基于Bouc-Wen模型的振动控制系统迟滞建模

摘要

综述了有关滞后振动控制系统建模的发展。特别是，本综述侧重于Bouc-Wen模型的应用，该模型描述了振动控制装置中精确的滞回特性。对BOUWEN模型的识别、振动控制程序和应用等方面进行了综述。

1.介绍

振动控制系统被用于抑制或至少是衰减可能影响系统和结构，如建筑物、车辆、飞机和桥梁的不良振动。由于材料特性的变化、几何形状的变化以及附加的非线性器件，这些系统经常表现出非线性行为，从而导致滞后现象。为了预测系统响应，人们开发了许多迟滞模型。

迟滞是一种非线性行为，在许多过程中遇到的输入和输出变量的关系涉及记忆效应。对这些系统进行详细的物理建模是一项艰巨的任务，而获得的模型往往过于复杂，无法在现实应用中使用[1.］．为此，提出了具有迟滞的系统的替代模型。这些模型结合了对滞后系统的物理理解和一些黑箱模型，称为“半物理”模型。

多年来，人们提出了各种半物理的迟滞模型。其中最广泛采用的是Bouc-Wen滞后模型[2.,3.］．这种型号的最大特点是它的多功能性;也就是说，通过适当选择模型参数，它可以表示各种各样的软化或硬化平滑变化或近似双线性的滞回行为。

Bouc-Wen模型在当前文献中被广泛用于数学描述具有滞后行为的部件和设备。因此，本文献综述的目的是为工程师和研究人员提供通过Bouc-Wen模型对振动控制系统建模的工作概述。本综述分为三个主要部分：第一节2.重点关注Bouc-Wen模型的数学和物理性质，而Section3.专注于的Bouc-Wen模型参数识别。部分4.提供了有关几个振动控制案例研究的结果，其中验证了Bouc-Wen模型对于准确描述滞后的有效性。

2.Bouc-Wen模型的数学性质

本节对Bouc-Wen模型的数学公式进行了描述。

以单自由度机械系统的运动方程为例: 在哪里是质量,位移,为线性粘性系数，是恢复力，以及为激励力;overdot表示对时间的导数。

回复力，基于Bouc-Wen模型，是 在哪里是屈服后刚度的比率到preyield刚度,为屈服力，是屈服位移，并是否服从以下零初始条件非线性微分方程的无量纲滞回变量: 系数,,,是控制模型行为的无量纲量，sgn(·)是sgn函数。对于小的正指数参数值从弹性分支到后弹性分支的过渡是平滑的，而对于大的值，过渡变得突然，接近双线性模型。的参数和控制滞后回路的大小和形状。不同的纸张，不同的地方，符号也不同和交换。

从(2.)因此，恢复力可以分成弹性和滞后部分如下： 因此，该模型可以可视化为两个平行连接的弹簧[4.)(图1.）.

Bouc-Wen模型的参数具有以下标准： 在[23，证明了Bouc-Wen模型的参数是函数冗余的，确实多个参数向量在给定激励下可以产生相同的响应。这种冗余可以通过固定参数来消除统一(23］．

康斯坦丁努和阿德内[24]提出的约束为了将未知参数的总数减少到六个：,,,,,。

在[25]通过调整速度，得到了一个非对称的Bouc-Wen模型 在哪里为调整的比例因子。

中提出的Bouc-Wen模型的修改[26–28]包括强度，刚度，和捏降解的影响，通过适当的降解功能的装置： 在哪里吸收的滞后能量和函数是什么,,分别与强度、刚度和夹紧退化效应有关。,,线性增长函数的定义是 捏紧函数是 在哪里 和终极价值是什么,由 附加的模型参数为,,,,,,,,,,什么时候,,或，分别不考虑强度退化、刚度退化和夹紧效应。

值得注意的是，Bouc-Wen模型可以与特定输入的真实数据很好地匹配，而对于不同的激励输入，它不一定能保持显著的物理性质。在此基础上，[1.]研究发现，如果系统参数满足约束条件 因此，该模型在不考虑激励输入的情况下是有效的。当(12)满意了,(3.)可以用规范化形式表示。

定义参数 它遵循 具有 在[29]，证明在范围内有界。

用(14)及(15) (2.),它是 在哪里 因此，Bouc-Wen模型归一化形式的未知参数是,,,,有以下限制： 模型参数可以通过系统识别技术确定，利用实验输入和输出数据。

3.的Bouc-Wen模型参数辨识

Bouc-Wen模型参数的识别是采用一种识别算法，对相同的输入信号，将模型输出信号与实测信号进行比较，以确定未知的模型参数。Bouc-Wen模型的非线性给参数辨识带来了复杂性。基于不同的方法，提出了几种方法。在本节中，概述了不同的识别算法。

