一类复杂混沌系统的动态反馈镇定

摘要

研究了复杂混沌系统的镇定问题。首先，提出了一种将给定的复杂混沌系统转化为等价的实混沌系统的系统方法。然后，采用动态反馈控制方法对相应的实际混沌系统设计了简单控制器和物理控制器，从而得到了原复杂混沌系统的控制器。特别是对于一些复杂的系统，控制器采用线性反馈控制方法。最后，通过两个算例进行了数值模拟，验证了理论结果的有效性和有效性。

1.介绍

众所周知，第一个混沌系统是由Lorenz于1963年提出的。从那时起，人们在理论结果和应用方面做了许多工作，见参考文献[1.–15及其参考文献。复杂混沌系统是另一种重要的混沌动力学系统类型，其状态变量属于复杂空间，在理论和应用上都得到了广泛的研究，是近年来的一个热点问题，详见参考文献。［16–24]特别是由于复杂混沌系统是由实数和虚数组成的，因此加密效果更好。由于复杂系统的动力学行为比真实混沌系统更为复杂，这类系统的控制问题非常困难。许多研究人员通常采用这种策略ey首先通过分离复状态变量的实部和虚部，将复混沌系统转化为相应的实混沌系统，然后研究了实混沌系统的控制方法，最终实现了这类复杂系统的控制问题在第一步的系统方法中，即对于一个特定的复杂混沌系统，应用特定的方法将其转化为等效的实混沌系统。如何找到一种将复杂混沌系统转化为等效的实混沌系统的系统方法，不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的现实意义因此，它刺激了我们在本文中的工作。

另一方面，上述已有结果中所设计的控制器大多较为复杂;因此，它们很难在实际应用程序中执行。如何设计一个既简单又物理的控制器来实现复杂混沌系统的控制问题，在理论和应用上都具有重要意义。在现有方法中，动态反馈控制方法和线性反馈控制方法应用比较广泛，因此本研究采用了这两种方法。

受上述结论的启发，采用动态反馈控制方法研究了复杂混沌系统的镇定问题。本文的主要贡献如下:(1)提出了一种将给定的复杂混沌系统转化为等效实混沌系统的系统方法(2)采用动态反馈控制方法和线性反馈控制方法分别对原复杂混沌系统设计了简单控制器和物理控制器，并进行了数值仿真验证了上述理论结果

在结束本节之前，我们介绍一下本文中使用的一些符号。是维欧几里得空间,是维复空间,表示 单位矩阵,表示一组 真正的矩阵,是克罗内克的产品吗是半张量积(STP)，即，让 , ,和 的最小公倍数和 .STP的和定义为 哪里

和分别表示(·)的实部和虚部，和为虚单位，即: .

2.初步

考虑以下受控混沌系统: 哪里 是国家, 是连续函数吗 , 是常数矩阵吗 是要设计的控制器。

引理1。（见[18])。考虑系统(3.).如果 能否稳定，那么设计的控制器呢表格如下： 哪里 ,反馈增益由下式更新:

3.问题表述

考虑以下受控复杂混沌系统: 哪里 和 是国家,， , 哪里是共轭的 , , 是一个复常数矩阵吗 , , 为所设计的控制器，即， 哪里 , , , , , 也就是说, , ,和 .

备注1。方程(6.)这一现象非常普遍，它涵盖了许多复杂的混沌系统，如复Lorenz系统和复超混沌Lorenz系统。

本文的目的是研究系统的稳定性(6.)，即如何设计控制器为了保证

4.主要结果

4．1.一种将复杂系统转换为其等效实系统的系统方法

在本节中，提出了一种系统方法，通过该方法可以将复杂系统转换为等效的真实系统。

定理1。考虑复杂混沌系统6.)．其等效实系统描述为: 哪里 是国家, 是连续函数吗 , 是常数矩阵吗 是要设计的控制器。

证明。让 , ,和 , ;则等效实系统(12)，即:

备注2。由于复杂混沌系统(6.)等价于相应的实系统(12)．因此，系统的镇定问题(12)和控制器设计。此外,控制器系统的(6.)，由

备注3。对于给定的一般受控复杂混沌系统，其形式如下： 哪里 是国家, 是连续函数吗 ,和 和 是设计的控制器， .
由定理1.，其等效实系统如下所示： 哪里 是国家, 是连续函数吗 , 是常数矩阵吗 是否设计控制器，即：。，

对于存在模型不确定性和外部干扰的复杂混沌系统，我们给出如下结果。

推论1。考虑以下既有模型不确定性又有外部干扰的复杂混沌系统: 哪里 , , ,和式(7.)–(10)分别， 哪里 表示模型不确定性和 是外部干扰。其等效实系统描述如下： 哪里 , , ,和和定理里的一样吗1.,

4.2.复杂混沌系统的稳定性

本节分别用动态反馈控制方法和线性反馈控制方法研究了复杂混沌系统的镇定问题，并给出了结论。

定理2。考虑系统(12).如果 可以稳定，那么控制器呢设计形式如下: 哪里 ,和更新的

备注4。根据公式(14)，控制器对于系统(6.)获得;因此，系统的稳定性(6.)实现了。

如果系统(12)由于具有特殊的结构，该系统的镇定问题可以用线性反馈控制方法来实现，并给出了结果。

定理3。考虑系统(12)，格式如下: 即。， 与 全局渐近稳定。如果 是可控的，那么设计的控制器呢表格如下： 哪里满足矩阵 赫维茨是什么是多少。

证明。自 是可控的,因此 也是可控的是多少。根据极点配置理论，设计了控制器在(27)，这就完成了证明。

5.数值模拟的说明性例子

本节将以两个复杂混沌系统为例，说明如何应用得到的理论结果，并进行数值仿真，验证上述理论结果的有效性和有效性。

例1。受控复Lorenz混沌系统[25]，现呈如下: 哪里 即。， , ,和

根据定理1.，等效实系统如下所示： 哪里 即。，

注意,如果 ,然后是下面的子系统 全局渐近稳定;因此, 可以稳定下来。

根据定理2.,控制器设计如下： 哪里 和 .因此,

在初始条件下进行数值模拟: .图形1.显示 是渐近稳定的，并且2.显示是渐近稳定的，这意味着和是稳定的。图形3.显示反馈增益常数的方法。

根据定理3.,控制器设计如下： 哪里

因此,

在初始条件下进行数值模拟: .图形4.显示 是渐近稳定的，并且5.显示是渐近稳定的，这意味着和是稳定的。

例2。受控复超混沌Lorenz系统[26]，现呈如下: 哪里 也就是说, , ,和

根据定理1.，等效实系统如下所示： 哪里 即。，

注意,如果 ,然后是以下系统 全局渐近稳定;因此, 可以稳定下来。

根据定理2.,控制器设计如下： 哪里 和 .

因此,

在初始条件下进行数值模拟: .图形6.显示 是渐近稳定的，并且7.显示 是渐近稳定的，这意味着和是稳定的。图形8.显示反馈增益趋于常数。

6.结论

综上所述，本文研究了复杂混沌系统的镇定问题。首先，提出了一种系统的方法，将复杂混沌系统转化为等效的真实混沌系统。然后分别用动态反馈控制方法和线性反馈控制方法设计了复杂混沌系统的简单控制器和物理控制器。最后，通过两个算例进行了数值仿真，验证了理论结果的有效性。

数据可用性

本文未使用任何数据。

的利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

致谢

基金资助:山东省重点研发计划项目(批准号:no. 201710227531);山东省自然科学基金资助项目(批准号:2019GGX101056);ZR2018MF016)。