一种适用于超音速边界层中斜向绕射波的cfd兼容放大因子输运方程

摘要

边界层过渡是流体力学和航空航天工程中的一个研究热点。在低速流动中，二维的T-S波一直主导着流动的不稳定性，这是编码器和Maughmer在2013年建立的模型。然而，在超声速流动中，三维斜向托尔曼- schlichting波在流动不稳定性中起主导作用。受编码器和莫恩的启发amplification factor transport equation for two-dimensional Tollmien-Schlichting waves in low-speed flows and Kroo and Sturdza’s linear stability theory (LST) analysis results for oblique Tollmien-Schlichting waves in supersonic flows, a new amplification factor transport equation for oblique Tollmien-Schlichting waves has been developed based on LST. The compressible Falkner-Skan similarity equations are introduced to build the relationships between nonlocal variables and local variables so that all the variables used in the present model can be calculated using local variables. Applications of this new transport equation to the flows over supersonic flat plate, 3% thick biconvex airfoil, and one modified supersonic laminar airfoil show promising results compared with the standard LST analysis results.

1.介绍

由于层流的阻力比紊流小，层流设计技术一直是绿色航空节能的研究热点[1]。在层流设计的过程中，转移预测的准确度起着对设计效果至关重要的作用。因此，飞机设计师密切关注智能和高效的过渡预测方法是非常重要和有意义的。近年来，有预测飞机和其他复杂的空气动力布局转变的两个主要途径。一种是通过实验数据和稳定性分析结果，Menter等人，如建立当地的过渡机型。公司基于相关关系的转变模式[2-4]，沃尔特斯等人模式的基础上层动能机制[五，6]，富和王高速流动的过渡模型[7]，以及Xu等人基于物理模式的转换模型[8-11个]。这些模型对三维复杂气动力流动的过渡具有重要的预测作用。这些过渡模型具有局部、方便、高效、与CFD并行计算兼容等优点。缺点是过于依赖实验数据和经验参数。

与上述局部迁移模型相比，在20世纪50年代，提出了一种半经验方法基于线性稳定性理论，由Smith和Gamberoni提出[德意志北方银行]和Van不收[13个]，被广泛用于预测在工业应用中的气动过渡[14个]。这种基于lst的方法已被波音公司、空中客车公司、德国航空航天中心(DLR)、美国国家航空航天局(NASA)、法国航空航天中心(ONERA)等选择用于亚音速和跨音速边界层的过渡预测。随后,方法是由Drela和Giles [简化15个]基于层流相似解的LST分析结果。这种简化方法建立了最不稳定放大因子与流向边界层形状因子之间的函数 ，已被应用于著名的翼型设计软件“X-foil“(16个]。随着CFD技术的发展，Krimmelbein和Krumbein [17岁]、Begou等[18岁]，帕斯卡等人。[19个，以及Shi等人[20个]耦合了基于LST的方法与雷诺平均纳维 - 斯托克斯（RANS）码。这种耦合是可靠的，但它仍然是复杂的，因为它也需要解决边界层方程和线性稳定性理论方程，整合的特征值，并在边界层的边缘，以搜寻非局部流动变量。

基于Drela的想法，编码器和Maughmer [21岁]成立的放大因子输运方程来解决基于近似包络的方法，其使用新的局部压力梯度参数[扩展放大因子22个，23个最近)。这种过渡模型可以预测低速流动中托尔曼-斯列丁(T-S)不稳定性和层流分离泡(LSB-)诱导的过渡。值得一提的是，这个输运方程为因素结合的优点方法和局部过渡模型。利用局部流动变量可以方便地计算出Coder和Maughmer输运方程中的所有变量，使其与现代CFD程序特别是非结构程序兼容。

