利用代数拓扑中的同调不变量分析种群增长

抽象

本文介绍了使用同源理论工具代数拓扑学领域分析人口增长的一个抽象的方法。对于一个拓扑空间和任何点 ，哪里是n-维曲面，群 被称为空间的人口 。从递增序列来为提供了人口增长的基础。人口在增长 如果发生对所有和 。这是通过同源不变描述 。本文的目的是建立同源不变和使用分析人口的增长。这种方法是基于拓扑性质，如连通性和连续性。本文广泛使用同调不变量来表示人口增长的重要信息。这种方法最显著的特点是它在分析人口增长时简单，只使用代数类别和变换。

1.介绍

代数拓扑用于识别拓扑性质提供了可计算的财产已经获得了数学和其他科学分支的许多不同领域的重要性和受欢迎程度。虽然主题代数拓扑学是数学的一个相对较新的领域，其在公制和拓扑空间动力学研究的贡献不能被推翻。例如，在一个空间的组件的研究，它提供了很多的有关组件的数量以及它们如何在空间连接在一起的信息。不仅获得的信息有助于我们替补的空间拓扑都和几何性能，而且还提供了减少拓扑问题和连续映射到代数的问题，从而使它更适合以确定一些同调不变量的方法。在这项研究中同源不变的本质是，它并没有变形下更改相同的属性。相反，它分配一个特定的号码正在研究一个特定的属性。人口增长也保持增长，无论人口增长有多宽变化。这被认为是生长变形下同源不变。在本文中，一个特定的值被分配给同源不变来表示人口的增长。虽然不同的方法，如统计分析和微分方程模型已经被开发和研究在许多研究工作的人口增长中，许多人都尚待开发，这或许可以有意义现有的知识贡献。 Indeed, to study the growth of population of a country, one needs to be equipped with all the necessary information regarding the population of the country, and the approach to collect all this information is sometimes quite arduous in the field of statistics and differential equations. Research on population growth and its implication in Walker [1]透露，随着人口增长最快的国家往往会在饥饿，贫困和环境恶化的全球指数排名高。居内伊[2]也使它在他的工作显然，虽然在发展中国家的人口增长产生负面影响可持续发展，发达国家的人口增长影响可持续发展的积极。所有这些研究都从统计数据足够的信息来进行。因此，对人口数据的资料很少，人们发现它很难描述统计和其他相关领域人口增长的过程。因此，这使得代数拓扑这是抽象的，需要更少的任务，这是在这项研究中非常重要的概念的应用。在代数拓扑同源不变缩短这一进程，并提供了方便的技术来连续工艺的研究如人口增长。事实上，同调不变量已经被证明是研究不仅是连续的过程，如人口增长也为众多连续的物理现象的宝贵工具。例如，金赛[3]使用欧拉特性作为拓扑不变量的一个研究对象的表面，并得出结论，如果欧拉特征是零的物体的表面是闭合的。这是描述一个封闭的对象的抽象的技术之一。Hossenia等。[4]还开发同伦的概念，通过变形和同伦方程的线性部分的稳定化的拓扑不变量中的一个。他的方法表明方程的解的稳定性和收敛性是如何保证的。许多研究工作，包括其他人[4，五]，采用同调不变量的概念，本文进行了综述，但本文的主要思想是从Donald和Chang的研究工作发展而来[五]。更多时候，研究人口增长的方法集中于统计和微分方程[1，6，7]。在本文中，新颖性是引入统计和微分方程外侧的同源不变的。我们在本文中引入的同源不变量将描述的2维表面或组之间的连续的路径，并且将随着人口的增长被参考。在所有情况下，基团在拓扑空间的路径的增加的序列是人口的增长。

1.1。背景

在以前的一些作品[6，7[]，统计和微分方程方法被用来研究给定数据集的种群增长。在一定程度上，这些统计和微分方程模型被证明是研究种群线性和非线性增长的成功方法。虽然还有其他同样重要的方法试图建立种群的增长，但这些方法都没有采用代数范畴中的群的概念。代数拓扑使用了保持二维曲面(代数范畴)某些拓扑结构的同调不变量的概念。组中的对象仅限于二维表面。路径(连续映射)有助于生成扩展。在本研究中，通过连续地图的群的扩展被称为人口增长。

2.主要概念

人口增长从组和连续映射的目的开发的。当一个对象由路径或线段延伸到另一个对象时发生。通过在人口增长的路径，我们指的是连续映射。人口是拓扑空间吗X的对象生成的 。

2.1。初步命题

命题1。人口在某一年是n维表面或n单纯形为 。

命题2。对于任何一个人口 ，人口的增长发生在 哪里n=， 2,3，…，k = 1, 2, 3, 4, …, and是初始n维表面。

命题的证明。2。让表示某一给定年份内的种群值及种群的变化为同态或距离(d)来 。在这种情况下,距离新的人口规模 。让代表增长发生的年份是第一年。在 ，从初始种群大小得到种群大小是 。让 和 代表人口的对象和它们的对应的同态或距离，使得 和 。在空间的各个对象的递增序列X增加了人口数量。这是已知的 因此，人口的总增长被给出为 哪个和 随着第一年到第二年的人口增长，和 ，我们有 这就变成了 同样,在和 ，我们有 因此,在k个年，我们有 这证明命题2。

