5。与数值模拟说明性的例子
在本节中,我们应当采取两个复杂混沌系统为例,说明如何运用得到的理论结果,然后进行数值模拟来验证上述理论结果的效率和有效性。
例1。
控制复杂的Lorenz混沌系统(
25 ),给出了如下:
(28)米米l:mtext>
p米米l:mi>
˙米米l:mo>
=米米l:mo>
f米米l:mi>
p米米l:mi>
+米米l:mo>
b米米l:mi>
u米米l:mi>
,米米l:mo>
在哪里
(29)米米l:mtext>
p米米l:mi>
=米米l:mo>
z米米l:mi>
x米米l:mi>
,米米l:mo>
z米米l:mi>
=米米l:mo>
z米米l:mi>
1米米l:mn>
z米米l:mi>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
x米米l:mi>
=米米l:mo>
x米米l:mi>
3米米l:mn>
,米米l:mo>
也就是说,<我nl我ne-formula>
米米米l:mi>
=米米l:mo>
2米米l:mn>
,<我nl我ne-formula>
n米米l:mi>
=米米l:mo>
3米米l:mn>
,
(30)米米l:mtext>
f米米l:mi>
p米米l:mi>
=米米l:mo>
f米米l:mi>
x米米l:mi>
,米米l:mo>
z米米l:mi>
,米米l:mo>
z米米l:mi>
¯米米l:mo>
=米米l:mo>
米米米l:mi>
x米米l:mi>
z米米l:mi>
+米米l:mo>
H米米l:mi>
我米米l:mi>
x米米l:mi>
N米米l:mi>
x米米l:mi>
,米米l:mo>
z米米l:mi>
,米米l:mo>
z米米l:mi>
¯米米l:mo>
,米米l:mo>
b米米l:mi>
=米米l:mo>
b米米l:mi>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
b米米l:mi>
2米米l:mn>
=米米l:mo>
b米米l:mi>
1米米l:mn>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
,米米l:mo>
米米米l:mi>
x米米l:mi>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
10米米l:mn>
10米米l:mn>
110年米米l:mn>
−米米l:mo>
x米米l:mi>
3米米l:mn>
−米米l:mo>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
H米米l:mi>
我米米l:mi>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
,米米l:mo>
N米米l:mi>
x米米l:mi>
,米米l:mo>
z米米l:mi>
,米米l:mo>
z米米l:mi>
^米米l:mo>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
2米米l:mn>
x米米l:mi>
3米米l:mn>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
2米米l:mn>
z米米l:mi>
¯米米l:mo>
1米米l:mn>
z米米l:mi>
2米米l:mn>
+米米l:mo>
z米米l:mi>
1米米l:mn>
z米米l:mi>
¯米米l:mo>
2米米l:mn>
。米米l:mo>
根据定理
1 ,相当于获得真实系统如下:
(31)米米l:mtext>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
=米米l:mo>
F米米l:mi>
y米米l:mi>
+米米l:mo>
B米米l:mi>
U米米l:mi>
,米米l:mo>
在哪里
(32)米米l:mtext>
y米米l:mi>
=米米l:mo>
y米米l:mi>
z米米l:mi>
y米米l:mi>
x米米l:mi>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
z米米l:mi>
=米米l:mo>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
x米米l:mi>
=米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
,米米l:mo>
F米米l:mi>
y米米l:mi>
=米米l:mo>
F米米l:mi>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
F米米l:mi>
2米米l:mn>
y米米l:mi>
⋮米米l:mo>
F米米l:mi>
5米米l:mn>
y米米l:mi>
,米米l:mo>
F米米l:mi>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
F米米l:mi>
2米米l:mn>
y米米l:mi>
F米米l:mi>
3米米l:mn>
y米米l:mi>
F米米l:mi>
4米米l:mn>
y米米l:mi>
=米米l:mo>
米米米l:mi>
x米米l:mi>
⊗米米l:mo>
我米米l:mi>
2米米l:mn>
×米米l:mo>
y米米l:mi>
z米米l:mi>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
10米米l:mn>
0米米l:mn>
10米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
−米米l:mo>
10米米l:mn>
0米米l:mn>
10米米l:mn>
110年米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
0米米l:mn>
−米米l:mo>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
110年米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
0米米l:mn>
−米米l:mo>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
,米米l:mo>
B米米l:mi>
=米米l:mo>
B米米l:mi>
1米米l:mn>
=米米l:mo>
b米米l:mi>
1米米l:mn>
⊗米米l:mo>
我米米l:mi>
2米米l:mn>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
,米米l:mo>
U米米l:mi>
=米米l:mo>
U米米l:mi>
z米米l:mi>
=米米l:mo>
U米米l:mi>
1米米l:mn>
U米米l:mi>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
也就是说,
(33)米米l:mtext>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
1米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