2016年，徐等[24个]建立了横流波放大系数的输运方程，该输运方程仅适用于翼型几何。2019年，许等人[25个]建立了在低速边界层横流不稳定性，其执行以及在几个经典转移预测的情况下的局部放大因子输运方程。因此，现在是时候发展这种建模思想高速流动。如已知的，在亚音速和低跨音速流动，二维T-S波主宰T-S不稳定性。然而，在超音速边界层，斜T-S波发挥主导作用[25个]。在本文中，我们试图建立超音速流动中斜T-S波一个全新的放大系数输运方程。因为二维T-S波和斜T-S波的不稳定性机制是不同的，本输运方程仅具有类似的形式，但不同的内容与编码器的输运方程进行比较。请注意，所有非本地变量使用可压缩福克纳-SKAN相似方程的解决方案数据库安装。由于放大因数的适当临界值可以在下面马赫数3.0的流程使用麦克的关系[找到14个，26个，27个]在自由流湍流强度下，本文的研究对于超音速翼型和机翼的自然层流优化具有重要意义。

2.输运方程的建模

2.1。可压缩福尔克纳-斯堪相似方程

为了解决非局部变量的局部化问题，引入二维可压缩相似方程来建立关系函数。

通过Illingworth变换，二维边界方程可以写成[28个] 受边界条件

在上面的方程中， 和 分别表示速度剖面和温度剖面。 是福克纳-SKAN压力梯度参数，Pr为普朗特数，为比热，是马赫数，是密度，和为动态粘度。注意下标“e”表示边界层边缘的变量。

2.2。斜T-S波的输运方程描述

首先，输运方程的形式是 哪里为应变速率大小，表示起始功能，代表增长率的开发功能，及 表示放大系数的斜率和动量厚度雷诺数 。源项的建立主要基于Kroo和Sturdza的广泛线性稳定性分析结果[29个用于在超音速流动斜T-S波。详情可参见参考文献。[29个]。

第二，初始函数， ，是（谁）给的 哪里是具有以下表达式的临界动量厚度雷诺数[29个]:

在这里， ，Drela和Giles提议[15个]定义为 ，为运动形状参数。

第三，功能类似于Drela和Giles的[15个]还有编码器和莫默的[21岁配方: 哪里

的函数和与Drela和Giles的公式有相同的表达式。的通过大量的标定，建立了相关关系来修正源项在各种运动形状参数下的行为。

第四，将斜率函数建模为 哪里 ， ， ， ，和压缩系数和是壁的温度。值得一提的是，指历史效应。克罗和斯图尔扎的使用 和 计算 ，这是很难用局部变量来计算的。对于积分，可以应用附加源项的输运方程。然而，要计算上游参数的平均值似乎非常困难使用局部变量。因此，在本文中，将历史效应项暂时设为零，该项将在下一步进行拓展。

无论是二维的T-S波，还是三维的斜T-S波，都在顺压梯度的作用下趋于稳定，并在逆压梯度附近增加。应该提到的是上述公式的范围从2.5到3.0，这意味着该输运方程只能用于描述具有中等有利压力梯度和不利压力梯度的超音速流中纯斜T-S波的发展。对于具有强有利压力梯度的流动，如钝前缘附近的滞止点流动，亚音速区总是出现超出当前建模范围。由于二维T-S波与斜T-S波不同，本模型不能很好地预测二维T-S波。

第五，过滤后的现有参数来描述的压力梯度，局部参数 ，由Coder和Maughmer提出[21岁]，用于计算运动形状参数 。的定义,是到最近的墙的距离。数字1地块中马赫数功能 ， ，和 ，由相似解得到，可表示为

第六，Xu等人的工程估算方法[9]选择边界层边缘马赫数，其表达式如下： 哪里代表声音的速度，是压强，下标为毛蕊变量。此外,可以通过给予 边界层边缘的马赫数为 。在一些外地模型，可以通过搜索操作获得。然而，通过气动方程(11个）和（德意志北方银行，可以得到相对准确的估计 ，哪一个比使用自由流马赫数精确得多直接。应该指出的是是一个CFD问题，可以通过气动公式和CFD变量来计算。此部分不属于转换建模内容。

最后一个未知参数是局部动量厚度雷诺数 。从相似性解决数据库，之间的关系涡度雷诺数 被描述为

由于存在的最大值之间的一个小的高度差和在有利的压力梯度边界层，未成年高度修正被引入： 哪里 是香棒压力梯度因子和可由下列公式计算[25个，三十]:

