动态锥进环境下旋转车辆的圆锥算法

摘要

由于车辆在圆锥环境恶化时姿态误差有强烈的发散趋势，本文首先推导了动态圆锥环境的姿态误差模型。然后，通过研究传统姿态算法等效性对欧拉姿态算法的影响，发现姿态误差实际上是包括漂移误差和振荡误差在内的滚转角误差，这是由动态锥环境直接引起的，并通过传递进一步影响俯仰角和偏航角。在定义圆锥框架和圆锥姿态的基础上，提出了利用旋转关系计算圆锥姿态的圆锥算法，并建立了圆锥姿态与旋转飞行器欧拉姿态的关系。通过数值模拟不同条件下的动态锥进环境,结果表明,诱导欧拉态度变化的波动误差岁差和章动,特别是点头,和横摇角的振荡频率误差的两倍螺距角误差和偏航角误差。此外，旋转角比欧拉角更能描述圆锥环境下车辆的旋转过程，并最终计算出真实的俯仰角和偏航角。

1.介绍

姿态算法是导航技术的关键部分，直接保证了飞机、舰船和飞行器的控制系统精度和导航精度。经过研究者数十年的不懈努力，为扩展姿态算法的适用性，提炼和概述了一种优秀的姿态算法两阶段结构[1]，由Jordan的姿态矩阵更新周期组成[2和Bortz的旋转矢量更新周期[3.］．其中，由陀螺数据单独计算的关键锥角非交换性校正是旋转矢量更新周期中提高姿态精度的关键过程，受到了高要求的导航技术研究者的关注。这是因为圆锥环境引起的圆锥误差会影响车辆的导航精度和控制精度[4，5］．Miller采用四元数算法计算姿态和近似圆锥校正误差，用于纯圆锥条件下的圆锥校正系数设计[6］．Lee等对四元数算法进行了4个间隔的改进，并将漂移误差与其他更少间隔算法进行了比较[7］．Ignagni在Miller成果的基础上，提出了圆锥校正的双速结构，并引入了9种算法来实现圆锥校正系数的优化[8］．Jiang和Lin提出了一种改进的捷联圆锥算法，揭示了旋转矢量与四元数之间的本质关系[9］．Li等人将小锥校正划分为若干次小间隔，给出了一种与增量角数无关的广义锥进补偿算法[10］．Tang和Chen提出了一种包含角速度叉积、角增量叉积、角速度和增量叉积的圆锥校正结构，它可以基于时间泰勒级数和频率泰勒级数分析对姿态的影响[11］．同时，陀螺频率响应是圆锥误差的另一种形式伪圆锥误差产生的主要原因，传统的圆锥校正算法无法达到高阶精度。Mark和Tazartes提出一种调谐高阶锥进算法，以匹配陀螺的频响特性，避免伪锥进校正的过补偿[12］．金教授和李教授认为，陀螺自振是造成假锥的原因之一。他们表明振动是由输入到两个正交轴上的不同频率产生的，圆锥运动只是一个特定的情况[13］．Savage认为高精度陀螺所感知的随机动态环境也会造成伪锥误差，因此他采用了随机数据最小二乘估计的显式频率整形来设计锥校系数[14］．Song等人结合Miller和Savage的方法，提出了一种补充的圆锥误差方程，实现了优越的机动精度[15］．Fu等考虑陀螺的测量误差，利用奇异摄动技术建立了一种双时标模型，实现锥进和伪锥进校正[16］．Wang等人利用一种新的圆锥运动模型，该模型包含纯恒定圆锥环境和车辆的旋转运动，检验了姿态旋转矢量中被忽略的非交换性误差三叉积项，并测试了以往算法的性能[17］．Patera透露，在振荡锥环境下使用回转架不会传播姿态误差[18]，扩展回转机构以改善时变圆锥运动情况下的姿态传播姿态[19］．然而，由于回转车架与车辆普遍姿态的关系尚不明确，基于回转车架的方法无法提供复杂圆锥环境下旋转车辆的普遍姿态。

