隐共存不对称行为的三维记忆后沼泽-玫瑰神经元模型

抽象的

鉴于神经元的电活动与神经元系统复杂的电生理环境密切相关，本文提出了一种新的三维记忆型Hindmarsh-Rose (HR)神经元模型来描述电磁感应下神经元活动的复杂动力学。所提出的记忆型HR神经元模型没有平衡点，但可以显示共存的不对称吸引子隐藏的动力学行为，这在以前的HR神经元模型的文献中没有报道。基于数学模型，通过分岔分析、相位图、吸引盆地和动态映射等方法，对隐共存的非对称吸引子进行了数值模拟，揭示了具有电磁感应的神经元电活动的复杂动力学行为。此外，基于电路板的实验结果也很好地验证了数值模拟的正确性。

1.介绍

在过去的三十年中，众多简化的神经元模型从古典霍奇金 - 赫ux型模型奇妙地延伸了[1重建神经元电活动的主要动力特性[2-8.]，其中二维和三维Hindmarsh玫瑰（HR）神经元模型是有效的，可用于生物神经元的电气活动的动态分析[9.那10.］．近年来，各种各样的HR神经元模型，如原始的三维HR模型[10.-16.，扩展或非线性反馈耦合HR模型[17.-20.]、时滞人力资源模型[20.-22.、分数阶人力资源模型[23.那24.]和电磁辐射下基于Memristor的HR模型[9.那25.-27.]，已经被提出并通过分岔分析方法进一步研究，以理解神经元之间的电活动动力学[8.］．出于这个原因，分叉分析理论在描述在神经元电气活动中的尖刺和爆裂之间的模式转变中起着重要作用9.-27.］．

由三维HR神经元模型的构建方法的启发[3.那24.]，提出了一种新的三维记忆神经元模型，该模型可以更好地描述电磁感应神经元电活动的复杂动力学特性，也可以进一步展示神经元电活动中一些尚未发现的复杂动力学行为。有趣的是，我们提出的记忆型HR神经元模型没有平衡点，可以归类为具有隐藏振荡模式的特定动力系统[28.-31.］．此外，在记忆的HR神经元模型中也可以观察到共存的不对称吸引子行为，这表明双稳定动力学的出现，在某些特定的神经元模型中已经发现了[32.-35.］．然而，先前尚未向HR神经元模型报告隐藏的共存不对称吸引子的现象。

本文组织如下。节2基于人力资源上的简短评论神经元模型,提出了一种三维记忆性人力资源神经元模型,在数值显示哪些隐藏共存的非对称流动相图和时间序列及其双稳态动力学证实的吸引力盆地与初始值有关。节3.用分岔图、李雅普诺夫指数和动力学映射证明了隐共存的不对称吸引子的行为，从中可以很容易地观察到多种类型的共存不对称吸引子。另外，制作了一个物理实现电路，并进行了实验验证了本节中隐藏的共存的不对称吸引子4.．本节对结论进行了总结5.．

2.三维记忆的HR神经元模型

２.１.人力资源神经元模型述评

通过简化经典Hodgkin-Huxley模型[1[Hindmarsh和Rose提出了二维Hindmarsh玫瑰（HR）神经元模型[2，由两个一阶常微分方程描述为 其中两个变量和膜电位和恢复分别是一个变量(也称为峰值变量)和一个术语吗是外部施加的电流。参数 那 那 那和是否有四个常被假定为的正常数 那 那 , 分别为(2那11.-14.］．

为了允许许多动态行为，例如，对膜电位进行混沌动力学，由Hindmarsh和Rose引入了额外的第三种等式[3.]，改进二维神经元模型(1)，由三个一阶常微分方程表示为 的变量是突发变量和常数为模型的静息势。新增参数和是两个正常数，但是非常小。因此，一个新的变量 那一个缓慢演化的电流，耦合到二维模型的第一个方程(1）调整外部应用的电流 ．如果三维神经元模型(2）在其触发状态，值增加(24.］．

