raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

JMATH

数学杂志

2314 - 4785<我年代年代npub-type="ppub"> 2314 - 4629

Hindawi出版公司

10.1155 / 2015/167049

167049年

研究文章

单调映射的不动点定理及其应用非线性矩阵方程

高

城东街

Uhlig

弗兰克

数学系

菏泽大学

山东菏泽,274015

中国

hezeu.edu.cn

2015年

24 12 2015年

2015年 25 07年 2015年 27 10 2015年 23 11 2015年

2015年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

通过使用单调映射的不动点定理一个正常的锥,我们证明正定解的唯一性定理的矩阵方程<我nl在e- - - - - -formula> X<米米l:mo> = 问<米米l:mo> + 一个 ⁎ f<米米l:mo stretchy="false"> ( X<米米l:mo stretchy="false"> ) 一个 ,在那里<我nl在e- - - - - -formula> f 是一个单调映射在正定矩阵的集合。我们应用一种特殊方程的唯一性定理<我nl在e- - - - - -formula> X<米米l:mo> = k<米米l:mi> 问<米米l:mo> + 一个 ⁎ ( X ^ - - - - - - C<米米l:msup> ) 问一个并证明方程有一个独特的正定解时<我nl在e- - - - - -formula> 问 ^ ≥ C 和<我nl在e- - - - - -formula> k<米米l:mo> > 1 和<我nl在e- - - - - -formula> 0<米米l:米o> < 问<米米l:mo> < 1 。为这个方程基本不动点迭代进行了探讨。数值例子表明,迭代方法是可行的和有效的。

