SV. 冲击和振动 1875 - 9203 1070 - 9622 Hindawi 10.1155 / 2021/5556088 5556088 研究文章 参数对具有四个斜弹簧悬架系统设计的影响 https://orcid.org/0000-0001-6390-8073 •加蒂 Gianluca. Sinou Jean-jacques. 机械,能源和管理工程系 卡拉布里亚大学 仁德87036 意大利 unical.it 2021 28. 6 2021 2021 20. 1 2021 14 5 2021 27. 5 2021 28. 6 2021 2021 版权©2021 Gianluca Gatti。 这是一篇在知识共享署名许可下发布的开放存取的文章,它允许在任何媒体上无限制地使用、传播和复制,只要原始作品被适当地引用。

本文介绍了由四个线性弹簧组成的悬架系统的基本静态和动态特性 X形状的配置,以实现几何非线性。特别感兴趣的是在大挠度下实现准零刚度行为的软化弹簧几何形状的设计,并研究了系统参数的影响。用力-挠度曲线研究了系统的静态性能,用频率响应曲线研究了系统的动态性能。悬架的软化-硬化行为导致频率响应弯曲到较低的频率,达到明确的最小值。结果表明,系统的静态和动态行为都可以用单个参数来描述,并确定了一个简单的封闭表达式,将系统中的阻尼与激励幅值联系起来,以达到尽可能低的共振频率。

1.介绍</tgydF4y2Baitle> <p>越来越多的需求来提高机械系统和结构的性能最近推动了对非线性效应的开发而不是避免的研究努力[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</gydF4y2Baxref>,<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</gydF4y2Baxref>].为此目的,最近研究了新的解决方案和创新设计,特别是在非线性动力学和振动控制领域[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B3"> 3.</gydF4y2Baxref>,<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B4"> 4</gydF4y2Baxref>].已采用数学方法来研究非线性振子的动力学行为,特别强调规定的刚度非线性函数[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</gydF4y2Baxref>,<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</gydF4y2Baxref>]和阻尼[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B7"> 7</gydF4y2Baxref>,<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B8"> 8</gydF4y2Baxref>].</p><p>gydF4y2Ba非线性可以引入机械系统的益处的实际应用在振动的能量收集领域报告了[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</gydF4y2Baxref>、减振器[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</gydF4y2Baxref>、隔震装置[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B11"> 11</gydF4y2Baxref>、隔振器[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</gydF4y2Baxref>],以及势能增加的弹性系统[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</gydF4y2Baxref>].在某些情况下,具有准零刚度(QZS)特性的非线性刚度元[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</gydF4y2Baxref>,<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</gydF4y2Baxref>,<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B8"> 8</gydF4y2Baxref>,<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</gydF4y2Baxref>,<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</gydF4y2Baxref>已经提出了应对实现高静态刚度的竞争要求,以限制静态偏转和低动态刚度以提高动态性能。普遍报道具有硬化行为的立方刚度特性,并且实际的机械实现包括一对垂直于运动方向的线性弹簧组成,其倾斜时振荡器移动[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</gydF4y2Baxref>].强化型的整体非线性行为保证了平衡结构的稳定性,在平衡结构中经常需要QZS效应,而这一特性是通过将正刚度和负刚度的弹性单元平行组合而获得的。独占使用主导软化刚度效应,这也可以通过使用以吸引的配置排列的磁体来实际获得[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</gydF4y2Baxref>,其潜在的缺点最终导致双稳态或snap-through行为[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</gydF4y2Baxref>,<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B15"> 15</gydF4y2Baxref>]对于大型位移甚至不稳定性,在某些情况下可能是不希望的或不利的。</p><p>gydF4y2Ba在本文中,通过简单地将线性弹簧布置在一个<gydF4y2Baitalic> X</gydF4y2Baitalic>形状的机械配置,实现了大偏转的准零刚度效应。遵循初步的想法[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</gydF4y2Baxref>],最近进行了一系列研究工作,以开发创新的隔振器[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B17"> 17</gydF4y2Baxref>- - - - - -<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B19"> 19</gydF4y2Baxref>,并认为这种特性可能会对其他应用产生兴趣,因此本文将对其进行进一步研究。</p><p>gydF4y2Ba关于[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</gydF4y2Baxref>]如果通过对振荡质量的力激发系统,则考虑了重力的影响,本文提出了更具吸引力的工程配置,其中系统是基本激发的,并将重力对静态平衡的影响帐户。这反过来涉及引入更多的设计参数,可以利用更好地调整到所需的应用程序。因此,本文的贡献是向系统实际设计前进的一步。进行了更深层次的理论洞察力,在系统的关键参数上流出了新的光线。从频率响应的研究发现激发幅度与系统阻尼之间的简单且有趣的关系。本文提出的分析和数值分析允许对系统的非线性特性的基本理解,支撑潜在的先驱应用,这可能对工程界进行振动控制问题的潜在吸引力[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B20"> 20.</gydF4y2Baxref>].</p></年代ec> <sec id="sec2"> <title>2.Force-Deflection特点</tgydF4y2Baitle> <p>本工作所考虑的系统模型如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig1a"> 1(一)</gydF4y2Baxref>,它由质量组成<gydF4y2Baitalic> 米</gydF4y2Baitalic>悬浮在壳体内部布置成倾斜几何构造的两对线性弹簧。顶部(底部)的一对弹簧具有刚度<gydF4y2Baitalic> k</gydF4y2Baitalic><sub>1</年代ub>(<gydF4y2Baitalic> k</gydF4y2Baitalic><sub>2</年代ub>),弹簧布置的几何形状由尺寸确定<gydF4y2Baitalic> 一个</gydF4y2Baitalic>和<gydF4y2Baitalic> b</gydF4y2Baitalic>,如图所示。通过强制的位移在其基部(壳体)处兴奋<gydF4y2Baitalic> y</gydF4y2Baitalic>,如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig1b"> 1 (b)</gydF4y2Baxref>,使得悬挂质量可以在其壳体内振荡。粘性阻尼器<gydF4y2Baitalic> c</gydF4y2Baitalic>被引入作为通用耗散项,这是一些最近在类似悬架配置上的实验工作验证的实际假设[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B17"> 17</gydF4y2Baxref>- - - - - -<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B19"> 19</gydF4y2Baxref>].质量和壳体之间的相对位移由<gydF4y2Baitalic> z</gydF4y2Baitalic>,所以当什么时候<gydF4y2Baitalic> z</gydF4y2Baitalic>= 0质量位于套管的中心。这个系统受重力加速度的影响<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,指向下方,如图所示。由于对称性,质量振荡被假定为限于垂直方向,当质量移动时,弹簧旋转改变其长度。人们认为<gydF4y2Baitalic> z</gydF4y2Baitalic><sub>0</年代ub>是在装配时实现的初始位移,如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig1a"> 1(一)</gydF4y2Baxref>.</p><fgydF4y2Baig-group id="fig1"> <label>图1</gydF4y2Balabel> <p>原理图<gydF4y2Baitalic> X</gydF4y2Baitalic>- 悬架:(a)在组装时配置,没有重力效应;(b)经过重力的通用变形配置。</p><fgydF4y2Baig id="fig1a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.001a"></graphic> </fig> <fig id="fig1b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.001b"></graphic> </fig> </fig-group> <sec id="sec2.1"> <title>2.1.一般特征</tgydF4y2Baitle> <p>批量位移之间的关系<gydF4y2Baitalic> z</gydF4y2Baitalic>以及施加的静态弹性恢复力<gydF4y2Baitalic> f</gydF4y2Baitalic><sub> <italic> 年代</gydF4y2Baitalic></sub>是(谁)给的<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Baitalic> σ</gydF4y2Baitalic><sub>1</年代ub>(<gydF4y2Baitalic> σ</gydF4y2Baitalic><sub>2</年代ub>)是一种自然长度因子,其占待组装在张力或压缩方面的顶部(底部)弹簧对其对应的自然长度。如下所在的每个弹簧附件之间的几何距离<gydF4y2Baitalic> z</gydF4y2Baitalic> = <italic> z</gydF4y2Baitalic><sub>0</年代ub>.当弹簧在拉(压)状态下组装时,弹簧自然长度因子小于(大于)1,当弹簧在组装时不变形时,弹簧自然长度因子等于1。</p><p>gydF4y2Ba等式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</gydF4y2Baxref>)可以方便地以无次元形式重写为<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>, 和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>.</p><p>gydF4y2Ba等式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</gydF4y2Baxref>)是一个高度非线性的无量纲位移函数<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>,其参数对力-位移特性的形状影响很大。作为力-挠度曲线可能呈现的不同形状的定性指示,式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</gydF4y2Baxref>)在图中绘制了系统参数的不同值<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</gydF4y2Baxref>(一)-<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</gydF4y2Baxref>(f),表示范围内的位移值<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1.2</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1.2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>.在所有子图中,实线对应的情况为<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,即,在没有重力的情况下,顶部弹簧水平水平的情况,所有弹簧都具有相等的刚度,并且壳体与高度一样宽。虚线和虚线表示其中一个参数的变化,如每个子图中所示。</p><fgydF4y2Baig-group id="fig2"> <label>图2.</gydF4y2Balabel> <p>如图传说中所示,作为系统参数(A-F)的不同值的非潜能的函数,如图所示,其不均匀的弹簧恢复力。实线是对所有子配置的共同引用,并对应于案例<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>.</p><fgydF4y2Baig id="fig2a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.002a"></graphic> </fig> <fig id="fig2b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.002b"></graphic> </fig> <fig id="fig2c"> <label>(C)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.002c"></graphic> </fig> <fig id="fig2d"> <label>(d)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.002d"></graphic> </fig> <fig id="fig2e"> <label>(e)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.002e"></graphic> </fig> <fig id="fig2f"> <label>(f)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.002f"></graphic> </fig> </fig-group> <p>从图<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</gydF4y2Baxref>(a),可以注意到作为刚度比<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>增加,即,与底部的那些相比,顶部的弹簧变得更加硬,这会产生更多对称的行为,用于零周围的位移值。