使用多变量地理加权回归模型误差方差 - 协方差参数估计

抽象

多元地理加权回归（MGWR）模型是地理加权回归（GWR）模型，该模型考虑到了在每个观察位置的局部帐户空间异质性和自相关误差因素的发展。该MGWR模型被假定为误差向量该分布式作为多变量通常与零向量的均值和方差 - 协方差矩阵在每个位置 ，哪一个是大小在样品 -位置。在这项研究中，估计误差方差 - 协方差参数从MGWR模型中使用最大似然估计（MLE）获得的和加权最小二乘（WLS）的方法。的WLS方法的选择是基于从一个观察位置和观察另一个位置之间的距离向量的标准偏差所测量的加权函数。此测试通过减少MGWR模型方程，使得估计的误差的方差 - 协方差参数符合的无偏的特征使用统计推断过程。这项研究也为研究者提供的统计推断过程的理解。

1.简介

在统计推断，使用GWR方法空间数据参数的估计已被许多研究者进行。根据 [1]中，GWR方法由于选择以普通最小二乘（OLS）参数估计结果，其中在OLS模型的方差误差仍然假定的弱点是固定的（同方差）和有错误之间不存在依赖关系（空间效果）在每个观察位置。空间的问题，特别是在参数估计进行了研究Cressie [2]。作者通过使用OLS和空间回归模型的最大似然估计（MLE）方法的估计器中详细讨论的空间分析。亚辛[3]提出，为了选择一个显著变量GWR逐步方法。逐步GWR方法的选择降低了几个预测变量是不响应变量显著。一种混合地理加权回归模型（MGWR）是线性回归和GWR的组合。MGWR模型具有最大似然比检验（MLRT）方法的统计检验已经由下进行1]，Cressie [2]和哈里尼等。[4]。由此推断，MLRT方法可以最大限度地得到的参数的概率值。此外，为了完成MGWR模型，该模型在推理分析，对数似然函数的一阶导数的解析解是封闭形式不可用。

哈里尼和Purhadi [五]所使用的矩阵实验室算法方法，是根据数值计算技术来解决涉及与数据库阵列和载体的制剂的数学运算问题高级语言。这种方法的优点是不存在的可变维数的限制。参照[4]，Triyanto等。[6]使用最大似然估计（MLE）方法所讨论的地理加权多元泊松回归（GWMPR）模型的参数估计。所述GWMPR用于将空间数据与被分布泊松响应变量建模。

经常出现在GWR模型的另一个问题是验证假设使用统计推断分析，因为无效的假设检验需要参数估计的几个阶段，不能在全球范围完成测试[7]。因此，R和GWR4程序可以用于检查假设检验的有效性级别。节目参数估计结果的优点是全局和局部，可以一起做。Soemartojo等。[8]分析了使用加权最小二乘（WLS）方法与高斯核权函数的GWR模型的空间异质性问题。发生的空间异质性，因为存在与其他观察是附近（最接近相邻的），以使空间效果中的一个观测之间有很强的依赖性。非平稳的通过施加一个扩展超本地GWR该过程由精梳机等检查。[9]。这种模式同时优化了每个局部回归的协变量，来决定基于大量的在每个位置数据的本地带宽规格，在每个位置选择合适的地方回归模型评估不同的带宽。

在这项研究中，我们注重形式和使用MLE和WLS方法MGWR模型的估计误差方差 - 协方差参数的性能上。本次测试使用的统计推断过程来获得满足的偏见性质的估计误差方差 - 协方差参数。

2.理论GWR

支持理论为完成本研究指地理加权回归（GWR）1]统计空间数据[2]。

3. MGWR的方法

该方法MGWR指[4]和[10]。

4.结果

所述MGWR是与已知的位置信息的多元线性模型的发展。在多变量空间线性模型，响应变量之间的关系和预测变量在the-位置由下式给出

在MGWR模型中使用的假设是错误矢量与零个矢量的均值和方差 - 协方差矩阵的多变量正态分布在每个位置 ，其尺寸是在the-样本位置。

从公式（2），方差 - 协方差误差的估计矩阵参数 在使用MLE和WLS方法每个研究位置是观察。为了得到方差 - 协方差矩阵参数的估计 ，参数估计在一个确定the-位置 如下：