10米米l:mn>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
+米米l:mo>
10米米l:mn>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
2米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
10米米l:mn>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
+米米l:mo>
10米米l:mn>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
3米米l:mn>
=米米l:mo>
110年米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
+米米l:mo>
U米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
4米米l:mn>
=米米l:mo>
110年米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
+米米l:mo>
U米米l:mi>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
5米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
2米米l:mn>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
+米米l:mo>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
+米米l:mo>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
。米米l:mo>
注意,如果<我nl我ne-formula>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
=米米l:mo>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
,那么以下子系统
(34)米米l:mtext>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
1米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
10米米l:mn>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
2米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
10米米l:mn>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
5米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
2米米l:mn>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
,米米l:mo>
是全局渐近稳定的;因此,<我nl我ne-formula>
F米米l:mi>
y米米l:mi>
,米米l:mo>
B米米l:mi>
能稳定下来。
根据定理
2 ,控制器<我nl我ne-formula>
U米米l:mi>
设计如下:
(35)米米l:mtext>
U米米l:mi>
=米米l:mo>
K米米l:mi>
t米米l:mi>
y米米l:mi>
=米米l:mo>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
y米米l:mi>
=米米l:mo>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
=米米l:mo>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
,米米l:mo>
在哪里<我nl我ne-formula>
K米米l:mi>
=米米l:mo>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
B米米l:mi>
T米米l:mi>
和<我nl我ne-formula>
k米米l:mi>
˙米米l:mo>
t米米l:mi>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
。因此,
(36)米米l:mtext>
u米米l:mi>
=米米l:mo>
1米米l:mn>
我米米l:mi>
∝米米l:mo>
U米米l:mi>
=米米l:mo>
1米米l:mn>
我米米l:mi>
∝米米l:mo>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
=米米l:mo>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
z米米l:mi>
2米米l:mn>
。米米l:mo>
数值模拟是进行初始条件:<我nl我ne-formula>
y米米l:mi>
0米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
5、3米米l:mn>
,米米l:mo>
−米米l:mo>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
−米米l:mo>
6、7米米l:mn>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
0米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
1米米l:mn>
。图
1 显示<我nl我ne-formula>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
和米米l:mtext>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
是渐近稳定的,图吗
2 显示<我nl我ne-formula>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
和米米l:mtext>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
这意味着,渐近稳定吗<我nl我ne-formula>
z米米l:mi>
t米米l:mi>
和<我nl我ne-formula>
x米米l:mi>
t米米l:mi>
是稳定的。图
3 显示了反馈增益<我nl我ne-formula>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
常数的方法。
图1
y米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
和米米l:mtext>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