在图中观察到类似的定性趋势<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</gydF4y2Baxref>(b)(图<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</gydF4y2Baxref>(c)时自然长度因子<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>(<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>)增加(减少),因为这些因素具有强化对应刚度变化的影响。如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</gydF4y2Baxref>(d)降低纵横比的效果<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>决定了当弹簧倾向于向垂直方向旋转时非线性效应的增加。初始挠度的影响<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是将力-挠度曲线以非线性的方式从根本上沿水平轴移动,如图<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</gydF4y2Baxref>(e),而无量纲权重的影响<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>是将力-挠度曲线垂直移动,如图<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</gydF4y2Baxref>(f)。</p><p>gydF4y2Ba虽然上面进行的分析,基于对图的简单观察<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</gydF4y2Baxref>,更深入的调查,不尽,并不需要更详尽的敏感性研究<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</gydF4y2Baxref>基本上示出了力偏转曲线形状的定性变化,因为每个参数变化到给定参考配置。</p></年代ec> <sec id="sec2.2"> <title>2.2.对称的特点</tgydF4y2Baitle> <p>事实上,本文的实际目标是考虑这种静态力-挠度曲线的特定形状,这激发了前一节进行的定性分析。特别地,我们的兴趣是关于系统在静态平衡构型周围具有对称行为的情况,并且静态平衡构型是在<gydF4y2Baitalic> z</gydF4y2Baitalic>= 0。当力-挠度曲线是无因次位移的奇函数时,就可以实现这种特性。要施加这个条件,方程(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 2</gydF4y2Baxref>)展开为泰勒级数围绕<gydF4y2Baitalic> z</gydF4y2Baitalic>= 0,零和二阶系数设为零屈服<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>方程式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3.</gydF4y2Baxref>)和(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq4"> 4</gydF4y2Baxref>)则以刚度比求解<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>和自然长度因素<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在系统参数之间产生以下简单关系:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>可以将其替换为等式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</gydF4y2Baxref>)导致以下表达静态力:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> .</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>等式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</gydF4y2Baxref>)只取决于纵横比<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>,无量纲权值<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>,自然长度因子<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,以及初始偏转<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,它绘制在图中<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig3"> 3.</gydF4y2Baxref>(一)-<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig3"> 3.</gydF4y2Baxref>(d)对于这四个系统参数的不同组合。特别是,所有子配置中的实线代表了这种情况<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>.</p><fgydF4y2Baig-group id="fig3"> <label>图3.</gydF4y2Balabel> <p>不同系统参数值(a-d)的对称力-挠度曲线,如图图例所示。实线是所有子图的通用引用,对应于以下情况<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 和</米米l:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 10</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>.</p><fgydF4y2Baig id="fig3a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.003a"></graphic> </fig> <fig id="fig3b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.003b"></graphic> </fig> <fig id="fig3c"> <label>(C)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.003c"></graphic> </fig> <fig id="fig3d"> <label>(d)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.003d"></graphic> </fig> </fig-group> <p>从图<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig3"> 3.</gydF4y2Baxref>,可以看出,力偏转曲线是对称的,具有大偏转的一般软化效果。作为自然长度因素<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>增加,如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig3"> 3.</gydF4y2Baxref>(a),力偏转曲线表现出用于大偏转的准零刚度特性,最终导致潜在的不稳定性(负刚度)。纵横比的效果<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig3"> 3.</gydF4y2Baxref>(b),与图中所示相似<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig3"> 3.</gydF4y2Baxref>(一种)。的效果<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig3"> 3.</gydF4y2Baxref>(c),可以看出,曲线相对于的曲线是对称的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>.增加的效果<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig3"> 3.</gydF4y2Baxref>(d)并具有相反的效果对参数的增加<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>在图中<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig3"> 3.</gydF4y2Baxref>(一)和<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig3"> 3.</gydF4y2Baxref>(b)分别。</p></年代ec> <sec id="sec2.3"> <title>2.3。QZS行为的对称特征</tgydF4y2Baitle> <p>为了进一步降低系统的复杂性和独立参数的数量,决定研究在大挠度(大约)下产生QZS行为的特定条件<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> ≈</米米l:mo> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>),然后增加刚度。这种情况会保证质量振荡将具有全局积极僵硬特征。</p><p>gydF4y2Ba从数学的角度来看,当方程的一阶导数和二阶导数(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</gydF4y2Baxref>)为零,这是出现水平切线拐点的条件。不可能实现系统参数之间的封闭关系;因此,对系统参数的一些组合进行了数值求解。首先,可以证明方程()的二阶导数<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</gydF4y2Baxref>)尊重非跨度位移,仅取决于纵横比<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>,图中绘制了一条曲线<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig4"> 4</gydF4y2Baxref>,展示与之间的关系<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>为<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>.</p><fgydF4y2Baig id="fig4"> <label>图4.</gydF4y2Balabel> <p>纵横比之间的关系<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>和位移<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>在呈QZS行为的力偏转曲线的情况下在拐点处。</p><ggydF4y2Baraphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.004"></graphic> </fig> <p>该曲线相对于垂直轴对称,因此只有值<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>绘制。可以看出<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>时,力-挠度曲线的拐点在附近<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>并且急剧下降<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>.方程组<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>在数值上是用<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>的固定值<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和不同的组合<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>,在范围内变化<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 0.9</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>.结果以等高线图的形式呈现在图中<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</gydF4y2Baxref>,可用于设计目的。</p><fgydF4y2Baig id="fig5"> <label>图5.</gydF4y2Balabel> <p>等高线图的设计<gydF4y2Baitalic> X</gydF4y2Baitalic>- 在大偏转时用Qzs行为悬架:值<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>在拐点和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>对于不同的组合<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>, 和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>(标记将在后面描述)。</p><ggydF4y2Baraphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.005"></graphic> </fig> <p>数字<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</gydF4y2Baxref>由三行组织的六个面板的表组成,它应该如下读取:三行中的每一个中的绘图是指不同的值<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,虽然第一和第二列显示了用于弯曲曲线的拐点的解决方案<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>的函数<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>.