Hyperchaotic Chameleon：分数令FPGA实施

抽象的

虽然超色度隐藏的吸引子系统及其关系较少调查，但许多最近对混乱隐藏吸引子进行调查。在本文中，我们介绍了一种超色度系统，可以根据参数的值改变隐藏的吸引子和自我激发的吸引子。研究了这些系统的动态特性。这些系统的分数阶型号探讨，并讨论了分数令的分叉。呈现了具有其功率和资源利用的系统的现场可编程门阵列（FPGA）实现。

1.介绍

最近对动态系统的工作分为自我激发和隐藏的吸引子[1-3.]。一个自我激动的吸引子有一个与不稳定的均衡相关的吸引力，而隐藏的吸引子有一个与任何均衡点的小社区相交的吸引力。隐藏的吸引子在大多数工程问题中都很重要，因为它们允许混乱的反应[4.那5.]。控制这种隐藏振荡的控制是一个大挑战，因为系统的多植物性质[6.那7.]。混沌吸引子没有均衡点[8.-15]，只有稳定的均衡[16-19]，且均衡曲线[20.]。最近还报道了没有与其FPGA实施的平衡系统的分数顺序[21那22]。

近年来，许多研究者讨论了分数阶微积分及其应用[23-25]研究了具有不同控制方法的分数阶非线性系统[26-28]。Rajagopal等人提出了基于没有平衡混沌系统的分数令忆反函数。[21那22]。李和陈研究了没有均衡混沌系统的小说阶数[29]。cafagna和grassi调查了一个没有均衡点的分数阶超声系统[30.]。讨论了基于Memristor基的分数订单系统，具有电容和电感器[31]。用Petras提出了模拟分数非线性系统的数值分析和方法[32Trzaska Zdzislaw讨论了Trzaska Zdzislaw的分数顺序混沌系统的Matlab解决方案33]。最近首次调查了使用近似方法的分数顺序混沌系统的FPGA实现[21那22]。

最近Jafari等人宣布了一个3D混沌系统[34，它可以属于三种著名的隐吸引子加自激吸引子系统。基于此，本文提出了一个超混沌变色龙，它可以是自激的，也可以是一个隐藏的吸引子。这个系统帮助我们更好地理解隐藏的高维混沌流。

2.新型混沌系统（NCS）

在本节中，我们介绍了一类具有磁通控制留念的新型混沌和超混沌系统[35那36，源自超混沌系统[37]通过包括参数这管理了系统和参数的均衡控制系统中李雅普诺夫指数的数量，即混沌和超混沌情况。给出了新的超混沌系统的无量纲状态方程 在哪里是磁通元件的磁通控制器留片机的函数由第四州定义和和.参数和固定在at.和， 分别。我们调查参数的四种不同选择和如表所示1．

数字1-4.显示系统的3D相肖像那那，及， 分别。

3.NCS的动态属性

3.1。均衡点

可以通过将状态方程等同于0来计算NCS的平衡点。可以看出显示两种均衡点;也就是说，何时原点是系统唯一确定的平衡点，当该系统没有定义的平衡，因此展示隐藏的吸引子。表格2给出了不同选择的平衡点和．特征方程和是和特征值是;;;和是一个不稳定的焦点，因此这两个系统是自激吸引子。正如许多研究人员所调查的[8.-15[没有均衡的混沌吸引子是隐藏的和隐藏的吸引力。

3.2.李雅普诺夫指数和卡普兰-约克维数

非线性系统的Lyapunov指数定义了状态的收敛性和发散性，正Lyapunov指数的存在证实了系统的混沌行为[38那39]在分数阶超混沌系统中，Lyapunov指数（LEs）是检测超混沌的必要且更为方便的工具[40]基于频域近似，但Tavazoei和Haeri强调了频域近似的局限性[41.]。基于时间序列的LES计算方法，如狼算法[11]，雅各拜方法[12]和神经网络算法[13普遍已知的方式计算整数和分数阶系统的Lyapunov指数。因此，我们使用Jacobian方法来计算LES。表格3.显示了网络控制系统的李雅普诺夫指数。

