。盾(8]利用GM(1,1)模型预测波动中国中长期的高等教育毛入学率,它提供了一个参考政府高等教育评估和公民的选择。
GM(1,1),作为第一个灰色预测模型提出了适用于单变量模型,展示了良好的模拟和预测性能的顺序统一指数增长的特点。然而,根据统计年鉴,中国高等教育毛入学率在2019年是51.6%,首次超过了50%的关口,表明中国的高等教育已经从广义的质量阶段阶段。发展规模的转变无疑增加了蒙古包高等教育系统的复杂性和不确定性,使得系统行为系列更类似于非均匀指数增长特征,和原来的系统行为系列具有类似统一指数增长特征不再能满足现有的系统。如何开发一个高性能的灰色预测模型更加灵活,适应性强,适用于建模和动态预测高等教育毛入学率是本研究的重点。
近年来,研究人员已经进行了很多研究近似非齐次指数序列的建模能力。这些研究可以分为三个类别根据不同的建模思想。首先是优化结构的GM(1, 1)模型,以确保最终的换算公式的模型提供了一个近似均匀指数形式。NHGM (1, - 1,k)[9模型扩展的基本形式 的GM(1,1)模型 。SIGM模型(10扩展的基本形式 的GM(1,1)模型 。KRNGM模型(11]介绍了非线性函数美白微分方程的GM(1, 1)模型。第二个是修改建模对象的适应性。转换从一个非齐次指数序列的齐次指数序列可以实现原始序列中相邻元素之间的区别。第三是直接建模方法。王(12]提出的直接建模方法GM(1, 1)模型产生的原始数据没有积累,它已经逐步优化(13,14]。你们和李15]建立了美白重量灰色预测模型测量的影响的概率区间灰数预测的结果。曾和刘16)为副总经理的直接建模方法建立基于原始序列(1,1)通过省略积累和减法的过程。此外,上述模型已应用于变量字段。肖et al。17- - - - - -20.]研究了参数优化预测的灰色黎卡提微分模型及其应用在能源消费和碳排放。提出了一种新的灰色Verhulst结构模型由肖et al。21- - - - - -24),提高了灰色模型的模型饱和能力年代序列,应用在中国的致密气生产预测。
上述优化模型在近似不结盟指数序列有更好的特性,建模能力和更大范围的应用程序比GM(1,1)模型。的参数(如订单、背景值系数和初始值)的灰色预测模型对模型的性能至关重要。然而,这些性能参数往往简化为一个特定的值在上面的优化模型。因此,优化性能参数是一个关键的手段提高稳定性、模型的适用性和灵活性。大量的研究已经从许多方向推出性能参数的优化,如初始值(25- - - - - -27)、订单(28,29日),和背景值30.,31日]。每个性能参数的最优值应满足的最小平方求和的条件模拟模型的错误,和优化过程需要大量的计算。粒子群算法(PSA)提供了一个可选的解决方案的优化这些参数,找到全球最佳遵循当前搜索最优。与其他现代优化方法相比一个突出特点是PSA需要调整一些参数,简单,易于实现,收敛迅速,已成为一个研究热点领域的现代优化方法32- - - - - -35]。曾和刘36)提出了SAIGM_FO模型和使用PSA的顺序优化模型。王,李37]使用PSA优化结构参数(一个,b)的模型。已经证明,PSA的灰色预测模型提高建模精度和模型的灵活性。
在这项研究中,首先提出,PSA是应用于参数Whitenization灰色模型(TWGM (1,1)) (38)优化秩序和背景值系数条件下的最小模拟误差的平方。解决方案不仅能够解决这个问题,累积的顺序是固定的“1”,背景值系数值是固定的“0.5”,还灵活的显示特性,适应性强,在建模和动态可调的应用中国高等教育毛入学率(蒙古包)。实证分析表明,该模型具有比其他人更好的模拟和预测的整体性能。一方面,参数优化模型显著提高自己的业绩,另一方面,其智能和可调自适应性提高准确性和进一步扩展其应用程序。研究的其余部分组织如下。部分2描述了原始参数Whitenization灰色模型。然后,参数的优化过程Whitenization灰色模型三部分3,部分4给出了一个应用程序的优化模型对中国高等教育毛入学率。这项研究的结论揭示了在上一节。