注意不可压缩性修正为来自Ref. [31]和对应于修正的Thwaites压力梯度因子。

最后，有效间歇因子形成 哪里是间歇性的因素和有效的间歇性因素用于在湍流模型中触发过渡。从编码器和Maughmer的论文看转换模型和Menter的剪切应力传输(SST)湍流模型之间的耦合方式[32本文选取2013年，由

请注意,用生产项来表示紊流动能的产生的开关函数是吗和销毁期限在SST湍流模型。为了比较，鞍点的方法，提出了通过Cebeci和StewartsonI的[33，用于标准LST分析。

三。结果和讨论

在本研究中，我们使用了开源的雷诺-平均Navier-Stokes求解器CFL3D作为基本的流场求解器。关于这个解算器的详细信息可以在NASA的网站上找到(数据可以在网上找到)https://cfl3d.larc.nasa.gov/）和文件[34]。在这项工作中，所有的转移预测的结果是由本发明的输送方程M输入的耦合而获得SST湍流模型。

3.1。验证试验案例1:超音速平板

第一种情况是零压力梯度超音速平板。下面计算的带边界条件的基本网格如图所示2。起初, -点网， -点网格，和 -采用点网格进行网格敏感测试，测试结果如图所示3(一个)。马赫数是2。2，雷诺数是 。近壁网格足够精细的值小于1.0。可以看出，随着网格数量的增加，结果逐渐收敛，证明了新输运方程的鲁棒性。数字3 (b)显示的轮廓由现有输运方程计算的因子。注意，预测的最大值因子是从轮廓在每个流向位置。随着进一步的验证，各种自由流情况进行了审议。数字4显示预测的轮廓并与标准LST条件下的分析结果进行了比较 和 。同时，图中马赫数为2.2五图中是3。06。图中为单位雷诺数五是 和 在图6。虽然马赫数和雷诺数变化的预测结果因素似乎稳健和准确。当为临界值时因子是与壳体设置为10.0，结果 和 绘制在图7。的阈值前因素的发展，因子描述准确，在阈值附近发生跃迁。随后，在湍流区，因素会很快消退。其结果是，斜T-S波引起的转变的整个过程是合理模拟。

3.2。验证试验案例2:双凸极层流机翼

其次，3％双凸厚翼型，即“翼型-1”作为绘制在图8，用于验证。注意，这个经典翼型的座标表示为 。下面的翼型案件使用相同的拓扑结构的网格与平板案件。自由流条件设置为 和 。当攻击的（AOA）的角度为零时，在边界层的边缘预测马赫数显示在图9，并与局部马赫数的等值线进行了比较。的预测值与局部马赫数的等值线吻合较好。计算各流线位置的轮廓和最大值如图所示10个。

当攻角为2度时，如图11个演示在边界层的边缘，这与在当地马赫数轮廓边界层的外边缘的值一致的预测马赫数。预测轮廓如图所示德意志北方银行。此外，提取的上表面和下表面的数据被绘制在图中图13（a）和13（b）， 分别。可以看出，大部分的因子被精确地模拟。值得注意的是，如果没有历史效应项的缺陷逐渐显现下游。这是预测值和在下游区域的标准LST结果之间的偏差的主要原因。当然，即使使用非本地方法，还是有偏差与标准LST分析数据进行比较[18岁]。因此，这里预测的小偏差是可以接受的。

3.3。验证测试案例3：改性层流翼型

用于验证的第三种情况是“翼型-2”，如图8，其具有前缘附近大的曲率半径。来流马赫数为1.8，单位雷诺数包含 ， ，和 。估计仍处于良好的一致性与图中示出的基准数据14个。此外,数据15个-17岁说明计算的因子轮廓及其与标准LST分析结果的比较。总的来说，目前的输运方程运行良好。但由于缺乏历史效应项，预测值与和标准的LST结果。因此，对于中强顺压梯度流的计算，利用局部变量来计算上游积分变量的平均值似乎比较困难。这个问题将在以后的研究中得到解决。

