可观察性测量振动测试数据建筑结构的模态参数估计

摘要

地震荷载作用下结构各模态的荷载分布取决于模态参与因子和模态振型，因此准确估计模态参与因子和模态振型是分析结构地震反应的关键。在本研究中，提出了一种识别模态参与因子和模态振型的方法。通过系统辨识实现的可观测矩阵之间的关系，得到模态参与因子和模态振型。利用可观测性矩阵，可以将从实验数据得到的任意识别的状态空间模型转换为定义在具有物理意义域内的状态空间模型。然后，根据两个状态空间模型之间的转换矩阵估计模态参与因子。数值模拟结果表明，该方法能准确地估计结构的模态参与因子和振型。并将该方法应用于某三层剪力建筑模型的振动台试验数据。

1.介绍

模态参与因子和模式形状是表示地面加速度如何分布到建筑结构的每种模式的系数。这是因为通过地面加速度和每个楼层的质量产生的惯性力通过用于典型建筑结构的模态参与因子分布到每个模式。地面振动可能受到地震等自然过程的影响以及运输等人类事件[1.、土建工程[2.]，爆破[3.]和工业活动。因此，在建筑物结构的动态区域中的许多引用中介绍了计算模态参与因子和模式形状的方法[4.,5.]．

金和崔[6.[展示了用于设计的非线性静态分析程序，用于设计基本模式的模态参与因素，从推送分析获得结构的基础剪切与屋顶上的位移能力曲线。Park等人。[7.]提出了一种通过pushover分析准确预测结构非弹性地震反应的因子模态组合方法。在他们提出的方法中，每个模态的模态组合系数都是基于模态参与系数计算的。Reinoso和Miranda[8.]提出了一种高层建筑侧向加速度需求的估算方法。加速度要求是通过将建筑物的动力行为近似为连续梁的动力行为得到的，连续梁的特征是模态振型、周期比和模态参与因子。Bracci [9]提出了一种评估现有中低层钢筋混凝土建筑抗震性能和改造的简化程序，其楼层需求使用模态参与系数和振型进行估算。

然而，由于建模和施工误差，理想分析模型的模态参与因子和振型与实际模型不同。因此，对实际行为的估计存在限制。由于理想剪力建筑模型与实际结构之间的差异，模态参与因子TOR和振型的计算可能存在误差，导致对结构性能的错误估计。Zhou等人[10.]据报道，在许多实际应用中，时变结构上的激励是未知和随机的，因此仅输出方法是合适的。

利用系统辨识理论，利用仅输出法对结构的动态参数（如固有频率和阻尼比）进行辨识的研究已得到广泛应用[11.–13.].在时域和频域中对系统识别进行了积极的研究[14.,15.]，线性系统和非线性系统的辨识已在工程的各个领域进行了研究[16.–18.]Cho等人[19.和Kang等[20.]将仅输出法推广应用于二次质量阻尼器的识别，如安装在高层建筑上的调谐质量阻尼器和调谐液体阻尼器，以抑制风振运动。

为了从振动试验中估计模态参与因子，需要知道质量矩阵和模态振型的定义。即在每层均安装传感器，使模态振型可测量，可得到更可靠的模态参与因子。然而，由于安装问题和数据处理过程繁琐，实际测量各层结构的动力性能是不可行的。同时，在估计由质量、刚度和阻尼矩阵定义的阻尼比和模态频率时，可以直接从试验中估计出每个模态的阻尼和频率值，而不需要计算这些矩阵[14.]．同样，如果能从试验中直接获得模态参与因子，而不是从估计的质量矩阵和模态振型中间接获得模态参与因子，就能更准确地理解结构的动力特性和实际行为，也能更有效地利用模态参与因子。

在本研究中，提出了一种识别模态参与因子和模态振型的程序直接从测量响应。通过系统辨识实现的可观测矩阵之间的关系，得到模态参与因子和模态振型。由于不需要了解结构的质量、刚度和阻尼矩阵就可以很容易地构造可观测性矩阵，因此可以使用本文提出的方法直接从测量响应中识别模态参与因子。

考虑连续时域单输入单输出系统的模态参与因子的数值推导。因此，所提出的方法的优点是，在不知道其他层响应的情况下，可以根据对应层的响应来估计归一化到某一单元的模态参与系数。也就是说，该方法可以用于估计模态参与因子，即使传感器没有安装在每一层，从而无法得到模态振型。此外，还可以直接从实验估计的模态参与因子估计模态振型。通过数值模拟对该方法进行了评价，并将该方法应用于某三层剪力建筑模型的振动台试验数据。

2.模态参数估计

２.１.模态参与因子

动作的方程-层剪力建筑物在地震作用下的强度为 哪里,， 和是结构的质量，阻尼和刚度矩阵，是一个所有元素都等于1的列向量，是一个柱向量的结构与地面的相对位移，和是地面加速度。方程(1.）可以在模态坐标系中表示（3.)使用中表示的转换(2.) 哪里是广义模态坐标，且为振型矩阵。利用法向坐标变换，方程模式由 哪里为振型，是模态位移，是模态阻尼比和频率是多少th模式。该模式的模式参与系数th模式，，定义自(4.) (4.]