提出了一种基于改进高斯-牛顿方法的迭代最小二乘算法[5.］．对扩展Bouc-Wen模型的参数进行了辨识，该模型根据[26］．系统识别过程如图所示2.。

在[30.提出了一种由磁流变阻尼器与磁流变弹性体串联组成的振动控制系统。采用Bouc-Wen模型再现磁流变阻尼器的迟滞特性，采用最小二乘法对磁流变阻尼器的参数进行辨识。

在线参数辨识的Bouc-Wen模型中也引起了很多的关注研究。在[研究31,32]提出了一种基于最小二乘自适应律的在线辨识方法[33]采用自适应在线辨识方法，采用变迹法调整自适应增益矩阵。在[34]，建立了一个线性参数化估计器，用于在线估计具有未知系数(包括参数)的迟滞Bouc-Wen模型）.在[35]提出了一种适用于结构模型参数和非参数辨识的自适应在线辨识算法，并将其应用于广义Bouc-Wen模型。建议的识别方法是一种递归最小二乘算法，只需要加速度测量。

除最小二乘回归法外，本文还提出了一种基于遗传算法的辨识方法[36］．复制过程采用轮盘赌轮选择和交叉、均匀变异的方法[37］．

为了解释不对称行为，改进的Bouc-Wen模型[6.]被用于建模的PZT致动器通过。一种改进的粒子群优化算法[38，以识别和优化模型参数(见图)3.）.适应度函数见图3.作为实际测量的位移和模型输出之间的均方根误差。

[中也采用了粒子群算法。39]识别Bouc-Wen模型的参数。在本研究中，已识别的模型用于描述用于减轻地震灾害的大型磁流变阻尼器的动力学。

基于输入输出数据，采用高斯-牛顿迭代法对具有滑移的滞回系统进行参数估计[40］．文献[41]提出了一种非线性迟滞隔振器的频域参数辨识方法。在[42,43]提出了一种归一化Bouc-Wen模型的辨识方法[29，提出了一种算法并给出了解析证明。它包括用两个具有加载-卸载形状的周期信号(波周期)激励Bouc-Wen模型，从而产生渐近滞后的周期响应。然后将得到的两个极限环作为输入精确地确定未知参数。

极限周期的做法也是在通过[10]确定用于再现钢丝绳隔振器迟滞的Bouc-Wen模型的参数。在[44]，采用极限环法对某大型磁流变液阻尼器模型进行参数辨识。

另一种基于人工蜂群算法的优化方法[7.,45]被开发用于确定的Bouc文滞后系统的最佳参数。所提出的流程图显示在图4.。

在[46,47]利用约束非线性优化方法进行参数辨识[48]中，的Bouc文非线性滞后词是由合适的基函数的幂级数展开近似，然后分别使用标准最小二乘法确定的函数的系数。

Bouc-Wen模型参数也可以通过基于非线性滤波的方法来识别，例如使用扩展卡尔曼滤波器(EKF)或无迹卡尔曼滤波器(UKF)。杨和马[49]提出了一种具有全局加权迭代策略的受限EKF，该算法能够有效估计Bouc-Wen模型的所有参数。Zhang等[50]还应用了EKF为迟滞系统其表现出退化和夹持的标识;被确定的BW-模型的所有参数没有问题。

在[51–53， UKF用于识别非降解和降解滞后系统。辨识结果表明，UKF方法适用于复杂非线性系统的辨识，并能准确估计Bouc-Wen模型的参数。结果还表明，UKF在计算效率和对测量噪声水平的鲁棒性方面优于EKF。

4.基于Bouc-Wen模型的振动控制系统建模

振动控制的主要范围是抑制或至少是不希望的振动的衰减，可以影响系统和结构，诸如建筑物，车辆，飞机，和桥梁。振动控制是使用无源，半主动或活性[典型地实现54–58]系统，并且在每个系统中都可以发现相当大的迟滞行为。

被动振动控制，如被动基础隔震，是一种有效的解决方案，以提高结构的抗震性能。被动基础隔震的主要概念是增加结构的灵活性，从而避免潜在危险的地震动[59–62].许多建筑物都安装了基础隔震支座，以进行抗震保护[63];然而，在强烈地震激励下，由于被动隔震系统灵活性的增加而导致的大基底位移可能会超过结构设计的规定极限[64–66］．

半主动振动控制由被动隔离系统具有可控半主动装置组合的[67–71］．半主动振动控制是一种耗能少，但不将机械能引入结构系统的控制技术。与被动控制技术不同，半主动控制系统具有更高的可变性，这是因为当功率水平改变时，控制设备的能量耗散能力不同，例如可变刚度和/或阻尼值。