值得注意的是,在所有情况下,位移值都非常接近于1时出现拐点,而长径比通常随着值的增大而减小<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>.</p><p>gydF4y2Ba数字<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</gydF4y2Baxref>显示自然长度因子的相应值<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和力量<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在拐点,从等式获得(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq6"> 6</gydF4y2Baxref>)和(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</gydF4y2Baxref>),分别。为了<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,可以看出如何<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>为增加价值而增加<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>以及减小的值<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,而<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在拐点上,对增加的价值观显着增加<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>.的变化<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>改变的值<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>相反的情况是什么时候<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>而不是当<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>.</p><fgydF4y2Baig id="fig6"> <label>图6.</gydF4y2Balabel> <p>等高线图的设计<gydF4y2Baitalic> X</gydF4y2Baitalic>- 在大偏转时用Qzs行为悬架:值<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对于不同的组合<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>, 和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>.(标记将在后面描述)。</p><ggydF4y2Baraphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.006"></graphic> </fig> <p>作为应用实例,利用图形设计了两种不同的弹簧结构<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</gydF4y2Baxref>和<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</gydF4y2Baxref>.在第一种情况下,假设<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.4</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>, 和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.5</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,它对应于圆圈(<gydF4y2Bainline-graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig-inline.001"></inline-graphic>)的数据<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</gydF4y2Baxref>和<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</gydF4y2Baxref>.特别是从图中<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</gydF4y2Baxref>(c)注意到拐点出现在1左右;从图<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</gydF4y2Baxref>(d),可以注意到纵横比是关于<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,而从图中<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</gydF4y2Baxref>(c)和图<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</gydF4y2Baxref>(d),需要指出的是,要实现这种配置,就必须设置<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.9</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>近似,力的期望值<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>拐点在2.8左右。与此情况对应的力-位移曲线由式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</gydF4y2Baxref>)在图<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig7a"> 7(a)</gydF4y2Baxref>作为粗固体曲线(下面将进一步描述其他曲线)。</p><fgydF4y2Baig-group id="fig7"> <label>图7.</gydF4y2Balabel> <p>图中(a)圆、(b)方、(c)菱形、(d)星形所示的系统参数不同组合对应的力-位移曲线<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</gydF4y2Baxref>和<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</gydF4y2Baxref>.方程(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</gydF4y2Baxref>)表示为实线;泰勒级近似值表示为虚线;和使用等式的多项式近似(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</gydF4y2Baxref>)以虚线表示。</p><fgydF4y2Baig id="fig7a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.007a"></graphic> </fig> <fig id="fig7b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.007b"></graphic> </fig> <fig id="fig7c"> <label>(C)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.007c"></graphic> </fig> <fig id="fig7d"> <label>(d)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.007d"></graphic> </fig> </fig-group> <p>在第二种情况下,假定用无因次的重量来悬挂物体是有趣的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>并设定非跨度力量<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在2左右的拐点处。我们有不同的设计配置来实现这些要求。然而,如果我们希望底部的弹簧在初始装配时尽可能地卸载,我们可以注意到由正方形(<gydF4y2Bainline-graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig-inline.002"></inline-graphic>)的数据<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</gydF4y2Baxref>和<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</gydF4y2Baxref>符合情况,对应于<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1.2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.4</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.65</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>, 和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>.相应的力偏转曲线在图中绘制<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig7b"> 7(b)</gydF4y2Baxref>作为粗实线(其他曲线将在下面进一步描述)。动画<gydF4y2Baxref ref-type="sec" rid="supplementary-material-1"> S1</gydF4y2Baxref>在补充材料中说明了受准静态测试的相应物理装配。</p><p>gydF4y2Ba金刚石对应的力-挠度曲线(<gydF4y2Bainline-graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig-inline.003"></inline-graphic>)及星号(<gydF4y2Bainline-graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig-inline.004"></inline-graphic>)的数据<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</gydF4y2Baxref>和<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</gydF4y2Baxref>如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig7c"> 7 (c)</gydF4y2Baxref>和<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig7d"> 7 (d)</gydF4y2Baxref>,分别表示为厚实的实心曲线(其他曲线将在下文进一步说明)。</p></年代ec> </sec> <sec id="sec3"> <title>3.动态分析</tgydF4y2Baitle> <p>为了将大位移下具有QZS特性的静力-挠度曲线纳入系统的动力学运动方程,并给出解析式,方程(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</gydF4y2Baxref>)用多项式表达式近似。不幸的是,围绕静态平衡构型的经典泰勒级数展开将有一个限制,即需要一个高阶解来拟合大挠度下的QZS行为[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</gydF4y2Baxref>,即远离系列的展开点。为了说明这一点,7阶泰勒级数展开的结果如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig7a"> 7(a)</gydF4y2Baxref>- - - - - -<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig7d"> 7 (d)</gydF4y2Baxref>为细虚线,与由式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</gydF4y2Baxref>),为粗实线。可以观察到,位移值大于(小于)1(−1)时,预测的刚度为负。</p><p>gydF4y2Ba为克服这一限制,式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</gydF4y2Baxref>)近似为多项式表达式,条件如下:(i)的刚度<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>等于泰勒级数;(ii)在<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>(拐点的近似位置)设为零;(iii)点处刚度的导数<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>为零;(4) at的力<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>由方程(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</gydF4y2Baxref>).为满足这些条件,得到以下7阶多项式表达式:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mtext> 约</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 7</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 7</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd rowspan="5"> <mml:mtext> (9)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 35.</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mn> 8</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3.</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 21.</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3.</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 7</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 15</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mn> 8</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> .