IJDE 国际期刊的微分方程 1687 - 9651 1687 - 9643 Hindawi出版公司 975829年 10.1155 / 2012/975829 975829年 研究文章 使用一种新的迭代方法求解分数阶逻辑斯蒂方程 Bhalekar 萨钦 1 Daftardar-Gejji Varsha 2 Agrawal Om 1 数学系 Shivaji大学 戈尔哈416004 印度 unishivaji.ac.in 2 数学系 普纳大学 浦那411007 印度 unipune.ac.in 2012年 31日<米在th> 10 2012年 2012年 06<米在th> 05年 2012年 11<米在th> 08年 2012年 05年<米在th> 09年 2012年 2012年 版权©2012萨钦Bhalekar夫妇Daftardar-Gejji。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。 逻辑斯蒂方程的部分版本使用新的迭代方法解决Daftardar-Gejji和贾法里(2006)提出的。获得收敛的系列解决方案进行了探讨。获得的解决方案与Adomian分解法和同伦摄动法。 1。介绍</t我tle> <p>下面的模型描述人口增长在1938年首次研究了皮埃尔Verhulst [<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>]<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1.1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1.1)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mpadded height="0in" depth="0in"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mpadded> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>是人口在时间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>马尔萨斯的参数描述增长率和吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>承载能力。定义<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>给下列微分方程:<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1.2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1.2)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这是称为逻辑斯蒂方程。</p><p>逻辑斯蒂方程讨论了分数阶的在文献[<xref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xref>]。El-Sayed等<我t一个lic> 。</我t一个lic>(<xref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xref>)调查了方程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是卡普托分数导数的秩序<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。Momani和Qaralleh<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xref>)采用Adomian分解方法(ADM)为解决部分人口增长模型在一个封闭的系统。</p><p>在本文,我们使用新的迭代法(NIM)引入Daftardar-Gejji和贾法里<xref ref-type="bibr" rid="B4"> 4</xref>)逻辑斯蒂方程的解决部分版本。</p><p>尼姆是有用的为解决一般的函数方程的形式<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1.3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1.3)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个给定的函数,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>分别为线性和非线性算子。尼姆已经相当简单的算法,不需要任何的知识涉及Adomian多项式等概念,同伦,或者拉格朗日乘数法。尼姆最近制定的严格的收敛性分析(<xref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xref>]。该方法已成功应用目前作者求解偏微分方程(<xref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xref>),进化方程(<xref ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xref>),和部分扩散波方程(<xref ref-type="bibr" rid="B8"> 8</xref>]。</p><p>尼姆已被许多研究人员进一步探讨。一些数值方法和高阶收敛可以使用NIM生成。m·a·诺尔和k . i努尔(<xref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xref>)已经开发出一种三步预估方法求解非线性方程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。进一步,他们已经表明,该方法具有四阶收敛性(<xref ref-type="bibr" rid="B11"> 11</xref>]。一些新方法<xref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xref>使用NIM)提出的这些作者。Mohyud-Din等<我t一个lic> 。</我t一个lic>(<xref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xref>使用NIM)解决Hirota-Satsuma耦合KdV系统。这些作者(<xref ref-type="bibr" rid="B15"> 15</xref>应用NIM)也有解决方案的第五阶边值问题。诺尔和Mohyud-Din<xref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</xref>)使用NIM解决亥姆霍兹方程。尼姆应用于解决齐次和非齐次平流问题[<xref ref-type="bibr" rid="B17"> 17</xref>),扩散方程(<xref ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xref>],薛定谔方程[<xref ref-type="bibr" rid="B19"> 19</xref>),时间部分偏微分方程(<xref ref-type="bibr" rid="B20"> 20.</xref>),等等。Yaseen和Samraiz<xref ref-type="bibr" rid="B21"> 21</xref>)提出修改尼姆和用它来解决克莱因戈登方程。斯利瓦斯塔瓦和意大利广播电视公司<xref ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xref>)提出了一种新的数学模型氧气交付通过毛细组织多项部分扩散方程。他们已经解决了multi-term部分扩散方程使用NIM和ADM和显示的结果是完美的协议。</p><p>最近Usman et al。<xref ref-type="bibr" rid="B23"> 23</xref>]解决了各种物理问题使用NIM和其他各种方法和显示,尼姆比其他方法更好的性能。</p><p>在本文中,我们解决分数阶逻辑斯蒂方程。我们比较的结果尼姆,ADM (<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xref>),和同伦摄动方法与精确解(HPM)。进一步,我们建议充分条件收敛的NIM解决分数阶逻辑斯蒂方程。</p></sec> <sec id="sec2"> <title>2。预赛和符号</t我tle> <p>在本节中,我们建立了从分数微积分符号和回忆一些基本定义<xref ref-type="bibr" rid="B26"> 24</xref>]。</p><statement id="deff2.1"> <title>定义2.1。</t我tle> <p>Riemann-Liouville部分集成的秩序<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被定义为<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2.1)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="deff2.2"> <title>定义2.2。</t我tle> <p>卡普托分数导数的秩序<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被定义为<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2.2)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>请注意,对于<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mi> γ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.3"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (2.3)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> !</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。分数阶逻辑斯蒂方程</t我tle> <p>考虑<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3.1)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>与初始条件<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3.2)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>操作<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>双方(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.1"> 3.1</xref>)和使用(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.2"> 3.2</xref>),我们得到<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3.3)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <sec id="sec3.1"> <title>3.1。Adomian分解方法</t我tle> <p>Adomian分解方法(<xref ref-type="bibr" rid="B24"> 25</xref>)是其中一个最强大的方法用于解决(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq1.3"> 1.3</xref>)。在这种方法中,解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被认为是形式<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和非线性算子<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被表示为<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3.4)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3.5)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> !</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>Adomian多项式。级数给出的条款<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3.6)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>本系列的融合,我们参考读者<xref ref-type="bibr" rid="B25"> 26</xref>]。分数阶逻辑斯蒂方程解决使用ADM (<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xref>]。