单调映射的一个不动点定理及其在非线性矩阵方程中的应用

抽象的

通过在正常锥形中使用单调贴图的固定点定理，我们证明了矩阵方程的正定方法的唯一性定理， 在哪里是正定矩阵集合上的单调映射。然后将唯一性定理应用于一个特殊方程并证明了时方程具有唯一的正定解和和．对于这种方程，讨论了基本的固定点迭代。数值例子表明，迭代方法是可行的，有效的。

1.介绍

我们考虑矩阵方程 在哪里是一个正定矩阵,是任意的矩阵,是单调的地图吗．

矩阵方程的研究有着悠久的历史，特别是离散时间最优控制的代数Riccati方程和随机实现问题的研究。由这些方程，稍微简单的版本，即，(1),，在[1- - - - - -3.]．那三篇论文是一个发展的开端。后来出现了一些关于其他一些特定矩阵方程的论文，比如[4- - - - - -10]．

特别有趣的是这个方程， 在哪里克罗内克的产品是什么与对于一些．这个方程与Sakhnovich在[1]中提出的一个插值问题有关。11]．这个方程首先在[12]，并在[13]．最近,在14]，作者提供了使用变量的变化和一个固定点定理的这个等式的正定确定的唯一性的新证据，这是一种比在[12]．

这种发展导致了对一类一般矩阵方程的考虑，这始于El-Sayed和Ran的论文[15，由Ran和Reurings进一步开发[16- - - - - -19]．

在本文中，我们对正定的解决方案感兴趣（1),是单调映射。利用法锥上单调映射的不动点定理，得到了一个唯一性定理。唯一性定理在涉及单调性的非线性矩阵方程中有广泛的应用。此外，我们将唯一性定理应用于一个特殊的方程，并讨论了这种特殊情况下的基本不动点迭代。

本文中使用了以下符号。让表示埃尔米特矩阵,让表示矩阵,让表示正定矩阵，让表示正半纤维矩阵。为了,我们写如果是积极的semidefinite（明确）。表示矩阵的共轭转换．让表示实巴拿赫空间的立体锥．表示内部点集．如果是，则称锥为实心锥．

2.预先素质

在本节中，我们在正常锥形中为单调运营商介绍了一些定义和属性，这是本文的理论基础。

定义1(参见[20.])。锥形是正常的，如果存在一个常数这样意味着．这是常态semimonotone。

定义2（见[20.])。操作员，，则称为递增算子 据说是一个减少的运营商，如果

定义3(参见[21])。让是实巴拿赫空间的立体锥和．让．然后据说是凹如果 据说是-convex if.

引理4(参见[21])。让是实巴拿赫空间的法锥,让是-凹的和递增的(或-凸和递减)．然后只有一个固定点吗在．

引理5(参见[20.])。锥形正常是当且仅当，,意味着．

引理6(参见[22])。对所有和,操作员给出的是递增运算符。然后如果，,．

下面，我们将应用引理4到地图．

3.应用程序

我们定义谱范数在;然后是一个真正的Banach空间。众所周知是一个圆锥内点集是．由于谱范数是单调的，我们从定义得到1这一组是正常的锥。所以我们可以在Section中应用结果2从地图上成．下面，我们将考虑方程的正定解 或同等地图的固定点 在哪里是单调的地图吗由上的实值映射导出．下面的定理是本节的主要结果。

定理7。让，，．然后只有一个固定点吗在如果（1） ;（2） 增加和- 扫描或减少和凸。

证明。对于引理的应用4,我们设置，，,．现在我们来证明这个地图满足引理的条件4．
对所有与，由lemma.6，我们有以下几点:（1） ,因为地图为自己和．（2）如果增加和- 那么。然后正在增加。对所有,我们有 因此,地图增加和凹。
如果减少,凸,然后是减少的。对所有,我们有 因此,地图减少,凹。
因此,地图满足引理中的所有条件4．根据引理4，只有一个固定点吗在．
本定理中的条件有满足是否容易检查很简单。现在，我们将给出两个简单的例子。

示例8。如果，,然后只有一个固定点吗在．

证明。由引理6 正在增加。也 让;然后是凹。根据定理7，只有一个固定点吗在．

示例9。如果，,然后只有一个固定点吗在．

证明。由引理6 是减少的。也 让;然后是凸。根据定理7，只有一个固定点吗在．

通过其他方法在几篇论文中讨论了这两个例子;例如，参见[7，8]．这里提出的论证似乎比[的论证更简单7，8]．

4.的情况下

在本节中，我们将讨论一个更复杂的映射;也就是说,．在这里是块对角线矩阵定义,在这是一个矩阵。同时,是一个正定矩阵,是一个正半正定矩阵是任意的矩阵。我们总是假设，,．在这些条件下，我们讨论了方程的正定解 或同等地图的固定点．在这种情况下，．这个函数是在增加，但似乎很难证明是凹。因此，我们将使用变量替换来研究映射的等价形式．

让是定义的集合 让．为了，我们知道是一个正面的半纤维矩阵。然后 （12)变成 让．然后 （12）最终成为

显然,(12）相当于（15） 什么时候．因此，我们可以获得以下结论。

引理10。假设，;然后是(的正定解12）如果并且只有是(的正定解15）.

定理11。等式（12),和总是有一个唯一的正定解。

证明。根据引理10，我们首先考虑(15）.定义通过和．现在我们来证明算子满足定理的条件7．
对所有与，由lemma.6，我们有以下几点:（1） ;（2） ;(3）对所有,我们有 因此,运营商增加和凹。从定理7我们得到了这个算子有一个独特的固定点吗在的唯一正定解。15）.根据引理10, (12)具有唯一的正定解。

现在我们考虑(的以下迭代方法15)和(12）.让 对于矩阵序列定义为(18)，我们有以下定理。

定理12。假设，;然后对于任意初始矩阵，矩阵序列定义为(18）收敛到独特的正定解决方案(12）.

证明。我们首先考虑矩阵序列定义为(17）.让，;然后是独特的正面确定的解决方案（15）.为了和，存在一个正数令人满意的 我们将用数学归纳法证明以下不等式: 从(19)就会得出不平等(20.)适用于．假设(20.)适用于．也就是说, 现在我们需要证明20.)适用于．从(21)，我们明白了 也就是说, 从它遵循，．然后 因此 也就是说, 因此，我们得到了不平等（20.)适用于任何正整数．让;我们有 因此，来自引理5它遵循 自从，,我们有

5.数值例子

我们现在给出一些数值例子来说明我们的结果。所有的计算都使用MATLAB(版本7.01)进行。在本节中，我们将使用表示相对迭代误差，errtol表示停止判据，以及表示迭代次数。

示例13。考虑(12),和 然后矩阵和满足．考虑迭代法(18)，有几个值以及停止标准的几个值。实验数据列于表中1．

MATLAB函数-file在算法中显示1．

利益冲突

作者声明，本文的发表不存在利益冲突。

致谢

感谢Frank Uhlig教授和匿名审稿人为本文的完善提供了非常有用的建议。国家自然科学基金项目(no . 11071141);山东省自然科学基金项目(no . ZR2015AL017ZR2014AM032);山东省高等学校科技计划项目(no . J11LA06, no . J13LI02)。

参考

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