介绍的一个抽象方法分析人口增长领域的代数拓扑使用同源性理论的工具。对于一个拓扑空间<我nline-formula>
X
和任何点<我nline-formula>
v
n
∈
X
,在那里<我nline-formula>
v
n
是<我talic>
n维表面<我nline-formula>
η
=
X
,
v
n
被称为人口的空间<我nline-formula>
X
。增序列的<我nline-formula>
v
我
n
∈
X
来<我nline-formula>
v
j
n
∈
X
为<我nline-formula>
我
<
j
人口增长提供了基础。人口的增长<我nline-formula>
η
=
X
,
v
n
如果发生<我nline-formula>
v
我
n
<
v
j
n
对所有<我nline-formula>
v
我
n
∈
X
和<我nline-formula>
v
j
n
∈
X
。这是所描述的相应的不变的<我nline-formula>
H
η
k
=
1
。本文的目的是构建相应的不变的<我nline-formula>
H
η
k
和使用<我nline-formula>
H
η
k
=
1
分析人口的增长。这种方法是基于拓扑连通性和连续性等属性。本文广泛使用相应的不变的展示关于人口增长的重要信息。这种方法最显著的特征是它的简单分析人口增长仅使用代数分类和转换。
1。介绍
代数拓扑提供了可计算的属性识别拓扑属性获得了许多不同领域的重要性和受欢迎程度的数学和科学的其他分支。虽然主题数学代数拓扑是一个相对较新的领域,其贡献的研究动态度量和拓扑空间不能被推翻。例如,在研究空间的组件,它提供了大量的信息关于组件的数量和它们是如何联系在一起的空间。不仅获得的信息帮助我们替补拓扑和几何性质的空间,但也提供了一个方法减少拓扑问题和连续映射成代数问题,从而使它适合于确定一些相应的不变量。相应的不变的本质在这项研究中,它不改变在相同的变形性质。相反,它分配一个特定的数字正在研究到一个特定的属性。人口增长仍增长无论有多宽人口增长变化。这是假定增长下相应的不变的变形。在本文中,一个特定的值分配给相应的不变量来表示人口增长。虽然不同的方法,如统计分析和微分方程模型已经开发出来,用于研究人口增长在许多研究工作,许多尚未开发,也许,可能提供有意义的现有的知识。 Indeed, to study the growth of population of a country, one needs to be equipped with all the necessary information regarding the population of the country, and the approach to collect all this information is sometimes quite arduous in the field of statistics and differential equations. Research on population growth and its implication in Walker [
1]表明,人口增长最快的国家倾向于对全球饥饿指数排名高,贫穷,和环境恶化。Guney [
2]在他的作品中也明确表示,尽管人口增长在发展中国家可持续发展有消极影响,发达国家的人口增长影响积极可持续增长。所有这些研究进行的足够的信息统计数据。因此,人口数据的信息,一个很难描述的人口增长的过程数据和其他相关领域。这样使应用程序的代数拓扑的概念是抽象的,需要更少的任务是非常重要的在这个研究。同源的不变量的代数拓扑缩短这个过程,并提供方便的技术来研究人口增长等持续的过程。事实上,相应的不变量已被证明是一个有价值的工具,用于研究不仅持续的过程,如人口增长,也对许多连续的物理现象。例如,金赛(
3)使用欧拉特征的拓扑不变量来研究物体的表面和得出结论,一个物体的表面是关闭如果欧拉示性数为零。这是一个抽象的技术描述一个封闭的对象。Hossenia et al。
4)也出现了同伦的概念,一个通过变形和稳定的线性拓扑不变量同伦方程的一部分。他的方法展示了方程解的稳定性和收敛性是保证的。许多其他研究工作包括(
4,
5)雇佣了相应的不变量的概念,综述了本文,但本文的主要思想是由唐纳德和张的研究工作
5]。更常见的是,人口增长的方法研究集中在统计和微分方程(
1,
6,
7]。本文引入相应的新奇的是不变的统计和外微分方程。相应的不变量我们介绍了将描述二维表面之间的连续路径或组,并将被称为人口的增长。在所有情况下,越来越多的序列组的路径拓扑空间是人口增长。
人口增长是由集团和连续的对象地图。它发生在一个对象扩展到另一个对象的路径或线段。人口增长的路径,我们指的是连续映射。人口<我nline-formula>
η
是一个拓扑空间<我talic>
X生成的对象的<我nline-formula>
v
n
。