综合分析以上研究成果，在旋转矢量更新周期内，从陀螺计算旋转矢量增量时，直接产生了识别圆锥误差和伪圆锥误差。姿态算法的优化主要是利用经典圆锥环境的整体模型和简化模型来抑制圆锥误差的漂移分量。然而，在经典圆锥环境下对飞行器进行两阶段姿态结构优化时，存在姿态振动误差。虽然姿态误差不足以引起非旋转车辆的关注，但随着锥环境的恶化，姿态误差随时间的推移有强烈的发散趋势。然而，到目前为止，还没有文献对这一问题进行研究，也很少对车辆在高动态环境下的姿态算法进行深入的研究。因此，有必要研究车辆的真实姿态，揭示车辆姿态与动态锥环境之间隐藏的关系。

本文的方案如下:节2，利用旋转矢量导出动态锥环境模型。节3.给出了传统的两阶段姿态算法结构，并研究了动态锥环境对姿态算法的影响。节4在圆锥坐标系和圆锥姿态定义的基础上，提出了利用旋转关系求解圆锥姿态的圆锥算法，建立了圆锥姿态与欧拉姿态的关系。节5，通过仿真说明了动态锥环境对传统姿态算法的影响，验证了锥算法的有效性。节6对本文的研究工作进行了总结，并对今后的工作进行了展望。

2.动态锥进环境

在研究动态锥环境对姿态算法的影响之前，本节进行了动态锥环境建模的推导。

一般来说，经典圆锥环境定义为车辆中两个正交轴同时经历正弦振动，相互相移90度[14］．第三个轴与另外两个振荡轴正交，它将绕一个轴进动，并在惯性空间中生成一个圆锥面。在经典锥环境下，锥半角和振荡频率均为常数，第三轴进动频率等于振荡频率。显然，这个过程具有恒定的锥半角和恒定的进动频率，所以经典的锥环境是静态的。动态锥环境是一个变锥半角的复杂过程，旋转矢量可定义为 在哪里圆锥半角和的变化率是多少为进动频率。假设和在小时间间隔内为常数，(1)可获得:

指的是(3.，角速度可以描述为

用(1)和(2) (3.)，可得车辆内动态锥环境角速度:

从(4)，我们看到如果锥半角变化率为零而锥半角非零，(4)可以简化为 在哪里为常锥半角。很明显……5)是经典圆锥环境的模型，它只是没有章动率和没有旋转的特例[3.，6，9］．

3.动态锥进环境对姿态算法的影响

由于常用的优化算法是在静态锥环境下开发的，因此考虑动态锥环境对姿态算法的影响是合理的。在本节中，我们将研究这个问题。

３．１．相对框架的定义

为了描述车辆相对于参照系的运动，首先介绍了常用的参照系。

主体框架 ．原点位于车辆的质心，轴与车辆纵轴重合，轴向上垂直于车辆的对称轴，以及轴是通过右手法则得到的。

大地坐标系 ．原点位于发射地点，轴指向一个目标，轴向上垂直于轴线在垂直平面上，并且轴是通过右手法则得到的。

旋转顺序和如下:

如图所示1，关系和可以用变换矩阵来描述: 在哪里表示从主体框架到大地框架的转换，代表地球框架，表示车身框架和欧拉姿态角，,分别为俯仰角、偏航角和横摇角。的范围是，范围是的取值范围是．

３．２．姿态算法的两阶段结构

采用经典圆锥环境下的两级结构姿态算法进行姿态算法优化，给出了现代捷联惯导系统的两级结构算法[1］ 在哪里表示参照系，表示主体框架，转换矩阵是否处于态度更新周期，是否有一个变换矩阵在循环中对物体坐标系中的向量进行变换进入身体框架在循环,是否使用旋转向量进行更新, 叉积反对称矩阵由什么组成组件。给出了旋转矢量的更新结构 在哪里用三轴陀螺仪测量数据。方程(15)称为圆锥误差或圆锥校正。

根据常用的利用角增量的姿态优化方法，设计了一些系数来抑制姿态的直接分量-静态锥环境下轴向角增量[8，14，15]： 在哪里校正系数是否取决于圆锥校正结构和是在固定时间间隔内的角度增量样本。由于三轴陀螺仪采样次数多，提出了单样本算法、两样本算法、三样本算法等，并用漂移误差来描述算法的有效性。