四。结论

综上所述，基于线性稳定性分析结果，建立了超音速流中斜T-S波的放大因子输运方程，并在几种典型的二维超音速流中进行了验证。二维超音速翼型的标准LST分析结果与现有的输运方程符合得很好，说明本文的输运方程是非常有前途和令人鼓舞的。显然，该模型具有推广应用的潜力，可用于三维机翼前缘锐利、锥鼻锐利的斜T-S波的预测。此外，横流不稳定性在三维边界层中起着重要作用，在今后的研究中应予以考虑。

应当指出的是，本模型只能模拟纯斜T-S波，这意味着它不能预测与钝前缘的翼型件。因为在钝前缘附近亚音速区域中，前缘附近不稳定机构可以从二维T-S波到斜T-S波开始。因此，这种复杂的过程，不能使用本模型捕获。

从整体上看，虽然该模型的应用范围仅限于具有锋利前缘的超音速构型，但其建立的所有公式都为超音速边界层中斜T-S波的建模提供了良好的思路和合理的基本框架。在不同马赫数、雷诺数和迎角条件下的大量验证均与标准LST分析结果一致，证明了该输运方程的合理、正确。对于历史效应项，下一步应考虑新的输运方程。

数据可用性

用来支持这项研究的结果的数据是可用的，请相应的作者。

的利益冲突

作者声明，这篇论文的发表没有利益冲突。

致谢

感谢天津大学机械系宋润杰博士和西北工业大学航空学院张宇博士提出的宝贵建议和讨论。国家青年学者自然科学基金(资助号:11602199、11802245)资助的课题。