2.1。初步命题命题1。
人口<我nline-formula>
η
是在一个特定的一年<我talic>
n维表面或<我talic>
n单纯形<我nline-formula>
v
我
n
∈
X
为<我nline-formula>
我
=
0、1、2、3
,
…
。
命题2。
对于任何一个人口<我nline-formula>
η
发生,人口的增长
(1)
H
η
k
=
v
k
+
1
n
−
v
0
n
=
1
,
在哪里<我talic>
n=、2、3、…<我talic>
k= 1,2,3,4,…,<我nline-formula>
v
0
n
∈
X
是初始<我talic>
n维表面。
命题的证明。
2。让<我nline-formula>
η
表示人口值在某一年,人口是一个同态或距离的变化(<我talic>
d)<我nline-formula>
v
我
n
∈
X
来<我nline-formula>
v
j
n
∈
X
。在这种情况下,<我nline-formula>
v
j
n
∈
X
是新的人口规模的<我nline-formula>
v
我
n
∈
X
。让<我nline-formula>
k
≥
1
代表了年增长发生这样<我nline-formula>
k
=
1
是第一年。在<我nline-formula>
k
=
1
从最初的人口规模,人口规模<我nline-formula>
v
0
n
∈
X
是<我nline-formula>
v
k
+
1
n
∈
X
。让<我nline-formula>
v
0
n
,
v
k
+
1
n
,
…
和<我nline-formula>
d
,
2
d
,
3
d
,
…
代表人口及其对应的同态的对象或距离,这样<我nline-formula>
k
=
1
=
v
2
n
=
2
v
2
=
2
,
k
=
2
=
v
3
n
=
3
v
3
=
3
,
…
和<我nline-formula>
d
=
1、2
d
=
2、3
d
=
3
,
…
。越来越序列的单个对象的空间<我talic>
X增加人口的规模。这是作为
(2)
V
=
∑
β
=
1
β
v
n
,
(3)
D
=
∑
β
=
1
β
−
1
d
。
因此,人口总数增长了
(4)
H
η
k
=
∑
β
=
1
β
v
n
−
∑
β
=
1
β
−
1
d
,
这是一样的吗
(5)
H
η
k
=
∑
β
=
1
v
n
−
∑
β
=
1
d
。
随着人口的增长从第一年到第二年,也就是<我nline-formula>
n
=
2
和<我nline-formula>
k
=
1
,我们有
(6)
H
η
2
=
∑
β
=
1
2
v
n
−
∑
β
=
1
1
d
,
这就变成了
(7)
H
η
2
=
v
n
+
v
n
−
d
=
1。
同样,在<我nline-formula>
n
=
3
和<我nline-formula>
k
=
3
,我们有
(8)
H
η
3
=
∑
β
=
1
3
v
n
−
∑
β
=
1
2
d
,
(9)
H
η
3
=
v
n
+
v
n
+
v
3
−
d
+
d
=
1。
因此,在<我talic>
kth,
(10)
H
η
k
=
β
v
n
−
β
−
1
d
=
1
,
这证明了命题
2。
命题3。
让<我nline-formula>
一个
<
b
这样,闭区间<我nline-formula>
一个
,
b
∈
v
我
n
∈
X
定义的大小<我talic>
我th人口。我们也<我nline-formula>
c
<
d
这样,闭区间<我nline-formula>
c
,
d
∈
v
j
n
∈
X
在哪里<我nline-formula>
c
,
d
大于<我nline-formula>
一个
,
b
。如果<我nline-formula>
f
是同态<我nline-formula>
v
我
n
∈
X
来<我nline-formula>
v
j
n
∈
X
这样<我nline-formula>
f
一个
=
c
和<我nline-formula>
f
b
=
d
,然后人口增长发生。因此,对于<我nline-formula>
一个
,
b
<
c
,
d
,<我nline-formula>
c
,
d
∈
v
j
n
∈
X
和<我nline-formula>
一个
,
b
∈
v
我
n
∈
X
,如果<我nline-formula>
f
:
一个
,
b
∈
v
我
n
⟶
c
,
d
∈
v
j
n
。这样<我nline-formula>
f
一个
=
c
和<我nline-formula>
f
b
=
d
,然后人口的增长。实际价值而言,人口增长发生在前面的最终价值目前人口数量的初始值。
2.2。同源性
一般来说,<我talic>
nth同调群的拓扑空间<我talic>
X被定义为
(11)
H
n
=
Kerd
n
即时通讯
d
n
+
1
,
