添加剂和乘法高斯白噪声驱动的分数型振动系统的随机分岔

摘要

随机分数阶系统或随机冲击振动系统具有丰富的动力学行为，目前已有大量关于随机分数阶系统或随机冲击振动系统的研究。而对于同时具有振动冲击因子和分数阶导数元的随机系统的讨论却很少。研究了由加性高斯白噪声和乘性高斯白噪声驱动的分数阶冲击振动系统的随机分岔问题。首先，利用非光滑变换消除原系统的不连续，得到等效的随机系统。然后，采用随机平均的方法得到近似解析解。最后，通过实例对所开发的方法进行了可靠性评估。我们还发现，恢复系数、分数阶导数系数、分数阶导数阶数均可诱发随机分岔。

1.介绍

由于分数阶模型比整数阶模型更能准确地描述复杂系统，因此分数阶系统的研究受到越来越多的关注。分数微积分使我们能够理解现实世界的内在复杂性[1那2]通过一个新的数学工具。许多优秀的书籍[3.那4.文章[5.-13.关于分数微积分可用。随机扰动在现实世界中普遍存在，因此有必要研究分数级随机系统的动态行为。已经提出了许多方法来研究分数级随机系统，例如随机平均方法[14.-17.]，多种尺度方法[18.-20.，维纳路径积分技术[21.]，以及基于统计线性化的技术[22.］．下面是最近一些关于这个主题的文章。Yang等人[23.]研究了由分数阶和噪声强度引起的双稳分数阶系统的非周期随机共振。李等人[24.]估计随机激发下随机动力系统的可靠性与分数级比例整体衍生控制器。denoël[25.]进行了含分数阶导数本构项的噪声单自由度系统的多时间尺度谱分析。Wang等[26.在短暂的内存原理和广义细胞映射方法的帮助下，研究了分数阶系统的全局动态。di matteo等。[27.]开发了一种基于Galerkin方案的方法，以确定滞后系统的存活概率和第一通道概率赋予高斯白噪声下的分数衍生元素。李等人[28.使用分数级PID控制器考虑了van der POL振荡器的分叉控制。然而，这些研究侧重于平滑系统的动力学行为而不是非缺口系统。

振动冲击系统[29.由于典型的非光滑系统具有很强的非线性特性，可以表现出丰富的动力学行为，因此这一课题备受关注。许多作者采用了随机平均方法，如Huang等[30.， Feng等人[31.那32.， Namachchivaya和Park [33.］．通过比较p -分叉和d -分叉的稳定域，Kumar等[34.得出结论，这些分叉不一定发生在相同的政权中。Wang等[35.]提出了一种基于广义胞映射(GCM)方法的冲击振动系统随机响应数值模拟方法。基于Zhuravlev-Ivanov变换和加权残差迭代法，Chen等[36.]提出了一种获取高斯白噪声激励下冲击振动系统闭形式平稳解的新方法。虽然人们对振动冲击系统的研究非常重视，但对随机激励下具有分数阶导数阻尼的振动冲击系统的研究却很少。因此，在本文中，我们将探讨分数阶冲击振子在加性高斯白噪声和乘性高斯白噪声驱动下的响应。

本文组织如下。在部分2，采用非光滑坐标变换对分数阶冲击振子进行了简化。在部分3.，提出了获得分析解决方案的详细过程。在部分4．1，详细讨论了由添加剂和乘法高斯白色噪声驱动的分数级振动系统的示例以评估开发方法的可靠性。在部分4．2，给出了由系统参数引起的随机分岔。本节给出了结论5.．

2.系统描述及其简化

分数阶冲击振动系统在加性和乘性随机激励下的运动方程为: 在哪里为小常数;和是恒定的系数;是恢复系数因素;和分别为碰撞前后的瞬时速度;和是高斯白噪声，其统计属性是以下形式的：

指黎曼-刘维尔意义上的分数阶导数元素: 在哪里是分数衍生顺序。

为了消除方程中的不连续(1A） 和 （1B.)，非光滑坐标变换[37.那38.]使用如下： 在哪里

用方程(4.)转化为方程式(1A） 和 （1B.),我们有

基于新的影响条件（5 b)，新变量的速度跳变在影响的情况下成比例 ．

根据参考文献。[32.那37.]，获得以下等式：

根据参考文献。[32.那37.那39.]， 我们有 那我们可以在没有影响术语的情况下获得以下同等振荡器：

3.随机平均方法

作为是一个小常数，是常系数，所以分数导数项也小。微阻尼振荡器(6.）受到弱随机刺激;根据随机平均方法[14.]我们可以假设方程的解决方案（6.), 在哪里 那和是随机的过程。用方程(8.)变成方程式(7.)，并根据参考文献[14.[我们可以获得幅度的方程相位角 ： 在哪里

