双稳态压电悬臂发电机非线性动力学和性能的数值和实验研究

摘要

利用广义哈密顿原理建立了双稳态压电悬臂梁发电机的压电-磁-弹耦合分布参数模型。研究了相邻磁体间距对系统静态分岔特性的影响，得到了对应于双稳态状态的磁体间距范围。通过数值模拟和实验研究，分析了不同外部激励下的分岔、响应特性及其对输出性能的影响。结果表明:梁的井间极限环运动与最佳功率输出相对应;井间混沌运动和含井内振荡的多周期运动效果较差。在给定的频率下，随着基极激励的增加，出现了对称断裂和幅相调制的现象。在双稳态系统中发现了混沌运动的倍周期分岔和间歇路径。可以观察到，由于分岔行为，输出功率与激励电平不成正比。

1.介绍

无线传感器网络由于信号传输方便，在环境监测、军事防御、医疗等领域得到了广泛的应用。众所周知，传感器节点数量大，分布分散。然而，传统的电池等电源对于传感器节点来说远非完美，因为其使用寿命有限，且需要定期充电。此外，随着MEMS技术的发展，无线传感器节点的功耗正在降低，这使得自供电节点成为可能[1]．振动能量在环境环境中普遍存在，因此，从环境中收集振动能量并将其转换为可用的电能已经引起了相当大的关注。从环境振动到电力的典型转导可以是静电，电磁或压电。其中，由于结构，高能量密度和长寿命，没有污染和电磁干扰，压电转导被认为是MEMS器件的最有希望的方法。以及易于集成的，并且易于整合[2]．

线性压电悬臂梁的发电已经在许多研究中得到了研究[3.-6.]．为了提高系统的输出功率，要求线性悬臂系统在谐振状态下工作。我们知道，它很难匹配宽带宽和变化的频率特性的环境。为了克服这一缺陷，提出了一些可行的策略，以扩大系统的运行频率范围，从而提高整体发电效率。例如，具有更宽等效带宽的压电发电机阵列[7.那8.]及频率可调能量收割机[9.那10]。然而，由于阵列体积大，很难同步阵列中的所有振荡器以达到最大功率输出，并将其集成到MEMS中。对于频率可调的能量采集器，在实际应用中很难实现自动调谐。

近年来，一些研究人员试图利用非线性来拓宽操作频率带宽。Burrow等[11结果表明，振动能量采集器中硬化刚度效应引起的三次非线性有利于操作带宽的提高。曼和西姆斯[12]设计了一种单稳态非线性电磁发电装置，观察了响应中共存解的存在性。通过触发系统跃迁到更高的能量吸引子，可以提高系统的发电能力。斯坦顿等人[13]提出了一种通过调谐两个磁体之间的相互作用力来表现出软化和硬化特性的单稳态压电发电梁，因此它可以扩大带宽并最大化功率输出。然而，在多场区域，当系统被吸引到高能解决方案时，它只是有利的，这通常难以实现。

2009年，Gammaitoni等人[14]将双稳态结构引入振动发电中，研究了磁体间距对双稳态结构位移和功率输出的影响。同年，Erturk等人[15]实现了月亮和福尔摩斯提出的双稳态模型[16用于压电发电。他们的研究表明，在正弦输入的激励下，系统可以表现出大振幅的周期性混沌振荡。与线性系统相比，双稳态系统的电压输出提高了2倍，功率输出提高了8倍。此外，Arrieta等人[17在双稳态压电板的频率响应进行了实验研究，并且观察了各种大振幅振荡，例如可以获得高电压的混沌和大振幅循环运动。Ferrari等。[18比较了双稳态压电悬臂梁和线性压电悬臂梁在限带白噪声下的位移响应，并通过实验验证了结果。Ramlan等人[19研究了能量收集装置的穿透机制和硬化机制，并分析了每种机制的优点。斯坦顿等人[20.-22]通过数值和实验方法研究了双稳态能量采集器的性能。在他们的研究中，观察到多吸引子共存和干草叉分岔的对称破缺现象。此后，利用谐波平衡法和Melnikov理论对双稳态发电系统的周期和混沌响应进行了分析。Lin和Alphenaar [23声称可以通过引入排斥磁力来增强由随机噪声源驱动的压电悬臂的功率输出。太阳和曹[24]提出了一种双稳态压电发生器的建模方法，并研究了系统的响应特性。Tang等人[25研究了非线性能量收集装置在谐波和随机激励下的单稳态和双稳态结构，并指出最优性能存在于过渡区域附近。McInnes等[26]提出了一种利用随机共振提高非线性能量收割机性能的新方法。近两年来发表了两篇双稳振动能量采集器的研究综述[27那28]．