</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>等式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</gydF4y2Baxref>)绘制在图中<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig7a"> 7(a)</gydF4y2Baxref>- - - - - -<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig7d"> 7 (d)</gydF4y2Baxref>可以看出,该近似表达式拟合精确的力-挠度曲线(实线)优于泰勒级数近似(虚线)。此外,由于周围无量纲位移值,避免了负刚度行为的存在<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>.每个子图中的下面板显示泰勒序列和多项式拟合近似的残余误差。</p><p>gydF4y2Ba但是,来自数字<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig7a"> 7(a)</gydF4y2Baxref>- - - - - -<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig7d"> 7 (d)</gydF4y2Baxref>,可以看出<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>变得大于1,多项式拟合误差迅速增加。在下面的分析中,因此假设悬架的近似工作条件是这样的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤.</米米l:mo> <mml:mn> 1.3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,可见多项式拟合近似的残差小于10%。</p><年代ec id="sec3.1"> <title>3.1.幅频方程</tgydF4y2Baitle> <p>图中所示的系统的运动方程<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</gydF4y2Baxref>是(谁)给的<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ¨</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ˙</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> ¨</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>静态弹簧的恢复力在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>由等式给出(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</gydF4y2Baxref>),覆盖点表示随时间的差异<gydF4y2Baitalic> t</gydF4y2Baitalic>.振荡器通过谐波位移在基座上兴奋<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal"> COS.</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> φ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>在哪里<gydF4y2Baitalic> Y</gydF4y2Baitalic>为位移振幅,<gydF4y2Baitalic> ω</gydF4y2Baitalic>是角频率,和<gydF4y2Baitalic> φ</gydF4y2Baitalic>是阶段。</p><p>gydF4y2Ba利用式中弹簧恢复力的近似表达式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 8</gydF4y2Baxref>),方程(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</gydF4y2Baxref>)可以方便地写成无次元形式为<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> ”</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> ζ</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> ”</米米l:mo> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> δ.</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> ε.</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 7</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ω.</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> COS.</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ω.</米米l:mi> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> φ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mi mathvariant="normal"> ω.</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>分别为无量纲时间和频率,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mi> ζ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是阻尼比率,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>无量纲位移振幅,质数是否表示对的微分<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>, 和<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq12"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (12)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 35.</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mn> 8</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3.</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> δ.</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 3.</米米l:mn> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 6</米米l:mn> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> ε.</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 7</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mn> 7</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 3.</米米l:mn> <mml:mn> 7</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:mo> .</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>等式中给出的表达式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 12</gydF4y2Baxref>)显示第五和第七阶系数取决于立方体。系统的静态和动态都表现出大偏转的QZS行为(在<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>最多可以用一个关键参数来描述。</p><p>gydF4y2Ba的值<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mi> γ.</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>基于等式计算(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 12</gydF4y2Baxref>)并在图的轮廓图中显示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig8"> 8</gydF4y2Baxref>,以与图的方式相同<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</gydF4y2Baxref>和<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</gydF4y2Baxref>.</p><fgydF4y2Baig-group id="fig8"> <label>图8.</gydF4y2Balabel> <p>等高线图的设计<gydF4y2Baitalic> X</gydF4y2Baitalic>- 在大偏转时用Qzs行为悬架:值<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mi> γ.</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的不同组合<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>, 和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>.</p><fgydF4y2Baig id="fig8a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.008a"></graphic> </fig> <fig id="fig8b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.008b"></graphic> </fig> <fig id="fig8c"> <label>(C)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.008c"></graphic> </fig> </fig-group> <p>解决方程(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq11"> 11</gydF4y2Baxref>)在幅度频率方程方面处于封闭形式,假设系统响应主要在激发频率下谐波,即,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mi mathvariant="normal"> COS.</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ω.</米米l:mi> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,这是被替回的等式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq11"> 11</gydF4y2Baxref>),其中一阶谐波平衡近似应用于屈服<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ω.</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ω.</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>与<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mi> G</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> δ.</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 35.</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 64</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> ε.</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 6</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>.</p></年代ec> <sec id="sec3.2"> <title>3.2.主干曲线和阻尼效应</tgydF4y2Baitle> <p>式中所述的解析幅频方程(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq13"> 13</gydF4y2Baxref>)可以用来研究主振曲线和阻尼对系统响应的影响。</p><p>gydF4y2Ba首先,通过设定等式的判别来获得共振峰与相应频率之间的关系(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq13"> 13</gydF4y2Baxref>)零屈服<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>哪一个可以用阻尼比的平方来解决<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mi> ζ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mtext> 峰</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> G</米米l:mi> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> .</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>通过组合方程(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq15"> 15</gydF4y2Baxref>)及方程式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq13"> 13</gydF4y2Baxref>),则得到非线性振子的主振曲线即非受迫无阻尼响应的表达式为<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω.</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 骨干</米米l:mtext> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:msqrt> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mn> 8</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 64</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 48.