在该位置的矢量误差 可以表述为如下：

哪里与顺序的矩阵身份和是对称矩阵尺寸 ，

关于MGWR模型的本地字符（3），误差平方的总和和误差方差 - 协方差的估计的参数可以被确定。

命题1。如果的位置 该MGWR模型 ，然后可确定和期望值 。

证明。为了得到从在所述位置处使用平方（4）MGWR模型 是：

哪里

和方差误差

根据（8），则（6）可被描述如下：

从公式（9），我们可以发现预期值 如下：

以来 ，那么我们有 同

命题2。如果估计的参数方差 - 协方差MGWR模型在the-错误位置是 和 ，那么我们就可以判断和预期值在每个位置 数学。

证明。首先，在the-方差 - 协方差错误位置如下所示：

此外， 使用（9），我们得到搜索

哪里是一个明确的和对称的半正定矩阵同 。然后我们有

定理1。如果由命题给出1和方差的估计 由命题给出2中，MGWR模型的估计方差 - 协方差误差给出如下：

证明。从公式（1）所述MGWR模式，

为了确定在每个位置 ，它可以使用公式（接洽五）

和

基于命题1和2，估计参数方差 - 协方差误差矩阵的用于MGWR模型的定理确定。

定理2。如果 满足命题1和 满足命题2中，估计的参数的方差 - 协方差误差MGWR模型的矩阵 和 。

证明。基于命题1和2从MGWR模型的估计误差方差 - 协方差的参数是：

和

通过使用矩阵的特性 ， ，和 可以被确定为满足无偏的。

定理3。如果 是一个无偏估计 ，然后 ，和 可以被确定为满足无偏的。

证明。 并以同样的方式，我们得到 哪里 并且是 对于无偏误差方差 - 协方差矩阵的估计 和

通过使用定理3中，从方差 - 协方差误差矩阵得到的无偏估计 在the-位置，如下所示：

由于方差 - 协方差误差矩阵 满足偏见的性质，然后在其他地方以同样的方式，这也符合公正的本质。在数学上，方差 - 协方差矩阵的参数估计在位置 可以表述为如下：

因此，事实证明，如果 作为方差 - 协方差误差矩阵的无偏估计 ，然后 也方差 - 协方差误差矩阵的无偏估计 。

五，结论

该研究的结论是，使用MLE和WLS方法MGWR模型是合适的，以获得所估计的误差的方差 - 协方差参数。结果证明， 是方差 - 协方差误差矩阵的无偏估计 。以来 是无偏估计，然后 也方差 - 协方差误差矩阵的无偏估计 在所有地点。

数据可用性

作者宣称，所有的数据是原始的，并且没有其他人发布的数据。

利益冲突

作者宣称没有关于这篇文章的出版利益冲突。

致谢

我们想表达我们诚挚的感谢研究小组局，伊斯兰高等教育（Dirjen DIKTIS）总局的社区发展和科学出版物为这项研究2018年研究和社区服务机构提供资金，提供资金支持本出版物。

参考

1. A. Fotheringham，C. Brunsdon，和M.查尔顿地理加权回归，John Wiley和Sons，英国，2002年。
2. N. Cressie，对空间数据统计，John Wiley和Sons，NY，USA，第2版，2015年。
3. H.亚辛，“在地理加权回归模型变量的选择，”媒体Statistika卷。4，没有。2，第63-72，2011。查看在：出版商网站|谷歌学术
4. S.哈里尼，M. M. Purhadi和S. Sunaryo，“用于使用最大似然比检验的方法多元地理加权回归模型统计检验，”国际期刊应用数学与统计卷。29，没有。5，第110-115，2012。查看在：谷歌学术
5. S.哈里尼和Purhadi，在“利用矩阵实验室，多元地理加权回归模型的参数估计”国际会议统计在科学，商业和工程（ICSSBE），IEEE，兰卡威，马来西亚，2012。查看在：出版商网站|谷歌学术
6. P. Triyanto，W. O.班邦和W. P.桑蒂，“地理weigthed多元泊松回归的参数估计，”应用数学科学卷。9，没有。82，第4081-4093，2015。查看在：出版商网站|谷歌学术
7. N. E. Syerrina，“地理加权回归统计分析，”在IOP会议系列：地球与环境科学卷。169页。012105，眼压，马来西亚，2018。查看在：谷歌学术
8. S. Soemartojo，R. Ghaisani，T. Siswantining和R. M.流星，“使用最小平方加权地理加权回归（GWR）模型参数估计及其应用，”AIP会议文集，2018。查看在：谷歌学术
9. A.精梳机，Y.王，和Y LUY。兴昌，“超本地地理加权回归：通过本地模型选择延伸GWR，”杂志空间信息科学的卷。17，第63-84，2018。查看在：谷歌学术
10. S.哈里尼，M. M. Purhadi和S. Sunaryo，“使用受限的最大似然的空间多元线性模型参数估计器，”数学杂志与技术，第56-61，2010。查看在：谷歌学术

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