3.3.分歧

在本节中，我们派生了NCS的分叉轮廓。系统的混沌行为在很大程度上取决于参数那那，及．如[42.时，基于忆阻的非线性系统的瞬态行为可能会导致达到稳态的模拟时间变长。因此我们使用ode45求解器进行数值模拟。研究了四种不同的分叉情况。情况1是参数研究了吸引子的分支。图形5.显示分叉曲线图．在第二个案例参数中改变，研究了NCS的分叉，其如图所示6..在案例3中，参数对系统进行了变分岔分析。最后为参数分岔图筛选出4.数字7.和8.显示分叉轮廓和， 分别。从图中可以看出，NCS显示出奇怪的吸引子，超高，混沌和QuaSiodic系统。为了那那，及网络控制系统表现出奇怪的吸引子，而忆阻器的瞬态行为阻止了分岔图显示倍周期特性，即使在将瞬态降低到70%之后也是如此。该系统表现出超混沌吸引子，具有隐藏的振荡那那，及．一个小乐队和那，及系统显示了隐藏吸引子的混沌振荡。看到QuasiChaotic系统那那，及．

3.4.双对比

研究双相干的动机是双重的。首先，利用双相干提取高斯偏差引起的信息，抑制加性高斯噪声。二是利用双相干可通过二次相位耦合检测和表征信号中的非对称非线性或识别具有二次非线性的系统。双相干是三阶谱。而功率谱是一个二阶统计量，由， 在哪里是傅里叶变换，BISPectrum是由此形成的三阶统计．因此，双谱是一对频率的函数．它也是一个复杂的函数。（归一化）方形幅度称为偏移（通过与交叉谱的相干性）。通过将时间序列划分为来计算BISPectrum长度的段_seg，计算他们的傅里叶变换和双周期图，然后对整个系综进行平均。虽然双相干是两个频率的函数，但该函数的默认输出是一维输出，但双相干仅被细化为两个频率之和的函数。混沌系统的自相图如下所示：y Pezeshki等人[43.]他们用傅里叶系数推导出了自谱。 在哪里是弧度频率和是时间序列的傅里叶系数。被称为平方式的双谱的标准化幅度谱是给出的 在哪里和是电力谱和．

数字9.和10显示NCS的双轴脉轮廓和和和， 分别。从图中可以看出，NCS显示何时更广泛的功率谱频带和因为何时何时忆阻元件引入二次非线性，导致交叉双相干。黄色阴影表示功率谱中的多频分量。如图所示9.和10跨族间血管是显着的非零和不合作的，表明州之间的非线性关系。峰的黄色阴影和非峰值，以及附图中的原点周围的结构（交叉横穿），表明各州之间的非线性那那，及不是二次非线性，因此可能是因为尺寸更高的非线性。最两个主导频率（)用于推导双相干轮廓。抽样频率(）被视为参考频率。直接FFT用于导出各个频率的功率频谱，并且使用Hankel操作员用作频率掩模。汉宁窗口用作FIR滤波器以分离频率。

4.分数NCS（FONCS）

在本节中，我们派生了分数级模型新型混沌系统（FONC）。分数级差分运算符有三种常用的定义，即，Grunwald-Letnikov，Riemann-Liouville和Caputo的那些[23-25]。

在本节中，我们将研究分数阶系统的动力学行为，由Grunwald-Letnikov (GL)定义的NCS推导而来，定义为 在哪里和是分数阶方程的极限，是概括的差异，是一步大小，和是微分方程的分数顺序。

对于数值计算，上述等式被修改为 从理论上讲，分数阶微分方程使用无限内存。因此，当我们想数值计算或模拟分数阶方程时，我们必须使用有限内存原理是记忆长度和是时间抽样。 计算数值模拟所需的二页系数计算为 使用(4.） - （6.)分数阶NCS定义为 正如部分所讨论的那样1，FONC还显示了用于选择参数值的无均衡和单个平衡点的混沌和超声系统和如表所示4.．

数字中的3D相像肖像在图中示出11-14．对系统的相应分数令那那那那那那，及被拍了那那，及， 分别。

4.1。FONCS的动态分析

FONCS中保留了网络控制系统的大部分动力学特性，如李亚普诺夫指数和带参数的分岔[44.如果， 在哪里对调查分数阶系统时最重要的兴趣分析是分数秩序的分叉。最大的Lyapunov指数（）NCS的和出现针对其最大整数阶Lyapunov指数()，最大正李雅普诺夫指数(）NCS的和出现针对其最大整数阶Lyapunov指数()，最大正李雅普诺夫指数(）NCS的和出现针对其最大整数阶Lyapunov指数(）最大的Lyapunov指数（）NCS的和出现最大整数阶李雅普诺夫指数(）。它也可以看出，作为分数顺序减少，FONCS开始失去其最大的积极Lyapunov指数。什么时候系统的正Lyapunov指数变为负，因此系统中的混沌振荡消失。数字15和16显示分数阶变化的FONCS分支对于两个独特的病例和和和．