一个阶段是在一个态度更新周期中更新态度，在(8) (12)．另一阶段是计算旋转矢量，包括综合陀螺感知角速率和从陀螺仪数据计算圆锥校正，参见(13) (16)．

通过对优化过程的分析，所谓圆锥误差是与车辆运动直接无关的，由于(13) (16),和两者都是标量吗．圆锥校正在圆锥环境下不能改变结构以及对欧拉姿态的影响通过优化。虽然通过优化处理了漂移误差，但振荡误差仍然存在。

3.3。动态锥进环境对姿态算法的影响

采用两级结构算法设计静态圆锥环境下的姿态系数和抑制姿态漂移误差，具有一定的方便。但由于难以推导出振动误差和漂移误差的简单而清晰的描述方程，采用两阶段结构算法很难清楚地研究动态锥环境的影响。而两阶段结构算法和欧拉姿态算法都使用欧拉角来定义车身框架和大地框架的关系[18]，所以它们是等价的，不考虑奇异问题[20.］．为了对姿态算法的影响进行清晰的推导和分析，我们可以使用欧拉姿态算法进行研究。

根据图中的旋转关系1时，机体内角速度与欧拉角速度的关系可表示为[21］ 在哪里角速度在身体框架和，,分别为欧拉角速度。将欧拉角速度投影到身体框架的每个轴上并展开(17)，则可得到机体框架内的角速度: 在哪里，,分别为欧拉角速度，均为标量;，,是车体框架角速度的分量，用来描述车辆相对于地球框架的旋转，它们可以通过固定在车体框架中的三轴陀螺仪获得。转换(18)，得到欧拉姿态微分方程:

在(19)，当俯仰角等于90度时，会出现奇异问题。在纯锥环境下，俯仰角永远达不到90度，因此可以合理忽略奇异问题。

用(4) (19)，得到欧拉姿态方程:

在动态圆锥环境下，非旋转车辆不存在滚动动力，因此实际滚动角应为零。然而，我们注意到位于(的第三个元素右侧的滚转角度。20.)根本不是零，尽管滚动角的初始值被选为零。这意味着产生了滚转角误差。第三个元素是20.)实际上表示横摇角误差方程。因此，由动态锥环境引起的滚转角误差率可确定为

在(21)，第一项为直接分量，含有漂移误差，引起了许多研究者的兴趣。第二项是交替分量，意味着振荡误差。显然，漂移误差和振荡误差随锥半角和进动频率的变化而波动。当锥半角增大时，漂移误差和振荡误差幅值均增大。

利用欧拉姿态算法推导，确定了在动态锥环境下，飞行器姿态会产生漂移误差和振荡误差。

从第一个和第二个要素(20.)，可以看出，滚转角误差影响俯仰角和偏航角的精度。准确的俯仰角和偏航角可以确定无滚转角误差:

在小角度近似下，俯仰角误差和偏航角误差可以通过比较(20.)和(24):

实际上，俯仰角误差和偏航角误差都是动态锥环境下传递的滚转角误差引起的，因此姿态误差实际上是动态锥环境引起的一种误差。这就是为什么圆锥环境引起的姿态误差，特别是横倾角误差受到越来越多的研究的原因。

4.动态锥进环境下旋转车辆的锥进算法

从以上分析可以看出，姿态算法受到动态锥环境的严重影响。为了准确计算姿态，本节提出了一种基于圆锥框架和圆锥姿态的旋转飞行器圆锥算法，并建立圆锥姿态与欧拉姿态的关系。

4．1.锥架的定义

与普通角度运动相比，旋转车辆的圆锥运动是圆锥环境下车辆纵向轴的角运动。实际上，这种特殊的运动直接表现了纵轴的进动和章动，并伴随着自旋。由于圆锥运动的周期性会引起姿态误差，因此准确描述圆锥运动，无误差计算姿态是一种较为合理的方法。因此，为了描述角的运动，需要特别定义锥架和锥角。

