参数对四斜弹簧悬架系统设计的影响

摘要

本文介绍了由四个线性弹簧组成的悬架系统的基本静态和动态特性X- 实现几何非线性的配置。特别兴趣的是朝向在大偏转中实现的软化弹簧几何形状，并研究了系统参数的影响。在频率响应曲线方面，在力偏转曲线和动态性能方面研究了静态性能。悬架的软化 - 硬化行为导致频率响应，该频率响应弯曲到达到透明定义的最小频率的较低频率。结果发现，静态和动态行为都可以根据单个参数描述，并且确定简单的闭合表达式表达，该表达式将阻尼链接到激励幅度以实现最低可能的谐振频率。

1.介绍

由于对提高机械系统和结构性能的需求不断增长，最近促使研究工作转向利用非线性效应，而不是避免它们[1那2］.最近已经对此目的进行了调查的新解决方案和创新设计，特别是在非线性动力学和振动控制领域[3.那4.］.已采用数学方法来研究非线性振子的动力学行为，特别强调规定的刚度非线性函数[5.那6.]并阻尼[7.那8.］.

在从振动中获取能量的领域中报道了非线性可以引入机械系统的好处的实际应用[9.[振动吸收剂[10休克隔离器[11、隔振器[12]和用于潜在能量增加的弹性系统[13］.在一些情况下，具有准零刚度（QZS）特征的非线性刚度元件[2那6.那8.那12那13，以满足限制静态挠度的高静刚度和改善动态性能的低动刚度的竞争要求。具有硬化行为的立方刚度特性已被普遍报道，一个实际的机械实现由一对垂直于运动方向的线性弹簧组成，随着振荡器的运动而倾斜[2］.硬化型的全局非线性行为在平衡配置处确保稳定性，其中通常需要QZS效果，并且通过将弹性元件与正刚度与正刚度相结合而获得该特性。专用使用主导的软化刚度效应，其也可以通过使用布置成有吸引力配置的磁体来实现[14]，具有最终导致双稳态或快照行为的潜在缺点[2那15]对于大型位移甚至不稳定性，在某些情况下可能是不希望的或不利的。

在本文中，通过简单地将线性弹簧布置在一个X形状的机械结构，在大挠度下实现准零刚度效应。根据[16]一系列研究作品最近讨论了开发创新振动隔离器的开发[17-19[据信，这些特征可能对其他应用感兴趣，因此在本文中进一步研究。

尊重[16，本文提出了一种更吸引人的工程构型，该构型为基激发态，且考虑了重力对静态平衡的影响。这又涉及到引入更多的设计参数，可以利用这些参数对所需的应用程序进行更好的调优。因此，本论文的贡献是向系统的实际设计迈进了一步。对系统的关键参数进行了更深层次的理论分析。通过对频率响应的研究，揭示了激励幅值与系统阻尼之间简单而有趣的关系。本文中提出的解析和数值分析使对系统非线性特性的基本理解成为可能，支持具有前瞻性的开创性应用，这些应用可能对工程界的振动控制问题具有潜在的吸引力[20.］.

2.力偏转特性

在这项工作中考虑的系统模型如图所示1（a），它由质量组成米由两对线性弹簧悬挂在一个套管内，以斜几何形状排列。顶部(底部)的一对弹簧具有刚度k₁（k₂)，弹簧布置的几何形状由尺寸确定一种和B.，如图所示。通过强制的位移在其基部（壳体）处兴奋y，如图所示1（b），这样悬浮的物体就可以在它的外壳内振荡。一个粘性阻尼器C是作为一般耗散项引入的，这是一个实际的假设，最近在类似悬架结构上的一些实验工作证实了这一假设[17-19］.质量与套管之间的相对位移表示为z，以便当z=0.the mass is located at the centre of the casing. The system is subject to the acceleration of gravity 那向下的，如图所示。由于对称性，质量振荡被假定为限于垂直方向，当质量移动时，弹簧旋转改变其长度。人们认为z_0.是否如图中突出显示的那样，在装配时实现了初始位移1（a）．

２.１.一般特征

批量位移之间的关系z和应用的静力弹性恢复力F_年代是（谁）给的 在哪里σ₁（σ₂)是一个自然长度因素，它决定了顶部(底部)弹簧相对于其相应的自然长度以张力或压缩方式组装。后者是作为每个弹簧附件之间的几何距离z=z_0.．当弹簧组装在张力（压缩）上时，弹簧自然长度因子较小（更大），并且当弹簧在组装时不变形时，它等于1。