目前的研究表明，双稳态发电机的潜力是在更宽的低频区域有井间振荡。然而，复杂的非线性动态行为为提高发电性能和调节电路的设计提供了更大的挑战。因此，有必要确定系统的动态分岔特性及其对发电的影响，得到高能轨道的发生条件。本文首先利用广义Hamilton原理建立了双稳态压电悬臂梁发电机的压电-磁-弹耦合分布参数模型。基于该模型，进行静态分岔分析，检测双稳态对应的磁体间距范围。通过数值仿真和实验验证，研究了系统中一些关键参数对系统非线性动态响应、分岔特性和输出性能的影响。

2.BPCG的描述和建模

在本节中，导出了压电-磁-弹耦合模型来描述BPCG的行为。简化的物理模型如图所示1．它是一个非线性振荡器，包括基部激发的压电悬臂，在自由端处具有可调节的磁力。压电悬臂是弹性梁，其具有压电贴片，该压电贴在悬臂的固定端附近的上表面上。一个永久磁铁是安装在光束的尖端，还是另一个磁铁安装在底座上的距离从．两个磁铁放置有相反的磁化以提供排斥力。压电陶瓷的偏振方向沿方向3.物理坐标表示和．

弹性梁的本构关系为 在哪里和分别表示沿1方向的机械应力和应变为基体刚度系数。对于压电贴片，具有压电效应的本构关系可以表示为 在哪里和是电场和沿方向3的位移，为零电场下的弹性刚度，是压电系数，和为零应变时的介电常数。

２.１.Piezomagnetoelastic模型

悬臂梁在基底激励下横向振荡，两个磁体产生非线性斥力。根据广义Hamilton变分原理，可将一个压磁弹性系统建模为: 在哪里为系统的运动学能量，为势能，是压电陶瓷的电能，是外功的变化，和为斥力能的变化，其详细表达式在下一节中给出。表达式如下: 在哪里为材料密度，是卷和下标和分别表示弹性梁(衬底)和压电层。为梁的横向位移;是磁铁的质量，符号“·”表示时间衍生物。

假设每单位长度的梁质量是，则外功的变化为 在哪里标量电势和电荷量。

考虑光束的一种模态，将压电层上下表面的电极视为单电极对，根据瑞利-里兹方法、欧拉-伯努利光束理论和压电元件的恒定电场假设，得到如下表达式: 在哪里表示弯曲的第一模态;为横向振动的模态坐标;为电势分布;是广义电压模态坐标;是压电层厚度，符号“'”表示衍生物相对于．

２.２.磁斥力能量模型

数字2示出了两个矩形永磁体的相互作用力。在排斥力，永久磁铁安装在梁的自由端，将其水平位置与位移留下和偏转角．两个磁体质心之间的瞬时距离矢量可以表示为

将两个磁体看成点偶极子，磁偶极矩均为 在哪里和放大的磁力是永磁体的吗和， 和和分别为两个磁铁的体积。磁场生成的可通过向量微分法计算[20.那29]： 在哪里透气性在真空和和分别为向量梯度算子和欧几里得范数。根据这些表达式，可以得到两个磁铁的电势如下:

考虑（6.)及扩张(12)用泰勒展开，就可以得到 在哪里

2．3.方程的简化和无量纲化

用(4.），（5.）， 和 （13) (3.)，并考虑(6.） - （8.），人们可以 在哪里和为光束振荡器的模态质量和模态刚度;和压电元件的机电耦合系数和电容，和是外部励磁系数。此外，应该注意，通过添加粘性阻尼术语包括机械阻尼：

假设基底激发为 在哪里基底和的加速度幅值是多少为激励(角频率)，单位为rad/s。假设电负载是一个纯电阻，因此电压是．因此， （15)可以重写为 在哪里和是根据[的阻尼比4.]．

通过引入无量纲变换:那那， 和,然后(18)以无因次的简化形式表示为 在哪里

２.４.静态分岔分析

它可以从(14个），（14 b）， 和 （21）当结构和磁性参数固定时，磁体间距的变化可以导致僵硬的变化和刚度．磁体间距对系统静态分岔特性的影响可以从能量角度进行研究;系统在短路条件下的势能可表示为

为了研究，系统的几何参数和材料特性如表所示1数学模型的关键有效参数列于表中2．数字3.显示了和关于．可以观察到和减少，但以不同的速度增加．注意，当毫米,，的线性刚度系数(19)是零。通过临界值时，相空间拓扑性质和势能曲线形状均发生变化(毫米)(图3.）.在…的情况下毫米,时，系统具有正线性刚度，势能曲线上有一个井，对应于平衡点时，系统为单稳态;当毫米,，该系统具有两个潜在的井和一个潜在的屏障，其对应于两个稳定的均衡（中心）（）和一个不稳定的均衡（马鞍点）在．潜在井深为．以上分析表明，超临界沥青叉分岔发生在．适当的磁体间距是系统双稳性的关键因素。在接下来的部分中，通过数值和实验方法研究了BPCG的动态响应和发电性能。