渐近稳定。
图2
y米米l:mi>
4米米l:mn>
和米米l:mtext>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
渐近稳定。
图3
k米米l:mi>
t米米l:mi>
常数的方法。
根据定理
3 ,控制器<我nl我ne-formula>
U米米l:mi>
设计如下:
(37)米米l:mtext>
U米米l:mi>
=米米l:mo>
K米米l:mi>
X米米l:mi>
Y米米l:mi>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
X米米l:mi>
−米米l:mo>
110年米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
X米米l:mi>
−米米l:mo>
110年米米l:mn>
Y米米l:mi>
=米米l:mo>
X米米l:mi>
−米米l:mo>
110年米米l:mn>
Y米米l:mi>
1米米l:mn>
X米米l:mi>
−米米l:mo>
110年米米l:mn>
Y米米l:mi>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
在哪里
(38)米米l:mtext>
Y米米l:mi>
=米米l:mo>
Y米米l:mi>
1米米l:mn>
Y米米l:mi>
2米米l:mn>
Y米米l:mi>
3米米l:mn>
Y米米l:mi>
4米米l:mn>
=米米l:mo>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
,米米l:mo>
X米米l:mi>
=米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
。米米l:mo>
因此,
(39)米米l:mtext>
u米米l:mi>
=米米l:mo>
1米米l:mn>
我米米l:mi>
∝米米l:mo>
U米米l:mi>
=米米l:mo>
1米米l:mn>
我米米l:mi>
∝米米l:mo>
x米米l:mi>
3米米l:mn>
−米米l:mo>
110年米米l:mn>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
x米米l:mi>
3米米l:mn>
−米米l:mo>
110年米米l:mn>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
=米米l:mo>
x米米l:mi>
3米米l:mn>
−米米l:mo>
110年米米l:mn>
z米米l:mi>
1米米l:mn>
。米米l:mo>
数值模拟是进行初始条件:<我nl我ne-formula>
y米米l:mi>
0米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
5、3米米l:mn>
,米米l:mo>
−米米l:mo>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
−米米l:mo>
6、7米米l:mn>
。图
4 显示<我nl我ne-formula>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
和米米l:mtext>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
是渐近稳定的,图吗
5 显示<我nl我ne-formula>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
和米米l:mtext>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
这意味着,渐近稳定吗<我nl我ne-formula>
z米米l:mi>
t米米l:mi>
和<我nl我ne-formula>
x米米l:mi>
t米米l:mi>
是稳定的。
图4
y米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
和米米l:mtext>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
渐近稳定。
图5
y米米l:mi>
4米米l:mn>
和米米l:mtext>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
渐近稳定。
例2。
控制复杂的超混沌洛伦兹系统(
26 ),给出了如下:
(40)米米l:mtext>
p米米l:mi>
˙米米l:mo>
=米米l:mo>
f米米l:mi>
p米米l:mi>
+米米l:mo>
b米米l:mi>
u米米l:mi>
,米米l:mo>
在哪里
(41)米米l:mtext>
p米米l:mi>
=米米l:mo>
z米米l:mi>
x米米l:mi>
,米米l:mo>
z米米l:mi>
=米米l:mo>
z米米l:mi>
1米米l:mn>
z米米l:mi>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
x米米l:mi>
=米米l:mo>
x米米l:mi>
3米米l:mn>
x米米l:mi>
4米米l:mn>
,米米l:mo>
也就是说,<我nl我ne-formula>
米米米l:mi>
=米米l:mo>
2米米l:mn>
,<我nl我ne-formula>
n米米l:mi>
=米米l:mo>
4米米l:mn>
,
(42)米米l:mtext>
f米米l:mi>
p米米l:mi>
=米米l:mo>
f米米l:mi>
x米米l:mi>
,米米l:mo>
z米米l:mi>
,米米l:mo>
z米米l:mi>
¯米米l:mo>
=米米l:mo>
米米米l:mi>
x米米l:mi>
z米米l:mi>
+米米l:mo>
H米米l:mi>
我米米l:mi>
x米米l:mi>
N米米l:mi>
x米米l:mi>
,米米l:mo>
z米米l:mi>
,米米l:mo>
z米米l:mi>
¯米米l:mo>
,米米l:mo>
b米米l:mi>
=米米l:mo>
b米米l:mi>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
b米米l:mi>
2米米l:mn>
=米米l:mo>
b米米l:mi>
1米米l:mn>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
,米米l:mo>
米米米l:mi>
x米米l:mi>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
14米米l:mn>
14米米l:mn>
45米米l:mn>
−米米l:mo>
x米米l:mi>
3米米l:mn>
−米米l:mo>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
H米米l:mi>
我米米l:mi>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
1米米l:mn>
+米米l:mo>
我米米l:mi>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