</p></sec> <sec id="sec3.2"> <title>3.2。新的迭代方法</t我tle> <p>最近Daftardar-Gejji和贾法里<xref ref-type="bibr" rid="B4"> 4</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B8"> 8</xref>)使用一个不同的分解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>。他们分解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>如下:<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3.7)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:munder accentunder="false"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ︸</米米l:mo> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:munder> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:munder accentunder="false"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ︸</米米l:mo> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:munder> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:munder accentunder="false"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ︸</米米l:mo> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:munder> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>系列的条款<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是由以下递推关系:<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.8"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (3.8)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>本系列文章的讨论收敛和比较可以发现ADM和尼姆的(<xref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xref>]。</p><p>在尼姆的观点,解决(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.3"> 3.3</xref>)是由<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在哪里<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.11"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (3.9)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mtext> - - - - - -</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula>术语给出近似解<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3.10)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </sec> <sec id="sec3.3"> <title>3.3。同伦摄动方法</t我tle> <p>他提出的同伦摄动方法(HPM)<xref ref-type="bibr" rid="B27"> 27</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B28"> 28</xref>)是一种有用的技术来解决非线性问题。针对HPM,我们构造以下同伦求解分数阶逻辑斯蒂方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.1"> 3.1</xref>):<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3.11)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</米米l:mn> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>是一个嵌入参数。为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>同伦(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.14"> 3.11</xref>)给出了一个线性方程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,它给原始方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.1"> 3.1</xref>)。同伦方程的解决方案(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.14"> 3.11</xref>)被认为是<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3.12)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>解决方案(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.1"> 3.1</xref>)是获得系列(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.15"> 3.12</xref>),用<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。用(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.15"> 3.12</xref>)(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.14"> 3.11</xref>),将喜欢的权力<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们得到<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.16"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (3.13)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>等等。(给出的线性方程<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.16"> 3.13</xref>)给<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.17"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (3.14)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>等等。它可以看到从(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.14"> 3.11</xref>)HPM给出的解决方案是一样的ADM解决方案(<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xref>]。</p></sec> </sec> <sec id="sec4"> <title>4所示。尼姆解决方案的收敛</t我tle> <p>在本节中,我们提供了充分条件收敛的NIM解决方案系列(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.13"> 3.10</xref>)。</p><p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>被定义在一个矩形<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq21"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4.1)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> :</米米l:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>很明显,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>是有界的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。我们有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,对于一些实数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><statement id="lem4.1"> <title>引理4.1。</t我tle> <p>初值问题<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.1"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (4.2)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>项近似NIM解决方案(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.13"> 3.10</xref>)存在区间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> 最小值</米米l:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在矩形<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,分<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,尽管<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>每当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></statement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle> <p>我们用归纳法证明引理<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>很明显,结果是正确的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。现在,<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4.3)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>自点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,尽管<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4.4)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo id="ECAABAAABADBOAA"> ≤</米米l:mo> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EAPAAABAA0WB0AAALA"> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>我们假设结果适用于正整数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和证明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。