2。原始TWGM(1,1)模型
根据时间响应函数的推导过程,典型的GM(1, 1)模型,whitenization方程参数whitenization灰色模型的建立,然后时间响应函数导出了求解微分方程。这个模型被称为参数Whitenization灰色模型、或TWGM(1,1)模型在短。
定义1。假设序列 是原始数据序列,在哪里 , ,和 的1-AGO序列吗 ,在哪里 的直接意味着生成序列吗 ,在哪里
定义2。假定序列和所示的定义吗1,然后
方程(3TWGM)是美白的微分方程(1,1)模型。这个方程
的基本形式是TWGM(1, 1)模型。
根据建模思想的GM(1,1)模型参数一个,b,c估计的基本形式TWGM(1, 1)模型。的时间响应函数TWGM(1,1)模型是解决微分方程得到。
定理1。假设序列 ,和所示的定义吗1, 是参数列表, 然后,最小二乘估计的参数列表TWGM(1, 1)模型是满意的。
定理2。的时间响应函数TWGM(1,1)模型 TWGM inverse-accumulating的换算公式(1,1)模型
3所示。参数Whitenization灰色模型的参数优化
3.1。背景值的优化
TWGM(1,1)模型的建模过程,旁边的序列生成的意思是作为背景值,这是一种常见的平滑方法削弱极端值的影响或1-AGO序列中的异常值的大小的灰色的效果。其中,相邻元素的背景值系数权重构建过程中相邻的意思是序列。它的值的差异会影响邻平均值系列的计算结果,然后影响模型的模拟和预测效果。在上面的建模过程中,背景值系数设置为0.5。这种处理方法缺乏灵活性,不能保证模型达到最好的模拟效果。因此,有必要优化背景值的原始模型。的优化背景值主要是基于优化背景值的系数。优化的定义顺序立即毗邻的意思。
定义3。假设所示的定义吗1,
优化序列生成的直接的意思是
,和是背景值的系数,
,在哪里
然后,
是TWGM(1,1)模型与背景值系数
。
其中,背景值的最优值系数应满足最小平方之和仿真模型的错误,即
在方程(10),原始数据和建模模型的模拟数据。
3.2。顺序优化
在最初的建模过程中,累积的顺序是固定在“1”,导致可怜的模型的灵活性和适应性。因此,吴et al。39,40]介绍了分数阶到灰色建模基于“之间”的想法。这个实现扩张的累积的灰色预测模型从整数到分数。孟et al。38,41)γ函数用来给分数积累操作符的函数表达式,提供构建部分灰色预测模型的基础。本节优化TWGM的顺序(1,1)模型,以提高模型的性能和模型适应性。
定义4。假设所示的定义吗1和
是一个新的序列;然后,序列
被称为r订单累积产生的序列
,在哪里
然后,序列
被称为邻中值生成的序列
,在哪里
然后,
是TWGM(1,1)模型的r秩序。
其中,最优值r订单应满足最小平方之和仿真模型的错误,即
3.3。同时优化背景值和秩序
基于上述优化分析,本节和构造一个新的TWGM(1,1)模型条件下的同步优化背景值和秩序。新模型称为TWGM ( )模型。
3.3.1。定义
定义5。假设序列和所示的定义吗1和4;然后,
叫做美白TWGM微分方程(
)模型。
序列
被称为优化生成的序列相邻的价值意味着什么条件下的背景值系数
,在哪里
将公式(两端15在时间间隔
,我们可以获得
因为
其中,的大小可以约为代表的区域所取代
,也就是说,
因此,方程(15)可以被转换成