方程(1）可以方便地以非潜力形式重写为 在哪里 那 那 那 那 那和 ．

方程(2）是一种非潜能的高度非线性函数 那其参数极大地影响力 - 位移特性的形状。作为力偏转曲线可以假设的不同形状的定性指示，等式（2)为系统参数的不同值绘制在图中2（一种）-2(f)，表示范围内的位移值 ．在所有子区域中，实线对应于这种情况 那例如，在没有重力的情况下，顶部的弹簧是水平的，所有的弹簧都具有相同的刚度，套管的宽度和高度相同。如每个子图所示，虚线和虚线表示其中一个参数的变化。

从图2(a)，可以看出为刚度比增加，即，与底部的那些相比，顶部的弹簧变得更加硬，这会产生更多对称的行为，用于零周围的位移值。在图中观察到类似的定性趋势2（b）（图2(c)时自然长度因子（)增加(减少)，因为这些因素对相应刚度的变化有加强作用。如图所示2(d)降低纵横比的效果决定了当弹簧倾向于向垂直方向旋转时非线性效应的增加。初始挠度的影响是基本上以非线性方式沿水平轴线地沿着水平轴线转变力偏转曲线，如图所示2（e），虽然不统计重量的影响是将力-挠度曲线垂直移动，如图2（F）。

虽然上述分析是基于对图的简单观察而进行的2，并不是详尽无遗的，需要一个更高级的敏感性研究来进行更深入的调查，Figure2基本说明了力-挠度曲线形状的定性变化，因为每个参数都是相对于给定的参考结构而变化的。

２.２.对称的特点

事实上，本文的实际目标是考虑这种静态力-挠度曲线的特定形状，这激发了前一节进行的定性分析。特别地，我们的兴趣是关于系统在静态平衡构型周围具有对称行为的情况，并且静态平衡构型是在z= 0。当力-挠度曲线是无因次位移的奇函数时，就可以实现这种特性。要施加这个条件，方程(2)展开为泰勒级数围绕z=0.那和the zero- and second-order coefficients are set to zero yielding

方程(3.)和(4.）在刚度比方面得到解决和自然长度因子得到系统参数之间的简单关系如下: 可代回方程(2)，得到如下的静力表达式:

方程(7.）仅取决于纵横比 那无量纲的重量 那自然长度因子 那以及初始挠度 那用图表表示3.（一种）-3.（d）对于这四个系统参数的不同组合。特别是，所有子配置中的实线代表了这种情况 ．

从图3.，可以看出，力-挠度曲线是对称的，大挠度时具有普遍的软化效应。作为自然长度因子增加，如图所示3.(a)，力-挠度曲线在大挠度时呈现准零刚度特性，最终导致潜在失稳(负刚度)。长宽比的影响在图中见过3.(b)，与图中所示相似3.（一种）。的效果图中示出了3.（c），可以看出，曲线相对于的曲线是对称的 ．增加的影响在图中见过3.（d）并具有相反的效果对参数的增加和在图中3.（a）和3.分别(b)。

2.3。QZS行为的对称特征

为了进一步降低系统的复杂性和独立参数的数量，决定研究在大挠度(大约)下产生QZS行为的特定条件 )，接着是僵硬度的增加。这种情况将保证质量振动具有全局正刚度特性。

从数学的角度来看，当方程的第一和第二导数（7.）为零，这是水平切线的拐点外观的条件。不可能实现系统参数之间的闭合性关系;因此，寻求系统参数的一些组合的数值解决方案。从第一洞察力来看，可以证明等式的第二阶导数（7.)，只与长宽比有关 那因此在图中绘制了一条曲线4.，以显示两者之间的关系和为 ．

这条曲线是关于垂直轴对称的，所以只有 绘制。可以看出 那力-挠度曲线的拐点在 并大幅减少 ．方程组 然后以数值解决和 那的固定值和不同的组合和 那在范围内变化 和 ．结果以等高线图的形式呈现在图中5.，可用于设计目的。

数字5.由一个表组成，由6个面板组成，三行两列，它应该读如下:三行每一行的图指的是不同的值 那第一、第二列为力-位移曲线拐点的解，为和 那分别作为一个函数和 ．应注意，在所有情况下，对于非常接近1的位移值实现拐点，而宽高比通常会降低以增加值 ．

数字6.显示自然长度因子的相应值和力，由式(6.)和(7.）， 分别。为了 那这是显而易见的为增加价值而增加并降低价值 那而在拐点上，随着值的增加而基本增加 ．的变化改变值 与案件相反 而不是案件 ．

