4所示。结果
MGWR的发展是一个多元线性模型与已知位置信息。在多元空间线性模型中,响应变量之间的关系
Y
1
,
Y
2
,
…
,
Y
问
和预测变量
X
1
,
X
2
,
…
,
X
p
在- - - - - -
我
t
h
位置是由
(1)
Y
h
我
=
β
h
0
u
我
,
v
我
+
β
h
1
u
我
,
v
我
X
1
我
+
β
h
2
u
我
,
v
我
X
2
我
+
…
+
β
h
p
u
我
,
v
我
X
p
我
+
ε
h
我
,
h
=
1
,
2
,
…
,
问
和
我
=
1
,
2
,
…
,
n
。
中使用的假设MGWR模型误差向量
ε
与零向量与多元正态分布均值和variance-covariance矩阵
Σ
在每个位置
u
我
,
v
我
,它的大小
Σ
是
问
x
问
为样品
我
t
h
的位置。
(2)
Σ
u
我
,
v
我
=
σ
1
2
u
我
,
v
我
σ
12
u
我
,
v
我
⋯
σ
1
问
u
我
,
v
我
σ
2
2
u
我
,
v
我
⋯
σ
2
问
u
我
,
v
我
⋱
⋮
σ
问
2
u
我
,
v
我
。
从方程(
2),variance-covariance误差矩阵的估计参数
Σ
^
u
我
,
v
我
观察到在每个位置使用初速和WLS方法研究。variance-covariance矩阵参数的估计
Σ
^
u
我
,
v
我
,确定了参数估计的-
j
t
h
位置
σ
h
2
u
j
,
v
j
如下:
(3)
σ
^
h
2
u
j
,
v
j
=
∑
我
=
1
n
w
我
j
u
j
,
v
j
Y
h
我
- - - - - -
β
^
h
0
u
j
,
v
j
+
∑
k
=
1
p
β
^
h
k
u
j
,
v
j
X
k
我
2
n
=
Y
∼
h
- - - - - -
X
β
∼
^
h
u
j
,
v
j
T
W
u
j
,
v
j
Y
∼
h
- - - - - -
X
β
∼
^
h
u
j
,
v
j
n
=
年代
年代
E
u
j
,
v
j
n
。
向量误差的位置
u
我
,
v
我
可以表示如下:
(4)
e
∼
h
=
Y
∼
h
- - - - - -
Y
∼
^
h
=
我
- - - - - -
年代
Y
∼
h
,
在哪里
我
矩阵身份与订单吗
n
和
年代
对称矩阵大小的吗
n
×
n
,
(5)
⋅
年代
n
×
n
=
X
∼
1
T
X
T
W
u
1
,
v
1
X
−
1
X
T
W
u
1
,
v
1
X
∼
2
T
X
T
W
u
2
,
v
2
X
−
1
X
T
W
u
2
,
v
2
⋮
X
∼
n
T
X
T
W
u
n
,
v
n
X
−
1
X
T
W
u
n
,
v
n
。
地方特色的MGWR模型(3)平方误差的总和
年代
年代
E
和错误的估计参数variance-covariance可以确定。
命题1。
如果
年代
年代
E
的位置
u
j
,
v
j
MGWR模型
e
∼
T
u
j
,
v
j
e
∼
u
j
,
v
j
,那么它可以确定
年代
年代
E
h
和预期价值
年代
年代
E
h
。
证明。
得到
年代
年代
E
从使用平方MGWR模型(4)位置
u
j
,
v
j
是:
(6)
年代
年代
E
=
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
e
∼
h
u
j
,
v
j
=
我
−
年代
Y
∼
h
T
我
−
年代
Y
∼
h
=
Y
∼
h
T
我
−
年代
T
我
−
年代
Y
∼
h
,
在哪里
(7)
E
e
∼
h
u
j
,
v
j
=
E
Y
∼
h
- - - - - -
Y
∼
^
h
=
X
T
β
∼
u
j
,
v
j
- - - - - -
X
T
β
∼
^
u
j
,
v
j
=
0
,
和方差误差
(8)
V
一个
r
e
∼
h
u
j
,
v
j
=
E
e
∼
h
u
j
,
v
j
−
E
e
∼
h
u
j
,
v
j
e
∼
h
