运动方程的分数阶vibro-impact加法和乘法随机激励下系统以下形式: (1) x ¨ + ε β D α x + ε f x , x ˙ x ˙ + ω 0 2 x = ε 1 / 2 ξ 1 t + ε 1 / 2 x ξ 2 t , x > 0 , (1 b) x ˙ + = − r x ˙ − , x = 0 , 在哪里 ε > 0 是一个小的常数; β 和 ω 0 常系数; 0 < r ≤ 1 是恢复系数的因素; x ˙ − 和 x ˙ + 的即时速度碰撞前后,分别; ξ 1 t 和 ξ 2 t 高斯白噪声的统计特性是下面的形式: (2) E ξ 1 t = 0 , E ξ 2 t = 0 , E ξ 1 t ξ 1 t + τ = 2 D 11 δ τ , E ξ 2 t ξ 2 t + τ = 2 D 22 δ τ , E ξ 1 t ξ 2 t + τ = E ξ 2 t ξ 1 t + τ = 0。

D α x 指的是分数导数Riemann-Liouville意义上的元素: (3) D α x t = 1 Γ 1 − α d d t ∫ 0 t x t − u u α d u , 0 < α < 1 , 在哪里 α 是分数阶导数。

为了消除的不连续性方程( 1)和( 1 b),非光滑坐标转换( 37, 38使用如下: (4) x = x 1 = y = y 胡志明市 y , x ˙ = x 2 = y ˙ 胡志明市 y , x ¨ = y ¨ 胡志明市 y , 在哪里 胡志明市 y = 1 , y > 0 , − 1 , y < 0。

用方程( 4)到方程( 1)和( 1 b),我们有 (5) y ¨ + ε β 胡志明市 y D α y + ε f y , y ˙ 胡志明市 y y ˙ + ω 0 2 y = ε 1 / 2 胡志明市 y ξ 1 t + ε 1 / 2 y ξ 2 t , t ≠ t ∗ , (5 b) y ˙ + = r y ˙ − , t = t ∗ 。

基于新的影响条件( 5 b),新变量的速度跳 y t 在影响成正比 1 − r 。

根据参考文献。( 32, 37,得到以下方程: (6) y ¨ + ε β 胡志明市 y D α y + ε f y , y ˙ 胡志明市 y y ˙ + y ˙ − − y ˙ + δ t − t ∗ + ω 0 2 y = ε 1 / 2 胡志明市 y ξ 1 t + ε 1 / 2 y ξ 2 t 。

根据参考文献。( 32, 37, 39),我们有 y ˙ − − y ˙ + δ t − t ∗ ≈ 1 − r y ˙ y ˙ δ y ,我们可以得到以下等效振荡器不影响术语: (7) y ¨ + ε β 胡志明市 y D α y + ε f y , y ˙ 胡志明市 y y ˙ + 1 − r y ˙ y ˙ δ y + ω 0 2 y = ε 1 / 2 胡志明市 y ξ 1 t + ε 1 / 2 y ξ 2 t 。

作为 ε > 0 是一个小的常数, β 是一个常系数,所以分数阶导数项呢 ε β D α x 也小。轻阻尼振子( 6)受到弱随机激励;根据随机平均法( 14),我们可以假设方程的解决方案( 6), (8) y t = 一个 t 因为 Φ t , y ˙ t = − 一个 t ω 0 罪 Φ t , Φ t = ω 0 t + Ψ t , 在哪里 一个 t , Φ t , Ψ t 是随机过程。用方程( 8)方程( 7)根据裁判。 14),我们可以获得振幅方程 一个 t 和相角 Ψ t : (9) d 一个 d t = ε 米 11 + ε 米 12 + ε 1 / 2 G 11 ξ 1 t + ε 1 / 2 G 12 ξ 2 t , d Ψ d t = ε 米 21 + ε 米 22 + ε 1 / 2 G 21 ξ 1 t + ε 1 / 2 G 22 ξ 2 t , 在哪里 (10) 米 11 = β ω 0 罪 Φ 胡志明市 一个 因为 Φ D α 一个 因为 Φ , 米 12 = − 一个 罪 2 Φ f 一个 因为 Φ , − 一个 ω 0 罪 Φ 胡志明市 一个 因为 Φ + ε − 1 1 − r − 一个 ω 0 罪 Φ δ 一个 因为 Φ , G 11 = − 罪 Φ ω 0 胡志明市 一个 因为 Φ , G 12 = − 一个 罪 Φ 因为 Φ ω 0 , 米 21 = β 一个 ω 0 因为 Φ 胡志明市 一个 因为 Φ D α 一个 因为 Φ , 米 22 = − 罪 Φ 因为 Φ f 一个 因为 Φ , − 一个 ω 0 罪 Φ 胡志明市 一个 因为 Φ + ε − 1 1 − r − 一个 ω 0 罪 Φ δ 一个 因为 Φ , G 21 = − 因为 Φ 一个 ω 0 胡志明市 一个 因为 Φ , G 22 = − 因为 2 Φ ω 0 。

