线性整数模型课程制定时间表问题的教员在里约热内卢

文摘

这项工作提出了一种线性整数规划模型,解决了制定时间表问题的教师在里约热内卢,巴西。模型旨在生成解决方案,满足教师的喜好的管理者,即分配最高的最大数量的讲师职称,和最小化成本通过合并课程和教学大纲。整数线性模型也发现解决方案,满足教师的调度参数,从而生成更实用和舒适的安排这些专业人士。偏好表示的目标函数,每个都有特定的重量。该模型比手动解决方案的响应时间和质量。模型也能够证明讲师的安排偏好实际上是相互冲突的目标。模型是通过教师的经理和2011年第二学期以来一直使用。

1。介绍

Tripathy [1定义了大学课程时间安排(节点)作为一个编程问题,学生和教师之间的分配给定的会议对于一个给定的时期。这些会议都参加了特定群体的学生和一个老师。每次会议也可能需要特定的资源(投影仪、电脑、等)。分配的选择必须考虑讲师的可用性,资源,而且,如果有必要,其他因素。Schaerf [2)定义节点调度序列的教学课程教师和学生之间在预定的时间内,通常一个星期内,而满足的一组约束。时间表可以手动创建,经常费力,解决方案从而获得普遍不满意在某种意义上。德韦拉(3)认为,由于节点问题可能非常不同,似乎不合理开发通用的编程模型,可以使用在所有机构。

这些问题的目标函数通常由最小化成本和/或偏好最大化;即目标函数措施解决方案的质量和有效性生成的时间表(4]。节点的约束问题是这些模型的核心,是由每个机构的真实特征。

约束通常分为两类,软硬约束(5]。解决时间表编程,甚至违反了一个硬约束是不可行的,而一个解决方案,违反任何数量的软约束是可行的。软约束是用来提高解决方案的质量,因为满足其中一个就意味着解决方案满足一些特定的偏好;因此,一个可行的解决方案可以找到令人满意的软约束。例如,可以给讲师课只有星期一早上,下午,或夜班,但他更喜欢早晨。与课程安排任何其他一天,周一,被认为是不可行的,所以我们可以得出这样的结论:这是一个硬约束。在另一方面安排周一下午课或夜班被认为是可行的,和一个时间表一课在周一早上转移被认为是可行的,满足讲师偏好,因此改善计划的质量,所以我们可以得出这样的结论:这是一种软约束(6]。

这项工作的目的是提出一个模型,该模型解决了在里约热内卢教员节点问题。本文组织如下。部分2提供了一个文献回顾提出使用节点编程解决实际问题的案例。部分3细节的特点,在这项研究中,教育机构和部分4细节的造型来解决相应的问题。部分5显示应用的方法,最后,部分6包含结论和讨论的主要问题。

2。文献综述

这个文献综述的主要目的是确定不同模型之间的差异和相似之处了。如果每个机构具有独特的特点,预计各自的数学模型也具有独特的特征可能是由硬或软约束甚至由目标函数本身,当适用。

Daskalaki et al。7)开发了一个二元线性整数规划模型,可以添加一些约束将大量的操作要求和规则,正如发生在大多数学术机构。该模型用于电子和计算机工程系大学的佩特雷在希腊。这个模型的目的就是将一个线性成本函数最小化,满足偏好相关时间,星期,甚至课堂指定课程。成本函数包含两个方面:第一是成本分配一个模块(课)教学会话的一个给定的时间;第二代表了成本分配这些模块的某一天。硬约束如下:模块不允许重叠;所有计划模块应该提供对于一个给定的学期;和教学会话持续时间应该满足教师的需求,应该发生在所需的房间。软约束如下:碰撞在讲师的可用性时间不允许;应该尽可能紧凑的时间表; and modules should be restricted to a single classroom. The model was used in a case study, and the authors reported that a feasible solution was generated.