u
j
,
v
j
−
E
e
∼
h
u
j
,
v
j
T
=
E
e
∼
h
u
j
,
v
j
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
=
σ
h
2
u
j
,
v
j
。
基于(8),然后(6)可以描述如下:
(9)
年代
年代
E
h
u
j
,
v
j
=
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
e
∼
h
u
j
,
v
j
=
e
∼
u
j
,
v
j
−
E
e
∼
u
j
,
v
j
T
e
∼
u
j
,
v
j
−
E
e
∼
u
j
,
v
j
=
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
我
−
年代
T
我
−
年代
e
∼
h
u
j
,
v
j
。
从方程(
9),我们可以找到的期望值
年代
年代
E
h
u
j
,
v
j
如下:
(10)
E
年代
年代
E
h
u
j
,
v
j
=
E
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
我
−
年代
T
我
−
年代
e
∼
h
u
j
,
v
j
=
E
t
r
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
我
−
年代
T
我
−
年代
e
∼
h
u
j
,
v
j
=
t
r
我
−
年代
T
我
−
年代
E
e
∼
h
u
j
,
v
j
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
=
n
−
2
t
r
年代
+
t
r
年代
T
年代
σ
h
2
u
j
,
v
j
=
r
1
σ
h
2
u
j
,
v
j
。
自
E
年代
年代
E
h
u
j
,
v
j
=
r
1
σ
h
2
u
j
,
v
j
,那么我们就有
r
1
=
1
/
σ
h
2
u
j
,
v
j
E
年代
年代
E
h
u
j
,
v
j
与
r
1
=
t
r
我
−
年代
T
我
−
年代
。
命题2。
如果错误的估计参数variance-covariance MGWR模型-
j
t
h
位置是
σ
^
h
h
∗
u
j
,
v
j
=
E
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
e
∼
h
∗
u
j
,
v
j
和
σ
^
h
2
u
j
,
v
j
=
σ
^
h
h
∗
u
j
,
v
j
,那么我们可以确定
年代
年代
E
h
E
h
∗
和预期的价值
年代
年代
E
h
E
h
∗
在每个位置
u
j
,
v
j
在数学上。
证明。
首先,variance-covariance——错误
我
t
h
位置如下所示:
(11)
σ
^
h
2
u
j
,
v
j
=
σ
^
h
h
∗
u
j
,
v
j
V
一个
r
e
∼
h
u
j
,
v
j
,
e
∼
h
u
j
,
v
j
=
E
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
e
∼
h
∗
u
j
,
v
j
σ
^
h
2
u
j
,
v
j
=
E
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
e
∼
h
u
j
,
v
j
−
E
e
∼
h
u
j
,
v
j
T
E
e
∼
h
u
j
,
v
j
=
E
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
e
∼
h
u
j
,
v
j
=
σ
^
h
h
∗
u
j
,
v
j
。
此外,
年代
年代
E
h
E
h
∗
u
j
,
v
j
搜索使用(9),我们获得
(12)
年代
年代
E
h
E
h
∗
u
j
,
v
j
=
e
∼
h
u
j
,
v
j
−
E