</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 24.</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> γ.</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 6</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3.</米米l:mn> <mml:mi> γ.</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo> .</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>为定性地说明本文所考虑系统的主曲线形状,方程(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq16"> 16</gydF4y2Baxref>)绘制在图中<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig9a"> 9(一个)</gydF4y2Baxref>作为粗线,用于不同的值<gydF4y2Baitalic> γ.</gydF4y2Baitalic>.</p><fgydF4y2Baig-group id="fig9"> <label>图9.</gydF4y2Balabel> <p>(a)不同值的主干曲线(粗实线)<gydF4y2Baitalic> γ.</gydF4y2Baitalic>,标有标签;点C的基因座C,即相对最小值,(薄实线)和点D,即相对最大值,(薄划线)。(b)与相对最小值(实线)和最大值(DASH-虚线)对应的频率 <italic> γ.</gydF4y2Baitalic>.(c)相对最小值(实线)和最大值(虚线)对应的位移幅值作为的函数<gydF4y2Baitalic> γ.</gydF4y2Baitalic>.(b)和(c)中的垂直虚线表示的是的渐近趋势<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 3.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,圆表示的极限<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3.</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>.</p><fgydF4y2Baig id="fig9a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.009a"></graphic> </fig> <fig id="fig9b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.009b"></graphic> </fig> <fig id="fig9c"> <label>(C)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.009c"></graphic> </fig> </fig-group> <p>可以注意到,在一定的值下,主曲线的频率可能会呈现相对的最小值和最大值<gydF4y2Baitalic> γ.</gydF4y2Baitalic>.这是由于弹簧力-挠度曲线的软化和硬化刚度特性之间的过渡,这种影响在下面进行了较好的研究。特别有趣的是在主曲线中出现一个相对最小值,因为这导致谐振频率的最小稳定值。</p><p>gydF4y2Ba通过区分等式获得骨架曲线中谐振频率相对极端处的位移幅度的近似表达式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq16"> 16</gydF4y2Baxref>) 关于<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>,等同于零,并解决给予<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:mi> η.</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3.</米米l:mn> <mml:mi> γ.</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mi> η.</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 6</米米l:mn> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> γ.</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Baitalic> C</gydF4y2Baitalic>(<gydF4y2Baitalic> D</gydF4y2Baitalic>)表示发生相对最小(最大值)的点。相应的频率通过替换方程来确定(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq17"> 17</gydF4y2Baxref>)回到等式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq16"> 16</gydF4y2Baxref>)产量<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω.</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 84</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 264.</米米l:mn> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 243</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> γ.</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 52</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> γ.</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∓</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 8</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 12</米米l:mn> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> γ.</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> η.</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3.</米米l:mn> <mml:mi> γ.</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo> .</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>点的轨迹<gydF4y2Baitalic> C</gydF4y2Baitalic>(相对最小)<gydF4y2Baitalic> D</gydF4y2Baitalic>(相对最大值)如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig9a"> 9(一个)</gydF4y2Baxref>分别为细实线和虚线,其频率和振幅如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig9b"> 9(b)</gydF4y2Baxref>和<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig9c"> 9(c)</gydF4y2Baxref>的函数<gydF4y2Baitalic> γ.</gydF4y2Baitalic>.</p><p>gydF4y2Ba形式图<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig9"> 9</gydF4y2Baxref>,可以注意到<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,骨干曲线在较低的位移幅度下呈现相对最大频率和较大的位移幅度的相对最小频率,使得硬化行为在较大的幅度上表现出来。在范围中<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 3.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>时,主曲线仅呈现相对最小频率,在高频下有硬化行为。在范围中<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3.</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:msqrt> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:mo> ≤.</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 3.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,骨干曲线呈现相对最大值和相对最小频率,但现在相对最大值出现在较大幅度下,使得软化行为在较大的位移处显现,可能导致不稳定。为了<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3.</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>,形成相对最大和最小频率并形成拐点。为了<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3.</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>,没有相对的最大或最小频率发生,和整体软化行为显示,潜在地导致不稳定的大运动。最小频率及对应的位移幅值,如图中圆所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig9b"> 9(b)</gydF4y2Baxref>和<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig9c"> 9(c)</gydF4y2Baxref>,分别为<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≈</米米l:mo> <mml:mn> 0.69</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo> ≈</米米l:mo> <mml:mn> 1.7</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>.</p><p>gydF4y2Ba的值<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> ω.</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext>   and  </米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>的等值线图计算并显示在Figure<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig10"> 10</gydF4y2Baxref>,以与图的方式相同<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</gydF4y2Baxref>和<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</gydF4y2Baxref>.可以看到,在合理的参数值范围内,无量纲位移峰值振幅不超过1.3的近似值,验证了上述力-挠度曲线的多项式拟合近似。</p><fgydF4y2Baig id="fig10"> <label>图10</gydF4y2Balabel> <p>等高线图的设计<gydF4y2Baitalic> X</gydF4y2Baitalic>- 在大偏转时用Qzs行为悬架:值<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> ω.</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在主曲线上进行不同的组合<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>, 和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>.</p><ggydF4y2Baraphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.0010"></graphic> </fig> <p>现在可以研究阻尼对系统响应的影响。特别有趣的是导致最小共振频率的阻尼值,对应于点<gydF4y2Baitalic> C</gydF4y2Baitalic>,上面讨论过。为此目的,比率<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>由式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq15"> 15</gydF4y2Baxref>)和(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq17"> 17</gydF4y2Baxref>),并绘制在图的等高线图中<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig11"> 11</gydF4y2Baxref>.在图中<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig11"> 11</gydF4y2Baxref>,虚线对应于<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.01</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,实线对应<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,并划分的线条对应于<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>.可以注意到,尽管激励幅度的变化很大,但比率<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>变化不大,保持在0.28和0.38之间。