4.2。FONCS的稳定性分析

4.2.1。相称秩序

对于令人关注的订单，系统是稳定的，并且如果是展示混乱的振荡， 在哪里平衡点的雅可比矩阵是多少和是发狂的特征值，在哪里．从FONCS看中，特征值应保留在不稳定区域中，并且FONC的必要条件是稳定的．特征值和是;;;和是一个不稳定的焦点，有助于混沌振荡的存在。

4.2.2。收入的订单

在非相称情况下，FONCS出现混沌振荡的必要条件是， 在哪里是分数阶的LCM。如果那那，及， 然后．在均衡时评估的系统的特征方程是并取代价值分数阶，，特征方程为+两者都是一样的和．特征方程的近似解为其参数为零，这是最小的争论，因此稳定性的条件变为哪个解决了因此，FONCS是稳定的，未加密的系统存在混乱。

5.分数阶新型三次非线性系统的FPGA实现

在本节中，我们讨论了在FPGA中提出的FONC的实施[21那22那38那45.-48.]使用Simulink中的Xilinx（Vivado）系统生成器工具箱。在FPGA中实现系统的挑战是设计了系统生成器中不是易于可用的块的分数阶积分器[21那22]。因此，我们使用数学关系来实现分数集成商[32那33在(4.），（5.）， 和 （6.）的价值取0.001，初始条件如表所示1和相称的分数令对于foncs-1，对于FONCS-2，对于foncs-3，和用于FONCS-4。数字17那18（a），及18（b）显示在Kintex-7（Device = 7K160T，Package = FBG48S）中实现的FONCS-1系统的Xilinx RTL示意图，系统利用的电源，以及用于各种分数订单的功率。表格5.显示包括时钟频率的FONCS-1系统使用的资源。数字19显示FPGA实现的FONCS-1系统的2D状态肖像。数字20.那21（a），及21（b）给出了在Kintex-7 (Device = 7k160t Package = fbg484 S)中实现的FONCS-2系统的Xilinx原理图、系统所使用的功率以及各个分数阶的功率利用率。表格6.显示CONCS-2系统使用的资源，包括时钟频率。数字22显示了FPGA实现的FONCS-2系统的2D状态画像。数字23那(24日)，及24 (b)给出了在Kintex-7 (device = 7k160t, package = fbg484 S)中实现的FONCS-3系统的Xilinx原理图、系统所使用的功率以及各个分数阶的功率利用率。表格7.显示CONCS-3系统使用的资源，包括时钟频率。数字25显示了FPGA实现的FONCS-3系统的2D状态图。数字26那27（a），及27（b）显示在Kintex-7中实现的FONCS-4系统的Xilinx示意图（Device = 7k160t，Package = FBG484 S），系统利用的电源，以及各种分数订单的电力利用率。表格8.显示CONCS-3系统使用的资源，包括时钟频率。数字28显示了FPGA实现的FONCS-3系统的2D状态画像。FPGA块的采样率对Lyapunov指数的存在起着至关重要的作用，并且在某些实现中增加采样时间周期可能会导致时钟频率失配。当FONCS显示最大的李雅普诺夫指数(FONCS-1)时，系统将消耗最大的功率, FONCS-2，和foncs-3).为了利用FPGA的功能，需要将计算划分为几个独立的线程块，这些线程块可以同时执行[39那49.]。FONCS功率效率也取决于参数从功率效率数字中可以观察到18那21那24，及27．什么时候FONCS使用299 W的最大功率，而280 W．这是因为系统显示了他们最大的积极Lyapunov指数的原因．参数的效果在功率效率上是安静的最小且可忽略不计。FPGA上的性能与线程数和其性能直接相关，因此FONC设计为四个平行线程。与基于微处理器的实现不同，分数级运算符被实现为构建块，所谓的“帧延迟”在FPGA硬件实现中不明显，与基于微处理器的实现不同。

6.结论

本文介绍了一种新的超谐波系统，当改变参数的值时，展示了自我激发和隐藏的吸引子。研究了所提出的超色度系统的动态分析。在FPGA中导出和实施了超声系统的分数阶模型。推导出各种分数订单的功率效率分析，并显示系统在展示其最大的Lyapunov指数时使用最大功率。