汤普森[8)研究节点的建设和学生的偏好信息分配。目标函数测量解决方案的质量基于它如何满足学生的偏好。模型测试的3个数据集在美国康奈尔大学酒店管理学院。其目标函数包括以下:最小化的模块分配给讲师;尽量减少模块的数量没有时间表;减小碰撞时间的模块;最小化违反有关模块应该安排在同一个天;和尽量减少情况下,模块应该安排在同一时间但不。它的硬约束如下:讲师时间表不允许发生碰撞;一个类的位置之间的距离和未来应尽可能小; a lecturer must have his or her work hours fully allocated; classroom schedules are not allowed to collide; and module schedules are not allowed to collide. Soft constraints are as follows: some modules should not be offered on the same days as some other modules, while some modules should be offered on the same day as some other modules. The author believes that his model is applicable to other institutions.

Schimmelpfeng和helb9)描述了一种二进制整数规划方法用于大学的经济学院和管理在德国汉诺威。该模型解决了节点问题和分配教室。其目标函数的最小化侵犯每一个问题的软约束。硬约束如下:教师必须尊重可用性计划;碰撞在讲师的时间表不允许,可用性也不碰撞模块;必须尊重和模块的序列。软约束如下:一些类的调度参数必须得到尊重,一些教师的调度参数必须得到尊重。在应用该模型,作者进行了一项调查来评估模型的结果从教师的角度来看。只有一个100年的受访者不满意新系统。

巴克尔和Aksop10)制定时间表的二进制整数模型编程Gazi大学统计学系的土耳其。模型的目标是减少学生和讲师的不满,因此目标函数评估这些量。硬约束如下:模块和教室是不允许发生碰撞;学生可能只招收课程对应于当前学期;一些课程必须服从一个合乎逻辑的时间序列;和教学会话分配模块必须尊重每个模块所需的时间。软约束如下:应尽可能紧凑的时间表,和失败的学生只能报名课程从他们当前和以前的学期,如果可能的话。作者声称发现最优解;然而,问题的规模需要很长时间来寻找这个解决方案。

Adewumi et al。11)开发了一种遗传算法来解决尼日利亚的一个节点在一个不知名的大学。硬约束是教师和教室安排不得碰撞和教室的能力必须得到尊重。作者声称,启发式发现好的结果,他们的模型可能很容易地适应满足软约束,如果必要的。

•拉扎克et al。12)提供了一个方法,使用一个两偶图和图着色问题解决节点信息技术部的私立大学。模块的硬约束和讲师的可用性是不允许发生碰撞。软约束如下:时间表应该容纳午休时间如果可能的话;教学课程应该有一个有限的最大持续时间;模块的总数不得超过讲师的可用工作时间;教师不应该教课程连续超过三个小时;学生不应该上课连续超过4小时;年纪大的学生应该优先安排;一个类的学生不应该只在任何给定的一天;和一个模块不应该教连续两个多小时。 The authors reported that the results of experimental studies demonstrated that the proposed model solves UCT problems more easily than other methods.

Al-Tarawneh和Ayob13)应用禁忌搜索和multineighbourhood结构来解决节点问题Kebangsan大学的工程学院的马来西亚。目标函数和权重与模型相关的处罚的软约束,由专家决定。碰撞的硬约束如下:教室和讲师的可用性时间表不允许;必须尊重课堂能力;和模块,需要更长的时间超过两个小时不能分成多个教学环节。软约束如下:每个类的学生必须每天都单独一个模块;没有课的学生可能有两类序列;模块间的间隔不能长;讲师不应该教两个连续的会话;没有女讲师在晚上应该分配模块。 The authors claim that the results they obtained are better than those obtained manually.

这个文献综述表明,硬约束的核心是分析作品,因为这些都是相当一致的,事实上,逻辑约束,不能离开不满意。相比之下,软约束的集合可能被视为一种“制度指纹”,使每个案例的造型非常具体,从而不能全面。

3所示。描述机构的分析

私立大学,是这项工作的研究对象位于巴西,里约热内卢,巴西。分析2011年的时期,因为这是数据的时期是作者完全可用。数据收集机构是包罗万象,主要来源是机构互联网页面,机构内部网,公文的研究,和关键人员访谈。2011年第一学期,学校共有1297名学生分布在9个本科课程和92名教师。基础设施包括47个教室和五个实验室,这座位共有1857名学生。类有两个截然不同的变化,即早晚班倒。早班是分为两个教学课程:第一次会议开始20点。9点和结束点。20分钟的间隔后,第二次会议从上午9点开始。结束20点。 The evening shift also has two teaching sessions. The first starts at 7:00 p.m. and ends at 8:20 p.m.; after a 20-minute break, the second session starts at 8:40 p.m. and ends at 10:00 p.m.

