文摘
我们提出一个三步块亚当的类型的方法解决非线性二阶两点边值问题的边界条件类型和诺伊曼直接类型。我们也扩展这个方法来解决系统的二阶边值问题有相同或不同的两个边界条件。实现的方法将预测校正模式,获得近似解在三个点同时使用可变步长策略。该块方法将与多个改编拍摄技术通过三步迭代方法。边值问题将得到解决而不降低一阶方程。并给出了数值结果证明了该方法的有效性。
1。介绍
边值问题(BVPs)出现在应用数学的许多领域,例如,应用化学反应器理论(1]和Bratu-type问题[2]。最近有许多方法解决BVPs如Adomian分解方法,变分迭代法、同伦摄动方法,修改同伦摄动方法。Adomian分解法和变分迭代法是由辛格和库马尔3陆]和[4),分别。同伦摄动方法,介绍了Saadatmandi et al。5)解决二阶BVPs Adomian相比有更少的迭代分解方法。Asadi et al。6)扩展了修改后的同伦摄动方法解决非线性系统的二阶BVPs。修改了五次b样条搭配方法朗和徐7解决二阶BVPs]。斯利瓦斯塔瓦等。8)开发了一种数值算法基于nonpolynomial五次样条函数的解二阶BVPs与工程应用,而Ibraheem和Khalaf) (9)提出了一种神经网络算法求解BVPs开枪。拉赫曼et al。10)数值求解二阶BVPs由伽辽金方法。提出了智能非标准的有限差分格式由埃尔多安和Ozis [11)求解二阶非线性BVPs。除此之外,刘等人。12)解决BVPs诺伊曼类型使用样条多项式的方法。本研究的目的是提出一个三步块方法解决BVPs直接与可变步长策略使用多个射击技术。
摘要组织如下。节2,我们提出三步块的推导方法。节3,我们将展示的分析方法包括订单、一致性和稳定性。节4我们展示的实现多个射击技术。中给出的数值结果和讨论部分5。最后,给出一个结论部分6。
2。三步块方法的推导过程
一般两点二阶BVP和二阶BVP受制于制度两种狄利克雷的边界条件类型和诺伊曼类型由三步块直接将解决方法。该方法的扩展块方法提出的Majid et al。13)使用的方法来解决二阶常微分方程。
两点的二阶边值问题如下: 狄利克雷边界条件: 诺伊曼边界条件:类型1: 类型2: 两点二阶边值问题的系统: Dirichlet-Dirichlet边界条件: Neumann-Dirichlet边界条件: 我们已经把时间间隔为一系列块,每个块包含三个点,如图1,在那里步长和吗步长之比。三个近似解,,,同时使用相同的计算值通过集成(1一次,两次间隔,,,分别。考虑 替换的方法推导出函数在(8)与拉格朗日插值多项式,五个插值点,并将使用可变步长策略实现的。下一步的选择大小将限制一半,翻倍,或当前步骤一样大小。当下一步规模翻倍,比例0.5步长保持不变,是1。如果一步失败,当前步长是上一步大小和比例的一半是2。那么块的近似解将重新计算。的校正公式如下:
3所示。的分析方法
在本节中,我们将讨论的顺序、一致性、稳定性和收敛性的三步亚当的方法。三步亚当的方法属于类线性多步方法(LMM):
3.1。订单的方法
定义1 (Fatunla [14和兰伯特15])。的线性多步方法据说是秩序如果
在哪里,
在哪里是误差常数。
重写(9)(10),4矩阵形式:
从定义1,我们获得
因此,三步亚当的方法是5的顺序;与误差常数。
3.2。方法的一致性
定义2(兰伯特(15])。线性多步方法是一致的,如果有订单。
自从三步亚当的方法因此,根据定义的方法是一致的2。
3.3。稳定的方法
定义3(兰伯特(15])。一个线性多步方法zero-stable提供了根基,的第一个特征多项式指定为满足对于那些根多样性不得超过两个。
重写(9)以矩阵形式如下:
从(15),第一个特征多项式,,在那里
根据定义3,三步zero-stable亚当的方法。
3.4。收敛性的方法
定义4(兰伯特(15])。线性多步方法收敛当且仅当它和zero-stable是一致的。
方法的一致性和zero-stable以来建立,然后三步亚当的方法是收敛的。
4所示。的实现方法
亚当的三步块方法的类型(3山姆)将实现求解边值问题通过多种射击技术。拍摄技术形成的想法猜测的初始条件与边界条件的价值。多重射击技术确实是一些拍摄技术的组合除以给定的时间间隔成子区间。狄利克雷边界条件,初始条件的下落。方程(1)和(2)可以写成 与初始条件 因此,我们获得的th停止条件 重复迭代,直到我们达到停止条件的价值将生成的三步迭代方法如下: 详细的三步迭代法可以提到在云16]。
失踪的诺伊曼边界条件的初始条件因此,第一个初始条件,。停止条件和三步迭代法实现的价值。
5。数值结果