的利益冲突

提交人声明有关本文的出版物没有利益冲突。

致谢

作者希望衷心感谢和感谢萨贾德·贾法里博士，Amirokabir理工大学生物医学工程系，以指导实现至关重要的结果。

参考文献

1. G. A. Leonov, N. V. Kuznetsov, V. I. Vagaitsev，《隐蔡氏吸引子的定位》，物理信，卷。375，没有。23，pp。2230-2233，2011。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
2. G. A. Leonov，N.V.Kuznetsov，V.I.Vagaitsev，“光滑的Chua Systems隐藏的吸引子”，物理D.非线性现象，第241卷，第2期。18, pp. 1482-1486, 2012。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
3. G.A.Leonov和N.V.Kuznetsov，“动力系统中的隐藏吸引子。从Hilbert Kolmogorov、Aizerman和Kalman问题中的隐藏振荡到Chua电路中的隐藏混沌吸引子，”国际分叉与混沌杂志，第23卷，第2期。文章编号1330002,2013。浏览：出版商的网站|谷歌学术
4. G. A. Leonov，N.V.Kuznetsov和T. N.Mokaev，“隐藏的吸引子和洛伦兹的吸引子和同性轨道，描述了旋转腔中的对流流体运动”非线性科学和数值模拟中的通信，卷。28，不。1-3，pp。166-174,2015。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
5. G. A. Leonov，N.V.Kuznetsov，以及T. N.Mokaev，“同性恋轨道，以及描述对流流体运动的洛伦兹的系统中的自我激发和隐藏的吸引子”，欧洲物理杂志专题，第224卷，第8期，第1421-1458页，2015年。浏览：出版商的网站|谷歌学术
6. P. R. Sharma, M. D. Shrimali, A. Prasad, N. V. Kuznetsov，和G. A. Leonov，《隐藏吸引子的多重稳定性控制》，欧洲体质期刊：特殊主题，卷。224，没有。8，pp。1485-1491,2015。浏览：出版商的网站|谷歌学术
7. P. R. Sharma, M. D. Shrimali, A. Prasad, N. V. Kuznetsov，和G. A. Leonov，《隐藏吸引子的控制动力学》，国际分叉与混沌杂志，卷。25，不。4，物品ID 1550061,2015。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
8. S. Jafari, J. C. Sprott, v . t。Pham, S. M. Hashemi Golpayegani，和A. Homayoun Jafari，“使用返回映射作为指纹的混沌系统参数估计的新代价函数，”国际分叉与混沌杂志，第24卷，第10号，文章ID 1450134，2014年。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
9. V.-T。Pham, C. Volos, S. Jafari, Z. Wei, X. Wang，“构建一个新的无平衡混沌系统”，应用科学与工程中的国际分岔与混沌杂志，卷。24，不。5，物品ID 1450073,6页，2014。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
10. F. R.Tahir，S. Jafari，V.-t.PHAM，C. Volos和X. Wang，“一种具有跨越蝴蝶吸引子的新型无均衡混沌系统”应用科学与工程中的国际分岔与混沌杂志，卷。25，不。2015年4日。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
11. S. Jafari，V.-t.PHAM和T. Kapitaniak，“从一个简单的3D系统获得的MultiScroll混沌海，没有平衡，”国际分叉与混沌杂志，卷。26，不。2，第1650031,2016项。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
12. S. -K.老挝，Y.Hekkofteh，S. Jafari和J.C.Crepott，“基于高斯混合模型的成本函数，具有隐藏吸引子的混沌电路参数估计”应用科学与工程中的国际分岔与混沌杂志，卷。24，不。2014年1日。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
13. S. Jafari，V.-t.PHAM和T. Kapitaniak，“从一个简单的3D系统获得的MultiScroll混沌海，没有平衡，”国际分叉与混沌杂志，卷。26，不。2，第1650031,2016项。浏览：出版商的网站|谷歌学术
14. V.-T。PHAM，S.Vaidyanathan，C.沃洛斯，S. Jafari和S. T. Kingni，“一个立方非线性术语的无均衡超声系统”，“替代，卷。127，没有。6，PP。3259-3265,2016。浏览：出版商的网站|谷歌学术
