地铁隧道运营过程中的沉降行为

抽象的

本文地铁运行过程中研究了一种地铁隧道的沉降行为。车辆轨迹的非线性振动模型被建立，并且一系列域作用的频率段上振动载荷是基于模态分析的方法和应用所述傅里叶变换算法获得。在土壤中的任何位置上的位移从与弹性连续理论段土相互作用耦合模型导出的，并且其精度与由弹塑性有限元模型获得的计算结果进行比较验证。

1.介绍

随着城市化的持续发展，大城市人口继续以前所未有的速度增长。城市交通拥堵已成为制约城市经济发展、影响城市居民出行的“瓶颈”。在越来越多的城市中，快速、便捷、环保的地铁交通网络正在迅速建设。然而，地铁隧道的竖向位移是由列车振动引起的，对地铁的运行安全产生了重大影响。1995 - 2015年，上海地铁1号线人民广场站与汉中路站之间的下沉量已接近30厘米，上海地铁4号线海伦路站附近的最大下沉量已达到16厘米[1］．因此，必须对地铁隧道在车轨振动作用下的沉降特性进行分析。

在以往的研究中，许多研究者认为车辆-轨道振动的激励模型独立于段-土相互作用耦合模型，并分别对这两种模型进行了研究。这种方法可以方便地研究地铁列车振动的影响，但车轨动力特性不能直接反映地铁列车振动引起的地铁隧道沉降效应。通过建立耦合模型，对车辆-轨道动力学进行了多项研究。得票率最高(2]首先提出了分析连续支撑欧拉梁轨道动力学的频域技术。Dieterman和Metrikine [3.]采用点谐荷载沿刚性基础上弹性层运动的模型，研究了镇流器层内的临界速度。卡西和奥凯利[4]分析了车辆阻尼系数对系统固有频率的影响。Garvey等人[5提出了一种求解车辆-轨道系统方程的新型坐标转换方法。在最近的研究中，车辆和轨道模型被认为是轮轨相互作用动力学的一个整体系统[6- - - - - -12］．

研究了轮轨动力系统振动在地面的传播特性。亨特(13]提出了一种计算无限长隧道和建筑物模型地铁振动传播的简化解析方法。Balendra等人[14]建立了基于二维波动方程嵌入粘弹性半空间的断面隧道模型。克雷洛夫和弗格森[15假定隧道直径小于低频传播波的波长，将地铁轨道下的每个轨枕视为点荷载。福雷斯特和亨特[16[摘要]建立了无限深地下铁路隧道的三维动力学分析模型，分析了列车在20 ~ 100hz频率激励下的地面振动。Metrikine和Vrouwenvelder [17]建立了由静力挠度模型、轨道模型和传播模型组成的模块化模型，并分析了单元尺寸、土体刚度、阻尼和边界条件变化的影响。Gardien和Stuit [18，详细描述了网格细化和粗化在HST应用的情况下，并成功验证。Ekevid等人[19利用有限元分析研究由相邻移动的卡车引起的建筑物振动特性。关于城市交通的研究还比较少。居(20.]研究了地下地铁产生的地面振动效应及其对古建筑的影响。由于施加在空腔上的任意动载荷，对包含空腔的弹性介质中应力波的产生和传播进行了许多额外的研究[21- - - - - -24］．

然而，利用车辆-轨道耦合模型和隧道-土耦合模型计算地铁运营过程中隧道的沉降量却很少。本文预测了车辆-轨道振动激励作用下隧道的位移。计算结果表明，本文的研究可为工程设计提供参考。

2.车辆-轨道振动激励模型

地铁隧道在运行过程中产生的车辆振动引起了隧道周围土体的沉降。沉降的大小主要受车辆-轨道接触面受力、振动频率和系统垂直振动加速度的影响。控制地铁列车振动成为减少地铁隧道周围土体沉降的关键技术。为了深入研究不同轨道部件的行为，需要详细描述轨道结构的动力学特性。汽车车身的起伏振动与点头振动不会引起联轴器。因此，建立基于弹性支撑块无砟轨道特性的半车体模型，如图所示1。

2.1。建立车辆模型

如图所示1的符号，,表示列车体，转向架和车轮组，分别的质量;为物体框架的点头惯量;和分别为车辆主悬架刚度和副悬架刚度;和分别为车辆主悬架和副悬架的阻尼;和是轮轨接触的位置。车辆模型的振动方程根据Hamilton原理建立如下： 在哪里轮轨接触位置处的力是否和为列车系统的位移矢量。

2．2.建立轨道模型

弹性支承块无砟轨道由轨道、紧固件、混凝土支承块、支承块下的橡胶垫、橡胶靴、混凝土轨道床支撑。轨道的垂直刚度和阻尼主要由紧固件和橡胶垫块提供。在模型中，这些可以表示为和或和,分别。此外，弹性支承块无砟轨道内的振动加速度主要体现在轨道和混凝土支承块上。