使用NIM解决方案,我们得到的<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4.5)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo id="ECAABAAABANAOAA"> ≤</米米l:mo> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EAPAAABAA0WB0AAALA"> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>归纳假设意味着点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,尽管<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。因此<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4.6)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,尽管<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></statement> <statement id="thm4.1"> <title>定理4.2。</t我tle> <p>尼姆解级数收敛区间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>解决IVP (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq4.1"> 4.2</xref>)。</p></statement> <statement id="proof2"> <title>证明。</t我tle> <p>请注意,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>连续函数定义在一个矩形吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。进一步<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4.7)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo id="EEAACAAABAICMAA"> =</米米l:mo> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EAPAAABAA0WB0AAALA"> ≤</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EAPAAABAA0WB0AAALA"> =</米米l:mo> <mml:mi> K</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>第二个变量李普希茨<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与李普希茨常数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mi> K</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo stretchy="false"> |</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>。现在<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq28"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (4.8)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo id="ECAAAABAA1AAALA"> ≤</米米l:mo> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="ECAAAABAA1AAALA"> ≤</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> K</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="ECAAAABAA1AAALA"> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mi> K</米米l:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>它可以用归纳法证明<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4.9)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula></p> <p>这表明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>th的NIM解决方案系列是由(有界<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>)*)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>米塔格-莱弗勒函数的术语<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq30"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4.10)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,尼姆系列是在给定条件下收敛。</p></statement> </sec> <sec id="sec5"> <title>5。说明性的例子</t我tle> <p>Mathematica 8已被用于解决以下问题。</p><statement id="ex1"> <title>例5.1。</t我tle> <p>考虑一个分数阶逻辑斯蒂方程<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5.1"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (5.1)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>等价的积分方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq5.1"> 5.1</xref>)是<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5.3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5.2)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在尼姆的观点,<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq33"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (5.3)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.5</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.5</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.5</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.125</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.5</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.5</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.5</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.0078125</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo id="EBAAAABAALAAALA"> =</米米l:mo> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.0009765625</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EBAAAABAALAAALA"></mml:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.000030517578125</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 7</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 6</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 7</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>等等。ADM的一些术语<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xref>)和HPM的解决方案<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq34"> <mml:mtd rowspan="6"> <mml:mtext> (5.4)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.5</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.125</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.0078125</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.0009765625</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</米米l:mn> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>图<xref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</xref>显示的解决方案(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq5.3"> 5.2</xref>)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>尼姆(5解决方案)、ADM和HPM(06年的在任解决方案)和精确解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。在数据<xref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</xref>和<xref ref-type="fig" rid="fig3"> 3</xref>我们比较ADM、HPM和尼姆的解决方案(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq5.3"> 5.2</xref>)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.5</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.7</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,分别。图<xref ref-type="fig" rid="fig4"> 4</xref>显示了不同价值观的尼姆的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></statement> <fig id="fig1"> <label>图1</label> <p>(例子<xref ref-type="statement" rid="ex1"> 5.1</xref>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>)。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ijde/2012/975829.fig.001"></graphic> </fig> <fig id="fig2"> <label>图2</label> <p>(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.5</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,冲= ADM & HPM固体= NIM)。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ijde/2012/975829.fig.002"></graphic> </fig> <fig id="fig3"> <label>图3</label> <p>(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0.7</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,冲= ADM & HPM固体= NIM)。