参考文献

1. J.许，Z.赋，J.白，Y.张，Z.段，和Y.章，“研究超临界的层流机翼在高雷诺数通过风洞实验边界层过渡的，”航天科技卷。80，第221-231，2018。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
2. 黄培国，“使用局部变数的相关转换模型第一部分:模型公式化，”杂志叶轮机械，第128卷，编号3，第413-422，2004。视图:谷歌学术搜索
3. R. B.兰特里，F. R. M输入，S. R. Likki，Y. B. Suzen，P. G.黄和S. VOLKER，“使用局部变量基于相关性的转移模型部分II：测试案例和工业应用中，”杂志叶轮机械，第128卷，编号3，第423-434页，2004。视图:谷歌学术搜索
4. 基于关联的非结构化并行计算流体动力学代码的过渡建模，"张仁杂志，第47卷，第12期，第2894-29062009页。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
5. Walters和J. H. Leylek，“尾流诱导的类压气机平板过渡的计算流体动力学研究”，杂志叶轮机械卷。127，没有。1，第52-63，2005。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
6. K. D.沃尔特斯和D. Cokljat，“A三方程过渡流的雷诺平均的Navier-Stokes模拟涡粘性模型，”流体工程杂志，第130卷，no。12日,2008年。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
7. 傅和王，“考虑稳定性理论的高速气动流动过渡的RANS建模”，航天科学进展，第58卷第2期2，第36-59页，2013。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
8. 徐，白，乔，张，付，“过渡流模拟的完全局部过渡闭合模型的建立”，张仁杂志，第54卷，第10期，第3015-302320016页。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
9. J、 徐，白，傅，乔，张，徐，“高速过渡流的平行相容过渡闭合模型”张仁杂志，第55卷，no。9、3040-3050页，2017。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
10. J、 徐、白、乔、张，“低扰动环境下边界层过渡流计算流体力学相容数学模型的建立”航天科技，第86卷，第487-4961991页。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
11. 徐金刚，白金权，乔林，张，“基于相关关系的过渡输运模型模拟交叉流不稳定性，”[应用流体力学卷。9，没有。5，第2435至2442年，2016。视图:谷歌学术搜索
12. 李文华，“压力梯度与稳定性理论”，国立台湾大学硕士论文道格拉斯飞机公司报告。es - 26388，道格拉斯飞机公司，El Segundo分部，长滩，CA, 1956年。视图:谷歌学术搜索
13. J. L.范不收，在“A建议用于边界层过渡区域的计算半经验方法，”代尔夫特理工学院，Vliegtuigbouwkunde, Rapport VTH-74，科技，代尔夫特，荷兰，1956年的代尔夫特理工大学。视图:谷歌学术搜索
14. “跃迁预测与线性稳定性理论”，在AGARD层流-湍流过渡22 p(参见n78 - 1431605 -34)1977年。视图:谷歌学术搜索
15. M. Drela和M. B. Giles，“跨音速和低雷诺数翼型的粘滞分析”张仁杂志，第25卷，no。10，第1347-1355页，1987。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
16. M. Drela和H. young gren，XFOIL 6.9用户入门麻省理工学院，剑桥，马萨诸塞州，2001年。
17. N. Krimmelbein和A. Krumbein，“专注于工业应用的三维构型的自动过渡预测”，杂志飞机，第48卷，no。6，第1878-1887页，2011。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
18. G.Bégou，H. DENIAU，O. VERMEERSCH和G Casalis“为层流湍流过渡预测数据库的方法：纳维 - 斯托克斯兼容重订，”张仁杂志，第55卷，no。11、第3648-3660页，2017。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
19. L.帕斯卡，G.德拉特，H. DENIAU，G.Bégou和J.克利凯，“基于稳定性的过渡模式的由输运方程的手段实现，”在AIAA航空2019论坛，得克萨斯州达拉斯市，2019年6月。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
20. “基于线性稳定理论的复杂三维构型RANS求解器的跃迁预测”，国立台湾科技大学博士论文2018年AIAA航空科学会议，基西米，佛罗里达州，2018年1月。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
21. J. G.编码器和M. D. Maughmer，“使用放大因子输运方程计算流体动力学兼容过渡建模，”张仁杂志，第52卷第2期11，第2506-2512页，2014。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
22. J. G.编码器，增强了放大因子传输转换建模框架，第55届AIAA航空航天科学会议，葡萄，得克萨斯州，2017年。视图:出版商网站
23. J. G.编码器，进一步发展了气动流动放大因子输运模型，AIAA赛特2019论坛，圣迭戈，加利福尼亚州，2019。视图:出版商网站
24. J.许，J.白，Y.张，和L.巧“采用改进的输运方程建模三维气动器用于配置转型研究”中国航空学报卷。29，没有。4，第874-881，2016。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
25. 徐，韩，乔，白，张，“稳态横流不稳定性的全局部放大因子输运方程”，张仁杂志，第57卷，no。2019年第2682-2693页。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
26. 边界层线性稳定性理论>，刊于《边界层稳定性理论》层流稳定性与过渡的专门课程，阿加德报告1984年第709卷。视图:谷歌学术搜索
27. L. M.麦克，“线性稳定性理论和超音速边界层过渡的问题，”张仁杂志，第13卷，第3期，第278-2891975页。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
28. T. Cebeci和J. Cousteix，边界层流动的建模与计算，施普林格，柏林海德堡，纽约，2005。
29. 一、 Kroo和P.Sturdza，“超音速层流机翼的设计导向气动分析”，in第41届美国航空航天协会航空航天科学会议及展览，里诺，内华达州。,2003年。视图:谷歌学术搜索
30. C、 Grabe，S.Nie和A.Krumbein，“预测横流过渡的过渡输运模型”，in第34届AIAA应用空气动力学大会,2016年。视图:谷歌学术搜索
31. 陈国中，“紊流模型之验证与评估”，国立台湾师范大学硕士论文第47届AIAA航空航天科学会议，包括新视野论坛和航天博览会奥兰多，佛罗里达，2009年。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
32. J. Coder和M. Maughmer，“使用放大因子传输方程的cfd兼容转换模型”，in第51届美国航空航天协会航天科学会议，包括新视野论坛和航天博览会,2013年。视图:谷歌学术搜索
33. T. Cebeci和K. Stewartson， "论三维流动的稳定性和过渡"张仁杂志，第18卷，第4期，第398-4051980页。视图:出版商网站|谷歌学术搜索
34. S、 克里斯特，比德隆和拉姆齐，CFL3D用户手册（5.0版）， NASA TM-1998-208444, 1998。

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