</p><fgydF4y2Baig-group id="fig11"> <label>图11</gydF4y2Balabel> <p>等高线图的设计<gydF4y2Baitalic> X</gydF4y2Baitalic>在大挠度下具有QZS特性的形状悬架:比值值<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>为了获得最低的共振频率,对于不同的组合<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>, 和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>, 和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.01</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>(虚线),<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>(实线)和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>(dash-dotted行)。</p><fgydF4y2Baig id="fig11a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.0011a"></graphic> </fig> <fig id="fig11b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.0011b"></graphic> </fig> <fig id="fig11c"> <label>(C)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.0011c"></graphic> </fig> </fig-group> <p>通过展开方程(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq15"> 15</gydF4y2Baxref>)在泰勒系列用于小激发幅度并重新排列<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq19"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ≈</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω.</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>可以进一步表达少量值<gydF4y2Baitalic> γ.</gydF4y2Baitalic>作为<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq20"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ≈</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 17</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 10</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 13</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 64</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mn> 34.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mi> γ.</米米l:mi> <mml:mo> .</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>这是一个非常简单的封闭表达式,表明达到最小共振频率的阻尼与激励振幅成正比,通过一个系数,这个系数是参数的线性函数<gydF4y2Baitalic> γ.</gydF4y2Baitalic>.</p><p>gydF4y2Ba验证式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq20"> 20.</gydF4y2Baxref>),如图所示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig12"> 12</gydF4y2Baxref>为虚线,并与方程(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq15"> 15</gydF4y2Baxref>)对于相对较高和低的励磁幅度值。可以看出,尽管激发幅度的大变化(QZS点的10%和50%的位移),但近似表达式捕获了值的主要趋势<gydF4y2Baitalic> γ.</gydF4y2Baitalic>大于这个数值约为−0.5。</p><fgydF4y2Baig id="fig12"> <label>图12</gydF4y2Balabel> <p>比率<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>获得最低的共振频率,作为…的函数<gydF4y2Baitalic> γ.</gydF4y2Baitalic>,因为<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>(细实线)和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>(薄划线线),和等式中的近似表达(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq20"> 20.</gydF4y2Baxref>)表示为粗虚线。</p><ggydF4y2Baraphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.0012"></graphic> </fig> </sec> <sec id="sec3.3"> <title>3.3。频率响应曲线</tgydF4y2Baitle> <p>为了更好地说明和验证上面提出的结果,绘制频率响应曲线(FRC)在图中绘制<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig13a"> 13(a)</gydF4y2Baxref>- - - - - -<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig13d"> 13 (d)</gydF4y2Baxref>为两个不同的激励幅值和由图中标记所指示的系统参数<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</gydF4y2Baxref>和<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</gydF4y2Baxref>.系统的频域系数由式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 13</gydF4y2Baxref>),它是in的二次函数<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> ω.</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,并且根据等式确定阻尼比(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq20"> 20.</gydF4y2Baxref>).通过将FLOQUET理论施加如[<gydF4y2Baxref ref-type="bibr" rid="B21"> 21.</gydF4y2Baxref>],使图中的frc中稳定解用实线表示,不稳定解用虚线表示<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig13"> 13</gydF4y2Baxref>.为验证,数值解用圆表示,直接对系统运动方程积分得到,其中静态弹簧恢复力的精确表达式为(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 2</gydF4y2Baxref>) 用来。在预期多用解决方案的情况下,选择不同的初始条件以验证频率响应曲线的较低幅度和较高幅度分支的响应。可以注意到,近似FRCS可以合理地捕获系统的动态行为。此外,可以看出,增加激励幅度的效果是扩大谐振频率周围的带宽,但是通过根据等式的正确选择,这种频率(及其相应的位移幅度)保持恒定(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq20"> 20.</gydF4y2Baxref>).动画<gydF4y2Baxref ref-type="sec" rid="supplementary-material-1"> S2</gydF4y2Baxref>在补充材料中说明了与图中情况相对应的悬挂系统的物理装配<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig13b"> 13 (b)</gydF4y2Baxref>,当一个正弦基激励在<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mi mathvariant="normal"> ω.</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>提供。</p><fgydF4y2Baig-group id="fig13"> <label>图13</gydF4y2Balabel> <p>FRCs的<gydF4y2Baitalic> X</gydF4y2Baitalic>- 用Qzs行为在大偏转时悬架<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>(细线)<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>图中圆形(a)、方形(b)、菱形(c)、星形(d)表示系统参数的不同值<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</gydF4y2Baxref>和<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</gydF4y2Baxref>.阻尼根据式(<gydF4y2Baxref ref-type="disp-formula" rid="EEq20"> 20.</gydF4y2Baxref>).稳定的解析解用实线表示;不稳定解析解用虚线表示;数值解用空圆表示;共振峰表示为代表性标记;主曲线用虚线表示。</p><fgydF4y2Baig id="fig13a"> <label>(一)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.0013a"></graphic> </fig> <fig id="fig13b"> <label>(b)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.0013b"></graphic> </fig> <fig id="fig13c"> <label>(C)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.0013c"></graphic> </fig> <fig id="fig13d"> <label>(d)</gydF4y2Balabel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.fig.0013d"></graphic> </fig> </fig-group> </sec> </sec> <sec id="sec4"> <title>4.结论</tgydF4y2Baitle> <p>本文研究了由布置的四个线性弹簧组成的非线性悬架的静态和动态特性<gydF4y2Baitalic> X</gydF4y2Baitalic>- 在大偏转中实现软化特性和QZS行为的形态。对系统行为的分析洞察允许突出基本的设计策略来实现所需的性能。The global force-deflection curve is approximated by a seventh-order polynomial expression, and it is found that the nondimensional force-deflection characteristic with desired QZS behaviour is only dependent on the cubic stiffness coefficient, i.e., the fifth and seventh stiffness coefficients are expressed in terms of the third one. The approximate force-deflection curve is incorporated into the equation of motion for dynamic analysis. This is performed analytically in terms of the frequency response of the system, and the effect of the parameters is studied. The investigation into the backbone curve of the harmonic response has highlighted the interesting possibility to tune the damping in the system to achieve the lowest possible resonance frequency. In particular, it is found that such damping is proportional to the excitation frequency and linearly related to the cubic stiffness coefficient. Numerical results have confirmed the validity of the approximate analytical formulation.</p></年代ec> <back> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</tgydF4y2Baitle> <p>用于支持本研究发现的数据可由通讯作者要求提供。</p></年代ec> <sec sec-type="COI-statement"> <title>的利益冲突</tgydF4y2Baitle> <p>提交人宣布,关于本文的出版物没有利益冲突。</p></年代ec> <sec sec-type="supplementary-material" id="supplementary-material-1"> <title>补充材料</tgydF4y2Baitle> <supplementary-material id="supp-1" xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/sv/2021/5556088.f1.zip" mimetype="application/zip"> <label>补充材料</gydF4y2Balabel> <p>本文的补充材料如下。图中显示静态响应的动画<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig7b"> 7(b)</gydF4y2Baxref>.S2:动画显示图中所示的动态响应<gydF4y2Baxref ref-type="fig" rid="fig13b"> 13 (b)</gydF4y2Baxref>.</p></年代upplementary-material> </sec> <ref-list> <ref id="B1" content-type="article"> <label>1</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 克莱蒙泰</年代urname> <given-names> F。