e
∼
h
u
j
,
v
j
T
e
∼
h
∗
u
j
,
v
j
−
E
e
∼
h
∗
u
j
,
v
j
=
我
−
年代
Y
∼
h
−
E
我
−
年代
Y
∼
h
T
我
−
年代
Y
∼
h
∗
−
E
我
−
年代
Y
∼
h
∗
=
Y
∼
h
−
E
Y
∼
h
T
我
−
年代
T
我
−
年代
Y
∼
h
∗
−
E
Y
∼
h
∗
=
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
我
−
年代
T
我
−
年代
e
∼
h
∗
u
j
,
v
j
,
在哪里
我
−
年代
T
我
−
年代
是一个明确的和对称的半定矩阵
n
×
n
与
ε
∼
h
u
j
,
v
j
∼
N
0
,
σ
h
h
∗
u
j
,
v
j
。然后我们有
(13)
E
年代
年代
E
h
E
h
∗
u
j
,
v
j
=
E
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
我
−
年代
T
我
−
年代
e
∼
h
∗
u
j
,
v
j
=
E
t
r
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
我
−
年代
T
我
−
年代
e
∼
h
∗
u
j
,
v
j
=
t
r
我
−
年代
T
我
−
年代
E
e
∼
h
∗
u
j
,
v
j
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
=
t
r
我
−
年代
T
我
−
年代
σ
h
h
∗
u
j
,
v
j
。
定理1。
如果
年代
年代
E
h
是由命题
1和方差的估计
σ
^
h
2
u
j
,
v
j
是由命题
2的错误估计variance-covariance MGWR模型如下:
(14)
σ
^
h
h
∗
u
j
,
v
j
=
Y
∼
h
- - - - - -
X
β
∼
^
h
u
j
,
v
j
T
W
u
j
,
v
j
Y
∼
h
∗
- - - - - -
X
β
∼
^
h
∗
u
j
,
v
j
n
=
年代
年代
E
h
E
h
∗
u
j
,
v
j
n
。
证明。
从方程(
1)MGWR模型,
(15)
Y
h
我
=
β
h
0
u
我
,
v
我
+
∑
k
=
1
p
β
h
k
u
我
,
v
我
X
k
我
+
ε
h
我
。
来确定
年代
年代
E
h
E
h
∗
在每个位置
u
j
,
v
j
,它可以使用方程(
5),
(16)
ε
∼
h
W
u
j
,
v
j
ε
∼
h
=
Y
∼
h
- - - - - -
X
β
∼
h
u
j
,
v
j
T
W
u
j
,
v
j
Y
∼
h
- - - - - -
X
β
∼
h
u
j
,
v
j
E
ε
∼
h
W
u
j
,
v
j
ε
∼
h
=
E
Y
∼
h
- - - - - -
X
β
∼
h
u
j
,
v
j
T
W
u
j
,
v
j
Y
∼
h
- - - - - -
X
β
∼
h
u
j
,
v
j
年代
年代
E
h
E
h
∗
u
j
,
v
j
=
Y
∼
h
- - - - - -
X
β
∼
h
u
j
,
v
j
T
W
u
j
,
v
j
Y
∼
h
∗
- - - - - -
X
β
∼
h
∗
u
j
,
v
j
,
和
(17)
σ
h
h
∗
u
j
,
v
j
=
年代
年代
E
h
E
h
∗
u
j
,
v
j
n
。
基于命题
1和
2,估计参数variance-covariance误差矩阵的定理MGWR模型确定。
定理2。
如果
E
年代
年代
E
h
u
j
,
v
j
满足命题
1和
E
年代
年代
E
h
E
h
∗
u
j
,
v
j
满足命题
2,估计参数variance-covariance MGWR模型的误差矩阵
σ
^
h
h
∗
u
j
,
v
j
=
年代
年代
E
h
E
h
∗
u
j
,
v
j
/
t
r
我
−
年代
T
