系统参数不确定的分数阶混沌系统的自适应跟踪控制

摘要

针对参数不确定的分数阶混沌系统，提出了一种自适应跟踪控制方法。从理论上证明了该方法可以使不确定参数的分数阶混沌系统跟踪任意给定的参考信号，并通过自适应跟踪控制过程估计不确定系统参数。参考信号可以属于其他整数阶混沌系统，也可以属于不同分数阶的不同分数阶混沌系统。通过两个算例验证了该方法的有效性。

1.介绍

在非线性科学中，混沌同步是一个热点问题，引起了科学家和工程技术人员的广泛关注。在过去几十年[1- - - - - -13]，混沌系统的控制已经被提出了各种方法，如变结构控制方法、自适应控制方法和时滞反馈控制。到目前为止,科学界的利益和工程技术应用在控制混沌动力学发展后增加了“跟踪”的方法可用于跟随一个不稳定的不动点或一个不稳定的周期轨道嵌入任意给定的参考信号在不同的动力机制(3.，8- - - - - -11］.在电子和激光系统中，进行了跟踪不稳定周期轨道和稳态的实验[12，13］.一些研究人员基于参考信号设计了一个控制器，使混沌系统的输出成功地跟随给定的参考信号[10，11］.

然而，现有的许多跟踪控制方法主要集中在整数阶混沌系统上[11，14- - - - - -17］.到目前为止，关于分数阶混沌系统的跟踪控制的论文很少[18，19］.在[18，研究了分数阶超混沌Lü系统的跟踪控制，该系统的所有参数都是准确已知的。在[19，提出了一种参数未知的分数阶超混沌Lorenz系统的自适应跟踪控制方法。但是，[中的跟踪控制方法18，19]是异常的，只适用于特定的分数阶混沌系统，给定的参考信号不属于不同的分数阶混沌系统。

受上述讨论的启发，本文基于分数阶系统的稳定性理论，给出了一种有别于以往工作的更通用的系统参数不确定分数阶混沌系统自适应跟踪控制方法。参考信号可以属于其他整数阶混沌系统，也可以属于不同分数阶的不同分数阶混沌系统。说明该方案的有效性,我们把三维分数阶Lorenz混沌系统和不确定系统参数跟踪任意给定的参考信号和一个新的3 d分数阶混沌系统和不确定系统参数跟踪三维分数阶Lorenz混沌系统,例如。数值仿真验证了该方案的有效性。

论文组织如下。节2，提出了一种自适应跟踪控制方案。节3.通过两组算例验证了所提方案的有效性。最后在第一部分得出结论4．

2.系统参数不确定的分数阶混沌系统的自适应跟踪控制

分数阶导数有几种定义。在本文中，将使用caputo型分数阶导数。分数阶导数的Caputo定义，有时被称为光滑分数阶导数，被描述为 在哪里最小的整数是否大于，是通常意义上的阶导数代表函数。

现在，我们考虑分数阶系统记为系统(2.2下面) 在哪里和可微的函数。参数为系统参数之一。

当参数是未知，控制器添加到原始系统(2.2),我们得到 在哪里是一个未知的参数被估计和是一个拟设计的实矩阵。

让是一个任意给定的参考信号。我们的目标是设计控制器具有自适应参数，使输出信号的系统(2.3.)跟随参考信号最后是不确定参数可以被识别。这是 在哪里是欧几里得范数吗“unknown”参数的值是否为“true”．

2.1的话。参考信号可以属于其他整数阶混沌系统，也可以属于不同分数阶的不同分数阶混沌系统。
首先,控制器设计如下: 在哪里和是真正的矩阵。和分别为补偿控制器和反馈控制器。如果参数unknown为真值被选为，然后定义补偿控制器是