3.数值模拟

本节的主要目的是通过数值模拟研究BPCG的动态响应和电压输出特性。集mm时，系统为双稳态情况，初始条件为(那那)(未另行通知，下同初值)。方程(19） 和 （20.）被求解，因为激发频率或幅度变化。

３．１．激励频率的影响

BPCG的分叉图，同时固定激励幅度（ m/s²如重力加速度)和不断增加的频率（)，如图所示4.．可以看出，双稳态系统在基激励下表现出丰富的动力学特性。随着激励频率的增加，混沌运动和周期运动相互作用。系统响应可分为井内运动和井间运动，井间运动又可分为大幅极限环运动、混沌运动和包含井内振动的大幅多次周期运动。

为了找出上述井间运动的哪一种形式能带来最优的电压输出，我们通过MATLAB仿真计算稳态电响应。激励振幅固定为， 数字5.给出电压输出的有效值，频率从5hz增加到50hz，间隔为1hz。在低频范围内，井间运动主导双稳态系统的响应，非线性系统产生的功率明显大于线性系统，且振幅较大的极限环运动对应最优功率输出。输出电压有效值随励磁频率的增加而增大。与大幅限环运动相比，当系统处于混沌状态或大幅倍数周期(23.41 Hz~31.59 Hz)时，电压输出较低(图5.）.此外，电压输出与激励频率无关。以三种典型的井间运动(大幅极限环振荡和混沌周期-5运动)为例作为例子，图6.给出了位移和电压的时域和频域响应。结果表明，在井间大轨道振荡的情况下，系统具有最优功率输出;周期5运动包括井内运动和井间运动，其中功率输出明显减少;当系统响应为混沌状态时，由于混沌的内在随机性，井内运动与井间运动相互作用，输出功率也为混沌状态，但有效值较低。简而言之，在激励幅值相同的情况下，激励存在一个频率范围，该频率范围被确定为功率输出的最优区域，对应于大幅值极限环振荡。

３.２．激励幅度效应

从数据6(一)和6 (c)，观察到定期响应的相位轨迹是对称的。这也可以通过（19） 和 （20.），在转换下，方程式的形式仍然不变那， 和．但是，在一定条件下，对称属性会消失，如图所示7.,因为赫兹和．这是因为在固定的激励频率下，非线性频率随激励幅值的增加而快速增加。当非线性频率接近时，周期性解决方案包括奇数甚至过度源，导致对称性的损失，即对称性的分叉分叉。如果激励保持不变，则为不同的初始条件出现双解决方案（图7(一)和7 (b)）.对偶解的出现是由对称断裂分叉引出的[30.]．上述分析表明，本文发现的周期轨道的非对称性是由系统非线性引起的，而对称破缺行为导致了[20.]归因于右侧磁铁的位置和角度偏移，这与这里提到的对称破坏分叉有很大不同。对称性破坏分岔通常先于倍周期分岔。逐渐增加，发生了一系列倍增的分叉。数字7 (c)和7 (d)分别表示周期2和周期4的运动。作为到达，混沌运动发生;数字8(一个)显示与混沌运动相对应的相位肖像和Poincaré部分，当系统处于稳定状态时，具有0.0287的最大Lyapunov指数（图8 (b)）.

当增加到了时，系统响应除了呈现周期性行为外，还表现为不规则混沌爆发，如图所示9(一个)．作为时，混沌突发变得更加频繁，如图9 (b)，最终规则运动几乎消失，系统完全混沌(图)10）.结果表明，该系统具有另一个典型的混乱路线，即间歇性。

分析表明，BPCG中存在两种典型的混沌路径(周期性加倍和间歇性)。数字11随着越来越多地描绘分叉图为Hz，作为两种走向混沌的路径共存的证据。从局部放大的图中可以发现分岔区域内的不连续。这是因为当对称断裂分岔发生时，对称吸引子将被两个共存的不对称吸引子所取代[30.]．在不同的初始条件下，双解的相图互为镜像(见图)7(一)和7 (b)）.当激发幅度变化时，将发生类似的现象。比较数字12与7(一)，我们可以看到可以发现幅度相位调制和在相同初始条件下。这可以通过分岔图中的不连续跳变现象进一步观察(见图)11 (b)放大图片)。因此,图13为激发幅度的增加提供有效电压输出的变化。随着分叉引起的输入能量的增加，功率输出并不总是增加。应当注意，在时期加倍分叉的状态和间歇性的开始，由于接口运动主导的事实，功率输出保持更高，并且不会显着变化。然而，当响应变得完全混乱时，功率输出显着降低。