1。介绍</t我tle><p>我们认为矩阵方程<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1.1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>正定矩阵,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是任意的<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>矩阵,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个单调的地图吗<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>矩阵方程的研究有着悠久的历史,特别是涉及研究代数黎卡提微分方程离散时间随机最优控制和实现问题。出于这些方程式,有些简单的版本,即(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1</xref>),<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mo> ±</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,研究[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B4"> 1</xref>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - -<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B8"> 3</xref>]。这三篇论文的开始发展。后来在论文其他一些特殊的矩阵方程,如论文(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B2"> 4</xref>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - -<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B22"> 10</xref>]。</p><p>特别感兴趣的是方程<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,在那里<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>克罗内克积的吗<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>对于一些<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。这个方程是连接到一个插值问题提出Sakhnovich (<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B20"> 11</xref>]。这个方程首次研究[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B15"> 12</xref>),和一个微扰分析讨论(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B21"> 13</xref>]。最近,在<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B9"> 14</xref>],作者提供了一个新的正定解的唯一性证明方程使用变量和不动点定理,这是一个简单的论据比用于(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B15"> 12</xref>]。</p><p>这种发展导致考虑一类通用矩阵方程,与论文开始El-Sayed和跑<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B7"> 15</xref>),进一步开发了跑和Reurings<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B16"> 16</xref>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - -<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B19"> 19</xref>]。</p><p>在本文中,我们感兴趣的是正定解(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1</xref>),<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个单调的地图。我们获得一个唯一性定理利用单调映射的不动点定理正常锥。唯一性定理可以广泛应用于非线性矩阵方程涉及单调性。此外,我们运用一种特殊方程的唯一性定理,并讨论这个特殊情况基本不动点迭代。</p><p>本文中使用以下符号。让<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mi> H</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>表示<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>埃尔米特矩阵,让<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mi mathvariant="script"> 米</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>表示<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>矩阵,让<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mi mathvariant="script"> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>表示<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>正定矩阵,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ¯</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>表示<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>半正定矩阵。为<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="script"> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,我们写<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>如果<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是半正定(明确的)。<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示矩阵的共轭转置<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。让<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示一个坚实的锥的一个真正的巴拿赫空间<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示的内部点集<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。锥是固体锥<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≠</米米l:米o> <mml:mi> ϕ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p><p></p></年代ec> <sec id="sec2"> <title>2。预赛</t我tle><p>在本节中,我们介绍一些单调算子的定义和属性在一个正常的锥是本文的理论基础。</p><年代tatement id="deff2.1"> <title>定义1(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B11 " > < / xref > 20])。</t我tle><p>一个圆锥<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo> ⊂</米米l:米o> <mml:mi> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>据说是正常的如果存在一个常数<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mi> N</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>这样<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>意味着<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我><米米l:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。也就是说,一种常态<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ·</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>semimonotone。</p></年代tatement> <statement id="deff2.2"> <title>定义2(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B11 " > < / xref > 20])。</t我tle><p>操作员<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mi> Γ</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o> <mml:mi> D</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mi> D</米米l:米我><米米l:mo> ⊂</米米l:米o> <mml:mi> E</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,据说是越来越运营商<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> D</米米l:米我><米米l:mo> ⟹</米米l:米o> <mml:mi> Γ</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mi> Γ</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>据说是一个减少运营商如果<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> D</米米l:米我><米米l:mo> ⟹</米米l:米o> <mml:mi> Γ</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> Γ</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="deff2.3"> <title>定义3(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B12 " > < / xref > 21])。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个真正的巴拿赫空间实心锥<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mi> Γ</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。让<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>据说是<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>凹如果<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> Γ</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Γ</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mo> ∀</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> <</米米l:米o> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>据说是<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>凸如果<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> Γ</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Γ</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mo> ∀</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> <</米米l:米o> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="lem2.1"> <title>引理4(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B12 " > < / xref > 21])。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个正常的一个真实的巴拿赫空间锥<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,让<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mi> Γ</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>凹,增加(或<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>凸和减少)<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>正好有一个固定的点吗<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代tatement> <statement id="lem2.2"> <title>引理5(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B11 " > < / xref > 20])。</t我tle><p>一个圆锥<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是正常的,当且仅当吗<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>暗示<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p></年代tatement> <statement id="lem2.3"> <title>引理6(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B1 " > < / xref > 22])。