15. V.-T。PHAM，S.Vaidyanathan，C.K. Volos，S.Jafari，N.V. Kuznetsov和T. M. Hoang，“一个没有均衡点的小说留言时间延迟混乱系统”欧洲物理学报:专题，卷。225，没有。1，pp。127-136,2016。浏览：出版商的网站|谷歌学术
16. M.Molaie，S.Jafari，J.C.Crott和S. M. R. H.Golpayegani，“简单的混乱流动，一个稳定的均衡”，国际分叉与混沌杂志，第23卷，第2期。11、Article ID 1350188, 2013。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
17. S.T.Kingni，S. Jafari，H. Simo和P. Woafo，“三维混沌自治系统只有一个稳定的平衡：分析，电路设计，参数估计，控制，同步及其分数阶形式”，欧洲物理杂志Plus，卷。129，没有。5，pp。1-16,2014。浏览：出版商的网站|谷歌学术
18. M.Molaie，S. Jafari，J.C.Crott和S. M. Hashemi Golpayegani，“具有一个稳定平衡的简单混沌流动”应用科学与工程中的国际分岔与混沌杂志，第23卷，第2期。11，第1350188号，7页，2013年。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
19. S.T.Kingni，S. Jafari，H. Simo和P. Woafo，“三维混沌自治系统只有一个稳定的平衡：分析，电路设计，参数估计，控制，同步及其分数阶形式”，欧洲物理杂志Plus，卷。129，没有。5，第76条，第76页，第1-16,2014。浏览：出版商的网站|谷歌学术
20. V. Pham，S. Jafari，C.Vavos，A.Giakoumis，S.Vaidyanathan和T. Kapitaniak，一个有均衡的混沌系统，位于圆形方形循环及其电路实现上，“电路和系统的IEEE事务II：快递简报，卷。63，否。9，pp。878-882,2016。浏览：出版商的网站|谷歌学术
21. R.Karthikeyan、A.Prasina、R.Babu和S.Raghavendran，“新混沌系统新型同步方法的FPGA实现，”印度科技杂志，卷。8，不。2015年11日。浏览：出版商的网站|谷歌学术
22. K. Rajagopal，A. karthikeyan和A.K.Srinivasan，“FPGA实施新颖的分数秩序混沌系统，具有两个平衡，没有平衡及其自适应滑模同步”非线性动力学。工程系统中的国际非线性动力学和混沌杂志，第87卷，第4期，第2281-23042017页。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
23. 巴利亚努、迪瑟姆、斯卡拉斯和特鲁希略，分数微积分：模型和数值方法《世界科学》，新加坡，2014。
24. y周,分数阶微分方程的基本理论《世界科学》，新加坡，2014。浏览：出版商的网站|Mathscinet.
25. k . Diethelm分数微分方程分析，施普林格，柏林，德国，2010。浏览：出版商的网站|Mathscinet.
26. M.PORMAHMOOD AGHABABA，“基于分数Lyapunov稳定理论的分数秩序混沌系统稳健有限时间稳定”，中国计算与非线性动力学，卷。7，不。2，物品ID 021010,2012。浏览：出版商的网站|谷歌学术
27. E. A.Borjeni和H. R. Momeni，“非脆弱的非线性分数令观察者设计一类非线性分数阶系统”信号处理，卷。92，没有。10，pp。2365-2370,2012。浏览：出版商的网站|谷歌学术
28. 张锐，“基于自适应观测器的分数阶混沌系统同步”，系统科学与控制工程，卷。2，不。1，pp。751-754,2014。浏览：谷歌学术
29. R. H. Li和W. S. Chen，“分数阶类lorenz系统的复杂动力学行为和混沌控制”，中国物理B.，卷。22，没有。4，2013年第I040503,20303,2013。浏览：出版商的网站|谷歌学术
30. D. Cafagna和G. Grassi，“没有均衡的分数阶系统：Hyperchaos的第一个例子及其在同步的应用程序”中国物理B.，卷。24，不。8，第2015年物品ID 080502,2010。浏览：出版商的网站|谷歌学术
31. M.-f.Danca，W.K. Tang和G. Chen，“通过周期性冲动，”抑制了基于最简单的自主忘记电路的混沌，“混乱，孤子＆分形，卷。84，pp。31-40,2016。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
32. I. Petras，“用于模拟分数秩序混沌系统的Methos”，“Acta Montanastica Slovaca.，第11卷，第4期，第273-277页，2006年。浏览：谷歌学术
33. W. Trzaska Zdzislaw，混沌分数秩序电路的Matlab解决方案，Intech，Rijeka，克罗地亚，2013年，http://www.intechopen.com/download/pdf/21404．