然后,平均Ito方程有限的过程 一个 t 是 (11) d 一个 = 米 一个 d t + σ 一个 d B t , 的平均漂移系数和扩散系数 (12) 米 一个 = ε 米 11 + 米 12 + D 11 ∂ G 11 ∂ 一个 G 11 + D 11 ∂ G 11 ∂ Φ G 21 + D 22 ∂ G 12 ∂ 一个 G 12 + D 22 ∂ G 12 ∂ Φ G 22 Φ , (13) σ 2 一个 = ε 2 D 11 G 11 2 + 2 D 22 G 12 2 Φ 。

然后,最重要的一步是第一项的计算方程( 12),也就是说, (14) ε 米 11 Ψ = ε β ω 0 罪 Φ 胡志明市 一个 因为 Φ D α 一个 因为 Φ Φ 。

用方程( 3)方程( 14),我们有 (15) ε 米 11 Φ = ε β 一个 ω 0 Γ 1 − α 罪 Φ 胡志明市 一个 因为 Φ × d d t ∫ 0 t 因为 Φ − ω 0 u u α d u Φ 。

傅里叶级数的余弦函数的绝对值 (16) 因为 θ = 2 π + ∑ n = 1 ∞ B n 因为 2 n θ , 在哪里 B n = 4 / π − 1 n / 1 − 4 n 2 。

为了顺利的解决方案,用方程( 16)方程( 15),我们有 (17) ∫ 0 t 因为 Φ − ω 0 u u λ 1 d u = ∫ 0 t 2 π u λ 1 d u + ∑ n = 1 ∞ B n ∫ 0 t 因为 2 n Φ − 2 n ω 0 u u λ 1 d u = ∫ 0 t 2 π u λ 1 d u + ∑ n = 1 ∞ B n 因为 2 n Φ × ∫ 0 t 因为 2 n ω 0 u u λ 1 d u + 罪 2 n Φ × ∫ 0 t 罪 2 n ω 0 u u λ 1 d u 。

根据参考文献。( 40, 41)和方程( 15)和( 17),方程( 14)可以简化为 (18) ε 米 11 Ψ = ε lim T ⟶ ∞ 1 T ∫ 0 T β ω 0 罪 Φ 胡志明市 一个 因为 Φ D α 一个 因为 Φ d t = − 32 ε β 一个 π 2 ω 0 罪 α π 2 ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n ω 0 α − 1 1 − 4 n 2 2 。

其他部分的方程( 10)和平均扩散系数 σ 2 一个 可以通过数学计算获得的。

相应的Fokker-Planck-Kolmogorov方程与方程( 11)是由 (19) ∂ p ∂ t = − ∂ ∂ 一个 米 一个 p + 1 2 ∂ 2 ∂ 一个 2 σ 2 一个 p , 当方程的边界条件( 19)(1) p 是一种有限的实数吗 一个 = 0 和(2) p ⟶ 0 , ∂ p / ∂ 一个 ⟶ 0 作为 一个 ⟶ ∞ 。方程的稳态解( 19)[ 42- - - - - - 44)是 (20) p 一个 = C σ 2 一个 经验值 ∫ 0 一个 2 米 u σ 2 u d u , 在哪里 C 是归一化常数。

根据文献[ 14),联合固定位移的概率密度函数 y 和速度 y ˙ 如下: (21) p Y , Y ˙ y , y ˙ = p 一个 2 π ω 0 一个 一个 = y 2 + y ˙ 2 / ω 0 2 。

静止的PDF的变量 x 1 和 x 2 可以获得的 (22) p x 1 , x 2 = 2 p Y , Y ˙ x 1 , x 2 , x 1 ≥ 0。

边际静止的概率密度函数 p x 1 和 p x 2 可以实现 (23) p x 1 = ∫ − ∞ + ∞ p x 1 , u d u , (24) p x 2 = ∫ 0 + ∞ p u , x 2 d u 。

运动方程表示为我们考虑 (25) x ¨ + β D α x + c 4 x 4 − c 2 x 2 − c 0 x ˙ + ω 0 2 x = ξ 1 t + x ξ 2 t , x > 0 , x ˙ + = − r x ˙ − , x = 0 , 在哪里 β , c 4 , c 2 , c 0 , ω 0 小常系数。介绍了非光滑坐标转换后,我们有 (26) y ¨ + β 胡志明市 y D α y + c 4 y 4 − c 2 y 2 − c 0 y ˙ + 1 − r y ˙ y ˙ δ y + ω 0 2 y = 胡志明市 y ξ 1 t + y ξ 2 t 。

