使用一种新的迭代方法求解分数阶逻辑斯蒂方程

文摘

逻辑斯蒂方程的部分版本使用新的迭代方法解决Daftardar-Gejji和贾法里(2006)提出的。获得收敛的系列解决方案进行了探讨。获得的解决方案与Adomian分解法和同伦摄动法。

1。介绍

下面的模型描述人口增长在1938年首次研究了皮埃尔Verhulst [1] 在哪里是人口在时间,马尔萨斯的参数描述增长率和吗承载能力。定义给下列微分方程: 这是称为逻辑斯蒂方程。

逻辑斯蒂方程讨论了分数阶的在文献[2,3]。El-Sayed等。(2)调查了方程,在那里是卡普托分数导数的秩序。Momani和Qaralleh3)采用Adomian分解方法(ADM)为解决部分人口增长模型在一个封闭的系统。

在本文,我们使用新的迭代法(NIM)引入Daftardar-Gejji和贾法里4)逻辑斯蒂方程的解决部分版本。

尼姆是有用的为解决一般的函数方程的形式 在哪里是一个给定的函数,和分别为线性和非线性算子。尼姆已经相当简单的算法,不需要任何的知识涉及Adomian多项式等概念,同伦,或者拉格朗日乘数法。尼姆最近制定的严格的收敛性分析(5]。该方法已成功应用目前作者求解偏微分方程(6),进化方程(7),和部分扩散波方程(8]。

尼姆已被许多研究人员进一步探讨。一些数值方法和高阶收敛可以使用NIM生成。m·a·诺尔和k . i努尔(9,10)已经开发出一种三步预估方法求解非线性方程。进一步,他们已经表明,该方法具有四阶收敛性(11]。一些新方法12,13使用NIM)提出的这些作者。Mohyud-Din等。(14使用NIM)解决Hirota-Satsuma耦合KdV系统。这些作者(15应用NIM)也有解决方案的第五阶边值问题。诺尔和Mohyud-Din16)使用NIM解决亥姆霍兹方程。尼姆应用于解决齐次和非齐次平流问题[17),扩散方程(18],薛定谔方程[19),时间部分偏微分方程(20.),等等。Yaseen和Samraiz21)提出修改尼姆和用它来解决克莱因戈登方程。斯利瓦斯塔瓦和意大利广播电视公司22)提出了一种新的数学模型氧气交付通过毛细组织多项部分扩散方程。他们已经解决了multi-term部分扩散方程使用NIM和ADM和显示的结果是完美的协议。

最近Usman et al。23]解决了各种物理问题使用NIM和其他各种方法和显示,尼姆比其他方法更好的性能。

在本文中,我们解决分数阶逻辑斯蒂方程。我们比较的结果尼姆,ADM (3),和同伦摄动方法与精确解(HPM)。进一步,我们建议充分条件收敛的NIM解决分数阶逻辑斯蒂方程。

2。预赛和符号

在本节中,我们建立了从分数微积分符号和回忆一些基本定义24]。

定义2.1。Riemann-Liouville部分集成的秩序被定义为

定义2.2。卡普托分数导数的秩序被定义为 请注意,对于和

3所示。分数阶逻辑斯蒂方程

考虑 与初始条件 操作双方(3.1)和使用(3.2),我们得到

3.1。Adomian分解方法

Adomian分解方法(25)是其中一个最强大的方法用于解决(1.3)。在这种方法中,解决方案被认为是形式和非线性算子被表示为 在哪里 Adomian多项式。级数给出的条款 本系列的融合,我们参考读者26]。分数阶逻辑斯蒂方程解决使用ADM (3]。

3.2。新的迭代方法

最近Daftardar-Gejji和贾法里4,8)使用一个不同的分解。他们分解如下: 系列的条款是由以下递推关系: 本系列文章的讨论收敛和比较可以发现ADM和尼姆的(5]。