2.2的话。用于定义控制器(2.6)必须已经知道参数的正确值，这一点与参数不确定的主从(或驱动响应)自适应混沌同步相同。在参数不确定的主从(或驱动响应)自适应混沌同步中，从系统(或响应系统)中未知参数的“真”值就是主系统(或驱动系统)中参数的正确值。
让跟踪错误和参数错误．所以,(2.3.)可以改为
一般来说，我们可以假设 在哪里是一个真正的矩阵,,是一个真正的矩阵。
现在，反馈控制器选为, 在哪里是一个实矩阵稍后设计。根据(2.8)和(2.9), (2.3.)或(2.7)可以重写为
其次，参数更新规律选择为 在哪里是一个真正的矩阵。因为某常数的Caputo导数为零，所以(2.11)可以重写为
根据(2.10)和(2.12)，我们可以得到 在哪里是一个真正的矩阵。
由(2.13)，我们知道分数阶系统(2.3.)跟踪任意给定的参考信号以及不确定参数可以确定的问题转化为以下问题:选择一个合适的矩阵和这样的系统(2.13)渐近收敛于零。

定理2.3。对于任意给定的参考信号，分数阶系统之间的同步(2.3.)及参考信号会得到哪些不确定参数将估计 在哪里是一个实对称正定矩阵，是实对称正半正定矩阵吗表示矩阵的共轭转置。

证明。假设是矩阵的一个特征值吗对应的非零特征向量是,也就是说,
将上述方程乘以，我们推导出来
然后，通过类似的论证，我们也可以得到
从(2.16)和(2.17)，我们可以得到
自和，那么实对称正定矩阵和实对称半正定矩阵分别是什么呢 所以
从(2.20),我们有
根据分数阶系统的稳定性理论[20.的平衡点。2.13)是渐进稳定的。
因此, 哪个表示输出信号分数阶混沌系统(2.3.)可跟踪参考信号最后是不确定参数将估计。证明完成了。

3.说明性的例子

为了说明该方法的有效性，文中给出了两个算例，并进行了数值模拟。

３.１.参数不确定的三维分数阶Lorenz混沌系统跟踪任意给定的参考信号

三维分数阶Lorenz [21系统是由 在系统参数．分数阶Lorenz系统表现出分数阶的混沌行为．的混沌吸引子如图所示1．

让我们假设这个参数在分数阶洛伦兹系统中是未知的。参数不确定的分数阶Lorenz系统是由

研究了具有不确定系统参数的分数阶Lorenz混沌系统对任意给定参考信号的跟踪。我们取参考信号为例。根据以上所述，我们可以得到

现在，参数更新定律和实矩阵是选为

因此,

选择实对称正定矩阵，我们可以让步

选择对称正半定矩阵，我们可以得到

根据上述定理，分数阶Lorenz系统(3．2)参数不确定能追踪参考信号吗最后，和不确定参数将估计。数值结果如图所示2，其中初始条件为，对于系统(3．2),，则“unknown”参数的“true”值被选择为,分别。

３．２．一种新的具有不确定系统参数的三维分数阶混沌系统

一种新的三维分数阶混沌系统[22，23Sheu等报道。它被描述为 在系统参数．的混沌吸引子如图所示3.．

让我们假设这个参数在分数阶系统中是未知的(3．8）.参数不确定的分数阶系统是所描述的

现在，我们研究分数阶系统(3．9)，系统参数不确定跟踪分数阶Lorenz系统(3．1）.即参考信号属于分数阶Lorenz系统(3．1),也就是说,．因此，参考信号可能属于不同分数阶的不同分数阶混沌系统。

在这种情况下，矩阵和可以写成和,分别。根据以上所述，我们可以得到

参数更新规律和实矩阵是选为

因此,

选择实对称正定矩阵，我们可以让步

选择对称正半定矩阵，我们可以得到

根据上述定理，分数阶系统(3．9)参数不确定可以跟踪分数阶Lorenz系统(3．1)和不确定参数将估计。数值结果如图所示4，其中初始条件为分数阶Lorenz系统(3．1),，对于分数阶系统(3．9),，则“unknown”参数的“true”值被选择为,分别。

4.结论

针对不确定参数的分数阶混沌系统，提出了一种更通用的自适应跟踪控制方法。基于分数阶系统的稳定性理论，设计了自适应控制器，并得到了估计系统未知参数的参数更新律。选取具有不确定系统参数的三维分数阶Lorenz混沌系统对任意给定的参考信号进行跟踪，以及一种新的具有不确定系统参数的三维分数阶Lorenz混沌系统对三维分数阶Lorenz混沌系统进行跟踪。数值仿真验证了该方法的有效性和可行性。

承认

重庆市教委科技项目(KJ110525)资助。

参考文献

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