在哪里<我nline-formula>
Kerd
n
,内核边界算子,<我nline-formula>
d
n
代表封闭路径(周期)的数量<我talic>
X和图像(<我nline-formula>
即时通讯
d
n
+
1
)代表(边界)的边缘封闭路径(周期)<我talic>
X。也就是说,<我nline-formula>
即时通讯
d
n
+
1
⊆
Kerd
n
。拓扑空间<我talic>
X包括一个有限点集<我nline-formula>
v
我
2
∈
X
或二维表面的人口<我nline-formula>
η
,人口的增加是增加从一个<我nline-formula>
v
我
2
∈
X
到另一个地方。也就是说,<我nline-formula>
v
我
2
∈
X
增加到<我nline-formula>
v
j
2
∈
X
为<我nline-formula>
我
<
j
。自<我nline-formula>
v
我
2
∈
X
是一个二维表面,零,一个,两个同源性不变量可以被估计。
在一个情况下<我nline-formula>
v
我
2
∈
X
二维表面,同源性不变量估计如下:如果<我nline-formula>
v
0
2
∈
X
初始种群,我们假设1圣,2nd,3理查德·道金斯年以下人口值<我nline-formula>
v
0
2
,<我nline-formula>
2
v
0
2
,<我nline-formula>
3
v
0
2
估计,然后第零同源的不变
(12)
H
0
=
v
0
n
,
2
v
0
n
,
3
v
0
n
,
…
=
Z
,
在哪里<我talic>
Z是一个常数,表明一个初始种群的存在。
如果<我nline-formula>
v
1
2
∈
X
是一个增量的<我nline-formula>
v
0
2
∈
X
,然后<我nline-formula>
v
0
2
∈
X
⊂
v
1
2
∈
X
。然而,对于所有<我nline-formula>
一个
∈
v
0
2
∈
X
,<我nline-formula>
KerA
∈
v
0
2
∈
X
和<我nline-formula>
即时通讯
一个
∈
v
1
2
∈
X
。同时,<我nline-formula>
根据
米
∈
v
1
2
∈
X
如果<我nline-formula>
米
∈
v
1
2
∈
X
。因此,第一个同源性不变<我nline-formula>
H
1
=
根据
米
/
即时通讯
一个
自<我nline-formula>
即时通讯
一个
⊂
根据
米
。从拉格朗日定理,它可以推断,第一个同源性不变<我nline-formula>
H
1
=
根据
米
/
即时通讯
一个
=
ϕ
在哪里<我nline-formula>
ϕ
∈
Z
增加的程度。
G是一组,<我talic>
H是一个群的<我talic>
G。<我nline-formula>
∀
α
,
β
∈
G
,我们的类<我nline-formula>
α
是<我nline-formula>
α
这样,对于<我nline-formula>
k
∈
Z
,我们有<我nline-formula>
k
α
我
在哪里<我nline-formula>
我
=
1、2
,
…
考虑<我nline-formula>
k
α
我
。如果<我nline-formula>
k
α
1
,<我nline-formula>
k
α
2
,<我nline-formula>
k
α
3
、…<我nline-formula>
k
α
n
是<我nline-formula>
n
许多不同的类<我nline-formula>
G
=
∪
我
=
1
n
k
α
我
。假设的顺序<我nline-formula>
k
α
我
是<我nline-formula>
k
表示为<我nline-formula>
k
。如果<我nline-formula>
G
=
∪
我
=
1
n
k
α
我
和<我nline-formula>
k
α
我
是不相交的,那么<我nline-formula>
G
=
n
k
,因此<我nline-formula>
k
分<我nline-formula>
G
。
2.3.3。使用微分矩阵从史密斯范式(SNF)
考虑到二维矩形表面如图
1和
2,分别。
一个二维曲面。
两个二维表面。
图
1是初始人口和只有一个三角平面矩形的顶点不重复。图
2放大的图吗
1也有两个三角形的飞机在新的矩形,所有的顶点都是不同的。<我nline-formula>
d
1
和<我nline-formula>
d
2
在初始和最终的数量差异。从数据
1和
2,微分矩阵<我nline-formula>
d
1
和<我nline-formula>
d
2
给出了作为
(13)
(14)
使用方程(
15),<我nline-formula>
H
0
=
Z
6
−
5
−
0
=
Z
。再次从方程(
15)和(