从(5.)，即模态参与因子不是唯一的值，而是根据模态振型的归一化方法以及底板质量分布而变化。

2.2。使用系统识别的模态参与因子估计

对于具有加速输出的SISO系统，输出一楼从(2.), 哪里是个元素模式的形状。如果每个模式的第th个元素被归一化为单位值(6.)成为

运动方程如图所示(4.)以及楼层（7.）可以转换为状态空间形式 哪里是状态变量，是物体的相对加速度地板到地面，和0和单位矩阵有大小吗分别是大小的零矢量,是个由模态的模态参与因子构成的向量th元素，是个Th元素，和对角矩阵和分别是

方程(8)及(8 b）可以简化为 哪里是SISO系统的输入，即地面加速度，以及， 和是,,， 和系统矩阵,分别。

中介绍的状态空间模型(10A)及(10B.)具有物理意义，因为它来源于(1.)，它由一个二阶微分方程定义，其变量及其导数具有物理意义。在本研究中，在物理域中定义的状态空间模型表示为a典型状态空间模型.这是从(8），（8 b），（10A)，及(10B.)如果系统矩阵得到了典型状态空间模型的。

利用系统辨识方法在振动试验中实现的状态变量和状态空间模型具有任意值，因为它们被确定为输入、和输出,，只是满意。状态变量用作连接和输出之间的中间变量，并且存在满足输入和输出之间的关系的无限可能的状态变量。因此，相应的状态矩阵没有物理含义。在本研究中，从振动测试中实现的状态空间模型表示为一个任意状态空间模型．

利用系统辨识方法从振动试验中获得的任意状态空间模型可以表示为 哪里是状态变量和吗， 和是通过系统识别实现的系统矩阵。

如上所述，状态变量，，在(10A)及(10B.)在模态坐标中具有模态位移和速度的物理意义，但状态变量，，在(11A)及(11B.)没有物理意义。因此，系统矩阵所实现的系统识别一般不同于系统矩阵典型状态空间模型。因此，为了从振动试验中估计模态参与因子，需要从任意状态空间模型的系统矩阵中得到典型状态空间模型的系统矩阵。也就是说，需要找到状态变量之间的关系，，典型的状态空间模型和任意状态空间模型。

如果转换矩阵转换状态变量，，在(11A)及(11B.)变为状态变量，，在(10A)及(10B.)，关系为 用(12.) (10A)及(10B.)导致 比较（13A)及(13B.)及(11A)及(11B.)得到了两种状态空间模型的系统矩阵之间的关系 哪里和分别是典型和任意状态空间模型的可观测性矩阵[21.,22.]．可观察性矩阵是衡量状态变量的信息是否可以从系统的输出确定并且由其定义

(中的变换矩阵12.)从(14.), 以及系统矩阵之间的关系通过系统辨识和系统矩阵实现下面给出了典型状态空间模型的

指的是(8)及(8 b)，第一个矢量行都是零。因此，(中典型状态空间模型的可观测矩阵17.）可以以分区形式重写为 哪里,,， 和是子矩阵和和是子矩阵.最后来自(18.），模式的模态参与因子标准化为第Th元素为 值得注意的是和仅用于计算模态参与因素（19.）.这是为了避免逆矩阵计算过程中的数学病态。

2.3.根据模态参与系数估算模态形状

根据各因素之间的简单关系，可直接从实验估算的模态参与系数估算振型(5.)的模态参与系数th模式，，使用模式形状归一化为元素由 哪里是个模式形状归一化为th元素。如果是个模式形状归一化为th元素,与之相关经过 哪里是个元素模式形状归一化为th元素。用(21.) (20.)导致 哪里模态参与因素是使用的模式模式形状归一化为th元素。

因此,元素模式形状归一化为第Th元素可以用识别的模态参与因子为

3.数值验证

在本章中，所提出的过程使用两个示例进行数字验证：承受白噪声地面加速度和加速度的三层建筑这座8层楼的建筑在1940年的埃尔森特罗地震中受到地面加速度的影响。下面的步骤被用来估计模态参与因子和模态振型。

第一步。使用任何系统识别技术识别SISO系统的任意状态空间模型。

第二步。从识别出的任意状态空间模型中获得模态频率和阻尼比。

第3步。构造系统矩阵和典型状态空间模型使用模态频率和从步骤获得的阻尼比2.．

第四步。计算典型状态空间模型和任意状态空间模型的可观测矩阵15.）.