,米米l:mo>
N米米l:mi>
x米米l:mi>
,米米l:mo>
z米米l:mi>
,米米l:mo>
z米米l:mi>
¯米米l:mo>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
5米米l:mn>
x米米l:mi>
3米米l:mn>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
2米米l:mn>
z米米l:mi>
¯米米l:mo>
1米米l:mn>
z米米l:mi>
2米米l:mn>
+米米l:mo>
z米米l:mi>
1米米l:mn>
z米米l:mi>
¯米米l:mo>
2米米l:mn>
−米米l:mo>
5.5米米l:mn>
x米米l:mi>
4米米l:mn>
+米米l:mo>
1米米l:mn>
2米米l:mn>
z米米l:mi>
¯米米l:mo>
1米米l:mn>
z米米l:mi>
2米米l:mn>
+米米l:mo>
z米米l:mi>
1米米l:mn>
z米米l:mi>
¯米米l:mo>
2米米l:mn>
。米米l:mo>
根据定理
1 ,相当于获得真实系统如下:
(43)米米l:mtext>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
=米米l:mo>
F米米l:mi>
y米米l:mi>
+米米l:mo>
B米米l:mi>
U米米l:mi>
,米米l:mo>
在哪里
(44)米米l:mtext>
y米米l:mi>
=米米l:mo>
y米米l:mi>
z米米l:mi>
y米米l:mi>
x米米l:mi>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
z米米l:mi>
=米米l:mo>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
x米米l:mi>
=米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
y米米l:mi>
6米米l:mn>
,米米l:mo>
F米米l:mi>
y米米l:mi>
=米米l:mo>
F米米l:mi>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
F米米l:mi>
2米米l:mn>
y米米l:mi>
⋮米米l:mo>
F米米l:mi>
6米米l:mn>
y米米l:mi>
,米米l:mo>
H米米l:mi>
∗米米l:mi>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
,米米l:mo>
F米米l:mi>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
F米米l:mi>
2米米l:mn>
y米米l:mi>
F米米l:mi>
3米米l:mn>
y米米l:mi>
F米米l:mi>
4米米l:mn>
y米米l:mi>
=米米l:mo>
米米米l:mi>
x米米l:mi>
⊗米米l:mo>
我米米l:mi>
2米米l:mn>
×米米l:mo>
y米米l:mi>
z米米l:mi>
+米米l:mo>
H米米l:mi>
∗米米l:mi>
×米米l:mo>
y米米l:mi>
x米米l:mi>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
14米米l:mn>
0米米l:mn>
14米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
−米米l:mo>
14米米l:mn>
0米米l:mn>
14米米l:mn>
45米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
0米米l:mn>
−米米l:mo>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
45米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
0米米l:mn>
−米米l:mo>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
+米米l:mo>
0米米l:mn>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
y米米l:mi>
6米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
14米米l:mn>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
+米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
−米米l:mo>
14米米l:mn>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
+米米l:mo>
y米米l:mi>
6米米l:mn>
45米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
45米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
B米米l:mi>
=米米l:mo>
B米米l:mi>
1米米l:mn>
=米米l:mo>
b米米l:mi>
1米米l:mn>
⊗米米l:mo>
我米米l:mi>
2米米l:mn>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
,米米l:mo>
U米米l:mi>
=米米l:mo>
U米米l:mi>
z米米l:mi>
=米米l:mo>
U米米l:mi>
1米米l:mn>
U米米l:mi>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
也就是说,
(45)米米l:mtext>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
1米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
14米米l:mn>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
+米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
2米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
14米米l:mn>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
+米米l:mo>
y米米l:mi>
6米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
3米米l:mn>
=米米l:mo>
45米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
+米米l:mo>