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ijde/2012/975829.fig.003"></graphic> </fig> <fig id="fig4"> <label>图4</label> <p>(例子<xref ref-type="statement" rid="ex1"> 5.1</xref>尼姆的解决方案)。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ijde/2012/975829.fig.004"></graphic> </fig> <statement id="ex2"> <title>例5.2。</t我tle> <p>考虑以下物流分数阶方程<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5.4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5.5)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq5.5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5.6)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>应用<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>双方(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq5.4"> 5.5</xref>)和使用(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq5.5"> 5.6</xref>),我们得到<d我sp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5.6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5.7)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在图<xref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</xref>,我们比较的解决方案(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq5.6"> 5.7</xref>)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>尼姆(5解决方案),ADM (<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xref>],HPM(06年的在任解决方案)和精确解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 经验值</米米l:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。图<xref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</xref>显示了尼姆的解决方案(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq5.6"> 5.7</xref>为不同的值)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></statement> <fig id="fig5"> <label>图5</label> <p>(例子<xref ref-type="statement" rid="ex2"> 5.2</xref>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>)。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ijde/2012/975829.fig.005"></graphic> </fig> <fig id="fig6"> <label>图6</label> <p>(NIM)的解决方案。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/ijde/2012/975829.fig.006"></graphic> </fig> </sec> <sec id="sec6"> <title>6。结论</t我tle> <p>分数阶逻辑斯蒂方程解决了使用一种新的迭代法(NIM)。从数据<xref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</xref>- - - - - -<xref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</xref>,很明显,尼姆比ADM更稳定和HPM的解决方案。进一步的条件收敛NIM系列还提供了解决方案。它可以得出的结论是,尼姆是一个有用的技术来解决非线性问题。</p></sec> <back> <ack> <title>确认</t我tle> <p>诉Daftardar-Gejji承认科学和技术部门,新德里,印度研究资助(项目没有。SR / S2 / HEP-024/2009]。</p></一个ck> <ref-list> <ref id="B1" content-type="book"> <label>1</label> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> “</surname> <given-names> s . H。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 非线性动力学和混乱</我t一个lic> <year> 2007年</year> <publisher-loc> 加尔各答,印度</publisher-loc> <publisher-name> 黎凡特的书</publisher-name> </nlm-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> El-Sayed</surname> <given-names> A . m .。</given-names> </name> <name> <surname> El-Mesiry</surname> <given-names> a . e . M。</given-names> </name> <name> <surname> El-Saka</surname> <given-names> h·A·A。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在分数阶逻辑斯蒂方程</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学的信</我t一个lic> <year> 2007年</year> <volume> 20.</volume> <issue> 7</我ssue> <fpage> 817年</fp一个ge> <lpage> 823年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.aml.2006.08.013</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2314715</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> ZBL1140.34302</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Momani</surname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Qaralleh</surname> <given-names> R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 数值近似和Pade部分人口增长模型的近似式</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学建模</我t一个lic> <year> 2007年</year> <volume> 31日</volume> <issue> 9</我ssue> <fpage> 1907年</fp一个ge> <lpage> 1914年</lpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 34047179962</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.apm.2006.06.015</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Daftardar-Gejji</surname> <given-names> V。</given-names> </name> <name> <surname> 贾法里</surname> <given-names> H。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个迭代的方法求解非线性函数方程</一个rt我cle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</我t一个lic> <year> 2006年</year> <volume> 316年</volume> <issue> 2</我ssue> <fpage> 753年</fp一个ge> <lpage> 763年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jmaa.2005.05.009</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2207344</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> ZBL1087.65055</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Bhalekar</surname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Daftardar-Gejji</surname> <given-names> V。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 新的迭代方法的收敛性</一个rt我cle-title> <source> <italic> 国际期刊的微分方程</我t一个lic> <year> 2011年</year> <volume> 2011年</volume> <lpage> 10</lpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 989065年</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2854946</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> ZBL1239.34014</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Bhalekar</surname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Daftardar-Gejji</surname> <given-names> V。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 新的迭代方法:应用偏微分方程</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学和计算</我t一个lic> <year> 2008年</year> <volume> 203年</volume> <issue> 2</我ssue> <fpage> 778年</fp一个ge> <lpage> 783年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.amc.2008.05.071</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2458994</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> ZBL1154.65363</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Bhalekar</surname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Daftardar-Gejji</surname> <given-names> V。