</t我tle><p>对所有<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,操作员<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>给出的<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mi> Φ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>是一种增加运营商。然后<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>如果<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> B</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mi> B</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≤</米米l:米o> <mml:mi> r</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。</p></年代tatement> <p>在下面,我们将应用引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem2.1"> 4</xref>到地图<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mi> G</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p></年代ec> <sec id="sec3"> <title>3所示。应用程序< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M82 " > < mml: mi > G < / mml: mi > < mml:莫mathvariant =“大胆”> (< / mml:莫> < mml: mi > X < / mml: mi > < mml:莫mathvariant =“大胆”>)< / mml:莫> < mml:莫mathvariant =“大胆”> < / mml:莫> < mml:莫mathvariant =“大胆”> = < / mml:莫> < mml:莫mathvariant =“大胆”> < / mml:莫> < mml: mi > Q < / mml: mi > < mml:莫mathvariant =“大胆”> < / mml:莫> < mml:莫mathvariant =“大胆”> + < / mml:莫> < mml:莫mathvariant =“大胆”> < / mml:莫> < mml: msup > < mml: mrow > < mml: mi > < / mml: mi > < / mml: mrow > < mml: mrow > < mml: mi >∗< / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml: msup > < mml: mi > f < / mml: mi > < mml:莫mathvariant =“大胆”> (< / mml:莫> < mml: mi > X < / mml: mi > < mml:莫mathvariant =“大胆”>)< / mml:莫> < mml: mi > < / mml: mi > < / mml:数学> < / inline-formula ></t我tle><p>我们定义谱范数<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ·</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mi> H</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>;然后<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mi> H</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>是一个真正的巴拿赫空间。众所周知,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ¯</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>是一个圆锥<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mi> H</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>和内陆点集<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。由于光谱标准是单调,我们从定义<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="deff2.1"> 1</xref>这一组<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ¯</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>是正常的锥。所以我们可以在部分应用结果<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="sec" rid="sec2"> 2</xref>的地图<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>成<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。在下面,我们将考虑正定解的方程<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>或者说映射的不动点<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> G</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个单调的地图吗<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>由一个实值映射<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。下面的定理是本节的主要结果。</p><年代tatement id="thm3.1"> <title>定理7。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mi> G</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。然后<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>正好有一个固定的点吗<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>如果<l是t><l是t- - - - - -我te米><label>(1)</label> </list-item> </list></p> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ¯</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ¯</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>;</p><l是t- - - - - -我te米><label>(2)</label> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>增加和<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>凹或减少,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>凸。</p></l是t- - - - - -我te米><p></p> </statement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle><p>为应用程序的引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem2.1"> 4</xref>,我们设置<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mi> E</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ¯</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mi> Γ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。现在我们将证明这张地图<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足条件的引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem2.1"> 4</xref>。</p><p>对所有<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>与<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>通过引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem2.3"> 6</xref>,我们有以下:<l是t><l是t- - - - - -我te米><label>(1)</label> </list-item> </list></p> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mi> G</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,因为<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>地图<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ¯</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>为自己和<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</p><l是t- - - - - -我te米><label>(2)</label> <p>如果<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>增加和<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>凹,然后<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>正在增加。对所有<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,我们有<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> G</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> G</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </list-item>因此,地图<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>增加和<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>凹。<p></p><p>如果<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>减少,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>凸,然后<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是减少的。对所有<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,我们有<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> G</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> G</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,地图<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>减少,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>凹。</p><p>因此,地图<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在引理满足所有的条件<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem2.1"> 4</xref>。根据引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem2.1"> 4</xref>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>正好有一个固定的点吗<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>这个定理的条件<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>必须满足很容易检查<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>很简单。现在,我们将给两个简单的例子。</p></年代tatement> <statement id="ex3.1"> <title>示例8。</t我tle><p>如果<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> <</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mi> G</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>正好有一个固定的点吗<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代tatement> <statement id="proof2"> <title>证明。</t我tle><p>由引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem2.3"> 6</xref><我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ¯</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ¯</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>正在增加。也<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>让<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>;然后<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>凹。根据定理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="thm3.1"> 7</xref>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mi> G</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>正好有一个固定的点吗<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代tatement> <statement id="ex3.2"> <title>示例9。