U米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
4米米l:mn>
=米米l:mo>
45米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
+米米l:mo>
U米米l:mi>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
5米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
5米米l:mn>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
+米米l:mo>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
+米米l:mo>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
6米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
5.5米米l:mn>
y米米l:mi>
6米米l:mn>
+米米l:mo>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
+米米l:mo>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
。米米l:mo>
注意,如果<我nl我ne-formula>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
=米米l:mo>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
=米米l:mo>
0米米l:mn>
1米米l:mn>
/米米l:mo>
2米米l:mn>
,然后下面的系统
(46)米米l:mtext>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
1米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
14米米l:mn>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
2米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
14米米l:mn>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
5米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
5米米l:mn>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
˙米米l:mo>
6米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
5.5米米l:mn>
y米米l:mi>
6米米l:mn>
,米米l:mo>
是全局渐近稳定的;因此,<我nl我ne-formula>
F米米l:mi>
y米米l:mi>
,米米l:mo>
B米米l:mi>
能稳定下来。
根据定理
2 ,控制器<我nl我ne-formula>
U米米l:mi>
设计如下:
(47)米米l:mtext>
U米米l:mi>
=米米l:mo>
K米米l:mi>
t米米l:mi>
y米米l:mi>
=米米l:mo>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
0米米l:mn>
1米米l:mn>
0米米l:mn>
y米米l:mi>
=米米l:mo>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
=米米l:mo>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
,米米l:mo>
在哪里<我nl我ne-formula>
K米米l:mi>
=米米l:mo>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
B米米l:mi>
T米米l:mi>
和<我nl我ne-formula>
k米米l:mi>
˙米米l:mo>
t米米l:mi>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
。
因此,
(48)米米l:mtext>
u米米l:mi>
=米米l:mo>
1米米l:mn>
我米米l:mi>
∝米米l:mo>
U米米l:mi>
=米米l:mo>
1米米l:mn>
我米米l:mi>
∝米米l:mo>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
=米米l:mo>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
z米米l:mi>
2米米l:mn>
。米米l:mo>
数值模拟与初始条件执行:<我nl我ne-formula>
y米米l:mi>
0米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
5、3米米l:mn>
,米米l:mo>
−米米l:mo>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
−米米l:mo>
6、7米米l:mn>
,米米l:mo>
−米米l:mo>
8米米l:mn>
,米米l:mo>
k米米l:mi>
0米米l:mn>
=米米l:mo>
−米米l:mo>
1米米l:mn>
。图
6 显示<我nl我ne-formula>
y米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
和米米l:mtext>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
是渐近稳定的,图吗
7 显示<我nl我ne-formula>
y米米l:mi>
4米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
,米米l:mo>
和米米l:mtext>
y米米l:mi>
6米米l:mn>
这意味着,渐近稳定吗<我nl我ne-formula>
z米米l:mi>
t米米l:mi>
和<我nl我ne-formula>
x米米l:mi>
t米米l:mi>
是稳定的。图
8 显示了反馈增益<我nl我ne-formula>
k米米l:mi>
t米米l:mi>
趋于常数。
图6
y米米l:mi>
1米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
2米米l:mn>
,米米l:mo>
和米米l:mtext>
y米米l:mi>
3米米l:mn>
渐近稳定。
图7
y米米l:mi>
4米米l:mn>
,米米l:mo>
y米米l:mi>
5米米l:mn>
,米米l:mo>
和米米l:mtext>
y米米l:mi>
6米米l:mn>
渐近稳定。
图8
k米米l:mi>
t米米l:mi>
趋于常数。