因为每个教学转变是分成两个教学会议,模块分为两类:double-session (DS)和单一会话(SS)模块。第一个对应模块包含两个教学会议(从20点。上午十点二十分。或者晚上7:00。下午10点),第二个对应模块组成只有一个教学会话(从20点。上午9点。从早晨9:20。上午十点二十分;从晚上7:00。8:20点; or from 8:40 p.m. to 10 p.m.). Each module has strictly one class per week, meaning a regular student may be enrolled in five to 10 modules in a single shift.

一些模块可能联合类;即,来自不同的本科专业的学生可以参加同一个类,因为模块有相同的教学大纲;福尔兹和约翰逊(14)称这种做法肩扛。

机构提供了九个本科课程,不同持续时间:政府(ADM)在8个学期,法学院(法律)十学期,信息系统(正)在8个学期,教育学(PED)六个学期,六个学期的语言(LAN),旅游(石头)在七个学期,物流技术在五学期(日志),质量管理技术(必要)五个学期,和财务管理五学期(鳍)技术。

巴西的科技集团是一个新的一步对专业教育的高等教育体系。这些本科生课程技术学位授予学生想要实现就业市场的特定需求,可以迅速作为专业人员分配。“技术专家”的头衔授予完成这些课程,由巴西教育部授权。

表1显示学生的总分布在9 2011年第一学期的本科课程。

总共有17个接收器模块,模块的模块从其他本科课程教学大纲一样,有更多的学生,因此能够从其他项目”获得“学生类。这组接收机模块可以容纳总共29日联合模块,即模块匹配的教学大纲,但不能用更少的学生,因此,“接收”其他学生。所有这些融合的机构倾向于发生(如果可用)所需的物理空间。总的来说,计划2011年的第二个学期,有302模块,其中198是DS - 104是党卫军。其中,73需要的新员工,没有或不足讲师对员工有资格教他们的内容。需要进一步招聘员工由于损失从92年讲师在2011年到77年的第一学期第二学期。

在确定机构的特点和学期计划提供的模块,以下优惠需要被确定的时间表:聚合模块相同的教学大纲(肩扛),最好是尽可能多的模块分配给讲师具有较高学术头衔。后者的偏好是一个战略联盟的机构增加其教育服务的质量和教师培养研究小组。

另外两个偏好源自讲师的安排偏好:避免党卫军类色散(因此也避免差距在讲师的安排),如果有任何差距,调度模块在第一教学会话,这样教师可以早一点离开。每一个课程的总时间估计的协调员手动解决这个问题是大约两个月。