34. M. A. Jafari，E. Mliki，A. Akgul等，“变色龙：最隐藏的混乱流动”非线性动力学，pp.1-15,2017。浏览：出版商的网站|谷歌学术
35. Q.李，H. Zeng和J. Li，“在4D忆内电路中的超短速度，具有无限稳定的均衡”，“非线性动力学，第79卷，第5期。4, pp. 2295-2308, 2015。浏览：出版商的网站|谷歌学术
36. Q.-H.洪，Y.-c。zeng和z.-j.李，“磁通控制回忆函数和电荷控制函数混沌电路的设计与仿真”acta physica sinica.第62期23、条款ID 230502, 2013年。浏览：出版商的网站|谷歌学术
37. Sampath, Vaidyanathan和v - t。Pham，“一种新的具有三个二次非线性的4-D超混沌系统，其自适应控制和电路仿真，”国际控制理论与应用杂志，卷。9，没有。1，pp。339-356,2016。浏览：谷歌学术
38. V.Rashtchi和M.············FPGA实现了使用Duffing振荡器的实时弱信号检测器，“电路，系统和信号处理，卷。34，不。10，pp。3101-3119,2015。浏览：出版商的网站|谷歌学术
39. E.Tlelo Cuautle，J.J.Rangel Magdaleno，A.D.Pano Azucena，P.J.Obeso Rodelo和J.C.Nunez Perez，“多涡卷混沌振荡器的FPGA实现，”非线性科学和数值模拟中的通信，卷。27，不。1-3，pp。66-80，2015。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
40. C. Li，Z.G，D.Q.Qian和Y. Chen，“关于小分数差分系统的Lyapunov指数的界限，”混乱，卷。20，没有。1，图1113127，2010。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
41. M. S. Tavazoei和M. Haeri，“频率域近似的不可靠性在分数阶系统中识别混沌”IET信号处理，卷。1，不。4，pp。171-181,2007。浏览：出版商的网站|谷歌学术
42. B. Bao，P.江，H.Wu和F. Hu，“复杂的瞬态动态在定期强迫忆子Chua电路中”非线性动力学，第79卷，第5期。4, pp. 2333-2343, 2015。浏览：出版商的网站|谷歌学术
43. C.Pezeshki，S.伊莱加和R.C.Krishna，“具有混沌运动的系统Bispectral分析”作者：王莹，卷。137，没有。3，pp。357-368,1990。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
44. D.Dudkowski，S.Jafari，T.Kapitaniak，N.V.Kuznetsov，G.A.Leonov和A.Prasad，“动力系统中的隐藏吸引子，”物理报告。物理信件的审查部分，第637卷，第1-50页，2016。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
45. E.Tlelo-Cuautle，A. D. Pano-Azucena，J. J.Rangel-Magdaleno，V.H.Carbajal-Gomez，以及G.Rodriguez-Gomez，“通过使用FPGA在66 MHz中产生50滚动混沌吸引子”，“非线性动力学第85卷第1期4, pp. 2143-2157, 2016。浏览：出版商的网站|谷歌学术
46. Q.王，S. Yu，C. Li等，“高维数码混沌系统的理论设计和FPGA的实施”，IEEE电路与系统学报I-常规论文，卷。63，否。3，pp。401-412,2016。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
47. 董易，梁志良，杜世雄，陈志强，“四翼混沌吸引子的拓扑马蹄形分析及其FPGA实现，”非线性动力学，卷。83，没有。1-2，pp。623-630,2016。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
48. E.Tlelo-Cuautle，V.H.Carbajal-Gomez，P.J.Haneso-Rodelo，J.J.Rangel-Magdaleno，以及J.C.Núñez-Pérez，“FPGA实现了应用于图像处理的混沌通信系统”，“非线性动力学，第82卷，第4期，第1879-1892页，2015年。浏览：出版商的网站|谷歌学术|Mathscinet.
49. 徐耀明、王立德和段世凯，“基于忆阻器的混沌系统及其现场可编程门阵列实现，”五里学报/物理学报，卷。65，不。12，2016年第120503,2016。浏览：出版商的网站|谷歌学术

版权

版权所有©2017 Karthikeyan Rajagopal等。这是分布下的开放式访问文章创意公共归因许可证如果正确引用了原始工作，则允许在任何媒体中的不受限制使用，分发和再现。