第5步。计算模态参与因素（19.）使用步骤中识别的任意状态空间模型的分区观察性矩阵和系统矩阵B1.．

第6步。若测量的楼层多于一层，则振型可由(23.)使用步骤中计算的模态参与系数5.．

3.1。3层建筑

3.1.1.建筑物说明

3层剪切建筑结构首先用于数值模拟。每个楼层的质量，阻尼和刚度分别为22.758千克，6.50n·s / m和3,764n / m。这些值对应于实验室中使用的实验设置。自然频率为0.900Hz，2.522 Hz和3.644 Hz和模态阻尼比率为0.50％，1.40％和2.03％。结构的模态特性总结在表中1.和2.．模态振型归一化到表中的第三层1.表中给出了三种不同归一化层情况下各模态的模态参与系数2..如上文所述(5.)，显然，模态参与因子随模态振型的归一化方法而变化。

在数值模拟中，采用白噪声作为地面加速度，计算各楼层的绝对加速度。地震动持续时间为100秒，采样率为1/100秒。图形1.显示各楼层的地面加速度和数值计算的绝对加速度。

3.1.2。系统识别结果

利用地面加速度和地面绝对加速度进行系统识别。由于有三个地板加速度可以作为SISO系统的输出，系统识别执行了三次。在第一种情况下，地面加速度作为SISO系统的输入，一楼加速度作为输出。在第二种和第三种情况下，第二层和第三层的加速度分别作为SISO系统的输出，如表所示3..系统识别使用N4SID（状态空间子空间系统识别）方法执行[15.]．状态空间模型用于识别，状态空间模型的顺序为6。

使用地面加速度和第一楼层加速度（壳体1）从系统识别获得的任意状态空间模型的系统矩阵总结在表中4.．在图中2.，使用表中的系统矩阵计算地面加速度的一楼绝对加速度的传递函数3.与分析模型的比较。它可以从数字中注意到2.所识别的传递函数匹配分析模型的匹配。

3.1.3.模态参与系数估算结果

由系统矩阵得到的模态频率和阻尼比如表所示4.总结在表格中5.．使用表中所示的模态频率和阻尼比5.，系统矩阵和根据(8），（8 b），（10A)，及(10B.）如表所示6.．

典型和任意状态空间模型的可观察性矩阵计算为（24.)及(25.）分别使用（15.)系统矩阵如表所示4.和6.．为简洁起见，(18.）呈现：

利用上述可观测性矩阵和系统矩阵在表格中4.，模态参与系数可通过以下公式获得：(19.)的情况下，模态形状被标准化到一楼

比较(26.）和表中呈现的分析模型2.对于第一层归一化的情况，可以得出结论，所提出的方法准确地估计了模态参与因子。

基于整个系统识别结果的模态参与因子如表所示7.．再次，很明显，提出的方法估计模态参与因子与表中给出的正确比较2.．

3.1.4.振型估计

在表格中8.，使用(23.)和表中给出的模态参与因子7.如图所示3.将估计模态振型与表中解析模型的模态振型进行比较1..使用Alvin和Park提出的基于公共的归一化系统识别（CBSI）方法获得的振型[23.]也显示在图中3.．分析模型的模式形状被表示为“分析”，所提出的方法估计的“分析”表示为“P型”，并且通过CBSI方法获得的那些表示为“CBSI”。从图中可以看出3.提出的基于模态参与因子识别的模态振型估计方法具有较好的准确性。

3.2。8层大楼

3.2.1之上。建立描述

第二次数值模拟采用8层剪力建筑结构，每层的质量、阻尼和刚度为416.84 公斤，454.55 N·s/m和100 前三个固有频率为0.455 赫兹，1.349 赫兹和2.198 Hz和模态阻尼比分别为0.65%、1.93%和3.14%。对于数值模拟，使用1940年El Centro地震记录作为地面加速度，并计算各楼层的绝对加速度。地面运动持续时间为60秒，采样率为0.02秒。图4.显示选定楼层的地面加速度和数值计算的绝对加速度。