作为应用示例，使用附图的帮助设计了两个不同的弹簧配置5.和6.．在第一种情况下，假设 那 那和 那对应于圆()的数据5.和6.．特别是从图中5.（c）注意到拐点发生在约1;从图中5.(d)，可以看出纵横比约为 那而从图6.(c)和图6.（d）分别注意到要达到这样的配置，应设定 近似，力的期望值拐点在2.8左右。与此情况对应的力-位移曲线由式(7.)在图7（a）作为粗固体曲线（下面将进一步描述其他曲线）。

在第二种情况下，假设悬挂质量不沉重的重量是感兴趣的 并设置无量纲力在2左右的拐点处。我们有不同的设计配置来实现这些要求。然而，如果我们希望底部的弹簧在初始装配时尽可能地卸载，我们可以注意到由正方形()的数据5.和6.符合情况，对应于 那 那 那和 ．图中绘制了相应的力-挠度曲线7（b）作为厚实的实线（其他曲线将在下面进一步描述）。动画片S1在补充材料中，示出了经过准静态测试的相应物理组装。

金刚石对应的力-挠度曲线(）和明星（)的数据5.和6.如图所示7（c）和7（d）分别作为粗固体曲线（下面将进一步描述其他曲线）。

3.动态分析

目的在于将静力偏转曲线与QZS特性结合到大型位移到系统的动态运动方程，并执行分析洞察，等式（7.)用多项式表达式近似。不幸的是，围绕静态平衡构型的经典泰勒级数展开将有一个限制，即需要一个高阶解来拟合大挠度下的QZS行为[16]，即远离系列的扩张点。为了说明这一点，在图中示出了第7阶泰勒序列扩展的结果7（a）-7（d）为细虚线，与由式(7.），作为厚实的实线。可以观察到，预测负刚度对于大于1（-1）的位移值。

为克服这一限制，式(7.)近似为多项式表达式，条件如下:(i)的刚度 设置为等于泰勒系列;（ii）僵硬 （拐点的近似位置）设定为零;（iii）刚度的衍生物 为零;(4) at的力 由方程(7.）.为了满足这些条件，获得以下第7阶多项式表达： 在哪里

方程(8.）在图中绘制7（a）-7（d）可以看出，该近似表达式拟合精确的力-挠度曲线(实线)优于泰勒级数近似(虚线)。此外，由于周围无量纲位移值，避免了负刚度行为的存在 ．每个子图的下面板显示泰勒级数和多项式拟合近似的残差。

然而,从数据7（a）-7（d），可以看出，当当大于1时，多项式拟合误差迅速增大。在下面的分析中，因此假定悬架的近似工作条件为 那可见多项式拟合近似的残差在10%以下。

３.１.幅频方程

图中所示的系统的运动方程1是（谁）给的 静态弹簧恢复力的地方由式(1)，覆盖点表示随时间的差异t．振荡器在基部由谐波位移激发 在哪里y为位移振幅，ω是角频率，和φ是阶段。

通过使用等式中给出的弹簧恢复力的近似表达式（8.),方程(10)可以方便地写成无次元形式为 在哪里 和 是一个非跨度的时间和频率，分别是一个， 那 为阻尼比， 是一种非潜能的位移幅度，素质表示分化的方面 那和

式(12)证明了五阶和七阶系数与三阶系数有关。在大挠度下，系统的静力学和动力学均表现出QZS行为最多可以用一个关键参数来描述。

的值基于等式计算（12）并在图的轮廓图中显示8.，就像图一样5.和6.．

解决方程（11)的封闭形式，根据幅频方程，假设系统响应在激励频率处为主要谐波响应，即 那把这个代回方程(11)，其中一阶谐波平衡近似应用于屈服 与 ．

3.2。骨干曲线和阻尼效果

式中所述的解析幅频方程(13）可用于研究骨干曲线和阻尼对系统响应的影响。

首先，通过设定等式的判别来获得共振峰与相应频率之间的关系（13)至零屈服 哪一个可以用阻尼比的平方来解决

通过组合方程(15和等式（13），获得骨干曲线的表达，即非线性振荡器的未加强和未透明的响应

为定性地说明本文所考虑系统的主曲线形状，方程(16)绘制在图中9（a）作为粗线，用于不同的值γ．

可以注意到，在一定的值下，主曲线的频率可能会呈现相对的最小值和最大值γ．这是由于弹簧力-挠度曲线的软化和硬化刚度特性之间的过渡，这种影响在下面进行了较好的研究。特别有趣的是在主曲线中出现一个相对最小值，因为这导致谐振频率的最小稳定值。