4所示。问题建模

造型开发这里只考虑规划模块提供2011年第二学期在早班晚班因为有少量的学生,因此不需要数学模型。共有77名教师被分配到302个不同的模块分布在9个本科课程。

一组可用的讲师会叫,这组的每个元素将被称为。在有教师可以教学生模块在第一和/或第二教学会话。的讲师教模块在第一教学会话形式子集,那些教第二教学会话模块组成子集。

计划模块将调用的集合,在这个集合中每个元素将被称为。在有收到和关节模块,结合在一起形成的子集和,分别。

4.1。目标函数

提出建模的目的是最大限度地增加教师的分配权重的函数或分数归因于他们每个人。这一点可以通过生成一个或多个标准;在目前的工作中,只有一个标准:使用学术头衔。这是一个通用的指标分配给讲师的好处对于一个给定的模块:得分越高,这个讲师被分配的机会就越大。演讲者应该无法在本周有一天,这一天将被处罚的负值足够大模型避免分配他以外的可用性。目标函数是由以下几点: 在哪里的元素代表所有可用的讲师,这是2011年的第二个学期。代表一周内的模块被教导,值1到5对应于周一到周五。的元素代表2011年第二学期的所有可用模块。表示一个类的类周期/讲师分配:如果分配给第一个教学会话;如果分配给第二个;那么,如果分配给两个。表示这学期在本科课程。表明学位,管理= 1,法律= 2,语言= 3,教育学= 4,旅游= 5,信息系统= 6,物流技术= 7,质量管理技术= 8,金融管理技术= 9。表明学期中的类的本科课程。是一个二元决策变量表示的讲师是分配的;分配的日子;该模块是教;教学会话;这学期课程;本科课程;和类。值1意味着分配,而0意味着它不是。这些变量被定义在这个工作作为二进制配置变量。是一个二元参数,表示一天(s)的讲师是可用的。值1表示可用性,而0表示不可用。体重或成绩归功于每个讲师吗;这个重量或分数可能是1或多个标准的结果,和它的值越高,讲师的可能性就越大被分配。

构造目标函数,这样每次讲师分配一个可用他或她的日子里,他或她与一个增量贡献点的目标函数;他的头衔是越高,这个增量是较大的。目标函数下降(点球)如果讲师分配到有一天他或她不可用(点球是一样的,不管他的标题)。

4.2。第一组的硬约束:完整性约束

第一组的约束问题是困难的类型和实施所有本科项目的时间表完成(完整性约束),也就是说,一旦计划课程学期学期定义和模块对于一个给定的日历,所有这些计划模块应该提供:

方程(2)规定,所有计划DS模块用于修饰或说明一个词从项目和类应该提供一个工作日吗由一个讲师。方程(3所有计划SS)征收相同的约束模块,必须提供在第一或第二个会话。

4.3。第二组硬约束:课程之间的碰撞

第二组的约束是硬类型和实施这两个模块的一个术语从本科课程和类不能提供在同一工作日。这个约束避免碰撞的课程。考虑

约束(4)和(5)保证任何DS模块将不会提供在同一工作日任何学生模块。约束(6)保证相同的党卫军模块将不会提供第一和第二教学会议。

4.4。第三组的硬约束:碰撞在讲师的安排

第三和最后一组约束,这也是困难的类型,对讲师,这是不可能的教不同的模块在同一时间在同一工作日。这个约束避免碰撞在讲师的安排。考虑

约束(7)和(8)确保,天的学期,一些DS模块的本科课程任何类的会教一些讲师吗以及任何学生模块。约束(9)确保2 SS模块的学期的本科课程和任何类会教一些讲师吗在同一时间。可能会增加这些另一个约束阻止讲师零负载,但这样的约束可能呈现问题是不可行的。

确保模型及其变化产生的解决方案总是可行的,必须引入一个人工制品;也就是说,一个元素被添加到完整的可用性在其进度,不能受到调度碰撞,是任何课程允许“教”。被称为雇用新讲师或HNL的元素。表2了这个人工制品:

假设五门课程必须提供在一个给定的一周,通过C05 C01贴上。表2给讲师的可用性和模块,他/她有资格教。讲师T01本周每天都可用,可以教课程C01和二氧化碳;讲师T02可用每天除了星期五和可以教课程C03 C04;讲师T03只有周一和周三,可以教课程C01和C03。元素HNL可用每个工作日,可以“教”的课程。

权向量的重量对应于这个元素应该是负面的:因为这是一个最大化模型,元素HNL应分配的最后选择,因为它使目标函数的总价值。然而,这个重量应该造成较轻的惩罚比外面讲师分配他的天的可用性,从而使它明显,如果没有可以进行调整,必须雇佣一个新讲师。

4.5。第一组的软约束

第一组的软约束或S1类别有偏好加入类不同的本科课程模块共享相同的教学大纲。对这一组,有两个或两个以上的模块共享同一讲师、教室,和时间(肩扛)是可取的。这种偏好需要添加以下项目标函数: 在哪里代表接收方课程属于子集。代表联合课程属于子集。是二进制变量的值1意味着两个课程了,值0表示。每个连接由一个二进制变量(,)对。是价值的目标函数应该增加什么时候是1。

然后,软约束如下:

约束(11)表明,当DS接收机和关节模块加入目标函数增加了单位。约束(12)和(13)表明,当党卫军接收机和关节模块(发生在同一个教学会话)加入时,目标函数是增加了单位。在所有情况下,目标函数不是增加如果不可能加入模块。