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 使用一种新的迭代方法求解演化方程</一个rt我cle-title> <source> <italic> 偏微分方程的数值方法</我t一个lic> <year> 2010年</year> <volume> 26</volume> <issue> 4</我ssue> <fpage> 906年</fp一个ge> <lpage> 916年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1002 / num.20463</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2642326</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> ZBL1194.65117</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Daftardar-Gejji</surname> <given-names> V。</given-names> </name> <name> <surname> Bhalekar</surname> <given-names> 年代。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 使用一个新的迭代法解部分扩散波方程</一个rt我cle-title> <source> <italic> 分数微积分与应用分析</我t一个lic> <year> 2008年</year> <volume> 11</volume> <issue> 2</我ssue> <fpage> 193年</fp一个ge> <lpage> 202年</lpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2401327</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> ZBL1210.26009</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>9</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 努尔</surname> <given-names> m·A。</given-names> </name> <name> <surname> 努尔</surname> <given-names> k . I。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 三步迭代非线性方程组的方法</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学和计算</我t一个lic> <year> 2006年</year> <volume> 183年</volume> <issue> 1</我ssue> <fpage> 322年</fp一个ge> <lpage> 327年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.amc.2006.05.055</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2282814</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> ZBL1113.65050</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 努尔</surname> <given-names> m·A。</given-names> </name> <name> <surname> 努尔</surname> <given-names> k . I。</given-names> </name> <name> <surname> Mohyud-Din</surname> <given-names> s T。</given-names> </name> <name> <surname> Shabbir</surname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 迭代方法和立方非线性方程组的收敛</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学和计算</我t一个lic> <year> 2006年</year> <volume> 183年</volume> <issue> 2</我ssue> <fpage> 1249年</fp一个ge> <lpage> 1255年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.amc.2006.05.133</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2294083</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> ZBL1113.65052</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 努尔</surname> <given-names> k . I。</given-names> </name> <name> <surname> 努尔</surname> <given-names> m·A。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 非线性方程的迭代方法和四阶收敛</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学和计算</我t一个lic> <year> 2007年</year> <volume> 189年</volume> <issue> 1</我ssue> <fpage> 221年</fp一个ge> <lpage> 227年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.amc.2006.11.080</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2330200</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>12</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 努尔</surname> <given-names> m·A。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 新的非线性方程组迭代计划</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学和计算</我t一个lic> <year> 2007年</year> <volume> 187年</volume> <issue> 2</我ssue> <fpage> 937年</fp一个ge> <lpage> 943年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.amc.2006.09.028</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2323099</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> ZBL1116.65056</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 努尔</surname> <given-names> m·A。</given-names> </name> <name> <surname> 努尔</surname> <given-names> k . I。</given-names> </name> <name> <surname> 奎</surname> <given-names> E。</given-names> </name> <name> <surname> 卡拉奇警察局</surname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一些新的非线性方程组迭代方法</一个rt我cle-title> <source> <italic> 数学问题在工程</我t一个lic> <year> 2010年</year> <volume> 2010年</volume> <lpage> 12</lpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 198943年</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2010/198943</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2753972</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> ZBL1207.65054</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>14</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Mohyud-Din</surname> <given-names> s T。</given-names> </name> <name> <surname> Yildirim</surname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> Hosseini</surname> <given-names> s·M·M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Hirota-Satsuma方法模型的数值比较</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用程序和应用数学</我t一个lic> <year> 2010年</year> <volume> 5</volume> <issue> 10</我ssue> <fpage> 457年</fp一个ge> <lpage> 466年</lpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2747844</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> ZBL1205.65289</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>15</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Mohyud-Din</surname> <given-names> s T。</given-names> </name> <name> <surname> Yildirim</surname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> Hosseini</surname> <given-names> M . M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 基于边界值问题的迭代算法</一个rt我cle-title> <source> <italic> 世界应用科学杂志</我t一个lic> <year> 2010年</year> <volume> 8</volume> <issue> 5</我ssue> <fpage> 531年</fp一个ge> <lpage> 535年</lpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>16</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 努尔</surname> <given-names> m·A。</given-names> </name> <name> <surname> Mohyud-Din</surname> <given-names> s T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 迭代方法求解亥姆霍兹方程</一个rt我cle-title> <source> <italic> 阿拉伯数学和数学科学杂志》上</我t一个lic> <year> 2007年</year> <volume> 1</volume> <fpage> 13</fp一个ge> <lpage> 18</lpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>17</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Mohyud-Din</surname> <given-names> s T。