在尼姆的观点,解决(3.3)是由在哪里 的术语给出近似解

3.3。同伦摄动方法

他提出的同伦摄动方法(HPM)27,28)是一种有用的技术来解决非线性问题。针对HPM,我们构造以下同伦求解分数阶逻辑斯蒂方程(3.1): 在哪里是一个嵌入参数。为同伦(3.11)给出了一个线性方程和,它给原始方程(3.1)。同伦方程的解决方案(3.11)被认为是 解决方案(3.1)是获得系列(3.12),用。用(3.12)(3.11),将喜欢的权力,我们得到 等等。(给出的线性方程3.13)给 等等。它可以看到从(3.11)HPM给出的解决方案是一样的ADM解决方案(3]。

4所示。尼姆解决方案的收敛

在本节中,我们提供了充分条件收敛的NIM解决方案系列(3.10)。

让被定义在一个矩形

很明显,是有界的。我们有,对于一些实数在。

引理4.1。初值问题 的项近似NIM解决方案(3.10)存在区间,在那里在矩形。此外,分,尽管每当。

证明。我们用归纳法证明引理。
很明显,结果是正确的。现在, 自点,尽管, 因此,。
我们假设结果适用于正整数和证明。使用NIM解决方案,我们得到的 归纳假设意味着点,尽管。因此 这意味着点,尽管当。

定理4.2。尼姆解级数收敛区间解决IVP (4.2)。

证明。请注意,连续函数定义在一个矩形吗和在。进一步 因此,第二个变量李普希茨与李普希茨常数。现在
它可以用归纳法证明
这表明th的NIM解决方案系列是由(有界)*)米塔格-莱弗勒函数的术语 因此,尼姆系列是在给定条件下收敛。

5。说明性的例子

Mathematica 8已被用于解决以下问题。

例5.1。考虑一个分数阶逻辑斯蒂方程 等价的积分方程(5.1)是 在尼姆的观点, 等等。ADM的一些术语3)和HPM的解决方案 图1显示的解决方案(5.2)尼姆(5解决方案)、ADM和HPM(06年的在任解决方案)和精确解。在数据2和3我们比较ADM、HPM和尼姆的解决方案(5.2)和,分别。图4显示了不同价值观的尼姆的解决方案。

例5.2。考虑以下物流分数阶方程 应用双方(5.5)和使用(5.6),我们得到 在图5,我们比较的解决方案(5.7)尼姆(5解决方案),ADM (3],HPM(06年的在任解决方案)和精确解。图6显示了尼姆的解决方案(5.7为不同的值)。

6。结论

分数阶逻辑斯蒂方程解决了使用一种新的迭代法(NIM)。从数据1- - - - - -6,很明显,尼姆比ADM更稳定和HPM的解决方案。进一步的条件收敛NIM系列还提供了解决方案。它可以得出的结论是,尼姆是一个有用的技术来解决非线性问题。