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Lenci.</年代urname> <given-names> S.</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 雷</年代urname> <given-names> G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 1:一个二自由度完整系统的1个内部共振:一个全面的分析及其可能的设计利用</一个rticle-title> <source> <italic> Meccanica</gydF4y2Baitalic> <year> 2020</ygydF4y2Baear> <volume> 55</gydF4y2Bavolume> <issue> 6</gydF4y2Baissue> <fpage> 1309.</fp一个ge> <lpage> 1332</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s11012 - 020 - 01171 - 9</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> •加蒂</年代urname> <given-names> G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 布伦南</年代urname> <given-names> m·J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 唐</年代urname> <given-names> B。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 利用几何刚度非线性的有益效果的一些不同的例子</一个rticle-title> <source> <italic> 机械系统和信号处理</gydF4y2Baitalic> <year> 2019</ygydF4y2Baear> <volume> 125.</gydF4y2Bavolume> <fpage> 4</fp一个ge> <lpage> 20.</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / J.YMSSP.2018.08.024</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85054293376</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3.</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 威尔逊</年代urname> <given-names> j . M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 舒克拉</年代urname> <given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 奥尔森</年代urname> <given-names> W。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 利用非线性动力学优化设计谐波激励,压电驱动,屈曲梁的周期响应</一个rticle-title> <source> <italic> 计算与非线性动力学杂志</gydF4y2Baitalic> <year> 2019</ygydF4y2Baear> <volume> 14</gydF4y2Bavolume> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 121001</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1115/1.4044820</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 陈</年代urname> <given-names> Y。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 通用电气</年代urname> <given-names> J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 基于时滞PPF控制器的非线性梁振动控制分析</一个rticle-title> <source> <italic> 冲击和振动</gydF4y2Baitalic> <year> 2020</ygydF4y2Baear> <volume> 2020</gydF4y2Bavolume> <lpage> 17</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 8882618</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2020/8882618</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> anastasio</年代urname> <given-names> D。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Fasana</年代urname> <given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 加里波第</年代urname> <given-names> L.</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Marchesiello</年代urname> <given-names> S.</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> duffing-like负刚度振荡器的非线性动力学:建模与实验特性</一个rticle-title> <source> <italic> 冲击和振动</gydF4y2Baitalic> <year> 2020</ygydF4y2Baear> <volume> 2020</gydF4y2Bavolume> <lpage> 13</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 3593018</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2020/3593018</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 鲁</年代urname> <given-names> z.-q.</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 邵</年代urname> <given-names> D。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 丁</年代urname> <given-names> H。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 陈</年代urname> <given-names> L.-Q。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 高静低动刚度两级非线性隔振系统的功率流</一个rticle-title> <source> <italic> 冲击和振动</gydF4y2Baitalic> <year> 2018</ygydF4y2Baear> <volume> 2018</gydF4y2Bavolume> <lpage> 13</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 1697639.</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2018/1697639</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2-S2.0-85047844135</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 他</年代urname> <given-names> S.</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 陈</年代urname> <given-names> K.</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 徐</年代urname> <given-names> E。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 王</年代urname> <given-names> W。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 姜</年代urname> <given-names> Z。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 基于智能算法和非线性阻尼的商用车乘坐舒适优化</一个rticle-title> <source> <italic> 冲击和振动</gydF4y2Baitalic> <year> 2019</ygydF4y2Baear> <volume> 2019</gydF4y2Bavolume> <lpage> 16</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 2973190</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2019/2973190</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85072027098</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 孟</年代urname> <given-names> Q。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 杨</年代urname> <given-names> X。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 李</年代urname> <given-names> W。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 鲁</年代urname> <given-names> E。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 盛</年代urname> <given-names> L.</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 几何非线性阻尼准零刚度隔振器的研究与分析</一个rticle-title> <source> <italic> 冲击和振动</gydF4y2Baitalic> <year> 2017</ygydF4y2Baear> <volume> 2017</gydF4y2Bavolume> <lpage> 9</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 6719054</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2017/6719054</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85042456915</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>9</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 哈利姆</年代urname> <given-names> 嘛。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 涛</年代urname> <given-names> K.</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Towfighian</年代urname> <given-names> S.</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 朱</年代urname> <given-names> D。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 振动能量收集:线性、非线性和旋转方法</一个rticle-title> <source> <italic> 冲击和振动</gydF4y2Baitalic> <year> 2019</ygydF4y2Baear> <volume> 2019</gydF4y2Bavolume> <lpage> 2</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 5381756</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2019/5381756</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85060167116</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> •加蒂</年代urname> <given-names> G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 对非线性调谐质量阻尼器性能的基本认识</一个rticle-title> <source> <italic> Meccanica</gydF4y2Baitalic> <year> 2018</ygydF4y2Baear> <volume> 53</gydF4y2Bavolume> <issue> 1-2</gydF4y2Baissue> <fpage> 111</fp一个ge> <lpage> 123</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s11012 - 017 - 0723 - 0</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2-S2.0-85025456516</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 唐</年代urname> <given-names> B。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 布伦南</年代urname> <given-names> m·J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 高静低动刚度非线性隔振器的冲击性能研究</一个rticle-title> <source> <italic> 国际机械科学学报</gydF4y2Baitalic> <year> 2014</ygydF4y2Baear> <volume> 81</gydF4y2Bavolume> <fpage> 207.