2．2.建立记忆的HR神经元模型

受上述模型构建方法的激励(2)，通过将磁控理想忆阻器引入模型的第一个方程(1)，可以用 这里的新变量磁通是否表示膜势的时间积分 ．新增加的项表示外部施加的电磁感应和为电磁感应强度。

重要的是要强调在(3.)是理想的和通量控制。根据理想忆阻的定义，采用端电压与状态有关的欧姆定律和终端当前[36.那37.]，一种磁通控制的理想忘记由此给出 在memductance可以解释为依赖性电量的电量变化率。因此，Memmentance利用(3.）可以写成 其中系数是积极的。

显示由(4.） 和 （5.）[38.] SinUnoidal电压源 连接在Memristor的输入端子，在其中和是幅度和频率。让 ．什么时候 保持不变分别分配为0.1,0.2和0.5，分别为0.1,0.2和0.5 图所示1（a）,而当 是固定的,分别为3、4、5， 图所示1（b）．从数字看1那个 图是在原点处压缩的迟滞回线。无论刺激幅值如何，迟滞回线被压缩，但在无限频率下收缩成一个线性函数，其瓣面积随着频率的增加而减小。数值结果见图1表示用(4.)可以表现为三个指纹来区分记忆电阻器[38.］．

在下一步工作中，给出的三维忆耳HR神经元模型（3.） 被认为。应该说的是，感兴趣的可调参数是和 那它们的区域对应于参数空间的第一象限( 和 ）.对于任何不确定的参数 那三维记忆神经元模型不允许存在任何平衡点，既不稳定也不不稳定。只有当施加的电流 模型将显示一个平衡点，它不在考虑的参数区域。这种情况经常发生在已知会产生特定隐吸引子的各种非线性动力系统中[28.-31.］．

2.3。共存不对称的吸引子

当原始参数被选择为 那 那 , 分别为(2]，模型的例子(3.), 和 ，如图所示2，其中红色和蓝色标记的轨道分别来自初值(0,0,2)和(0,0,2)。在图2（a），相位肖像在 平面显示隐藏的共存不对称吸引器的双稳态现象，包括混沌吸引子和忆内神经元模型中的混沌吸引子和极限循环，而在图中2 (b)，膜电位的时间序列展示了忆内HR神经元模型中混沌和周期尖峰的共存。相应地，用于初始值（0,0，-2）的三个Lyapunov指数分别为0.0782,0和-3.0684，而用于（0,0,2）的那些分别为0，0.2717和-2.8556。备注狼等。的方法[39.]用MATLAB的ODE113算法在这里用来计算三个李雅普诺夫指数。

对于图中所示的共存的不对称吸引子2（a），相应的吸引力盆地和初值的平面如图所示3(一个)和3 (b)，其中混沌吸引子和周期性极限循环的吸引力盆地分别在紫红色和青色区域中着色。结果有效地表明了忆内HR神经元模型中双稳态现象的出现。

特别是出现的共存的不对称吸引子不与任何平衡点相关联，这表明记忆的HR神经元模型总是以隐藏的振荡模式运行[28.-31.］．此外，有趣的是，就像基于双曲线型忆失的Hopfield神经网络中的自我激发共存不对称吸引子一样[32.[Memiristive HR神经元模型中的这种隐藏的共存不对称吸引子也由电磁诱导诱导，其说明了具有电磁诱导的神经元中电气活性的复杂动力学行为的发生。

3.隐藏的共存不对称吸引力的行为

当施加的电流电磁感应强度被认为是两个分叉参数，由Matlab ode45算法在两组初始值（0,0，-2）和（0,0,2）下的Matlab ode45算法数值研究了Memristive HR神经元模型的隐藏共存不对称行为。