主动振动控制是利用主动控制装置产生的能量，通过外部电源提供能量来改善振动系统性能的另一种控制技术。采用合适的压电作动器将机械能传递给结构，从而有效地缓解振动现象。近年来，利用压电作动器对柔性结构的振动主动控制进行了大量的研究。在各种驱动系统中，压电陶瓷材料因其机械结构简单、体积小、重量轻、有效带宽大、能与机械能有效转换、易于与各种金属和复合结构集成[72］．

4.1.无源系统

Bouc-Wen模型已广泛用于被动滞回控制装置的数值建模。本节概述了不同应用的各种组件。

被动隔震器的目的是降低地震对结构的输入能量，以保持结构的线性振动。许多器件是强非线性的，表现出不同的迟滞行为。在此背景下，Bouc-Wen模型已被广泛使用，因为它的内在能力，以描述广泛的现实世界的被动隔震行为。

在[8.]，提出了一种由钢丝绳弹簧和球传递单元组成的隔震器原型，如图所示5.。恢复力的非线性行为用Bouc-Wen模型表示。

Bouc-Wen模型在[73]由钢丝绳隔震建筑设备的抗震设防的消散能量模型。在[9,10]，修改后的Bouc文模型，采用数值重现硬化行为[9)(见图6.)或不对称滞后周期[10)(见图7.)钢丝绳隔离器的设计。

本文提出了一种组合消能系统[11］．如图8.采用铅橡胶阻尼器(LRD)及其与油阻尼器(OD)平行连接的方法，对某结构框架的支撑进行了研究。采用Bouc-Wen滞回模型模拟了LRD的恢复力特性。

在[12]， Bouc-Wen模型用于数学表示两种不同的弹性隔震器(见图9)，由于弹性体层和增强层而具有不同的特性(以下分别用“IUT_a”和“IUT_b”表示)。图中展示了IUT_a和IUT_b的实验和仿真迟滞周期图10（a）和10（b）分别地

在[74， Bouc-Wen模型用于数学建模的特氟龙滑动轴承的摩擦行为为基础隔离应用。在[13]使得Bouc-Wen模型能够描述连接两个相邻结构的滞回阻尼器的行为，如图所示11。

研究了耗散无源器件作为两个结构之间连接的有效性[75］．建立了带摩擦能量阻尼器的钢筋混凝土板的响应分析模型。利用扩展的Bouc-Wen模型建立了迟滞器件的模型。在[14，研究验证了Bouc-Wen模型能够很好地预测越野机悬架座椅对瞬态输入的响应，如图所示12。[中的Bouc-Wen模型14的示意图如图所示13。Bouc-Wen系数是通过将座椅支承载荷的预测加速度与测量加速度之间的差异最小化得到的。底部缓冲器测得的迟滞力-挠度循环如图所示14。在[14]的结论认为，Bouc-Wen模型可以提供一个有用的模拟现有座位。

4．2．半活性系统

磁流变（MR）流体由浸没在载液中的微米级铁颗粒悬浮液组成；它们的流变行为可以通过外加磁场来改变。研究人员利用屈服应力的可控变化来开发各种智能设备[76–79］．近年来，磁流变阻尼器已被广泛研究作为可控的工程组成部分，因为他们连续可控的机械性能和快速反应[中80］．如图15，MR阻尼器可在三种不同的流体工作模式下工作[15]:剪切(81,82,流83–85，并挤压[86–89］．当间隙的一个壁面相对于另一个壁面平移或旋转时，发生剪切模态。在剪切模式下，流体被平行于壁面剪切。当一个间隙的两壁是固定的，就像在阀门系统中，流体通过间隙并沿着壁的纵轴流动时，就会发生流动模式。挤压模式发生时，壁向彼此移动，挤出流体。在挤压模式下，流体垂直于壁面运动方向流动。根据本构元的运动情况，MR阻尼器可分为线性MR阻尼器[16)(见图16）和旋转MR阻尼器。

MR阻尼器的建模对于准确描述其行为具有重要作用。经过验证的动态模型允许执行几个基本步骤，如性能预测、设计、数值模拟和控制综合。为此，必须强调这些设备中出现的滞后现象。事实上，从图中的实验数据可以观察到17时，力-速度图中出现迟滞回线。

已经建立了几种方法对MR阻尼器进行建模，其中，参数化方法引起了研究人员的极大关注。参数化模型是通过将装置图示为不同物理元件的组合而开发的，典型示例由Bouc-Wen滞回算子构成-基于动态模型[20.,90–93］．

