文摘

通过使用不动点定理,为分数微分方程正解的存在性与非局部边界条件 , , , 被认为是, 是一个实数, 是标准Riemann-Liouville分化, 与 , 。

1。介绍

最近分数微分方程的极大的兴趣。它是由密集的分数阶微积分理论本身的发展和应用这种结构在各种科学如物理、力学、化学、和工程。,(1- - - - - -6)和引用。

应该注意的是,大多数报纸和书籍分数微积分是致力于线性初始分数微分方程的可解性的特殊功能(6- - - - - -8]。最近,有一些文件处理解的存在性和多重性(或正解)非线性初始分数微分方程的非线性分析的使用的技术(定点定理,Leray-Shauder理论等);参见[9- - - - - -17]。

最近,白和陆15]研究了非线性分数微分方程的正解的存在性 在哪里 是一个实数, 是标准Riemann-Liouville分化, 是连续的。

在这篇文章中,我们研究分数微分方程的正解的存在性与非局部边界条件 在哪里 是一个实数, 是标准Riemann-Liouville分化, 与 , 。

我们假设以下条件在整个论文:(H1) 是常量, ,(H2) , 在 ,(H3) 。

1.1的话。据我们所知,没有结果的正解的存在性问题(1。2)。

2。初步的前题

为方便读者,我们在座的必要的定义从分数微积分理论。这些定义可以在最近的文献中找到。

定义2.1。的分数积分次序 的一个函数 是由 提供右边是逐点的定义 。

定义2.2。分数阶导数的秩序 的一个函数 是由 在哪里 ,右边是逐点的定义 。

定义2.3。地图 据说是一个非负连续锥凹函数吗 真正的巴拿赫空间 ,前提是 是连续的, 对所有 和 。

2.4的话。作为一个基本的例子,我们报价 , 给特别的 ,在那里 是最小的整数大于或等于 。
从定义2。2和评论2。4,然后,我们获得以下。

引理2.5。让 。如果一个假设 ,那么分数微分方程 有 ,在那里 是最小的整数大于或等于 独特的解决方案。

引理2.6。假设 分数导数的秩序 属于 。然后, 对于一些 。

引理2.7(见[15])。鉴于 和 独特的解决方案 是 在哪里

引理2.8。假设 成立。鉴于 和 独特的解决方案 是 在哪里

证明。通过应用前题2。6和2。7,我们有 因为 (H1), 是收敛的。因此, 是收敛的。 连续函数在 ,所以 是收敛的。
通过 , ,有 。因此,

引理2.9(见[15])。这个函数 定义为(2。9满足下列条件:(1) ,因为 ,(2)存在一个积极的功能 这样

引理2.10(见[18])。让E是巴拿赫空间, 锥, 两组有限开放的 与 。假设 是一个完全连续算子,要么(我) 和 ,或(2) 和 成立。然后, 有一个固定的点 。

引理2.11(见[19])。让 是一个锥形的巴拿赫空间 非负连续凹函数 这样 ,尽管 , 。假设 是完全连续的,存在常数 这样(C1) , ,(C2) ,因为 ,(C3) 为 与 。然后, 至少有三个不动点 与

2.12的话。如果持有 引理,然后条件(C1)2.11意味着条件(C3)的引理2.11。

3所示。主要的结果

让 被赋予的排序 如果 对所有 最高标准, 。定义锥 通过 。

让非负连续凹函数 在锥 被定义为 。

引理3.1(见[15])。让 被定义的算子 ,然后 完全是连续的。

引理3.2。让 被定义的算子 然后 完全是连续的。

证明。证明引理相似3所示。1,所以我们忽略。
表示

定理3.3。假设(H1)——(H3)持有,并存在两个正的常数 这样(1) ,(2) ,在那里 定义在(*),然后问题(1。2)至少有一个积极的解决方案 这样 。

证明。的前题2。8和3所示。2,我们知道 是完全连续的,和问题(1。2)有一个解决方案 当且仅当 解决了算子方程 。为了应用引理2.10,我们单独的证据分为以下两个步骤。
步骤1。让 。为 ,我们有 对所有 。(1)可以看出, , 因此, 步骤2。让 。为 ,我们有 对所有 。假设(2), ,有 所以, 因此,(ii)的引理2.10,我们完成证明。

例3.4。考虑这个问题 在哪里 。
一个简单的计算显示 。选择 ,我们有
使用定理3所示。3问题(3所示。6)至少有一个积极的解决方案 这样 。

定理3.5。假设(H1)——(H3),和存在常数 这样,以下假设:(A1) 为 ,(A2) 为 ,(A3) 为 ,在那里 定义在(*)。然后,边值问题(1。2)至少有三个正解 与

证明。我们证明引理的所有条件2。9感到满意。
如果 ,然后 。假设(A3)暗示 为 。因此, 因此, 。同样,如果 ,然后假设(A1)产量 。因此,条件(C2)的引理2.11是满意的。
检查情况(C1)的引理2.11,我们选择 。很容易看到 ,因此, 因此,如果 ,然后 为 。从假设(A2) 为 。所以, ,尽管 。
这表明引理的条件(C1)2.11也满意。
由引理2.11和评论2.12边值问题(1。2)至少有三个正解 与 证明已经完成。

例3.6。考虑这个问题 在哪里 ,
我们有 。选择 ,有 使用定理3所示。5问题(3.12)至少有三个正解 , 与

承认

这项工作是由国家自然科学基金委(11101335、11026060、甘肃省级教育部门基金(1101 - 02),NWNU-KJCXGC (03 - 69)。