3.1。随着增加的分叉行为

数字4.给出分叉图和前两个李雅普诺夫指数为= 1,= 0.5〜1.4，在图中4(一)红色和蓝色表示的轨道分别为初值(0,0,2)和(0,0,2)，如图所示4 (b)红色和紫红色标记的李雅普诺夫指数对应初始值(0,0,2)，蓝色和绿色标记的李雅普诺夫指数对应初始值(0,0,2)。由图可知4.复杂动态出现在Memristive HR神经元模型中，其中具有不同拓扑的混沌吸引子，可以找到不同周期性的周期，周期加倍分叉路线，切线分叉路线，危机场景，共存分叉模式等。因此，引入的映射器的电磁感应诱导膜电位的许多复杂动态 那特别是包含隐藏的共存的不对称行为。

非对称吸引子的相关共存行为主要分布在两个参数区域和 那其中发生了一些不同类型的隐藏共存不对称吸引子。什么时候 和 的相位图，分别为0.81图中描述了另外两种隐藏共存的不对称吸引子的平面5.．详细，数字5(一个)给出了隐藏混沌吸引子和隐藏极限环的共存关系，图5（b）显示两个具有不同周期的隐藏极限环的共存。

3.2。随着增加的分叉行为

数字6.演示的分岔图和前两个李雅普诺夫指数为= 0〜2.4和= 0.9，其中图中不同彩色轨道的初始值6（a）以及图中不同颜色的李雅普诺夫指数6（b）是否与figure中所使用的数据一致4(一)和4 (b)．以同样的方式，可以从图中观察到6.在记忆神经元模型中创造了复杂的动力学，反映了外加电流的动态效应在神经元。

参数区域有利于不对称吸引子的共存行为，其中可以清楚地发现几种不同类型的隐藏共存不对称吸引子。什么时候= 0.9是固定的设置为1.15和1.62，分别是相位肖像图中绘制了两种隐藏共存的不对称吸引子的平面7.，在图中7（a）显示隐藏的混沌吸引子和隐藏周期的共存1限制周期，并在图中7 (b)给出了隐藏周期为2的极限环与大尺寸隐藏混沌吸引子的共存问题。

3.3。在参数空间中共存不对称行为

为了直观地表现在Memristive HR神经元模型中不对称吸引子的共存行为，在两组初始值下，最大Lyapunov指数描绘的动态地图在数值上进行了数量绘制参数空间[40，如图所示8(一个)和8 (b)其中明亮的黄色、红色和黑色区域分别代表混沌行为、周期性行为和发散行为。数字8.指示电磁感应强度的动态演化和应用当前影响不同初始值下的共存行为。当两个参数和的演化过程中，一些混沌区域嵌入到周期区域;但在图的参数空间上出现了不同的混沌区域8(一个)和8 (b)，这是由于不对称吸引子在不同初值下的行为是共存的。数值结果见图8.说明基于最大Lyapunov指数的动态映射所描述的动态行为与图中分叉行为所揭示的动态行为是一致的4.和6.．

它对于图中的动态地图应该是显着的8.混沌区域不同位置的混沌吸引子具有不同的拓扑，周期区域的不同位置的极限循环具有不同的周期性。具体而言，除了图中所示的几种类型的共存不对称行为之外2那5.,7.，也可以发现另一种类型的混沌吸引子和发散轨道的共存不对称行为，这意味着在忆耳神经元模型中存在另一种形式的双稳态。

4.电路设计与面包板实验

4．1.物理电路设计和参数选择

磁通控制的理想忘记特点是(4.） 和 （5.)及其构建的三维记忆性HR神经元模型(3.)可以通过使用一个电子电路来实现，该电路通过连接电阻和/或电容的模拟乘法器和运算放大器[41-43，如图所示9（a）和9（b）,分别。当然，这种三维记忆的HR神经元模型也可以在现场可编程门阵列(FPGA)中数字化实现[44那45］．