牛顿和克拉克[25]分析了车辆 - 轨道耦合非线性系统假设所述轨道作为欧拉梁和Timoshenko梁的效果。结果表明，该Timoshenko梁具有更高的准确性分析所述导轨的剪切应力和弯曲变形;然而，计算时间为Timoshenko梁高。本文采用欧拉模型，因为两束具有在轨道的垂直振动位移的分析精度差别不大。铁路的振动变形式成立如下： 在哪里，是狄拉克函数，为轨枕振动位移，反应是什么根睡眠者，和是的站点轮轨耦合力j轮子。

轨枕振动方程为:

钢轨的两端假定为简支。因此，可以得到弯矩的边界条件:钢轨位移和截面上的弯矩在处为零［26，27］．

对应的特征函数即自由振动模态为:

利用正交处理的特征函数结果。因此，自由振动模态方程为: 所以，

通过代入(6) (2)和(3.)得到最终振动方程: 在哪里是轨道系统的位移矢量。

充分的模态数保证了模态分析方法求解轨道振动方程的精度[28］．数值模拟结果表明，当模态数超过时，计算精度满足要求， 在哪里火车的长度是多少为相邻枕木之间的距离。

2．3.轮轨接触应力的计算

利用赫兹非线性接触理论，实现了轮轨接触应力的计算;因此，车轮-履带垂直力为: 在哪里轮轨接触常数(轮轨接触经验公式为接触常数），表示车轮与履带之间的弹性压缩为车轮的半径。

当使用(8)．

2.4。运用随机不规则模式

钢轨表面几何形状受许多复杂因素的影响，如不规则裂纹、裂纹、裂隙和平滑度。轨道不平顺所造成的影响具有随机性。在车辆-轨道建模中，最真实的表示方法是描述车辆在不规则轨道上的行驶，并将轮-轨道系统中的非确定性激励表示为随机不规则。计算方法采用美国铁路标准的6级轨道谱密度函数。利用三角级数法将轨道不平顺功率谱转化为时域激励函数，作为随机激励应用于系统。垂直轨迹不平顺的最终幅值曲线如图所示2。

2．5．新标记积分法

时间步进积分是求解包含非线性的车辆-轨道系统运动方程的最佳方法。车辆振动方程与轨道振动方程相同，如下图所示 隐式的集成方案可能会导致大量的计算，因为大量的线性代数方程需要从集成解决;成本是相当可观的。人民搜索纽马克明确的迭代方法鉴于此。纽马克明确的迭代方法具有简单的计算过程和效率高的特点，但需要牺牲一定的精度和费用的稳定性;同时，时间步的选择被限制在稳定。本文采用翟[提出了新的预测，修正积分法29在此基础上。该方法通过引入两个积分参数对称地构造了一个显式积分形式和。在表单的开头，设置；预测位移和速度的计算公式如下: 预报加速度是通过 将预测加速度代入修正积分方程: 精确的加速度是由

经过大量计算，当时间步长为0.0001 s时，计算结果与隐式积分格式相似。

对于每个时间步长，确定车辆模型和轨道模型中位移和速度的响应，并根据计算的位移和速度确定车轮-轨道的非线性接触力。根据这些结果，从运动方程计算出车辆和履带的加速度。

3.段-土相互作用耦合模型

结合二维建模结果与低频三维建模结果定性一致的观察，二维建模所需的计算量更少[30.］．本节分别建立了土体与管片相互作用的二维耦合模型和二维弹性连续介质模型。

金[31，32[，]给出了二维半平面多孔介质在表面移动线荷载作用下的半解析处理和连接在半空间多孔介质上的无限梁在移动荷载作用下的动力响应。Metrikine研究了点荷载沿梁均匀移动所产生的二维弹性层表面的振动[17］．Rajapakse研究了在静环载荷作用下的多孔弹性介质中的圆形钻孔模型[33］．参考Forrest[的圆柱薄壳无限土计算模型，通过建立二维数值模型，计算隧道的沉降。16］．

３．１．用弹性连续体理论模拟段-土相互作用

在计算过程中，隧道管片假定为一个薄壳圆，圆的材料为线弹性、各向同性和均匀性。本研究的主要贡献是对地铁隧道运行过程中竖向位移的分析。简化计算模型如图所示3., (14)和(15)表示两个主要方向的动态平衡。

径向平衡提供了以下条件: 平衡在切线方向提供以下内容： 在哪里为地铁段半径，为地铁段的厚度，地铁线段的密度是不是材料，和和分别为管片材料的杨氏模量和泊松比。采用复合材料参数，考虑了材料阻尼对系统频域振动的影响。将时域动态加载转换为频域的快速傅里叶变换表示为和。