方程(20.)的基本形式是TWGM (
)模型。
3.3.2。参数估计
定理3。假设序列 ,和所示的定义吗1,4,5, 是参数列表, 然后,最小二乘估计TWGM参数列表( )模型满足 。
3.3.3。时间响应推导
根据美白TWGM微分方程( )模型推导出其时间响应函数,根据公式(15),对应的齐次方程
然后,
齐次方程的通解(22)是
使用常数变异法,替换公式(24)与 ,,让
两端的推导方程(25)对t:
根据方程(27),有 ,所以
计算上述方程,
其中, 是一个已知的项目。在那个时候 ,方程(30.)可以得到:
我们获得
其中, 与方程(33)是时间响应公式。此时,时间响应推导。
3.3.4。推导的累计减少
定义6。假设序列所示的定义吗1如果 ,然后序列 被称为r顺序累加生成序列 ,在哪里
定理4。假设序列定义定义1, , , 是问阶累积生成的序列 , 是p阶累积生成的序列 , 是p+问订单累积生成的序列 , 是问订单累积生成的序列 ,和是p订单累积产生的序列 ;然后,多累积生成算子满足交换律和指数率,即
推论1。根据定理1,它可以作为派生而来 根据推论1方程(36),最后TWGM换算公式( )模型可以导出 在方程(37),当 , 被称为模拟值和什么时候 , 被称为预测价值。
3.4。TWGM(1,1)模型基于PSO算法的参数优化
TWGM ( )模型中,有两个待定参数(背景值系数和秩序)。为了获得最佳的性能TWGM ( )模型中,这两个待定参数的最优值是必需的。两个参数的组合解决方案很容易导致错误由于参数的相互影响和相互干扰,同时,它削弱了优化独立参数对模型的影响。因此,在解决的过程中参数的最优值,采用循序渐进的方法。具体地说,首先,在 ,假设订单并没有改变,也就是说,r= 1,优化背景值系数是解决。其次,的基础上 ,在 ,解决最优顺序。根据定义3和4,优化背景值系数和最优顺序发现各自的价值范围内,应该获得的条件下,仿真模型的误差的平方和最小,即满足方程(10)和(14)。
显然,每个参数的优化过程,确定需要大量的时间和占用有限的计算机资源。各种群优化算法(如粒子群算法和蚁群算法)。复杂的分布式优化问题提供良好的解决方案。粒子群优化(PSO)是一个全球群集智能优化算法,模拟鸟类的捕食行为。其基本概念来自于鸟类的觅食行为的研究。算法具有结构简单的优点,一些参数,和简单的编程。同时,基于自适应变异的粒子群优化算法的人口健身方差有效地解决了过早收敛现象,可以显著提高全局收敛性能。它被用于函数优化和神经网络。广泛用于培训、工程等领域(28- - - - - -31日]。因此,本文运用PSO优化背景值系数和顺序一步一步。PSO算法求解步骤如下:步骤1。初始化随机粒子群中粒子的位置和速度。步骤2。设置粒子在当前位置为初始种群中最好的粒子的位置。步骤3。计算的平均相对模拟误差TWGM ( )模型时 (或 ):步骤3.1。计算累积序列的订单 。步骤3.2。计算序列立即毗邻背景值系数 。步骤3.3。构造矩阵B和Y,并解决模型参数 。步骤3.4。计算模拟值 。步骤3.5。模拟计算的平均相对误差的 。步骤3.6。判断小于给定的收敛值 ;如果满意,步骤9。否则,执行步骤4。步骤4。执行以下操作中的所有粒子粒子群:步骤4.1。更新粒子的位置和速度: 步骤4.2。如果粒子适应度比健身,设置它的新位置。步骤4.3。如果粒子适应度比健身,设置它的新位置。第5步。计算方差的健康 ,和计算 : 步骤6。计算突变的概率 。步骤7。生成随机数 ;如果 ,按执行变异操作。否则,去步骤8。步骤8。判断算法收敛准则是满意的;如果满意,执行步骤9。否则,转到步骤3。第9步。输出最优值背景值的系数(或订单 )TWGM和模拟和预测数据( )模型在这个时候,该算法操作结束。