图中磁通控制的理想忘记电路的实现电路9（a）包含一个时间常数积分器 那一个逆变器，一个倍增器 那和一个电阻 ．输入电压和输出电流 那忆阻仿真器的数学模型可以很容易地给出为 在哪里忆阻模拟器的内部变量是和吗乘法器的增益是多少 那 = , ．

记忆的HR神经元模型的主电路如图所示9（b）有两个积分通道来实现(3.）.根据基尔霍夫电路定律和电路元件的电学性质，得到图中的电路方程9（b）是书面的 在哪里和是两个电路变量，和是两个外加电压，和 那 那和是乘数的增益吗 那 那和 那分别。

考虑了动态振幅的恢复变量在数值模拟中超过运算放大器和乘数的线性操作范围，以下线性变换 的动态电压幅值在记忆型HR神经元模型的电路方程中。因此，通过比较(8.)和(3.），产生 让时间为常数=10kΩ×33 nf = 330 μ年代;也就是说,=10kΩ和= 33 nF和乘法器增益== 0.1,== 1。根据(9.），如表中所列，可以计算回忆库神经元模型的面包板实验的电路参数1．

4．2.从面包板实验中获得的结果

根据图中的电路图9.和电路参数见表1，使用商业离散部件的硬件电路可以在面包板上焊接。选择的操作放大器AD711JN和由±15 V电压模块提供的AD6333JN。直流电压和由Tektronix PWS 2326 DC电源提供，实验结果由Tektronix TDS 3054C数字荧光体示波器测量。关于Memristive HR神经元模型的连接实验原型的照片显示在图中10.．

用于实验测量图中所示的忆阻模拟器的压缩迟滞环9（a），正弦电压源 由Tektronix AFG 3102C功能发生器生成与忆阻器仿真器的输入端子连接，其中物理频率由计算 ．为了= 1，可调电阻= 10 kΩ。当数值模拟过程中使用的正弦电压源的幅值和频率如图所示1采用，捕获相应的幅度和频率的夹持滞后环，如图所示(11日)和11 (b)，分别实验验证了忆阻模拟器的特征指纹。需要说明的是，为了更好地观察实验结果，电流探头所检测到的所有输出电流都被放大了十倍。

表中列出的电路参数1，通过反复开关实验电源，随机感知三个电容器的不同初始电压[46］．对于表中的典型电路参数1，两个可调电路参数和对应的可调模型参数= 1,= 0.9。对应于图2，相位肖像在变量的平面和时间序列从不同的初始电压中出现的是实验获得的，如图所示12.．实验结果表明，隐藏共存的不对称吸引子也可以从记忆型HR神经元模型的面包板实验中得到。

当施加的电流= 1，即阻力是固定为10kΩ和电阻分别为1.36 kΩ和1.23 kΩ，则，如图所示13（a）和13（b）．此外，当电磁感应强度= 0.9，即，= 1.11 kΩ和分别设置为8.70 kΩ和6.17 kΩ，则，如图所示13（c）和13 (d)．虽然由于计算误差和寄生电路参数等原因，数值模拟与面包板实验存在一些微小的差异，但实验结果与数值模拟基本一致，这表明记忆型HR神经元模型中存在共存的非对称吸引子行为是可以被实验验证的。

5。结论

本文介绍了一种新型三维椎间盘性HR神经元模型，用于描述具有电磁诱导的神经元活性的复杂动态。这种神经元模型的最突出的特征是它不包含任何平衡点，但可以表现出不对称吸引子的隐藏共存行为。通过执行分岔分析，相位肖像，吸引力盆和动态地图，隐藏的共存不对称吸引子被从数学模型中发现并从相应的面包板实验中验证。因此，所提出的椎间盘性HR神经元模型可以模拟具有电磁诱导的神经元中电活性的复杂动态行为。进一步调查将在我们未来的作品中进行。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

国家自然科学基金资助项目(no. 51777016, no. 51607013, no. 11602035, no. 61601062);江苏省自然科学基金资助项目(no. 51777016, no. 51607013, no. 11602035, no. 61601062);BK20160282。

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