假设施加的荷载在时域是谐波的，则应力可以表示为 参照公式(16），谐波位移方程，满足（14)和(15)，可以表示为: 在哪里是圆周上形成的波的整数，是频率，并且在波浪线和或和分别表示频率场中的应力或位移。

替换应力(16)及位移(17)进入振动平衡(14) - (15)在频域上推导出地铁段的一般解:

的位移和是基于模式编号吗并利用频率场中的外加应力进行计算。将各模态数的计算结果线性叠加得到总位移。

３.２．基于弹性连续体理论的节段-土相互作用模型

建立段-土相互作用模型，描述土体包围隧道，如图所示4。管片结构被认为是一种线弹性材料。周围土体为饱和、均质、各向同性弹性固体，土体在空间中的范围无限延伸。坐标、位移和应力方向如图所示4。

描述运动的波动方程由Watson推导[34]： 在哪里是拉普拉斯算子，为位移矢量，是时间,介质的密度，和和是块状材料的跛脚常量：和， 在哪里为剪切模量，是杨氏模量，和是泊松比。方程（19)表示弹性、各向同性和均匀介质。本文主要研究了平衡位置的振动;因此，身体的力设置为零。

位移方程(19)，当值满足以下条件时[35]： 在哪里介质中的压力波速度是和吗。

拉普拉斯在（20.)由下式[34]： 在(19)，位移的分量在圆柱坐标系下为: 土体体积的几何方程为:

土壤阻尼比仅最低限度地影响了振动模型中的振动幅度。此外，限制能量由土壤时从轨道到轨枕振动能量传输，到道床，到段，然后在土壤的小振幅振动引起的。该分析假设土壤是线性弹性材料和胡克定律适用于这种材料。

土体的本构方程为:

位移和应力分量可以用(19) - (24)．指定描述位移的势的径向变化的标量波势可以以下列形式假设: 在哪里是振动模态数量隧道段的，反映了外壳振动变形。用（24) (20.)，并与(21)，则控制方程为: 方程（26)为修正的贝塞尔阶方程可根据修正贝塞尔阶方程求解。变换后的方程的解如下: 在哪里和是由边界条件决定的任意常数，分别为:和是第一阶和第二阶修正贝塞尔函数吗，分别与和,在这和介质中的压力波速和横波波速分别是和吗。

代（27)和(25) (22)，可求解系统中各部件的位移和应力。径向和切向位移可表示为:

应力可以表示为:

模型的简谐位移和应力可以用矩阵形式表示为:

在矩阵,是由边界条件决定的系数向量，为角频率，是周向模态数，和为隧道段的半径。

相应地，利用拉氏变换确定了应力方程和位移方程的谐波解。在频域，应力和位移的解为

在构建地铁段-土相互作用模型的过程中，隧道段在土体中采用衬砌-弹性薄圆，隧道周围土体采用弹性连续体。

为了求解模型，需要三个边界条件[35]：（１）接触面土体位移与隧道管片位移同步，隧道管片与土体接触面处动应力处于平衡状态。（２）隧道段底部的应力与施加的荷载相等，而隧道外侧相应位置不设置该力。（3)土壤沿半径无限延伸，在无限衰减的土体位移设置为零。

根据第二个假设，（18)可以写成:

第三种假设可用于连续体振动响应方程的降维。式中，土的应力和位移的解为30.)，修正贝塞尔函数（），（），（),（）最初是用作功能的解决方案在(27)．在哪里和时半径，，,（)趋于零而没有极限，然而（)增加36］．因此，解只能满足边界条件三，当指示的情况如下：

在(30.),矩阵(]和[](由修正贝塞尔函数形成)可以忽略从矩阵。因此，计算时间减少了一半。相应的，贝塞尔方程和包含在矩阵中[]和[]可以从矩阵中去除，这样计算时间又减少了一半。

建立了隧道壳与土体耦合的动力系统模型。但两种模型所采用的坐标系不同，应力和位移的换算公式如下:

隧道-土界面位移方程为:

壳体与土体界面处的应力方程为: 在哪里，，,都是和矩阵。段外表面的加载尺寸可通过替换(36) (32)．使用(35)，可以得到模型的位移和相应参数的具体数值解。对上式进行排序，可得到: (在哪里)是一种单位矩阵。的位移在隧道段的表面和土壤可以通过(37),荷载是否在Section中计算2。是否可以通过快速离散傅里叶变换(DFT)从负载确定。任何位置的位移()的计算公式为:

然而，上面计算的位移靶向特定众数，通过在频域中叠加足够多的模态位移分量，即可确定总位移。

4.结果分析

4．1.用激励模型计算车辆-轨道振动的载荷

地铁车辆行驶速度为40-80 km/h，速度越快，轮-轨接触力越大。在这个计算中，车辆的速度设置为80公里/小时。根据本节所示的车辆-轨道非线性耦合模型2以及表中所示的参数值1和2时，轨枕位移可采用纽马克积分法确定。牧师及鲍里[37]，利用检波器测量轨枕在列车服役期间的位移，用弹性基础法(BOEF)中的修正梁计算轨枕的位移。时域结果如图所示5。

操作过程中轨枕位移的类似行为如图所示5。与BOEF方法相比，车轨耦合模型的计算结果更接近实测值;然而，由于模态分析，位移衰减比BOEF方法慢。

由于车辆的长度会影响隧道位移的频率，因此在分析隧道沉降时需要建立完整的车辆模型。南京地铁安排了六节车厢开往列车。整车模型的建立类似于单转向架模型，但只考虑列车的点头惯量。隧道壳在80km /h时的竖向荷载大小可按(39)，结果如图所示6。考虑

单个转向架载荷频谱的主要频率范围为0-30 Hz(图)7)．因为紧固件与橡胶靴的阻尼的，高频轮轨接触力仅最低限度地影响施加在隧道壳体上的负载。

4．2．隧道总位移计算

将截面上的荷载代入计算隧道总位移4．1采用段-土相互作用耦合模型。模型中各分段的计算参数如表所示3.。

在中国的南京软土的样品用薄壁土样采集。The sampler is cylindrical with a height of 30 cm and diameter of 11 cm as shown in Figure8。动态三轴试验采用GDS系统进行，如图所示9。GDS动态三轴系统可以在试验过程中进行实时监测。因此，测试数据可以被记录和高速访问。在循环荷载为75 kpa、频率为1 Hz、循环荷载为5000次的条件下，实测了桩段-土相互作用模型的软土计算参数;具体参数值如表所示4。

通过对各模型位移的叠加，得到隧道管片的总位移和土体位置。将表中所示的参数值代入，计算各模型数下的土体位移响应1和2结合荷载计算在车轨耦合模型中。

数字10给出了荷载作用于隧道的混凝土隧道壳-软土接触面处的土体位移频谱响应。在较低的频率，在大约2,3,4hz处观察到三个波峰，近似于施加的载荷频谱。在10hz和12hz时，载荷频谱表现出明显的波峰，但位移频谱的响应随频率的增加而迅速衰减。这种衰减可能是由于隧道刚性衬砌对能量的吸收和隧道周围无限软土的辐射阻尼造成的。

隧道沉降随时间的分布可以通过图中的傅里叶反变换得到10，绘制沿模型深度的最大沉降曲线，如图所示11。如图所示，土体的分层沉降量随着距隧道段距离的加深而减小11。土壤深度由0米减至11米。隧道沉降由6.72 mm减小到2.94 mm，沉降速度随埋深的增加而减小。土体的振动能量由于土体的阻尼作用而减小，土体的密实度随土层深度的增加而减小。因此，沉降值几乎呈指数衰减。数字11结果表明，有限元模型计算的土体在隧道衬砌与土体接触位置处的沉降量比管片-土体耦合模型计算的沉降量大。这个较高的值可能是由于在基于莫尔-库仑弹塑性单元的有限元模型的作用下，该位置土体的弹性变形和塑性变形同时发生。随着深度的增加，沉降量迅速减小，这主要是因为塑性变形吸收了振动能量在土体中的传递。对于地铁隧道，土体变形的主要影响范围为0 ~ 3 m，沉降计算结果与两种模型在该范围内的沉降值基本一致。计算结果还表明，节段-土相互作用耦合模型计算值能较好地响应地铁隧道运行过程中的沉降。

5.结论

本文对南京某地铁隧道的沉降行为进行了研究。通过本研究可以得出以下结论:（１）用于车辆轨道振动和用于无限径向范围段土相互作用耦合模型激励模型都建立了这项研究。地铁隧道的轨枕位移可以使用车辆轨迹耦合模型来计算。计算结果表明该方法与BOEF方法相比的准确度和这种方法与测量的轨枕垂直位移一致。（２）通过车辆-轨道模型计算列车在隧道底部运行时施加的荷载，并将频域内的荷载代入段-土模型，得到土体中任意位置的位移。（3)位移频谱的波峰位置靠近施加在隧道段上的荷载频谱;然而，这个值随着频率的增加而迅速衰减。通过对频率的傅里叶变换的解析反演，得到了软土区位移的数值解，并得到了沿垂直方向的位移。随着埋深从0 m增加到35 m，隧道下土体位移由7.27 mm减小到0.91 mm;还原曲线接近指数。

利益冲突

作者宣称没有关于本文的发布利益冲突。

致谢

基金资助:国家自然科学基金资助项目(no. 201430430429);51278099)。作者感谢审稿人的宝贵意见。

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