</t我tle><p>如果<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> <</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mi> G</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>正好有一个固定的点吗<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代tatement> <statement id="proof3"> <title>证明。</t我tle><p>由引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem2.3"> 6</xref><我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ¯</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ¯</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>是减少的。也<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>让<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>;然后<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>凸。根据定理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="thm3.1"> 7</xref>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mi> G</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>正好有一个固定的点吗<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代tatement> <p>这两个例子数篇论文中讨论了其他方法;见,例如,(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B10"> 7</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B13"> 8</xref>]。看来,这里提出的论点很简单的参数(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B10"> 7</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B13"> 8</xref>]。</p></年代ec> <sec id="sec4"> <title>4所示。的情况下< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M164 " > < mml: mi > G < / mml: mi > < mml:莫mathvariant =“大胆”> (< / mml:莫> < mml: mi > X < / mml: mi > < mml:莫mathvariant =“大胆”>)< / mml:莫> < mml:莫mathvariant =“大胆”> < / mml:莫> < mml:莫mathvariant =“大胆”> = < / mml:莫> < mml:莫mathvariant =“大胆”> < / mml:莫> < mml: mi > k < / mml: mi > < mml: mi > Q < / mml: mi > < mml:莫mathvariant =“大胆”> < / mml:莫> < mml:莫mathvariant =“大胆”> + < / mml:莫> < mml:莫mathvariant =“大胆”> < / mml:莫> < mml: msup > < mml: mrow > < mml: mi > < / mml: mi > < / mml: mrow > < mml: mrow > < mml: mi >∗< / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml: msup > < mml:莫mathvariant =“大胆”> (< / mml:莫> < mml:发口音= " true " > < mml: mrow > < mml: mi > X < / mml: mi > < / mml: mrow > < mml:莫> ^ < / mml:莫> < / mml:发> < mml:莫mathvariant =“大胆”> < / mml:莫> < mml:莫mathvariant =“大胆”> - < / mml:莫> < mml:莫mathvariant =“大胆”> < / mml:莫> < mml: mi > C < / mml: mi > < mml: msup > < mml: mrow > < mml:莫mathvariant =“大胆”>)< / mml:莫> < / mml: mrow > < mml: mrow > < mml: mi > Q < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml: msup > < mml: mi > < / mml: mi > < / mml:数学> < / inline-formula ></t我tle><p>在本节中,我们将讨论一个更复杂的地图;也就是说,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mi> G</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。在这里<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>定义的块对角矩阵吗<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 诊断接头</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,在这<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>矩阵。同时,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>正定矩阵,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mi> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>半正定矩阵,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是任意的<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>矩阵。我们总是认为<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> <</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。在这些条件下讨论了正定解的方程<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>或者说映射的不动点<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mi> G</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。在这种情况下,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。这个函数<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>正在增加,但似乎很难证明吗<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>凹。因此,我们将使用一个变量来研究一个等价形式的地图<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>让<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ⊂</米米l:米o> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>被定义的设置<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced separators="" open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mo> ∣</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>让<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。为<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,我们知道<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一种半正定矩阵。然后(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.1"> 12</xref>)变成<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>让<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。然后(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.1"> 12</xref>)最终成为<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>显然,(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.1"> 12</xref>)相当于(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.2"> 15</xref>)当<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。因此,我们可以得到以下结论。</p><年代tatement id="lem4.1"> <title>引理10。</t我tle><p>假设<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>;然后<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个正定解(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.1"> 12</xref>)当且仅当<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个正定解(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.2"> 15</xref>)。</p></年代tatement> <statement id="thm4.1"> <title>定理11。</t我tle><p>方程(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.1"> 12</xref>),<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>总是有一个独特的正定的解决方案。</p></年代tatement> <statement id="proof4"> <title>证明。</t我tle><p>根据引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem4.1"> 10</xref>,我们首先考虑(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.2"> 15</xref>)。定义<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>通过<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。现在我们将证明操作员<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足条件的定理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="thm3.1"> 7</xref>。</p><p>对所有<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>与<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>通过引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem2.3"> 6</xref>,我们有以下:<l是t><l是t- - - - - -我te米><label>(1)</label> </list-item> </list></p> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> :</米米l:米o> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>;</p><l是t- - - - - -我te米><label>(2)</label> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>;</p></l是t- - - - - -我te米><list-item> <label>(3)</label> <p>对所有<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,我们有<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </list-item>因此,运营商<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>增加和<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>凹。从定理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="thm3.1"> 7</xref>我们得到的运营商<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>有独特的定点<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>独特的正定解(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.2"> 15</xref>)。根据引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem4.1"> 10</xref>,(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.1"> 12</xref>)有一个独特的正定的解决方案。<p></p></年代tatement> <p>现在我们考虑下面的迭代方法(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.2"> 15</xref>)和(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.1"> 12</xref>)。让<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq4.4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>的矩阵序列<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>定义为(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.4"> 18</xref>),我们有如下定理。</p><年代tatement id="thm4.2"> <title>定理12。