表3和4说明二进制变量的行为。

在这个例子中,一个欲望DS C01模块和C19同一天。在表3C01、课程被分配到星期二,和课程C19分配到星期四。二元变量在任何情况下不能值1,因为这将打破约束(11),因此不会增加目标函数。天没有分配,二进制变量的唯一可能的值为0。一个二进制变量情况可以把价值1见表4。

二元变量周二可能需要值0或1(因为课程C01和C19都教这一天);然而,由于目标函数最大化,这是唯一的机会这个变量值1,从而增加目标函数单位。同样的发生在党卫军关节和接收机模块。

4.6。第二组软约束

第二组的软约束或S2类别包含偏好表明讲师谁教不止一个党卫军模块可以分配这些在同一工作日。这避免了“破”天只有一个教学环节。这种偏好需要添加以下项目标函数: 在哪里代表教师教学生模块的教学会话,因此属于。代表教师教学生模块第二教学会话,因此属于。都是二进制变量表明第一教学会话和一个模块一个模块的第二教学会话分配到同一个工作日如果它的值是1;否则,它的值是0。每个连接到一个二进制变量(,)对。价值增加目标函数的值是1。

软约束如下:

约束(15)表明,当两个模块由一个讲师教在同一天,提供一个在第一,其它第二教学会议,应该增加单位的目标函数。应该不可能在同一天提供两个模块,将没有增加目标函数。表5和6说明二进制变量的行为。

在表中的示例5,一个愿望,任何模块的第一次会议第二次会议被教的另一个模块。模块在第一教学会话分配到星期二,和第二个教学模块会话分配到星期四。二元变量在任何情况下不能值1,因为这将违反约束(15),因此不会增加目标函数。天的没有分配,唯一可能的二进制变量的值是0。表6演示了一个案件二进制变量值1。

二元变量周二可以是0或1(因为模块是教在这同一天);然而,由于目标函数最大化,这是唯一的机会变量值1,从而增加目标函数单位。

4.7。第三组的软约束

或者是第三组的软约束分类表明,如果一个讲师只教一个学生模块在某一天,这个模块应该优先分配给第一个会话教学。这允许讲师避免离开大学以后。这种偏好要求以下术语被添加到目标函数: 在哪里是二进制变量,当价值1,意味着一个党卫军模块分配的教学会话;否则这些变量值0。每个二进制变量连接到一对模块从第一和第二教学会议。是价值的目标函数应该增加如果是1。

软约束如下:

约束(17)表明,当党卫军模块分配给第一个会话教学,目标函数是增加了单位。这个配置应该不可能,没有增量添加到目标函数中。表7说明了二进制变量的行为。

在表中给出的例子7,希望有一个党卫军第一教学模块分配会话。模块分配给第一个教学会议周二是唯一机会二进制变量的值为1,从而提高目标函数单位。所有其他配置违反软约束的约束(17)的二进制变量值而不是0。

5。应用一种标准模型的规划2011年第二学期

讲师评分的标准采用造型2011年第二学期是他们的学术头衔,也就是说,讲师职称越高,越有可能他是分配。讲师只有学士学位或其等效接收四分,讲师与专业化收到六分,讲座与硕士学位得到8分,讲师,博士学位获得10分。标题决定了分数就越高。处罚HNL元素和调度不可用1和10−−,分别。