由于Bouc-Wen模型具有磁流变阻尼器的力-位移和力-速度特性，因此被广泛应用于磁滞回线的模拟。下面将介绍最广泛采用的方法。Spencer Jr.等[15,17]采用Bouc-Wen滞回算子来表示MR阻尼器的滞回性能，图中显示了针对MR阻尼器提出的简单Bouc-Wen模型的示意图18[15,17].该系统中的阻尼力由下式给出： 在哪里和分别为粘滞阻尼和刚度;表示由于存在蓄能器而产生的初始位移；是由(3.）.通过调整参数值,,,，描述了力-速度关系。

后来，Spencer Jr.等人[15,17]提出了一种改进的Bouc-Wen模型来预测磁流变阻尼器在大输入范围内的行为，如图所示19。模型由以下公式给出: 在哪里 和为蓄能器刚度;和分别为大、低速时的粘滞阻尼;是大速度下的刚度；是说明存在累加器的术语。磁滞回线的大小和形状可以通过,,,。

为了模拟剪切模态MR阻尼器的行为(见图)20(一个))，基于Bouc-Wen滞回算子的动态模型，如图所示20 (b)，建议[18,19］．给出了控制阻尼力的方程 在哪里为(3.）.图中Bouc-Wen模型21用于大型磁流变阻尼器[20.，阻尼力为 在(23),是等效质量；为蓄能器刚度;为阻尼器摩擦力;是由(3.）.是由 在哪里,,都是正的常数。

4.3. 主动系统

压电作动器是振动主动控制领域的一种功能工具，近年来，压电作动器在建模和控制方面进行了广泛的研究。豌豆利用压电材料的逆压电效应来产生位移和力。事实上，一块压电材料在电场作用下(通过将其置于电场中或在其表面施加电压)会产生机械张力。

滞回非线性问题是永磁同步电机需要解决的主要问题之一，滞回非线性问题的建模对其控制具有重要意义。在豌豆中，电场-(电压-)极化关系和电场-(电压-)应变(变形或位移)关系都存在滞后(图)22)，后者是微纳定位系统中最受关注的问题，它是由单元胞逆压电效应的非线性和畴壁的开关和运动引起的[21,94］．

豌豆的滞后轨迹可以被视为由三种类型的组件:(1)的主回路的磁滞回线横跨整个输入(电压)范围,(2)小环的磁滞回路,只有跨部分的输入范围,和(3)初始上升曲线。由于滞后是豌豆的主要非线性，对反馈控制系统的定位精度和稳定裕度有不利影响[95]，滞后补偿一直是豌豆建模和控制的主要关注。

在[96]，利用Bouc-Wen模型建立PEA模型，并采用PID控制。给出了控制执行机构的动态关系 在哪里是由(14）;是等效质量；为阻尼系数;和弹性常数;为执行机构位移;和是不变的收益;,,是Bouc-Wen模型参数。

一种基于Bouc-Wen的方法在[22来补偿压电作动器的迟滞(见图)23)通过前馈控制。事实上，小型系统（如微/纳米致动器）的反馈控制器受到传感器集成难度的强烈限制。根据乘法逆结构，所提出的补偿器方案适用于滞后，其优点是补偿无需更多计算托尔。

通过以下关系式建立滞回补偿: 为施加的电压;压电系数；执行器的目标位移;由Bouc-Wen模型得到的非线性算子。方程(26)作为一种补偿器使用作为输入作为图中方案的输出24。

为了线性堆的压电陶瓷致动器，该前馈线性化的方法，基于所述的Bouc-Wen模型，和混合线性化方法，结合前馈方法和PI反馈回路的滞后行为，提出并在探索[97］．建立了线性化控制器的快速控制原型，并进行了测试，结果表明，前馈和混合线性化方法都能对迟滞行为进行线性化。同时，pea可以表现出不对称的迟滞行为，因此[6.通过在标准的Bouc-Wen迟滞模型中引入输入偏差和非对称因素。

结论

本文综述了利用Bouc-Wen模型对几种振动控制系统的歇斯底里行为进行建模的相关文献。综述分为三个部分，讨论具体问题:Bouc-Wen模型的数学性质，模型参数的识别，以及Bouc-Wen模型在不同类型振动控制系统动力学描述中的应用。部分2.所描述的的Bouc-Wen模型，它的第一制剂，其连续修改的理论基础。部分3.介绍了用于识别Bouc-Wen模型参数的不同方法。部分4.提供几个的Bouc文模型设备的建模应用在振动控制广泛使用。每个部分都呈现了什么，从作者的角度来看，对于具体问题的主要贡献。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

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