</t我tle><p>假设<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>;对于任意的初始矩阵<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,矩阵序列<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>定义为(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.4"> 18</xref>)收敛于独特的正定的解决方案<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.1"> 12</xref>)。</p></年代tatement> <statement id="proof5"> <title>证明。</t我tle><p>我们首先考虑矩阵序列<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>定义为(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.3"> 17</xref>)。让<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>;然后<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>独特的正定解(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.2"> 15</xref>)。为<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,存在一个正数<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M229"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> <</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>令人满意的<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M230"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>我们将使用数学归纳法证明下列不等式:<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>从(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.5"> 19</xref>),不平等(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.6"> 20.</xref>)适用于<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。假设(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.6"> 20.</xref>)是正确的<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。也就是说,<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>现在我们需要证明(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.6"> 20.</xref>)是正确的<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。从(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.7"> 21</xref>),我们得到<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq22"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (22)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>也就是说,<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq23"> <mml:mtd> <mml:mtext> (23)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>从<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> <</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>由此可见,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> <</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq24"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (24)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq25"> <mml:mtd> <mml:mtext> (25)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>也就是说,<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq26"> <mml:mtd> <mml:mtext> (26)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此我们得到不平等(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.6"> 20.</xref>适用于任何正整数<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。让<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>;我们有<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq27"> <mml:mtd> <mml:mtext> (27)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ⟶</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ⟶</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,从引理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="lem2.2"> 5</xref>由此可见,<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M247"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq28"> <mml:mtd> <mml:mtext> (28)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⟶</米米l:米o> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>自<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M248"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> Y</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,我们有<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq29"> <mml:mtd> <mml:mtext> (29)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⟶</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> </sec> <sec id="sec5"> <title>5。数值例子</t我tle><p>我们现在一些数值例子来说明我们的结果。所有使用MATLAB进行计算,7.01版。在本节中,我们将使用<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:mi mathvariant="normal"> e</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> r</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> r</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>来表示相对迭代误差,errtol表示停止准则,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>来表示迭代数。</p><年代tatement id="ex5.1"> <title>示例13。</t我tle><p>考虑(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.1"> 12</xref>),<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>和<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq30"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (30)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="pmatrix"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 6</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="pmatrix"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 23</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 15</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="pmatrix"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 9</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 6</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 7</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 8</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后矩阵<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> ></米米l:米o> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。考虑迭代法(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq4.4"> 18</xref>)的值<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和几个值的停止准则。实验数据表中列出<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="table" rid="tab1"> 1</xref>。</p></年代tatement> <table-wrap id="tab1"> <label>表1</label> <table> <thead> <tr> <th align="left">errtol</th><thalign="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> <th align="center">错(<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>)</th><thalign="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> <th align="center">迭代的解决方案<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M263"> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ×</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M264"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M265"> <mml:mn mathvariant="normal"> 9.4202</米米l:米n><米米l:米o> ×</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 6</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">11</td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M266"> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="pmatrix"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 2.13388783159709</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.00086471161567</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.00086471161567</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.53349253880560</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ×</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula></td> </tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M267"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M268"> <mml:mn mathvariant="normal"> 5.2724</米米l:米n><米米l:米o> ×</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 6</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">19</td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M269"> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="pmatrix"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 2.28733182761235</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.13190912090591</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.13190912090591</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.47447253811381</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ×</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula></td> </tr> <tr> <td