使用模型解决了Microsoft Excel2010年免费插件OpenSolver(151.9版本;电脑运行窗户7,64位架构,使用2.40 GHz的四核处理器,和8 GB DDR 2内存。表8给出了定量数据详细如下:(我)二进制数分配变量表示二进制配置变量的总数。(2)的数量 二元变量表示的二进制数的第一组变量软约束。(3)的数量 二元变量表示的二进制数的第二组变量的软约束。(iv)的数量 二元变量表示二进制变量的数量第三组的软约束。(v)整型变量的总数表示整数变量的总在每一个给定的模型。(vi)第一组的硬约束显示在第一组硬约束的数量。(七)第二组的硬约束表明在第二组硬约束的数量。(八)第三组的硬约束表明硬约束的数量在第三组。(第九)第一组的软约束表明软约束在第一组的数量。(x)第二组的软约束表明软约束在第二组的数量。(十一)第三组的软约束表明软约束的数量在第三组。(十二)总数量的限制显示每个给定模型的约束的总数。(十三)权重 显示的重量()用于每个组的软约束。模型中的两个,三个,四个,体重逐渐增加到找到从一个给定组软约束的最大数量可以满足。模型二,三,四,价值100是一个足够大的重量来获得最大的约束满足。(十四)从第一组满意度的软约束表示有多少从第一组软约束满足。对于所提出的问题,有29个分组的可能性。(十五)从第二组满意度的软约束表示有多少第二组的软约束满足。每两个学生模块(模块对)分配,一个第二组约束可能会感到满意;因此,满足约束的总数变化根据发现的问题的解决方案。比较模型,结果将作为一个百分比。(十六)从第三组满意度的软约束表示有多少来自第三组软约束满足。对于每一个第二组约束满意,第三组约束之一是移除。这个数的约束也根据不同解决方案发现问题:比较模型,结果将作为一个百分比。(十七)讲师分配以外的时间表显示有多少教师,共有77个,被分配外部可用的天通知。(十八)讲师没有分配模块显示有多少讲师,77,没有分配。(十九)计算时间显示的总时间找到一个解决方案,在几秒钟内。(xx)未分配的模块数量表示有多少模块,从最初估计的73年,没有分配。

模型包含4180二进制配置变量和1176的限制。分配目标函数的值是1318;模型能够满足96.55%的软约束在第一组,第二组中85.29%的软约束,和60.00%的软约束在第三组。没有讲师仍然没有模块分配给他/她或提供可用性之外的分配计划。达成的解决方案是在261.41秒内,共有80个模块了未分配的。完整的模型使用了下列重量:第一组十软约束,100第二批软约束和软约束的第三组。这些权重选择的几个测试不同的值,显示,第二和第三的软约束组互相竞争。而第二组的约束试图分配学生模块,第三组的约束试图分配所有SS模块在第一教学会话。确保时间表尽可能一致,第二组约束应该比第三组的约束更大的权重。未分配的模块的数量仍然非常接近原始的估计; therefore, the number of new lecturers to be hired remained practically unchanged. The institution’s managers and course coordinators approved the timetable generated by the complete model, which was implemented in the second semester of 2011.

6。最后的评论

本研究达到的总体目标:建立一个数学模型,使识别的时间表,最好的满足讲师的具体需求分配机构正在研究。数据收集机构是包罗万象;主要来源是机构互联网页面,机构内部网,公文的研究,和关键人员访谈。从信息收集的数据,可以清楚地识别和分类的主要问题参与制定时间表,即使用肩扛最小化成本,安排学生模块在同一天,,在破碎的时间表的情况下,填充第一教学会话,而不是第二。文学标签这些问题或挑战软约束。文献进一步标签的另一个现有的类别作为硬约束;为了生成这些限制应该满足可行的解决方案。这个工作的案例研究走近,硬约束完全可以避免的问题,如碰撞在讲师的时间表,碰撞模块,和无法提供模块计划对于一个给定的时期。软约束被分成组和解决通过引入二进制变量。当每个二进制变量值1,软约束某些给定的集团很满意。模型的解决方案改进的软约束满足。它总是可以满足硬约束,因为人工制品被介绍给允许创建可行的时间表,即使讲师的员工没有完成;当一个模块分配给这个产物,这表明一个新的必须聘请讲师。 Once the hard and soft constraints were clearly defined, a model that allocates lecturers according to their academic title (the higher the title, the greater the possibility of allocation), minimises costs by joining classes whose modules’ syllabuses are equivalent, and meets lecturers’ scheduling preferences (generating timetables that are more practical and comfortable for these professionals) was developed. The model was accepted by the institution’s managers and by the courses’ coordinators and has been in use at the institution since the second semester of 2011. However, one can note that our approach used a case study as a basis, and because of the nature of the problem, the model cannot be fully generalised, to solve all types of problems.

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

引用

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