通过微分方程(16关于 那等于零，然后解给 在哪里 和C（D.）表示发生相对最小（最大值）的点。相应的频率通过替换方程来确定（17）回到等式（16）收益

点的基因座C（相对最小）和D.(相对最大值)如图所示9（a）分别为细实线和虚线，其频率和振幅如图所示9（b）和9 (c)的函数γ．

形式9.，可以指出的是 那主干曲线在较低的位移振幅处呈现相对的最大频率，在较大的位移振幅处呈现相对的最小频率，因此在较大的振幅处表现出硬化行为。范围内 那主干曲线只有一个相对最小的频率，在高频下有硬化行为。范围内 那骨干曲线呈现相对最大值和相对最小频率，但现在相对最大值出现在较大幅度下，使得软化行为在较大的位移处显现，可能导致不稳定。为了 那形成相对最大和最小频率并形成拐点。为了 那没有相对的最大或最小频率发生，和整体软化行为显示，潜在地导致不稳定的大运动。最小频率及对应的位移幅值，如图中圆所示9（b）和9 (c)，分别给予 和 ．

的值的等值线图计算并显示在Figure10，就像图一样5.和6.．可以注意到，对于合理的参数值范围，非潜能的峰值幅度不超过1.3的近似值，其验证上面呈现的力偏转曲线的多项式拟合近似。

现在可以研究阻尼对系统响应的影响。特别有趣的是导致最小共振频率的阻尼值，对应于点C上面所讨论的。与此目的，比率 由式(15)和(17)，并绘制在图的等高线图中11．在图中11，虚线对应于 那实线对应于 那和虚线的线路对应于 ．可以注意到，尽管激励幅度的变化很大，但比率 变化不大，保持在0.28和0.38之间。

通过展开方程(15）在泰勒系列用于小激发幅度并重新排列 可以进一步表达少量值γ作为

这是一个非常简单的封闭表达式，表明达到最小共振频率的阻尼与激励振幅成正比，通过一个系数，这个系数是参数的线性函数γ．

验证式(20.），这是绘于图中的12作为虚线并与等式的结果进行比较（15）对于相对较高和低的励磁幅度值。可以看出，尽管激发幅度的大变化（QZS点的10％和50％的位移），但近似表达式捕获了值的主要趋势γ大于这个数值约为−0.5。

3.3。频率响应曲线

为了更好地说明和验证上述结果，图中绘制了频率响应曲线(frc)13（a）-13 (d)为两个不同的激励幅值和由图中标记所指示的系统参数5.和6.．系统的FRC在方程中报告的幅度频率方程中以封闭形式求解（13），这是二次的 那并根据等式确定阻尼比（20.）.通过将FLOQUET理论施加如[中的稳定状态）计算稳态解决方案的稳定性21.]，使图中的frc中稳定解用实线表示，不稳定解用虚线表示13．为验证，数值解用圆表示，直接对系统运动方程积分得到，其中静态弹簧恢复力的精确表达式为(2） 用来。在预期多用解决方案的情况下，选择不同的初始条件以验证频率响应曲线的较低幅度和较高幅度分支的响应。可以注意到，近似FRCS可以合理地捕获系统的动态行为。此外，可以看出，增加激励幅度的效果是扩大谐振频率周围的带宽，但是通过根据等式的正确选择，这种频率（及其相应的位移幅度）保持恒定（20.）.动画片S2在补充材料中说明了与图中情况相对应的悬挂系统的物理装配13 (b)，当一个正弦基激励在 提供。

4.结论

本文研究了由四个线性弹簧组成的非线性悬架的静态和动态特性X- 在大偏转中实现软化特性和QZS行为的形态。对系统行为的分析洞察允许突出基本的设计策略来实现所需的性能。The global force-deflection curve is approximated by a seventh-order polynomial expression, and it is found that the nondimensional force-deflection characteristic with desired QZS behaviour is only dependent on the cubic stiffness coefficient, i.e., the fifth and seventh stiffness coefficients are expressed in terms of the third one. The approximate force-deflection curve is incorporated into the equation of motion for dynamic analysis. This is performed analytically in terms of the frequency response of the system, and the effect of the parameters is studied. The investigation into the backbone curve of the harmonic response has highlighted the interesting possibility to tune the damping in the system to achieve the lowest possible resonance frequency. In particular, it is found that such damping is proportional to the excitation frequency and linearly related to the cubic stiffness coefficient. Numerical results have confirmed the validity of the approximate analytical formulation.

数据可用性

用于支持本研究结果的数据可根据要求可从相应的作者获得。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

补充材料

本文的补充材料如下。图中显示静态响应的动画7（b）．S2:动态响应动画，如图所示13 (b)．（补充材料）

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