然后，求出有限过程的平均Itô方程是 式中，平均漂移系数和扩散系数为

然后，最重要的步骤是计算方程的第一项(12.),也就是说,

用方程(3.)变成方程式(14.),我们有

余弦函数绝对值的傅里叶级数是 在哪里 ．

为了平滑解决方案，取代方程（16.)变成方程式(15.),我们有

根据参考文献。[40那41等式（15.） 和 （17.),方程(14.)可以简化为

等式的其他部分（10.）和平均扩散系数可以通过数学计算获得。

与等式相关的相应的Fokker-Planck-Kolmogorov方程（11.)是由 当方程(19.) (1)是一个有限的实数（2）作为 ．方程(19.）[42-44)是 在哪里是一个标准化常数。

根据参考文献[14.]，位移的联合静止概率密度函数和速度如下:

变量的静态PDF和可以获得为

边际平稳概率密度函数和可以实现为

例子

我们考虑的运动方程表示为 在哪里 那和是小恒定系数。在引入非坐标转换后，我们有

方程中的平均漂移系数和扩散系数（11.)

根据方程式（20.） 和 （22.） - （24.），我们可以获得 那 那 那和 ．

注意到该系列 ．原因如下:

作为系列 收敛非常快，下面的假设是合理的:

当 那

相对错误是

比较方程（29.)，用方程(30.）我们可以得出结论，保持更多项目确实可以提高准确性。从等式（31.）， 什么时候 那相对误差仅为0.3343%。所以，在处理级数时，保留前20项是合理的。

4．1.方法的有效性

在本节中，将通过与蒙特卡罗模拟结果的比较来验证本文方法的准确性。实线为解析数值结果，离散点为数值结果。我们可以通过代入得到解析解和进入等式（20.）。通过使用第四阶runge-kutta算法，我们可以从原始方程获得数值结果（25.）。

在图中1，并将数值结果与解析结果进行了比较。系统参数值列在表中1．可以找到一个非常好的协议。因此，所提出的方法的有效性是可以接受的。

为了进一步评估所开发方法的有效性，将数值结果与解析结果进行对比，如图所示2．系统参数值列在表中2．数值和分析结果之间的一个非常好的匹配表明开发的程序是有效的。

4．2.分岔分析

在部分4．1，验证了所提方法的有效性。在这一节中，我们将注意力转向由系统参数引起的随机p分支。由于对随机p分岔的研究使我们对系统的动力学行为，特别是对长期概率分布有了更清晰的认识，因此本节将对系统进行分岔分析。在本文中，当平稳概率密度函数的结构随着参数的变化而发生质的变化时，就会发生随机p分岔或唯象分岔。

首先，研究了恢复因子系数的影响在随机分叉上。系统参数值列在表中3.．数字3.描述了不同类型的联合概率密度函数 ．可以得出结论，增加恢复系数因子0.984 ~ 0.989时产生随机p分支。具体地说,当 那联合概率密度函数有一个峰值，当 那联合概率密度函数呈现出类似火山口的结构。概率密度函数的定性变换表明了随机p分支的存在。为了更好地理解随机p分支的进展，给出了相应的截面图的概率密度函数如图所示4.．

其次，我们探讨了分数衍生系数的影响关于随机分岔。系统参数值列在表中4.．数字5.描述了不同类型的联合概率密度函数 ．数字6.给出了联合概率密度函数的截面图 ．可以看出分数阶导数系数逐渐减小从0.009到0.003，导致随机p分岔的发生。

第三，讨论了分数阶导数的影响关于随机分岔。系统参数值列在表中5.．数字7.描述了不同类型的联合概率密度函数 ．数字8.给出了联合概率密度函数的截面图 ．通过相似的分析，可以看出分数阶导数的阶数是递减的从0.6到0.3的变化对随机p分支的发生有贡献。

5。结论

我们对添加剂和乘法高斯白噪声激发下的分数序振动系统随机分岔调查。研究高斯白噪声下分数振动系统的静止响应有两个挑战。第一个是如何处理原始系统的不连续性。当我们利用随机平均方法时，第二个是如何获得平均漂移系数的显式表达。本文通过非本文通过非本文改变了这两个挑战。详细讨论了一个例子以评估开发方法的可靠性。结果表明，该方法具有令人满意的精度。我们还发现，恢复因子，分数衍生系数和分数衍生顺序的系数可以被视为分叉参数。

数据可用性

没有数据支持本研究。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

国家自然科学基金资助项目(no . 11902081, no . 11532011, no . 11672232, no . 11702213)。

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