16),<我nline-formula>
H
1
=
Z
7
−
2
−
5
=
Z
0
=
1
这证实了方程(
12)。因此,<我nline-formula>
H
0
=
Z
显示了初始种群的存在,对时间的增长<我nline-formula>
H
1
=
1
。
2.4。从数据集拓扑空间
X
=
ℜ
2是拓扑空间。因此,一组<我talic>
X的数据点(年人口和相应的值)如图
1是拓扑空间。人口的增长是一个增序列的点,因此二维表面。与这些点作为输入,确定相应的不变量。
假设<我nline-formula>
v
我
2
∈
X
在哪里<我nline-formula>
我
=
2、3、4
,
…
的数据点空间<我talic>
X。从图
3,<我nline-formula>
v
我
2
∈
X
通过路径连接在一起吗<我nline-formula>
d
v
我
2
v
j
2
对所有<我nline-formula>
v
我
2
,
v
j
2
∈
X
。添加路径表示的距离<我nline-formula>
d
我
来<我nline-formula>
v
我
2
∈
X
因此提供序列的增加<我nline-formula>
v
我
2
∈
X
人口的增长是由于增加的顺序<我nline-formula>
v
我
2
∈
X
这也是决定的吗<我talic>
nth同源性不变<我nline-formula>
H
n
=
Kerd
n
/
即时通讯
d
n
+
1
。
拓扑空间<我talic>
X组成的二维表面。
3所示。相应的不变和人口增长
从方程(
1),它是假定条件<我nline-formula>
H
η
k
=
1
为<我nline-formula>
k
≥
1
必须满足,指示一个增加的<我nline-formula>
v
我
2
∈
X
到另一个地方或证明人口的增长<我nline-formula>
η
。然而,相应的不变的<我nline-formula>
H
η
k
这决定了经济增长的人口的定义是
(17)
H
η
k
=
β
v
n
−
β
−
1
d
,
在哪里<我nline-formula>
β
v
我
2
和<我nline-formula>
β
−
1
d
表示乘以人口数量的增加和人口增长的程度,分别<我nline-formula>
β
= 2,3,4,…。从第一个或初始数据点到第二个数据点,有两个数据点,也就是说,<我talic>
n
=
2和<我nline-formula>
k
=
1
,如图
4。
改变1圣点到2nd点。
因此,我们有两个<我nline-formula>
v
我
2
∈
X
且只有一个距离(2 - 1)<我talic>
d两者之间的<我nline-formula>
v
我
2
∈
X
。因此,1圣相应的不变的是
(18)
H
η
1
=
2
−
1
=
1。
相应的不变<我nline-formula>
H
η
k
=
1
表明,有一个增长的人口从第一年的数据点到二年级的数据点。同样,从第一个数据点到第四个数据点,有四个<我nline-formula>
v
我
2
∈
X
三个之间的距离,因此<我nline-formula>
β
=
4
和<我nline-formula>
k
=
3
。3理查德·道金斯相应的不变的从第一年的数据点到大四数据点
(19)
H
η
3
=
4
−
3
=
1。
相应的不变<我nline-formula>
H
η
3
=
1
是一个迹象表明有一个人口的增长从第一到第四年。
4所示。结论
本文构造并定义了相应的不变量作为一个有效的工具来分析人口的增长。从几何拓扑信息对象是应用于一个数据集的统计数据在二维欧几里得平面如图
3获取关于人口增长的信息。是观察到相应的不变量提供了另一种可靠的技术来处理信息关于人口增长或扩展的数据集。该方法的一个优势在统计和微分方程的方法是简单地解释了增长的人口使用时间价值和相应的不变的。在这个工作中,随时假设<我nline-formula>
v
我
2
∈
X
超过了道路,扩展发生。推而广之,我们指的是人口的变化值,这是使用相应的不变的决定。因此,只要相应的不变的条件<我nline-formula>
H
η
k
=
1
满足方程所示(
18)和(
19),有一个增长的人口。
相应的不变的方法提供了新的重要见解和人口增长的信息。计算相应的不变量的不同的方法<我nline-formula>
H
η
与已知的<我nline-formula>
v
我
2
∈
X
提出了。的方法是可靠的和简单的。它的方法需要较少的信息和非常简单的时候相比,统计和微分方程的方法。本文建立了相应的不变量显示拓扑空间中的每个人口增长。相信人口增长的分析使用相应的代数拓扑中的不变的概念是一个对知识的贡献。本文最重要的结果是以下命题。
命题4。
对于任何一个人口<我nline-formula>
η
发生,人口的增长
(20)
H
η
k
=
v
n
k
+
1
−
v
n
0
=
1。