基于以上分析，在设计BPCG时，可以通过延迟分岔的发生、抑制混沌运动和扩大大幅周期振荡的频宽来获得最优的系统输出。

4.实验调查

4.1。实验设置和程序

实验布局显示在图中(14日)以及带有物理参数的压电磁弹性振动发电机装置的图片1如图所示14 (b)．固定在振动激励器上的实验设置包括基部，压电梁，两个磁铁和载玻片。实验装置主要包括振动激励器（B＆K振动激励器型4808），激光扫描振动计（PolyTEC PSV-400-3D），功率放大器（B＆K2720）和数据采集系统（TST5912）。实验过程如图所示15．激励信号由Polytec扫描测振仪的内部信号发生器产生，通过功率放大器传输到激振器，为压电振荡器提供基激励。众所周知，与发电有关的关键因素是相对运动响应，而不是绝对运动响应。为了获得相对位移压电梁的顶端,我们设置了Polytec埃因霍温- 400 - 3 d激光扫描振动计作为三个独立的1 d模式(接线盒是PSV-E-40x-3D (1 d)),并使用激光扫描振动计记录的两个扫描头的振动响应提示质量(磁铁)和梁的底部。光束与电阻负载串联，数据采集系统测量电阻两端的电压。磁铁间距可通过旋转设置右侧的螺丝旋钮调节，螺距为1mm。在接下来的实验中，两个磁铁的间距保持在13.5 mm不变。

4．2．实验结果

在实验中，可以通过调节内部信号发生器的输出电压来设定基极激励的幅值。我们确定激励振幅为测量双稳系统和线性系统的响应()，并逐渐增加激励频率。变频率输出电压有效值如表所示3.．对比表明，在低频区域，双稳系统的产生性能明显优于线性系统。从详细分析可知，井间振荡对应最优输出功率，混沌运动效果较差，井内振荡效果最差。计算结果与数值计算结果吻合较好。数字16和17，分别给出双稳系统在不同激励频率下典型响应的相位图、频谱和输出电压时间序列。为 Hz the response is periodic with large amplitude, while for响应是混沌的。

为了验证前一节中数值模拟的结果，执行实验以增加激发振幅赫兹。非对称周期-1振荡(图18（a）)，周期-4振荡(图18（b）)，以及间歇性的混乱(图19（a）)都被视为逐渐增加。然后，进一步增加导致一种混乱的运动，如图所示19（b）．由于全倍周期级联对应的激励幅值范围较小，手动调节信号发生器的输出很难观察到倍周期分岔和向混沌过渡的序列。然而，通过增大激励幅值，可以定性地观察到倍周期和间歇路径导致混沌的趋势，这与数值分析很一致。数字20.给出了图中四种情况对应的输出电压时间序列18和19．可以看出，由于分叉行为，功率输出与激发水平不成比例;当系统经历一系列时期加倍的分叉和间歇性的开始时，它不会显而易见，而当响应变成混沌时，电源输出显着降低。

实验结果与数值模拟结果定性一致，说明分布式参数模型能较好地反映双稳态系统的真实非线性和发电规律。同时，由于模型假设和实验中不可避免的缺陷，与数值结果存在一定的数量差异。

5.结论和讨论

基于所建立的双稳态压电发电机的压磁弹性分布参数模型，对其动力响应、分岔特性，特别是混沌过渡特性以及发电性能进行了数值和实验研究。在一定的激励频率下，随着激励幅值的增大，BPCG中出现了多种复杂的非线性动力学行为，包括相位调幅、对称断裂分岔、倍周期分岔共存以及混沌的间歇性。双稳态系统的大幅极限环振荡对应的是最大的发电量。混沌和包含井内振荡的井间多周期运动具有较低的功率输出。由于分岔的存在，发电量不能保证随输入能量的增加而增加。在周期倍增分岔序列和间歇性开始期间，发电量保持在较高水平，且变化不显著。而当系统进入混沌状态时，输出功率明显降低。所得结论有助于选择有效运动和参数范围以获得最大的发电性能。未来的工作将纳入结构几何非线性和阻尼非线性的建模，以缓和定量误差之间的仿真和实验结果。高阶振动模态对系统响应的影响也需要进一步研究。 The work presented in this paper tries to explore further potentials of nonlinear energy generator at a wider low-frequency region and reveal the complicated dynamical behaviors of the proposed multiphysical field coupled system.

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

致谢

基金资助:国家自然科学基金资助项目(批准号:)。基金资助:国家自然科学基金资助项目(no. 11172199);51175370)。

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