Bubble-Enriched最小二乘有限元瞬态对流运输

文摘

最小二乘有限元法(LSFEM)近年来受到越来越多的关注由于优势伽辽金有限元法(GFEM)。导致一个最小化问题的方法规范,从而导致对称正定矩阵,甚至对一阶微分方程。此外,该方法包含一个隐式流线型逆风机制,防止出现振荡的特征有限元离散。因此,最小二乘方法不需要显式的稳定和稳定参数所需的伽辽金方法有关。一种新方法,泡沫丰富最小二乘有限元法(BELSFEM),提出了与古典LSFEM相比。BELSFEM需要一个时空元素制定和采用泡沫函数在时间和空间上增加有限元解的准确性没有降低计算的性能。我们将BELSFEM和经典最小二乘有限元方法应用于基准问题1 d和2 d线性传输。精度和性能比较。

1。介绍

年龄的增加大气污染,空气污染建模是越来越重要。空气污染运动模型通常基于大气对流方程。模型预测的不确定性的重要组成部分是由于一阶对流运输术语的存在导致严重的数值困难。然而,困难的本质似乎是大大不同的稳定和不稳定平流。

在稳态平流问题,形式的振动或摆动的困难是负面的结果(数值)扩散中固有的使用集中类型离散化的对流条件。这适用于中心有限差分法以及密切关联维伽辽金有限元法(GFEM),导致非对称,负值的正定矩阵作为江见他的文本(1]。这些不对称矩阵产生奇偶脱钩,造成节点到节点的振荡的解决方案。这可以解决严重的细化的网格,大大削弱了方案的效用。

遇到不同类型的数值困难时间平流的问题。瞬态对流问题由双曲微分方程。特征线现在假设非常重要。现在的空间离散化的影响在时间上离散化,反之亦然像他们现在通过特征相互关联。可以规避这个问题通过诉诸于拉格朗日(移动坐标)制定的对流项就消失了。然而,配方是很困难的,因此不是很受欢迎。受欢迎的欧拉公式,因此,必须正确地适应流沿特征线物理信息的传播,而在空间和时间离散化。

多年来,其变异的有限元离散形式被广泛地用于解决对流问题。古典GFEM非常分散在本质上是由于固有的一代-扩散。其受欢迎的变体Petrov-Galerkin提供稳定的解决方案通过生成数值扩散。Petrov-Galerkin方法使用较高的多项式作为权重函数(克里斯蒂et al。2];Westerink和谢伊(3])和简化逆风Petrov-Galerkin方法(SUPG)布鲁克斯和休斯4)都有至少一个自由参数或一个内在时间函数,必须调整以控制人造扩散的量。这是Petrov-Galerkin方法的缺点。

多尼(5]提出Taylor-Galerkin (TG)方法,使用泰勒级数时间discretisation discretisation之前应用空间。结果Taylor-Galerkin方法不引入任何自由参数,但他们需要使用高阶导数。

LSFEM基于最小化标准残差的自然是适合一阶微分方程组。不像GFEM LSFEM配方导致对称正定矩阵(SPD)可以有效地解决使用matrix-free像预处理共轭梯度法迭代方法。

江和米切尔·波维内丽6]指出LSFEM的优势通过演示和验证各种方法可压缩和不可压缩流问题。江et al。7]也开发了一种matrix-free LSFEM三维、稳态lid-driven腔流。

多尼和Quartapelle [8)分类下面的四个不同的最小二乘有限元方法:提出的LSFEM凯里和江9)基于时间步Crank-Nicolson近似;由Li [LSFEM特点10];Taylor-LSFEM公园和利吉特(11,12];和时空有限元方法,STLSFEM阮和Reynen13]。第一个三种方法依赖于二次函数与时间相关的控制方程的离散版本,而最后一个扩展最小二乘法公式和有限元表示时空领域。多尼和Quartapelle指出,凯莉和提出的LSFEM江(9)是最有趣的最小二乘法对流运输问题大概是因为简单的配方和准确性,及其与SUPG密切关系,加勒金最小平方(休斯et al。14),和泰勒伽辽金方法。他们还发现时空LSFEM非常不准确和扩散;因此,不值得推荐对流运输问题。

数值困难面临“摆动”的形式可以通过诉诸严重的网格细化,解决部队的使用非常小的时间步长,从而破坏GFEM的效用。在一项研究中,Surana和Sandhu15)已经证明,这些振荡可以完全消除使用STLSFEM - version,他们使用值高达7在空间和11时间完全恢复的精确解即使对流域中的一些距离高斯分布剖面。但是,- version,尤其是2 -和三维问题,成为计算非常昂贵和困难的项目。