align="center" colspan="5"> <hr></td> </tr> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M270"> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ×</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 10</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M271"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M272"> <mml:mn mathvariant="normal"> 3.7231</米米l:米n><米米l:米o> ×</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">22</td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M273"> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="pmatrix"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 2.13391707124142</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.00086517759943</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.00086517759943</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.53349925037736</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ×</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula></td> </tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M274"> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> /</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M275"> <mml:mn mathvariant="normal"> 7.6719</米米l:米n><米米l:米o> ×</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">35</td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M276"> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="pmatrix"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 2.28735583246287</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.13191055029808</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.13191055029808</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.47447745556329</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ×</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula></td> </tr> </tbody> </table> </table-wrap> <p>MATLAB函数<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M277"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>——文件所示算法<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="other" rid="alg1"> 1</xref>。</p><p我d="alg1"> <list list-content="algorithm"> <title><大胆>算法1 < /大胆></t我tle><l是t- - - - - -我te米></list-item> </list></p> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M278"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>Gaofixedpoint.m<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M279"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></p> <list-item> <p> <bold> 函数</bold>[X,计数器,犯错]= Gaofixedpoint (Q C k Q errtol)</p></l是t- - - - - -我te米><list-item> <p> <italic> 解决X = kQ + %</我talic>⁢<年代up>∧</年代up>⁢<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M280"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>⁢<我talic> (Xhat−C)</我talic>⁢<年代up>∧</年代up>⁢<我talic> 问</我talic>⁢<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M281"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 一个,Xhat =克罗内克(I (X)</我talic></p> </list-item> <list-item> <p> <italic> %的输入</我talic>:<我talic> 矩阵</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M282"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> _</米米l:米o> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M283"> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> _</米米l:米o> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M284"> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:mo> _</米米l:米o> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我talic> k > 1</我talic>,<我talic> 0 < q < 1</我talic>,<我talic> errtol</我talic></p> </list-item> <list-item> <p> <italic> %输出</我talic>:<我talic> 解决方案</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M285"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> _</米米l:米o> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我talic> 迭代计数器</我talic>,<我talic> 最后方程相对误差</我talic></p> </list-item> <list-item> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M286"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>m, n<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M287"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>=<bold> 大小</bold>(一);[p、w] =<bold> 大小</bold>(问);(r, s) =<bold> 大小</bold>(C);<我talic> %输入大小等检查</我talic></p> </list-item> <list-item> <p> <bold> 如果地板上</bold>(m / n)<年代up>~</年代up>= m / n<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M288"> <mml:mrow> <mml:mo> 为</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>n<年代up>~</年代up>= p<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M289"> <mml:mrow> <mml:mo> 为</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>n<年代up>~</年代up>= w<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M290"> <mml:mrow> <mml:mo> 为</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>r<年代up>~</年代up>= m<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M291"> <mml:mrow> <mml:mo> 为</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>年代<年代up>~</年代up>= m<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M292"> <mml:mrow> <mml:mo> 为</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>k</p></l是t- - - - - -我te米><list-item> <p>< = 1…<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M293"> <mml:mrow> <mml:mo> 为</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>q < = 0<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M294"> <mml:mrow> <mml:mo> 为</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>问> = 1,</p></l是t- - - - - -我te米><list-item> <p> <bold> 错误</bold>(“不兼容的输入”),</p></l是t- - - - - -我te米><list-item> <p> <bold> 返回</bold>,</p></l是t- - - - - -我te米><list-item> <p> <bold> 结束</bold></p> </list-item> <list-item> <p>我=<bold> 眼睛</bold>(m / n);X = k<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M295"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>问;counter = 0;呃= 10000; <我talic> %初始化</我talic></p> </list-item> <list-item> <p> <bold> 而</bold>犯错> = errtol<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M296"> <mml:mphantom> <mml:mpadded height="0in" depth="0in"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mpadded> </mml:mphantom> <mml:mi> %</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula> <italic> 迭代</我talic></p> </list-item> <list-item> <p>X = k<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M297"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>Q +一个'<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M298"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<bold> 克隆亚麻</bold>(我,X)−C)<年代up>∧</年代up>问<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M299"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>一个;<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M300"> <mml:mphantom> <mml:mpadded height="0in" depth="0in"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> x</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mpadded> </mml:mphantom> <mml:mi> %</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula> <italic> 更新X</我talic></p> </list-item> <list-item> <p>S = X−k<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M301"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>问−“<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M302"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<bold> 克隆亚麻</bold>(我,X)−C)<年代up>∧</年代up>问<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M303"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>一个;<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M304"> <mml:mphantom> <mml:mpadded