3.2.2。系统识别结果和模态形状估计

类似于3层构建示例，使用地面加速度和楼层绝对加速度的系统识别八次。在图中5.，将四楼和八楼绝对加速度与地面加速度的传递函数与解析模型的传递函数进行了比较。它可以从数字中注意到5.所识别的传递函数匹配分析模型的匹配。

用该方法估计的模态振型与图中解析模型的模态振型进行了比较6.. 如3层建筑示例所示，可以从图1中看到6.提出的基于模态参与因子识别的模态振型估计方法具有较好的准确性。

4.实验验证

4．1.测试设置

为验证该方法的有效性，进行了振动台试验。图形7.显示了振动台试验的示意图和照片。试验中使用的振动台为单轴伺服液压振动台，水平力容量为2.0 KN.试验楼层高为600 mm和宽度为50 mm的立柱 毫米，厚度为2毫米 安装时，应确保建筑在弱轴方向上运行。每层由650 毫米×650 毫米×4 mm钢板，并用50 mm的环向钢板加固 毫米×4 包括加速度计在内的楼层质量为22.785 mm 公斤

采用ADXL103传感器的四个无线MEMS系统[24.]安装在每层中，以测量地板加速度和地面加速度。建筑物由作用于弱轴方向的白噪声地面运动激励，地板加速度测量时间为200秒，采样率为1/1000秒。给出了前100秒的加速度时程在图中8.．

4.2。系统识别和模态参与因子估计

与数值验证类似，系统识别采用地面加速度和每层楼面加速度进行三次。在表格中9，给出了利用地面和一层加速度进行系统辨识所实现的任意状态空间模型的系统矩阵(案例1)。由表中系统矩阵计算得到的一楼绝对加速度的传递函数9与图中的分析模型进行了比较9．图中的虚线6.传递函数是通过测量加速度得到的吗?实线是通过表中给出的系统矩阵计算得到的吗9．

图形10.显示了测量的一楼加速度与使用表中给出的系统矩阵进行分析估计的加速度之间的相关图9.相应的相关系数为0.965，表明通过系统识别实现的系统是可靠的。

使用表中给出的系统矩阵获得的模态频率、阻尼比9，对应的模态参与因子(19.)列于附表10.．表中给出的模态参与因子10.是一层的模态振型。

系统识别结果和相应的模态参与因子使用地面和二层加速度(案例2)列于表中11.和12.和数字11.和12.．使用地面和三楼加速度（案例3）的系统识别结果和相应的模态参与因素在表中呈现13.和14.和数字13.和14.．

从数字12.和14.，观察到基于第二层和第三层加速度的系统矩阵识别具有可靠的精度，类似于使用第二层加速度实现的系统矩阵。此外，无论系统识别情况如何，几乎相同的模态频率和阻尼比都被识别出来，如表所示10.,12.， 和14.．

4．3．模式形状估计

在表格中15.，使用(23.）和桌子中给出的模态参与因子10.,12.， 和14.如图所示15.显示了估计的模态振型与CBSI方法得到的模态振型的比较。从图中可以看出15.使用所提出的方法获得的估计模式形状与使用CBSI方法计算的那些具有可忽略的差异。

5.结论

提出了一种直接从测量响应中识别模态参与因子和模态振型的新方法，并进行了数值模拟和实验验证。对3层和8层剪力结构进行了数值模拟，结果表明，与解析模型相比，结构响应的模态参与因子和模态振型得到了准确的估计。并利用三层剪力建筑模型的振动台试验数据，对该方法的有效性进行了评价。结果表明，该方法能准确地得到模态参与因子和模态振型。

根据数值模拟和实验验证，可以注意到可以在不提前了解质量和刚度矩阵的情况下获得模态参与因子。此外，还显示，在不知道其他楼层的响应的情况下，可以估计特定地板的模态参与因子。该功能使得提出的方法适用于大型建筑物的振动试验，其中每个楼层的动态行为的测量并不逼真。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

致谢

本研究由教育部韩国国家研究基金基础科学研究计划(NRF)资助(NRF-2010-0023976)。该研究还得到了韩国国土交通部区域发展研究计划(10 RTIP B01)的资助。