在目前的工作中,我们使用了时空与线性元素LSFEM富含泡沫模式得到相当精确的解决对流输运方程而不诉诸严重的网格细化和LSFEM - version。我们学期这种方法bubble-enriched最小二乘有限元法(BELSFEM)。描述的时空LSFEM多尼和Quartapelle [8)是二阶准确和无条件稳定。STLSFEM结果应用于纯平流问题更准确和更耗散而获得的一个使用Crank-Nicolson从LSFEM时间离散化。尽管STLSFEM选择像有限元离散化在空间和时间域应用泡沫模式的必要条件。结果也使用Crank-Nicolson生成LSFEM凯莉和江提出的,认为最有趣的多尼和Quartapelle 1992篇文章,以作为基准进行比较。

2。最小二乘有限元方法

考虑到瞬态平流方程给出 在哪里房地产是迁移速度与,作为它的组件,方向,分别。说明LSFEM的主要好处,考虑一个简单的应用最小二乘有限元瞬态平流方程的方法。在有限元方法的应用空间,时间的导数(2.1)是用一个简单的后退欧拉离散方法: 最小二乘方法,规范的微分方程是最小化对未知系数的解决方案域Ω。应用规范(2.2)和最小化的功能导致疲软的声明 的行向量包含了基函数域用于近似的解决方案。

疲软的语句可以扩展和用矩阵形式 的单个矩阵的贡献在哪里 方程(2.4)清楚地表明,得到的方程组是对称的,质量,那是不可能完成的伽辽金有限元方法甚至有限差分和有限体积方法。此外,一个人可以注意逆风扩散项是隐式最小二乘方法。逆风扩散通常用于平滑非单调的解决方案发生之前和之后的任何锋利的梯度,出现在流方向。我们也希望强调LSFEM方法没有可调参数,这些参数通常出现在稳定伽辽金方法和一般难以确定。

3所示。最小二乘有限元公式

为了简单起见,让我们考虑一维标量平流方程 三个最小二乘有限元公式如下。

3.1。Crank-Nicolson LSFEM

在最小二乘有限元公式,我们减少残余的平方,,由,在那里是近似解。为了简单起见,我们将使用在的地方。LSFEM配方基于最小化残留导致的广场 使用不同时间导数项和向前发展θ方法对近似U在对流项 让未知的被定义为 在哪里的解决方案吗jth节点和是插值函数。导数,(3.3)导致Crank-Nicolson LSFE配方 为,就Crank-Nicolson LSFEM配方

3.2。时空LSFEM

在时空配方,时间和空间衍生品离散有限元方法和未知U就函数的空间和时间变量,也就是说, 在哪里1 d和双线性插值函数吗是2 d的三线性插值函数公式。方程(3.2)和(3.7时空)导致简单最小二乘有限元公式 1 d域变换的线性元素2 d双线性元素和二维四边形元素变换到三线的元素在时空配方。对于双线性元素,给出了双线性函数形状自然坐标 同样,三线的元素是由三线的形状函数 在哪里和线性函数和形状吗和自然坐标。

3.3。Bubble-Enriched LSFEM

时空制定以来有限元离散化的时间和空间导数已经为应用程序选择的泡沫模式工作。在这种方法中,泡沫函数是用来丰富的函数空间有限元。我们称这种新方法作为bubble-enriched最小二乘有限元法(BELSFEM)。泡沫是函数定义在有限的内部元素,元素的边界消失。Baiocchi et al。16)是第一个指出有限元空间的浓缩多项式求和的泡沫函数导致稳定过程类似于SUPG和gl正式对俩散问题。Brezzi et al。17和语言等。18]介绍了更一般的框架涉及到多尺度现象的离散化问题。

在泡沫浓缩方法中,我们添加泡沫函数节点的集合形状函数的线性元素在空间和时间方向及其张量积给出了双线性的集合形状函数。我们只包括双线性元素内的模式下降(不含边缘上的模式下降)。泡沫函数取零值元素的边界。这个属性的泡沫函数允许使用古典静态冷凝过程压缩泡沫模式,包括他们的效果基本元素的矩阵。

泡沫函数被从正交组雅可比多项式用。雅可比多项式是多项式解决奇异Sturm-Liouville的家庭问题。这些多项式的一个重要特征是它们是正交的间隔关于函数。泡沫模式生成作为 在哪里p雅可比多项式的顺序。雅可比多项式与被选为他们产生二阶微分方程的对称矩阵和对角强大(Karniadakis和舍温19])。前几的雅可比多项式在图所示1。一个伪代码描述整个过程算法所示1。