height="0in" depth="0in"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mpadded> </mml:mphantom> <mml:mi> %</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula> <italic> 形状误差矩阵S</我talic></p> </list-item> <list-item> <p>呃=<bold> 规范</bold>(年代,1)/<bold> 规范</bold>(X, 1);<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M305"> <mml:mphantom> <mml:mpadded height="0in" depth="0in"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mpadded> </mml:mphantom> <mml:mi> %</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula> <italic> 相对迭代误差</我talic></p> </list-item> <list-item> <p>counter = counter + 1;<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M306"> <mml:mphantom> <mml:mpadded height="0in" depth="0in"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我><米米l:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mpadded> </mml:mphantom> <mml:mi> %</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula> <italic> 迭代计数器</我talic></p> </list-item> <list-item> <p> <bold> 结束</bold></p> </list-item> <list-item> <p>X = X (X + ') / 2;<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M307"> <mml:mphantom> <mml:mpadded height="0in" depth="0in"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mpadded> </mml:mphantom> <mml:mi> %</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula> <italic> 确保X是对称的</我talic></p> </list-item> <list-item> <p>S = X−k<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M308"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>问−“<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M309"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<bold> 克隆亚麻</bold>(我,X)−C)<年代up>∧</年代up>问<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M310"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>一个;<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M311"> <mml:mphantom> <mml:mpadded height="0in" depth="0in"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mpadded> </mml:mphantom> <mml:mi> %</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula> <italic> 形成最终的误差矩阵S</我talic></p> </list-item> <list-item> <p>呃=<bold> 规范</bold>(年代,1)/<bold> 规范</bold>(X, 1);</p></l是t- - - - - -我te米><p></p> </sec> <back> <sec sec-type="conflict"> <title>利益冲突</t我tle><p>作者宣称没有利益冲突有关的出版。</p></年代ec> <ack> <title>确认</t我tle><p>作者希望感谢教授弗兰克Uhlig和匿名裁判对提高本文提供非常有用的建议。支持的工作是由中国国家自然科学基金(11071141),中国的山东省自然科学基金(ZR2015AL017ZR2014AM032)和山东省高等教育的项目科技项目(J11LA06 J13LI02)。</p></ack> <ref-list> <ref id="B4" content-type="article"> <label>1</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Engwerda</年代urname> <given-names> j . C。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 的存在正定矩阵方程的解<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M312"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula> </article-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我talic> <year> 1993年</year> <volume> 194年</volume> <fpage> 91年</fpage> <lpage> 108年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0024 - 3795 (93)90115 - 5</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>2</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Engwerda</年代urname> <given-names> j . C。</given-names> </name> <name> <surname> 跑</年代urname> <given-names> a·c·M。</given-names> </name> <name> <surname> Rijkeboer</年代urname> <given-names> a . L。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 存在的必要和充分条件正定矩阵方程的解<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M313"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula> </article-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我talic> <year> 1993年</year> <volume> 186年</volume> <fpage> 255年</fpage> <lpage> 275年</lpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>3</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 费</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 莱维</年代urname> <given-names> b . C。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 埃尔米特方程的解决方案<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M314"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula> </article-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我talic> <year> 1996年</year> <volume> 247年</volume> <fpage> 359年</fpage> <lpage> 373年</lpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>4</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 段</年代urname> <given-names> x F。</given-names> </name> <name> <surname> 廖</年代urname> <given-names> 答:P。</given-names> </name> <name> <surname> 唐</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在非线性矩阵方程<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M315"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> </article-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我talic> <year> 2008年</year> <volume> 429年</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 110年</fpage> <lpage> 121年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.laa.2008.02.014</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>5</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 段</年代urname> <given-names> x F。</given-names> </name> <name> <surname> 廖</年代urname> <given-names> 答:P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在埃尔米特矩阵的正定解的方程<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M316"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> </article-title> <source> <italic> 计算和应用数学杂志》上</我talic> <year> 2009年</year> <volume> 229年</volume> <fpage> 27</fpage> <lpage> 36</lpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> El-Sayed</年代urname> <given-names> s M。</given-names> </name> <name> <surname> Al-Dbiban</年代urname> <given-names> a . M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在正定解的非线性矩阵方程<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M317"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula> </article-title> <source> <italic> 应用数学和计算</我talic> <year> 2004年</year> <volume> 151年</volume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 533年</fpage> <lpage> 541年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0096 - 3003 (03) 00360 - 6</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>7</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 高</年代urname> <given-names> d . J。</given-names> </name> <name> <surname> 张</年代urname> <given-names> y . H。</given-names> </name> </person-group> <article-title xml:lang="zh"> 埃尔米特矩阵的正定解的方程<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M318"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula> </article-title> <source> <italic> Mathematica Numerica中央研究院</我talic> <year> 2007年</year> <volume> 29日</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 73年</fpage> <lpage> 80年</lpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>8</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Hasanov</年代urname> <given-names> 诉我。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 正定解矩阵方程<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M319"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ±</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula> </article-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我talic> <year> 2005年</year> <volume> 404年</volume> <fpage> 166年</fpage> <lpage> 182年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.laa.2005.02.024</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>9</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Lim</年代urname> <given-names> Y。