</given-names> </name> <name> <surname> Yildirim</surname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> Hosseini</surname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 修改为齐次和非齐次平流问题分解方法</一个rt我cle-title> <source> <italic> 世界应用科学杂志</我t一个lic> <year> 2009年</year> <volume> 7</volume> <fpage> 168年</fp一个ge> <lpage> 171年</lpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>18</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 莎丽</surname> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> Gunay</surname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> Gurarslan</surname> <given-names> G。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 线性和非线性扩散方程的近似解使用Daftardar-Gejji-Jafari的方法</一个rt我cle-title> <source> <italic> 国际期刊的数学建模和数值优化</我t一个lic> <year> 2011年</year> <volume> 2</volume> <issue> 4</我ssue> <fpage> 376年</fp一个ge> <lpage> 386年</lpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="article"> <label>19</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Koyunbakan</surname> <given-names> H。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 转化方法和薛定谔方程摄动完全可以解决的潜力</一个rt我cle-title> <source> <italic> 计算声学学报</我t一个lic> <year> 2009年</year> <volume> 17</volume> <issue> 1</我ssue> <fpage> 1</fp一个ge> <lpage> 10</lpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="article"> <label>20.</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kocak</surname> <given-names> H。</given-names> </name> <name> <surname> Yıldırım</surname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个有效的新的迭代法寻找非线性time-fractional偏微分方程的精确解</一个rt我cle-title> <source> <italic> 非线性分析:建模和控制</我t一个lic> <year> 2011年</year> <volume> 16</volume> <issue> 4</我ssue> <fpage> 403年</fp一个ge> <lpage> 414年</lpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2885719</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>21</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Yaseen</surname> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> Samraiz</surname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 修改后的新的迭代法求解线性和非线性克莱因戈登方程</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学科学</我t一个lic> <year> 2012年</year> <volume> 6</volume> <fpage> 2979年</fp一个ge> <lpage> 2987年</lpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="article"> <label>22</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 斯利瓦斯塔瓦</surname> <given-names> V。</given-names> </name> <name> <surname> 意大利广播电视公司</surname> <given-names> k . N。</given-names> </name> </person-group> <article-title> multi-term部分扩散方程对氧气交付通过毛细组织</一个rt我cle-title> <source> <italic> 数学和计算机模拟</我t一个lic> <year> 2010年</year> <volume> 51</volume> <issue> 5 - 6</我ssue> <fpage> 616年</fp一个ge> <lpage> 624年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.mcm.2009.11.002</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 2594712</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> ZBL1190.35226</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B23" content-type="article"> <label>23</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 乌斯曼</surname> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> Yildirim</surname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> Mohyud-Din</surname> <given-names> s T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个可靠的物理问题的算法</一个rt我cle-title> <source> <italic> 国际物理科学杂志》上</我t一个lic> <year> 2011年</year> <volume> 6</volume> <issue> 1</我ssue> <fpage> 146年</fp一个ge> <lpage> 153年</lpage> </nlm-citation> </ref> <ref id="B26" content-type="book"> <label>24</label> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Podlubny</surname> <given-names> 我。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 分数微分方程:导论部分衍生品,分数微分方程,他们的解决方案的方法和他们的一些应用程序</我t一个lic> <year> 1999年</year> <volume> 198年</volume> <publisher-loc> 圣地亚哥,加州,美国</publisher-loc> <publisher-name> 学术出版社</publisher-name> <series> 数学在科学和工程</series> <pub-id pub-id-type="other"> 1658022</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B24" content-type="book"> <label>25</label> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Adomian</surname> <given-names> G。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 解决边境问题的物理:分解方法</我t一个lic> <year> 1994年</year> <volume> 60</volume> <publisher-loc> 荷兰多德雷赫特</publisher-loc> <publisher-name> Kluwer学术出版社</publisher-name> <series> 物理学的基本理论</series> <pub-id pub-id-type="other"> 1282283</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B25" content-type="article"> <label>26</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Cherruault</surname> <given-names> Y。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Adomian收敛的方法</一个rt我cle-title> <source> <italic> Kybernetes</我t一个lic> <year> 1989年</year> <volume> 18</volume> <issue> 2</我ssue> <fpage> 31日</fp一个ge> <lpage> 38</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1108 / eb005812</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 1009979</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> ZBL0697.65051</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B27" content-type="article"> <label>27</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 他</surname> <given-names> 黄永发。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 同伦摄动方法</一个rt我cle-title> <source> <italic> 计算机在应用力学和工程方法</我t一个lic> <year> 1999年</year> <volume> 178年</volume> <issue> 3 - 4</我ssue> <fpage> 257年</fp一个ge> <lpage> 262年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0045 - 7825 (99) 00018 - 3</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 1711041</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> ZBL0956.70017</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> <ref id="B28" content-type="article"> <label>28</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 他</surname> <given-names> 黄永发。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 同伦摄动方法:一个新的非线性分析技术</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学和计算</我t一个lic> <year> 2003年</year> <volume> 135年</volume> <issue> 1</我ssue> <fpage> 73年</fp一个ge> <lpage> 79年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0096 - 3003 (01) 00312 - 5</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> 1934316</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d><pub- - - - - -我d pub-id-type="other"> ZBL1030.34013</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d></nlm-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>