命题3。让使得在闭区间 限定的尺寸我个人口。也让使得在闭区间 哪里 大于 。如果同态是从哪里来的来这样和 ，然后出现人口增长。因此， ， 和 ，如果 。这样和 ，然后发生人口的增长。在实际值方面，当先前人口的最终值是当前人口的初始值发生人口的增长。

2.2。同源性

一般来说，n拓扑空间的第同源性组X被定义为 哪里 ，边界算子的核，中封闭路径(循环)的数量X，及图片( ）表示在封闭路径（循环）的边缘（边界）X。那是， 。拓扑空间X由有限的点集组成人口或2维表面 ，人口的增长是从1开始的到另一个地方。那是，增加到为 。自是一个二维曲面，可以估计0、1和2个同调不变量。

2.3。计算和同源性不变量

2.3.1。利用二维曲面作为单纯复形

在的情况下在2维表面，所述同源性不变量估算如下：如果是初始的人口，我们假设1^圣，2^nd,3^RD年份的人口值如下 ， ，和 ，然后第零同源不变被估计为 哪里ž是常数，并且表示初始群体的存在。

如果是的增量 ，然后 。然而，对于所有 ， 和 。同时,如果 。因此，第一同源性是不变自 。由拉格朗日定理可知，第一同调不变量为哪里是增量的程度。

2.3.2。拉格朗日定理

让G成为一个团体H子群的G，则在一个有限群中，子群的序除以群的序。

证明。G是一个组H是的子群G。 ，让班是这样,对于 ，我们有哪里考虑 。如果 ， ， ，…,是不同的类的数量，然后 。假设是表示为 。如果和不相交，则 ，因此分 。

2.3.3。使用史密斯范式差矩阵（SNF）

考虑二维矩形表面，如图1和2， 分别。

数字1是初始种群和仅具有一个三角形平面的矩形，使得顶点不再重复。数字2是图1的放大1新矩形中也有两个三角形平面其中所有的顶点都是不同的。和是初始种群和最终种群的差异。从数据1和2中，差分矩阵和给出了作为

史密斯范式（SNF）从等式（13)和(14)由式(15)和(16）， 分别：

利用方程（15） 。再次从方程式(15)和(16）从而确定方程(12)。因此,表示随时间增长的初始总体的存在性，表示 。

2.4。数据集的拓扑空间

是拓扑空间。因此,一组X以及图中所示的数据点(年份和相应的人口值)1是拓扑空间。在人口甲增长是点，因此，2维表面的递增顺序。有了这些点作为输入，同调不变量识别。

假设哪里是空间的数据点X。从图3，通过路径连接在一起对所有 。加入的路径指示除了给定的距离的来从而提供递增的序列人口的增长是由于不断增长的序列哪个也是由n个不变的同源性 。

3.同调不变和人口增长

从公式（1)，它被认为是条件为必须满足表明从一个增加向另一个人或表明人口增长 。但是，同调不变量这就决定人口的增长被定义为 哪里和表示种群增长的次数和种群增长的程度，分别为= 2,3,4，…从第一个或初始数据点到第二个数据点，有两个数据点，即，n=2和 ，如图所示4。

因此，我们有两个且只有一个距离（2-1）d两者之间的 。因此，1^圣相应的不变的是

相应的不变表明有从第一年的数据点到第二年的数据点在人口增长。类似地，从第一数据点到第四数据点，有四种它们之间有三种距离，因此和 。3^RD第一年数据点到第四年数据点的同调不变式为

相应的不变是人口从第一年到第四年有增长的迹象。

4。结论

纸张构造和所定义的同源性不变为分析人口的增长的有效工具。如图从几何对象的拓扑信息是从在一2维平面的欧几里德统计应用于数据集3获取关于人口增长的信息。是观察到相应的不变量提供了另一种可靠的技术来处理信息关于人口增长或扩展的数据集。该方法的一个优势在统计和微分方程的方法是简单地解释了增长的人口使用时间价值和相应的不变的。在本研究中，假设任何时间超过一个的路径时，发生扩展。推而广之，我们的意思是在人口值的变化，这是使用同源不变的决定。因此，每当同源不变的条件满足式(18)和(19)，人口在增长。

同不变量方法为种群的增长提供了新的认识和信息。计算同调不变量的不同方法已知作了介绍。其方法是可靠和简单。其做法需要较少的信息，并且当它与统计数据比较和微分方程方法很简单。建立了同源不变的文章表明，在拓扑空间中的每个人口的增长。据认为，用代数拓扑学概念内的同源不变的人口增长的分析是知识贡献。本文的最重要的结果是下面的命题。

命题4。对于任何一个人口 ，人口的增长发生在

数据可用性

没有数据支持这项研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益的潜在冲突方面的研究，作者和本文的发布。

参考文献

1. r·j·沃克，《人口增长及其对全球安全的影响》，美国经济学和社会学杂志卷。75，没有。4年，2016年。视图:出版商的网站|谷歌学术
2. 《发达发展中国家的人口增长和可持续发展，IV (2SLS)方法》，经济和行政科学学院学报第22卷，第2期。4，第1255-1277页，2017。视图:谷歌学术
3. c·l·金赛表面的拓扑1993年，美国纽约州斯普林格。
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5. 张德华，“论计算三角化的同调型之复杂性”，台北第32届年度研讨会论文集计算机科学基础的， 650-661页，圣胡安，美国，1991年10月。视图:出版商的网站|谷歌学术
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