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 解决非线性矩阵方程<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M320"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我><米米l:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>通过收缩原理</article-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我talic> <year> 2009年</year> <volume> 430年</volume> <fpage> 1380年</fpage> <lpage> 1383年</lpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="article"> <label>10</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 张</年代urname> <given-names> y . H。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在埃尔米特正定矩阵方程的解决方案<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M321"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula> </article-title> <source> <italic> 计算数学学报</我talic> <year> 2005年</year> <volume> 23</volume> <issue> 4</我年代年代ue> <fpage> 408年</fpage> <lpage> 418年</lpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="book"> <label>11</label> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Sakhnovich</年代urname> <given-names> l。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 插值理论及其应用、数学及其应用</我talic> <year> 1997年</year> <volume> 428年</volume> <publisher-loc> 荷兰多德雷赫特</publisher-loc> <publisher-name> Kluwer学术出版社</publisher-name> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / 978-94-009-0059-2</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1631843</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>12</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 跑</年代urname> <given-names> a·c·M。</given-names> </name> <name> <surname> Reurings</年代urname> <given-names> m . c, B。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个非线性矩阵方程与插值理论</article-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我talic> <year> 2004年</year> <volume> 379年</volume> <fpage> 289年</fpage> <lpage> 302年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0024 - 3795 (03) 00541 - x</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2039744</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0742285659</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>13</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 太阳</年代urname> <given-names> j·G。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 摄动分析的矩阵方程<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M322"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula> </article-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我talic> <year> 2003年</year> <volume> 372年</volume> <fpage> 33</fpage> <lpage> 51</lpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>14</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 高</年代urname> <given-names> d . J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 正定解的存在性和唯一性的矩阵方程<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M323"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ^</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> C</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula> </article-title> <source> <italic> 抽象和应用分析</我talic> <year> 2013年</year> <volume> 2013年</volume> <lpage> 4</lpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 216035年</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2013/216035</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>15</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> El-Sayed</年代urname> <given-names> s M。</given-names> </name> <name> <surname> 跑</年代urname> <given-names> a·c·M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在一个迭代法求解一类非线性矩阵方程</article-title> <source> <italic> 暹罗《矩阵分析和应用程序</我talic> <year> 2001年</year> <volume> 23</volume> <issue> 3</我年代年代ue> <fpage> 632年</fpage> <lpage> 645年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1137 / s0895479899345571</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1896810</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0036018627</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>16</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 跑</年代urname> <given-names> a·c·M。</given-names> </name> <name> <surname> Reurings</年代urname> <given-names> m . c, B。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在非线性矩阵方程<我nl在e- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M324"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>:解决方案和微扰理论</article-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我talic> <year> 2002年</year> <volume> 346年</volume> <fpage> 15</fpage> <lpage> 26</lpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>17</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 跑</年代urname> <given-names> a . C。</given-names> </name> <name> <surname> Reurings</年代urname> <given-names> m . c, B。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个不动点定理在半序集和一些应用矩阵方程</article-title> <source> <italic> 美国数学学会学报》上</我talic> <year> 2004年</year> <volume> 132年</volume> <issue> 5</我年代年代ue> <fpage> 1435年</fpage> <lpage> 1443年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1090 / s0002 - 9939 - 03 - 07220 - 4</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2053350</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 2142762916</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>18</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 跑</年代urname> <given-names> a·c·M。</given-names> </name> <name> <surname> Reurings</年代urname> <given-names> m . c, B。</given-names> </name> <name> <surname> 罗德曼</年代urname> <given-names> l</given-names> </name> </person-group> <article-title> 非线性自伴算子方程的扰动分析</article-title> <source> <italic> 暹罗《矩阵分析和应用程序</我talic> <year> 2006年</year> <volume> 28</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 89年</fpage> <lpage> 104年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1137 / 05062873</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2218944</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 33847152552</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="article"> <label>19</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Reurings</年代urname> <given-names> m . c, B。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 收缩映射在赋范线性空间及其应用非线性矩阵方程</article-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我talic> <year> 2006年</year> <volume> 418年</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 292年</fpage> <lpage> 311年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.laa.2006.02.005</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2257597</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 33748202971</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="book"> <label>20.</label> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 郭</年代urname> <given-names> d . J。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 非线性泛函分析</我talic> <publisher-loc> 济南,中国</publisher-loc> <publisher-name> 山东科学技术出版社</publisher-name> <comment> 2001(中国)</comment> </nlm-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="book"> <label>21</label> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 郭</年代urname> <given-names> d . J。</given-names> </name> <name> <surname> Lakshmikantham</年代urname> <given-names> V。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 非线性问题抽象锥</我talic> <year> 1988年</year> <publisher-loc> 英国伦敦</publisher-loc> <publisher-name> 学术出版社</publisher-name> </nlm-citation> </ref> <ref id="B1" content-type="book"> <label>22</label> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 巴蒂亚</年代urname> <given-names> R。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 矩阵分析</我talic> <year> 1997年</year> <volume> 169年</volume> <publisher-name> 施普林格</publisher-name> <series> 研究生数学教材</年代er我e年代><pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / 978-1-4612-0653-8</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1477662</pub-id> </nlm-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>