复非齐次和复初始条件下的摄动三次非线性薛定谔方程

摘要

在一般复非齐次和复初始条件下研究了零边界条件下的一类摄动非线性薛定谔方程。本文利用摄动法和特征函数展开法、变分参数法，给出了一类具有幂级数解的摄动非线性情况的近似解。利用Mathematica，通过计算截断程序下可能的近似来测试符号解算法。通过实例和图表说明了求解方法。

1.介绍

非线性薛定谔(NLS)方程是许多领域中分析求解的主要方程，见[1- - - - - -5),为例子。在过去的二十年里，有很多依赖于随机情况下的加性或乘性噪声的NLS问题[6，7或在确定性情况下的许多解决方法。

Wang等人[8]得到了NLS的精确解，用的是他们所谓的子方程方法。有四种精确解对于初始条件或边界条件类型没有符号。徐和张[9]在求解高阶NLS时采用了相同的技术: Sweilam [10)解决

与初始条件和边界条件，利用变分迭代法得到孤立解。朱(11]采用扩展双曲辅助方程法求解高阶NLS的精确显式解: 没有任何条件。Sun等人[12]求解了NLS: 在初始条件下使用李群方法。利用幅相耦合公式，Porsezian和Kalithasan [13]利用耦合高阶NLS构造了四次非谐振子方程。Sakaguchi和Higashiuchi对NLS的二维灰孤子进行了数值分析[14］．Huang等人研究了广义导数NLS [15]引入了一种新的辅助方程展开方法。阿布·塞勒姆和苏伦[16[]研究了随机势下广义薛定谔方程孤子的有效动力学。El-Tawil [17]考虑了一个具有随机复输入和复初始条件的非线性薛定谔方程。Colin等人[18]考虑了与等离子体拉曼放大有关的非线性薛定谔方程的三个分量。在[19，贾敏和Yu-Lu构造了一种合适的变换和推广的椭圆子方程方法来求解具有外势的变系数三、五次非线性薛定谔方程的一些精确解。

本文通过将复解转化为两个实解的耦合方程，引入一种直接解算法，消去一个解得到独立的高阶方程，最后引入系统的摄动近似解。

2.线性情况下

考虑非齐次线性薛定谔方程: 在哪里是一个复值函数吗让，:实值函数。用(2．2)(2．1)，则耦合方程为: 在哪里，，，，所有对应的其他i.c和b.c都为零。

消去()中的一个变量2.3)，则可以得到下列独立方程: 在哪里利用本征函数展开技术[20.]，针对(2.4)得到: 在哪里和首先应用初始条件，然后用变分参数法求解合成二阶微分方程[21］．最终的表达式可以得到如下在哪里在这还应满足下列条件: 最后得到如下解: 或

3.非线性的情况下

考虑齐次非线性薛定谔方程: 在哪里是一个复值函数，它受初始和边界条件(2．2)．

引理3.1。的解(3．1)，并受限制(2．2)是的幂级数如果存在解决方案。

证明。在，得到线性方程: 它有解决方案，见前一节，根据皮卡德近似，(3.13)可以重写为在，迭代方程形式如下: 它可以作为一个线性的情况下解决的初始和边界条件为零。可得通解如下: 在，得到: 它可以作为一个线性的情况下解决的初始和边界条件为零。可得通解如下: 继续这样下去，就会作为，解决方案(如果存在)可以达到．因此，解是一个幂级数．

根据前面的引理，可以假定(3．1)，内容如下: 让，:实值函数。得到以下耦合方程: 在哪里，，所有对应的其他i.c和b.c都为零。

作为一个摄动解，我们可以假设在哪里，，所有对应的其他i.c和b.c都为零。

用(3.12) (3．11)，然后使的幂相等，则可得到以下耦合方程: 等等。待解的原型方程为在哪里，所有其他相应的条件都是0。非齐次函数和是从前面步骤计算出来的函数。

继上一节对线性情况描述的解算法后，图中的通用符号算法39可以通过使用一个符号包进行模拟，本文采用了数学-5。

3．1．零级近似

在这种情况下, 在哪里在这常数和变量呢，,可以通过科的帮助得到吗2．

从零阶近似的绝对值

3．2．一阶近似

在哪里在这常数和变量呢，，,可以用类似于零阶近似的方式来计算，然而和．

一阶近似的绝对值可以用

3.3。二阶近似

在哪里在这常数和变量呢，,可以用类似的方法计算前一个近似。

二阶近似的绝对值可以用

4.案例研究

要检查所提出的解决方案算法，请参见图39，并举例说明一些案例。

4.1。一个输入处于开启状态

案例研究1
采取，，，，根据求解算法，得到了零级近似的选择结果，如图所示1，2,3.．

图1

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

米 ＝ 1

的零阶近似在只考虑级数中的一项(）．

图2

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

z

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

图3

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

t

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

案例研究2
采取，，，并根据求解算法，得到了与实例1相同的结果。

案例分析3
采取，，，根据求解算法，图中给出了一阶零近似的选择结果4，5,6．

图4

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

米 ＝ 1

的零阶近似在只考虑级数中的一项(）．

图5

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

z

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

图6

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

t

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

您可以注意到解决方案级别的降低及其更高的可变性。

案例研究4
采取，，，根据求解算法，我们注意到案例研究3得到了相同的结果:

4.2。两个输入都接通

案例研究5
采取，，，根据求解算法，得到了零级近似的选择结果，如图所示7，8,9．

图7

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

米 ＝ 1

的零阶近似在只考虑级数中的一项(）．

图8

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

z

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

图9

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

t

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

您可以注意到，解决方案级别比案例研究2的级别略高一些。

案例研究6
采取，，，根据求解算法，得到了零级近似的选择结果，如图所示10，11,12．

图10

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

米 ＝ 1

的零阶近似在只考虑级数中的一项(）．

图11

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

z

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

图12

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

t

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

您可以注意到解决方案级别比案例研究3和4略有提高。

案例研究7
采取，，，根据求解算法，得到了零级近似的选择结果，如图所示13，14,15．

图13

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

米 ＝ 1

的零阶近似在只考虑级数中的一项(）．

图14

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

z

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

图15

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

t

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

我们可以注意到在小值处的小扰动．

4.3。三个输入接通

案例研究8
采取，，，根据求解算法，得到了零级近似的选择结果，如图所示16，17,18．

图16

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

米 ＝ 1

的零阶近似在只考虑级数中的一项(）．

图17

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

z

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

图18

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

t

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

我们可以注意到扰动深度的增加。

案例9
采取，，，根据求解算法，得到了零级近似的选择结果，如图所示19，20.,21．

图19

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

米 ＝ 1

的零阶近似在只考虑级数中的一项(）．

图20

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

z

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

图21

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

t

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

我们可以注意到，这些扰动比案例研究8的扰动要小。

4.4。4路输入通电

案例研究10
举个例子，，，，图中为零级近似的最终结果22，23,24．

图22

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

米 ＝ 1

的零阶近似在只考虑级数中的一项(）．

图23

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

z

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

图24

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

t

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

可以注意到解决方案级别有了小小的提高。

4．5.指数不均匀性

案例研究11
举个例子，，，，图中为零级近似的最终结果25，26,27．

图25

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

米 ＝ 1

的零阶近似在只考虑级数中的一项(）．

图26

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

z

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

图27

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

t

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

我们可以注意到低解能级和高扰动。

4.6。指数初始条件

案例研究12
举个例子，，，，图中为零级近似的最终结果28，29,30.．

图28

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

米 ＝ 1

的零阶近似在只考虑级数中的一项(）．

图29

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

z

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

图30

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 02

t

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

可以注意到，与案例研究11相比，得到了更高的解级别，在小值时得到的扰动更小．

4.7。一阶近似

案例研究13
举个例子，，，，以下为零和一阶近似的最终结果在图中获得31，32,33．

图31

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 0

米 ＝ 1

的零阶近似在只考虑级数中的一项(）．

图32

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 0

z

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

图33

| u^{（ 0 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 0

t

米 ＝ 1

零级近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

图34

| u^{（ 1 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 0 ，

ε ＝ 01

米 ＝ 1

的一阶近似在只考虑级数中的一项(）．

图35

| u^{（ 1 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 0 ，

ε ＝ 05

米 ＝ 1

的一阶近似在只考虑级数中的一项(）．

图36

| u^{（ 1 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 0 ，

ε ＝ 1

米 ＝ 1

的一阶近似在只考虑级数中的一项(）．

图37

| u^{（ 1 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 0 ，

ε ＝ 05

z

米 ＝ 1

一阶近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

图38

| u^{（ 1 ）} |

α ＝ 1 ，

T ＝ 10 ，

γ ＝ 0 ，

ε ＝ 05

t

米 ＝ 1

一阶近似在对于不同的值，只考虑级数中的一项(）．

与情形7相比，我们可以注意到解能级的振荡。

可以注意到，解决方案级别随着。的增加而增加．

5.结论

微扰技术引入了有限时间区间具有微扰非线性项的NLS方程的近似解。在数学中，有限级数项在一定程度上面临着复杂而庞大的计算问题。为了得到更多的改进订单，预计将面临一个计算问题。在求解水平上，非均匀性的影响要大于初始条件的影响。初始条件在空间变量的小值处也会引起解的扰动。解决方案级别随着的增加而增加．

参考

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s . j .大学法洛科学家和工程师的偏微分方程， John Wiley & Sons，纽约，美国，1982年。视图:MathSciNet
L. Pipes和L.哈维尔，工程师和物理学家的应用数学，麦格劳-希尔，东京，日本，1970。

国际微分方程杂志

摘要

1.介绍

2.线性情况下

3.非线性的情况下

3．1．零级近似

3．2．一阶近似

3.3。二阶近似

4.案例研究

4.1。一个输入处于开启状态

4.2。两个输入都接通

4.3。三个输入接通

4.4。4路输入通电

4．5.指数不均匀性

4.6。指数初始条件

4.7。一阶近似

5.结论

参考

版权

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