在本节中,四个问题测试研究的准确性和开发代码的效率。该方法得到的结果比现有的方法。表中使用以下符号:3山姆:三步亚当的变步长方法通过多种射击技术适应三步迭代法;2 p1bvs:两点块方法提出的可变步长Phang et al。17];bvp4c: MATLAB求解Kierzenka和Shampine[提出的18];MLAM:多级陈提出的增强方法19];COLHW:搭配方法和提出的Haar小波Siraj-ul-Islam et al。20.];SCM: sinc-collocation方法提出的默罕默德(21];LRBFM:局部径向基函数方法提出的迈赫迪和艾哈迈德22];托尔:宽容;TS:总数的步骤;MAXE:最大误差;交通:总函数调用;时间:执行时间以秒为单位;RELTOL:公差使用测量误差相对bvp4c使用;由bvp4c ABSTOL:绝对误差公差使用;议员:总网点bvp4c使用;-:没有数据的引用; :。
问题1(非线性狄利克雷边界值问题)。考虑
狄利克雷边界条件:,;具体解决方案:;(来源:陈19]。
问题2(非线性诺伊曼边界值问题)。考虑
诺伊曼边界条件: 具体解决方案:;来源:Siraj-ul-Islam et al。20.]。
问题3(边值问题的非线性系统)。考虑
两个狄利克雷边界条件: 具体解决方案:,;来源:迈赫迪和艾哈迈德22]。
问题4(边值问题的非线性系统)。上面的方程管理自由对流边界层流动加热不透水表面水平
混合边界条件:
来源:叫法和张23]。
问题1- - - - - -3解决3山姆与公差吗,,,,。在问题1,我们解决了边值问题的狄利克雷边界条件类型3山姆和比较我们的结果与2 p1bvs MLAM, bvp4c。在问题23山姆解决边值问题的诺伊曼边界条件类型和结果2 p1bvs相比,COLHW, bvp4c。在问题33山姆解决边值问题的系统受到两个边界条件和比较我们的结果SCM和LRBFM。3山姆,2 p1bvs, bvp4c由可变步长策略和实现控制的公差而MLAM和COLHW使用恒定的步长。
表1- - - - - -3显示解决问题的数值结果的比较1- - - - - -3。我们已经观察到的精度3萨姆是更好的步骤的总数是增加所有问题测试。首先,我们将讨论块方法(3山姆和2 p1bvs)中实现可变步长策略。步骤的总数和总函数调用由3山姆小于2 p1bvs在所有问题测试;这预计因为3山姆可以获得解决方案在三个点同时2 p1bvs同时获得两个点每一步。我们也注意到,最大误差为2 p1bvs相当于或优于3 3山姆山姆但精度仍在公差内。这是因为3山姆的总步长小于2 p1bvs因此使用的步长3山姆大于2 p1bvs。例如,在表中13山姆的最大误差4步骤和2 p1bvs的最大误差有11个步骤。
接下来我们讨论3山姆和bvp4c之间的比较。bvp4c MATLAB求解程序,使用搭配公式和网格点划分融入小区间的间隔。如果解决方案不满足公差,解算器适应网格和重复的过程。在问题1- - - - - -2,我们选择初始网格点15。整个函数调用由3山姆小于bvp4c所有问题测试。我们也注意到,最大误差为3山姆相当于或优于bvp4c公差时大。宽容越来越小,准确性bvp4c相当于或优于3 3山姆山姆但精度仍在公差内。例如,在表中23山姆的最大误差与341年总函数调用和bvp4c的最大误差与2745年总函数调用。3山姆的准确性仍在宽容和bvp4c和3山姆相比更便宜的总函数调用和执行时间。
最后我们讨论比较3山姆使用固定步长实现的方法。采取步骤3山姆的总数小于MLAM, COLHW, SCM, LRBFM。这预计,因为3山姆是使用可变步长策略而MLAM COLHW, SCM, LRBFM使用恒定的步长。我们注意到宽容是越来越小,3山姆取得更好的准确性与MLAM相比,COLHW, SCM, LRBFM。例如,在表中33山姆的最大误差与7步骤,SCM取得了最大误差30步骤和LRBFM取得了最大误差61步。我们也注意到,3山姆优势比MLAM的执行时间。
在问题43山姆解决边值问题的系统主题Neumann-Dirichlet类型边界条件是一个免费的对流边界层流动的多孔介质上加热水平不透水表面或低于水平不透水表面,冷却壁的温度是一个权力距离原点的函数。数据2- - - - - -3显示值的近似解和对于选定的值在解决问题4。
6。结论
在本文中,我们表明,提出的三步块亚当的类型的方法使用可变步长与多个射击技术适用于解决非线性二阶两点边值问题的边界条件类型,诺伊曼类型和混合类型的边界条件。数值结果表明,该块方法优越性的准确性,函数调用,总总步骤,执行时间。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者欣然承认金融支持基础研究资助计划(02 - 01 - 13 - 1157 - fr),从马来西亚教育部MyPhD奖学金。