平均漂移系数和扩散系数方程( 11) (27) 米 一个 = − 32 β 一个 π 2 ω 0 罪 α π 2 ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n ω 0 α − 1 1 − 4 n 2 2 − c 4 16 一个 5 + c 2 8 一个 3 + c 0 2 一个 − 1 − r ω 0 π 一个 + D 11 2 一个 ω 0 2 + 3 一个 D 22 8 ω 0 2 , σ 2 一个 = D 11 ω 0 2 + 一个 2 D 22 4 ω 0 2 。

根据方程( 20.)和( 22)- ( 24),我们可以获得 p 一个 , p x 1 , p x 2 , p x 1 , x 2 。

它指出,该系列 ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n ω 0 α − 1 / 1 − 4 n 2 2 ≈ ∑ n = 1 20. n 2 2 n ω 0 α − 1 / 1 − 4 n 2 2 。原因如下:

作为系列 ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n ω 0 α − 1 / 1 − 4 n 2 2 ω 0 = 1,0 < α < 1 收敛速度非常快,下面的假设是合理的: (28) ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n ω 0 α − 1 1 − 4 n 2 2 = ∑ n = 1 200000年 n 2 2 n ω 0 α − 1 1 − 4 n 2 2 。

当 ω 0 = 1 和 α = 0.5 , (29) U n = 20. = ∑ n = 1 20. n 2 2 n ω 0 α − 1 1 − 4 n 2 2 = 0 。 094658610684682 , (30) U n = 200000年 = ∑ n = 1 200000年 n 2 2 n ω 0 α − 1 1 − 4 n 2 2 = 0 。 094976080504781 。

相对误差是 (31) U n = 20. − U n = 200000年 U n = 200000年 = 0 。 003342629201071 ≈ 0 。 3343年 % 。

比较方程( 29日)和方程( 30.),我们可以得出结论,使更多的项目确实可以提高准确性。从方程( 31日),当 ω 0 = 1 和 α = 0.5 ,相对误差仅为0.3343%。所以它是合理的保持前20项处理。

在本节中,将验证该方法的准确性与蒙特卡洛仿真结果进行比较。实线是分析数值结果,而离散点的数值结果。我们可以通过替换获得解析解 米 一个 和 σ 2 一个 在方程( 20.)。利用四阶龙格-库塔算法,我们可以获得原始方程的数值结果( 25)。

在图 1,比较计算结果和分析结果表示。系统参数值表中列出 1。可以找到一个很好的协议。因此,该方法的有效性是可以接受的。

为了进一步评估开发方法的有效性,另一个比较计算结果和分析结果如图 2。系统参数值表中列出 2。之间的一个很好的匹配计算和分析结果表明,开发的过程是有效的。

节 4.1,我们证明了该方法的有效性。在本节中,我们将注意力转向系统参数的随机P-bifurcation诱导。在随机调查P-bifurcation使我们有更清楚地了解系统的动态行为,尤其是在长期概率分布,在本节中我们将进行分岔分析。摘要随机P-bifurcation或现象学分歧发生在固定的结构概率密度函数定性作为参数的变化是多种多样的。

首先,我们调查恢复系数的影响因素 r 随机分岔。系统参数值表中列出 3。图 3描述了不同的联合概率密度函数 r 。它可以得出的结论是,增加了恢复系数的因素 r 从0.984到0.989产生随机P-bifurcation的发生。具体地说,当 r = 0.984 联合概率密度函数有一个峰值,而当 r = 0.989 联合概率密度函数,提出了一种crater-like结构。概率密度函数表示的定性转换随机P-bifurcation的发生。为了更好地理解随机P-bifurcation的进度,相应的部分图的概率密度函数 x 1 = 0.05 提出了在图 4。

第二,我们探索分数导数的影响系数 β 随机分岔。系统参数值表中列出 4。图 5描述了不同的联合概率密度函数 β 。图 6提出了相应的部分图表的联合概率密度函数 x 1 = 0.05 。它可以观察到,减少分数导数系数 β 从0.009到0.003导致随机P-bifurcation的发生。

第三,我们讨论分数导数的影响顺序 α 随机分岔。系统参数值表中列出 5。图 7描述了不同的联合概率密度函数 α 。图 8提出了相应的部分图表的联合概率密度函数 x 1 = 0.05 。根据类似的分析,它可以观察到,减少分数导数秩序 α 从0.6到0.3导致随机P-bifurcation的发生。