4所示。预测模型应用:中国的高等教育毛入学率
确定每个参数的优化性能,变量(背景值系数和秩序r)是模拟与四个不同的团体。原始TWGM(1,1)模型意味着模型不适合秩序和背景值系数。第一组模型,= 0.5,r= 1,即TWGM(1 | 0.5, 1)模型。第二个是模型= 0.5,r=r∗,TWGM (1 | 0.5,r∗)模型,它只表明该模型优化的顺序。第三个是模型,=和r= 1,即TWGM ( )模型,这意味着模型只优化背景值系数。最后一批是=和r=r∗,TWGM ( )模型中,这表明该模型优化的顺序和背景值系数在同一时间。与Matlab仿真结果四个参数组如表所示1,在那里是中国的高等教育入学率从1991年到2019年的数据。
为了直观地反映不同模型的模拟效果,不同模型的仿真曲线比较图,如图1使用不同的参数值,模型显示不同的仿真效果。的曲线TWGM(1, - 1 | 0.5, 1)和TWGM ( )模型重叠和表现出相同的趋势。TWGM ( )模型最初显示更好的模拟和预测效果在中国高等教育毛入学率自它产生与原始数据最接近的结果。
为了测量不同参数的优化性能,平均相对模拟误差百分率 ,平均相对预测误差百分比 ,和综合误差百分比灰色模型的每个模型计算的结果显示在表中1。结果如表所示2。相关计算公式如下:
其中,代表了模拟/预测误差 , 代表实验数据的数量,代表的数量用于仿真实验数据。
基于计算的结果在表2,相对误差百分率比较图绘制时使用不同的参数值,如图2在补充材料。从表2和图2在补充材料,是得出以下结论:(1)背景值优化效果:比较TWGM(1 | 0.5, 1)模型和TWGM ( )模型与一个= 0.4538,图形显示的集成百分比误差灰色模型背景值优化后略低于原来的模型,但是差异不显著,这表明背景值优化的优化对综合性能的影响,中国的高等教育毛入学率,但效果不显著。(2)顺序优化效果:比较TWGM(1 | 0.5, 1)模型TWGM (1 | 0.5,r∗)模型r∗= 1.1127图2补充材料,平均相对预测误差百分比和秩序优化后的综合误差百分率明显低于原来的模型,这表明顺序优化模型的性能有显著的改善在模拟中国高等教育毛入学率。(3)TWGM ( )模型具有误差最低的3.7782%,这表明优化背景值和秩序的改善模型性能的最佳选择。因此,TWGM ( )模型提供了最好的拟合效果,是首选的模拟和预测。
5。结论
研究相结合提出了一种新的优化模型参数与PSA Whitenization灰色模型。展示这个新模型的性能,应用程序分析是进行预测中国的高等教育入学率与Matlab仿真。研究结果表明,在本研究中提出的新的优化模型提高了原始灰色模型的性能相当。具体地说,与原来的灰色模型相比,平均相对预测误差百分比和综合优化后百分误差显著降低,这表明同时优化背景值和秩序的一个值得注意的改进总体性能模拟和预测中国的高等教育毛入学率。此外,指出智能和可调自适应性改进优化的准确性,此外,扩展其应用在未来的实证研究。
数据可用性
数据(中国的高等教育毛入学率)补充文件或信息中可以找到“中国教育统计年鉴》,第一章,21页:毛入学率的教育水平(https://data.cnki.net/trade/Yearbook/Single/N2020070382?z=Z017)。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
基础研究基金支持的研究是NIES的中心科学研究机构,“一流的本科教育评估研究”。GYB2019002。
补充材料
图1:比较不同模型的仿真曲线。图2:比较不同模型的相对误差百分比。(补充材料)