我
−
年代
和
E
σ
^
h
h
∗
u
j
,
v
j
=
σ
h
h
∗
u
j
,
v
j
。
证明。
基于命题
1和
2,从MGWR variance-covariance参数估计误差模型是:
(18)
V
一个
r
e
∼
h
u
j
,
v
j
,
e
∼
h
u
j
,
v
j
=
E
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
e
∼
h
u
j
,
v
j
σ
^
h
2
u
j
,
v
j
=
E
e
∼
h
T
u
j
,
v
j
e
∼
h
∗
u
j
,
v
j
σ
h
2
u
j
,
v
j
=
年代
年代
E
h
u
j
,
v
j
n
−
2
t
r
年代
+
t
r
年代
T
年代
,
和
σ
^
h
h
∗
u
j
,
v
j
=
年代
年代
E
h
E
h
∗
u
j
,
v
j
/
n
−
2
t
r
年代
+
t
r
年代
T
年代
。
通过使用矩阵的特点
我
−
年代
T
我
−
年代
,
E
σ
^
h
2
u
j
,
v
j
,
E
σ
^
h
h
∗
u
j
,
v
j
可以确定满足无偏。
定理3。
如果
σ
^
h
h
∗
u
j
,
v
j
=
年代
年代
E
h
E
h
∗
u
j
,
v
j
/
t
r
我
−
年代
T
我
−
年代
是一个无偏估计量
σ
h
h
∗
u
j
,
v
j
,然后
E
σ
^
h
2
u
j
,
v
j
,
E
σ
^
h
h
∗
u
j
,
v
j
可以确定满足无偏。
证明。
(19)
E
σ
^
h
2
u
j
,
v
j
=
E
年代
年代
E
h
u
j
,
v
j
t
r
我
−
年代
T
我
−
年代
=
1
t
r
我
−
年代
T
我
−
年代
E
年代
年代
E
h
u
j
,
v
j
=
1
t
r
我
−
年代
T
我
−
年代
t
r
我
−
年代
T
我
−
年代
σ
h
2
u
j
,
v
j
=
σ
h
2
u
j
,
v
j
,
在同样的方式,我们获得
(20)
E
σ
^
h
h
∗
u
j
,
v
j
=
E
年代
年代
E
h
E
h
∗
u
j
,
v
j
t
r
我
−
年代
T
我
−
年代
=
σ
h
h
∗
u
j
,
v
j
,
在哪里
σ
^
h
2
u
j
,
v
j
,是
σ
^
h
h
∗
u
j
,
v
j
无偏的估计错误variance-covariance矩阵
σ
h
2
u
j
,
v
j
和
σ
h
h
∗
u
j
,
v
j
。
通过使用定理
3,从variance-covariance获得无偏估计误差矩阵
Σ
u
j
,
v
j
在- - - - - -
j
t
h
位置如下:
(21)
Σ
^
u
j
,
v
j
=
σ
^
1
2
u
j
,
v
j
σ
^
12
u
j
,
v
j
⋯
σ
^
1
问
u
j
,
v
j
σ
^
2
2
u
j
,
v
j
⋯
σ
^
2
问
u
j
,
v
j
年代
我
米
e
t
r
我
年代
⋱
⋮
σ
^
问
2
u
j
,
v
j
。
自从variance-covariance误差矩阵
Σ
u
j
,
v
j
满足无偏特性,然后以同样的方式在其他地方,它也满足无偏性。在数学上,variance-covariance矩阵参数的估计
Σ
在的位置
u
我
,
v
我
可以表示如下:
(22)
Σ
^
u
我
,
v
我
=
σ
^
1
2
u
我
,
v
我
σ
^
12
u
我
,
v
我
⋯
σ
^
1
问
u
我
,
v
我
σ
^
2
2
u
我
,
v
我
⋯
σ
^
2
问
u
我
,
v
我
年代
我
米
e
t
r
我
年代
⋱
⋮
σ
^
问
2
u
我
,
v
我
。
因此,它是证明,如果
Σ
^
u
j
,
v
j
作为variance-covariance误差的无偏估计的矩阵
Σ
u
j
,
v
j
,然后
Σ
^
u
我
,
v
我
也是一个无偏估计的variance-covariance误差矩阵
Σ
u
我
,
v
我
。