</fp一个ge> <lpage> 214</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.ijmecsci.2014.02.019</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2-S2.0-84896445344</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>12</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 鲁</年代urname> <given-names> z.-q.</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 顾</年代urname> <given-names> d.h</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 丁</年代urname> <given-names> H。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> LaCarbonara.</年代urname> <given-names> W。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 陈</年代urname> <given-names> L.-Q。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 通过圆形环的非线性隔振</一个rticle-title> <source> <italic> 机械系统和信号处理</gydF4y2Baitalic> <year> 2019</ygydF4y2Baear> <volume> 136.</gydF4y2Bavolume> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 106490</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> •加蒂</年代urname> <given-names> G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> k型弹簧结构,以增加弹性势能</一个rticle-title> <source> <italic> 智能材料和结构</gydF4y2Baitalic> <year> 2019</ygydF4y2Baear> <volume> 28.</gydF4y2Bavolume> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 077002</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1088 / 1361 - 665 x / ab1ec8</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85069491341</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>14</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 吴</年代urname> <given-names> Q。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 赵</年代urname> <given-names> W。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 朱</年代urname> <given-names> W。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 郑</年代urname> <given-names> R。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 赵</年代urname> <given-names> X。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 基于非线性磁力调谐质量阻尼器的海洋平台在地震作用下的宽频率范围减振研究</一个rticle-title> <source> <italic> 冲击和振动</gydF4y2Baitalic> <year> 2018</ygydF4y2Baear> <volume> 2018</gydF4y2Bavolume> <lpage> 18</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 1505061</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2018/1505061</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2-S2.0-85052675108</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>15</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 郭</年代urname> <given-names> K.</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 曹</年代urname> <given-names> S.</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 王</年代urname> <given-names> S.</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 双稳态压电悬臂发电机非线性动力学和性能的数值和实验研究</一个rticle-title> <source> <italic> 冲击和振动</gydF4y2Baitalic> <year> 2015</ygydF4y2Baear> <volume> 2015</gydF4y2Bavolume> <lpage> 14</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 692731</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2015/692731</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84948656749</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>16</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> •加蒂</年代urname> <given-names> G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 大挠度准零刚度非线性振荡器的静力学和动力学</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性科学与数值模拟通讯</gydF4y2Baitalic> <year> 2020</ygydF4y2Baear> <volume> 83</gydF4y2Bavolume> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 105143</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.cnsns.2019.105143</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>17</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 赵</年代urname> <given-names> F。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 吉</年代urname> <given-names> j . C。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 叶</年代urname> <given-names> K.</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 罗</年代urname> <given-names> Q。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 用两对斜弹簧增加准零刚度区域</一个rticle-title> <source> <italic> 机械系统和信号处理</gydF4y2Baitalic> <year> 2020</ygydF4y2Baear> <volume> 144.</gydF4y2Bavolume> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 106975</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.ymssp.2020.106975</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>18</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 杨ydF4y2Ba</surname> <given-names> G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 邹</年代urname> <given-names> H.-X。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 王</年代urname> <given-names> S.</ggydF4y2Baiven-names> </name> <etal></etal> </person-group> <article-title> 采用三连杆机构的大行程准零刚度隔振器</一个rticle-title> <source> <italic> 作者:王莹</gydF4y2Baitalic> <year> 2020</ygydF4y2Baear> <volume> 478</gydF4y2Bavolume> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 115344</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jsv.2020.115344</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="article"> <label>19</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 赵</年代urname> <given-names> F。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 吉</年代urname> <given-names> J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 罗</年代urname> <given-names> Q。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 曹</年代urname> <given-names> S.</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 陈</年代urname> <given-names> L.</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 杜</年代urname> <given-names> W。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 一种改进的准零刚度隔振器,采用两对斜弹簧增加隔振频带</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性动力学</gydF4y2Baitalic> <year> 2021</ygydF4y2Baear> <volume> 104</gydF4y2Bavolume> <fpage> 349</fp一个ge> <lpage> 365</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s11071 - 021 - 06296 - 4</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="article"> <label>20.</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 邹</年代urname> <given-names> D。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 刘</年代urname> <given-names> G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 饶</年代urname> <given-names> Z。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 唐ydF4y2Ba</surname> <given-names> T.</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 张</年代urname> <given-names> W。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 廖</年代urname> <given-names> W.-h.</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 一种能够为振动能量收集、振动隔离和非线性能量吸收定制非线性力的设备</一个rticle-title> <source> <italic> 机械系统和信号处理</gydF4y2Baitalic> <year> 2021</ygydF4y2Baear> <volume> 147.</gydF4y2Bavolume> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 107101</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / J.YMSSP.2020.107101</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>21.</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> •加蒂</年代urname> <given-names> G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 布伦南</年代urname> <given-names> m·J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 内分离频率响应曲线:实验研究</一个rticle-title> <source> <italic> 作者:王莹</gydF4y2Baitalic> <year> 2017</ygydF4y2Baear> <volume> 396.</gydF4y2Bavolume> <fpage> 246.</fp一个ge> <lpage> 254.</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jsv.2017.02.008</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85013449802</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>