参考文献

1. 郝h，昂T. C.，沈J.，“交通引起的地面运动对建筑振动的影响，”建筑和环境第36卷第2期3，页321-336,2001。浏览：出版商网站|谷歌学者
2. B.M.New，“建筑工程引起的地面振动，”隧道和地下空间技术采用恒星，第5卷，第5期。3，第179-190页，1990。浏览：出版商网站|谷歌学者
3. C.吴，H. hao，Y. Lu和S. Sun，“砂层结构反应的数值模拟爆炸诱导地面激动”计算机与结构，第82卷，第9-10号，第799-8142004页。浏览：出版商网站|谷歌学者
4. R. W. Clough和P. Penzien，结构动力学， McGraw-Hill，纽约，纽约，美国，1975。
5. M. Paz和W. Leigh，结构动力学:理论与计算， Kluwer Academic Publishers, Dordrecht，荷兰，2004年第5版。
6. J. Kim和H. Choi，“基于位移的框架结构抗震改造补充阻尼器设计”，结构工程学报，卷。132，不。6，pp。873-883，2006。浏览：出版商网站|谷歌学者
7. H.-G。Park, T. Eom, H. Lee，“地震荷载剖面评估的因子模态组合”，结构工程杂志号，第133卷。7，页956-968,2007。浏览：出版商网站|谷歌学者
8. E. REINOSO和E. MIRANDA，“地震期间高层建筑物的地板加速要求估计”高层特殊建筑结构设计，第14卷，第2期，第107-130页，2005年。浏览：出版商网站|谷歌学者
9. J. M.Bracci，“使用自适应推动分析简化了结构的地震评估，”地震工程中的计算方法、地震防护、混合试验和恢复力，卷。33份岩土、地质和地震工程，第77-96页，施普林格International Publishing, Cham, Switzerland, 2015。浏览：出版商网站|谷歌学者
10. 南达科他州。刘磊，杨伟，周磊。Ma，“基于混合时域和频域的矢量多阶递归方法的时变结构运行模态识别”，冲击和振动，第2015卷，文章编号397364，共13页，2015年。浏览：出版商网站|谷歌学者
11. J.-S.Hwang，H. Kim和J. Kim，“使用H-Infinity最佳模型减少使用调谐质量阻尼器的结构的模态质量的估计”，工程结构第28卷第2期1，第34-42页，2006。浏览：出版商网站|谷歌学者
12. H. Kim, W. Kim, b.y。金,js。Hwang，“利用无线MEMS和PZT传感器对建筑结构进行系统识别”结构工程与力学，卷。30，不。2，pp。191-209，2008。浏览：出版商网站|谷歌学者
13. 刘天明，李亚明，丁玉明，赵德明，“基于多模态信息融合的结构损伤识别方法研究，”结构工程与力学第31卷第1期3, pp. 333-347, 2009。浏览：出版商网站|谷歌学者
14. J.-N。Juang应用系统识别， Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ，美国，1994。
15. l . Ljung系统识别工具箱用户指南，Mathworks，Natick，Mass，USA，2007。
16. j . s . Bendat无随机数据的非线性系统分析和识别，约翰瓦里和儿子，纽约，纽约，美国，1990年。浏览：MathSciNet
17. F. J.Doyle III，R.K. Pearson和B. A. Ogunnaike，使用Volterra模型识别和控制，春天，纽约，纽约，美国，2002年。浏览：出版商网站|MathSciNet
18. S. S. Afshari, H. Nobahari，和S. a . H. Kordkheili，“使用压电传感器和驱动器的柔性梁的实验参数识别”，冲击和振动， 2014年，第718140号，5页，2014年。浏览：出版商网站|谷歌学者
19. B.-H。曹,js。乔,S.-J。朱，H. Kim，“基于全尺寸试验的二次质量阻尼器动态参数识别”，计算机辅助土木和基础设施工程第27卷第2期3，pp。218-230,2012。浏览：出版商网站|谷歌学者
20. N. Kang, H. Kim, S. Choi, S. Jo, j.s。黄，E. Yu，“利用系统识别和反向风载估计评估台风下TMD的性能”，计算机辅助土木和基础设施工程第27卷第2期6, pp. 455-473, 2012。浏览：出版商网站|谷歌学者
21. t . Kailath线性系统， Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ，美国，1980。浏览：MathSciNet
22. 陈振堂，线性系统理论与设计，牛津大学出版社，纽约，纽约，美国，第三版，1999年。
23. K.F.Alvin和K.C.Park，“通过基于状态空间的系统识别的二阶结构识别程序，”AIAA杂志，第32卷，第2期2，第397-406页，1994。浏览：出版商网站|谷歌学者
24. 模拟设备，数据表-ADXL103/ADXL203，2014。

版权

版权所有©2015 Jae-Seung Hwang等人。这是分布下的开放式访问文章创意公共归因许可证，允许在任何媒介中不受限制地使用、分发和复制，前提是原作被正确引用。