确认

诉Daftardar-Gejji承认科学和技术部门,新德里,印度研究资助(项目没有。SR / S2 / HEP-024/2009]。

引用

1. s h。“非线性动力学和混乱,黎凡特书,加尔各答,印度,2007。
2. a . m . a . El-Sayed a . e . m . El-Mesiry和h·a·a . El-Saka”分数阶逻辑方程。”应用数学的信,20卷,不。7,817 - 823年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
3. s Momani和r . Qaralleh数值近似和Pade部分人口增长模型的近似式,“应用数学建模没有,卷。31日。9日,第1914 - 1907页,2007年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
4. 诉Daftardar-Gejji h .贾法里,“一个迭代的方法求解非线性函数方程,”《数学分析和应用程序,卷316,不。2、753 - 763年,2006页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
5. 美国Bhalekar诉Daftardar-Gejji,“新的迭代方法的收敛性。”国际期刊的微分方程文章ID 989065卷,2011年,10页,2011。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
6. 美国Bhalekar诉Daftardar-Gejji,“新的迭代方法:应用偏微分方程,”应用数学和计算,卷203,不。2、778 - 783年,2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
7. 美国Bhalekar和诉Daftardar-Gejji”,使用一个新的迭代法求解演化方程,”偏微分方程的数值方法,26卷,不。4、906 - 916年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
8. 诉Daftardar-Gejji和美国Bhalekar”,解决部分扩散波方程使用新的迭代法,“分数微积分与应用分析,11卷,不。2、193 - 202年,2008页。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
9. m·a·诺尔和k·努尔,“三步迭代非线性方程组的方法,”应用数学和计算,卷183,不。1,第327 - 322页,2006。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
10. m·a·努尔k·努尔,s . t . Mohyud-Din和a . Shabbir”与立方非线性方程组收敛,迭代法”应用数学和计算,卷183,不。2、1249 - 1255年,2006页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
11. k . i努尔·m·a·努尔,“非线性方程组迭代方法和四阶收敛,”应用数学和计算,卷189,不。1,第227 - 221页,2007。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
12. m·a·努尔”新的非线性方程组迭代方案,“应用数学和计算,卷187,不。2、937 - 943年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
13. m·a·努尔k·努尔,e·奎和m .瓦萨姆”一些新的非线性方程组迭代的方法,”数学问题在工程文章ID 198943卷,2010年,12页,2010。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
14. s . t . Mohyud-Din a Yildirim和s . m . m . Hosseini“Hirota-Satsuma模型,数值比较的方法”应用程序和应用数学,5卷,不。10日,457 - 466年,2010页。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
15. s . t . Mohyud-Din a . Yildirim和m . m . Hosseini”基于边值问题的迭代算法,”世界应用科学杂志,8卷,不。5,531 - 535年,2010页。视图:谷歌学术搜索
16. m·a·诺尔和s . t . Mohyud-Din“迭代方法求解亥姆霍兹方程,”阿拉伯数学和数学科学杂志》上十三至十八,1卷,页2007。视图:谷歌学术搜索
17. s . t . Mohyud-Din a . Yildirim和m . Hosseini“齐次和非齐次平流问题,修改后的分解方法”世界应用科学杂志7卷,第171 - 168页,2009年。视图:谷歌学术搜索
18. m .纱丽,a . Gunay g . Gurarslan”近似解的线性和非线性扩散方程利用Daftardar-Gejji-Jafari的方法,”国际期刊的数学建模和数值优化,卷2,不。4、376 - 386年,2011页。视图:谷歌学术搜索
19. h . Koyunbakan”转化的方法和薛定谔方程摄动完全可以解决的潜力,”计算声学学报,17卷,不。1、1 - 10,2009页。视图:谷歌学术搜索
20. h . Kocak和a . Yıldırım”,一种有效的新的迭代法寻找非线性time-fractional偏微分方程的精确解,“非线性分析:建模和控制,16卷,不。4、403 - 414年,2011页。视图:谷歌学术搜索
21. m . Yaseen和m . Samraiz”修改后的新的迭代方法求解线性和非线性克莱因戈登方程,”应用数学科学》第六卷,第2987 - 2979页,2012年。视图:谷歌学术搜索
22. 诉斯利瓦斯塔瓦和k . n . Rai“multi-term氧供给部分扩散方程通过毛细组织,”数学和计算机模拟,51卷,不。5 - 6,616 - 624年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
23. m·乌斯曼A . Yildirim和s . t . Mohyud-Din“可靠的物理问题,算法”国际物理科学杂志》上》第六卷,没有。1,第153 - 146页,2011。视图:谷歌学术搜索
24. Podlubny,分数微分方程:导论部分衍生品,分数微分方程,他们的解决方案的方法和他们的一些应用程序卷,198数学在科学和工程、学术出版社,圣地亚哥,加利福尼亚州,美国,1999年。
25. g . Adomian解决边境问题的物理:分解方法,60卷的物理学的基本理论Kluwer学术出版商,多德雷赫特,荷兰,1994年。
26. y Cherruault”Adomian收敛的方法。”Kybernetes,18卷,不。2,31-38,1989页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
27. 黄永发。他,“同伦摄动技术,”计算机在应用力学和工程方法,卷178,不。3 - 4、257 - 262年,1999页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
28. 黄永发。他,“同伦摄动方法:一个新的非线性分析技术,”应用数学和计算,卷135,不。1,第79 - 73页,2003。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学

版权

版权©2012萨钦Bhalekar夫妇Daftardar-Gejji。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。