参考陀螺动力学[22，框架是由旋转关系定义的，用来描述具有典型章动和进动的陀螺仪转子的运动。为了避免混淆，在本文中，我们称这个坐标系为圆锥坐标系．在圆锥坐标系中，原点位于车辆的质心，轴与锥轴重合，轴向上垂直于轴在垂直面上，然后轴是通过右手法则得到的。同时，圆锥姿态角包括进动角章动角，旋转角度定义相对。的初始位置在圆锥的右侧水平，范围是．的初始位置是否与锥轴重合，范围是．的初始位置位于车辆的对称平面上，距离为．

旋转顺序和如下:

按照旋转顺序，，,是相应的角速度。但是，通过对旋转顺序的深入研究，我们发现旋转角度是沿不连续旋转得到的这个旋转过程允许旋转角度包含进动过程。这意味着在圆锥环境下，非旋转飞行器的旋转角等于负进动角。因此，需要隔离岁差的影响。不可或缺的旋转沿着-轴在第二次旋转之前添加-轴，改进后的旋转顺序如图所示

如图所示2，关系和可以用变换矩阵来描述: 在哪里表示从主体框架到锥框架的转换。

4．2．基于旋转关系的圆锥算法

根据图中的旋转关系2时，角运动模型可推导为 在哪里，,测量三轴陀螺在车身框架内的数据，以描述车辆相对于锥框架的运动。很明显……29)可以描述动态圆锥环境下旋转车辆的角运动，因此对该条件进行建模。假设的初值和均为零时，动态锥进模型可代入和到(29):

从(30.)，我们看到如果是0，可以简化为

方程(31)和(一样4)，这意味着和．此外,(30.)，为车辆在动态圆锥环境下提供车架内三轴陀螺的测量数据，特别是(30.)包括旋转信息。当飞行器作无进动的章动和旋转时，测量数据通过提供来表示俯仰投射在设在和陀螺的-轴。当车辆只进行旋转而没有圆锥环境时，测量数据提供．它的意思是……4)可以将飞行器的旋转与俯仰和偏航解耦，俯仰和偏航等价地由进动和章动表示。因此，我们确信(29)或(30.)可以描述车辆的整个锥进运动。

通过改变(29)，圆锥姿态方程为，,可以推导为

我们注意到(32)有单一问题时等于0还是．但实际上，该模型是专门为圆锥环境而推导的，在圆锥环境下不需要使用等于0。此外，车辆在飞机上摇摆时等于这种态度是没有道理的。因此，奇异问题可以被合理地忽略。

由于锥动模型是利用锥架建立的，因此锥姿态不受锥动环境的影响。换句话说，虽然其他两个轴周期性振荡，但第三个轴没有误差: 在哪里为圆锥姿态误差．

圆锥环境可以在大地框架或圆锥框架中描述，因此根据图中的几何关系建立欧拉姿态与圆锥姿态的关系3.：

因此，俯仰角和偏航角可以通过

根据图3.的最大值等于当是(）（)．的最大的等于当是．这意味着和都小于，则为(9)不是复数值。的象征和可以参考table1和2．很明显，俯仰角和偏航角是依赖于和．因此，俯仰角和偏航角的精度也依赖于进动角和章动角。

5.模拟和分析

为了揭示圆锥环境对传统姿态算法的影响，验证圆锥姿态算法的有效性，本节进行了数值仿真设计。

我们选择一个不旋转的飞行器进行模拟，因为它方便检查是否翻滚角或旋转角为零。设非旋转飞行器的初始欧拉姿态为，,，总仿真时间为600 s，更新时间为0.0001 s。姿态算法两级结构的优化系数为，［8，这就足够进行调查了。动态锥进环境条件见表3.和4．在每种情况下，我们将研究姿态误差是如何受到影响的。

姿态误差表3.如图所示4．从图4时，随着圆锥环境进动频率的增大，姿态误差振荡发散，俯仰角误差和偏航角误差的幅值增大。欧拉姿态误差漂移轻微，这是因为圆锥半角太小，姿态误差漂移不明显。俯仰角误差和偏航角误差的振荡频率是横摇角误差的两倍。在图5时，滚转角误差小幅度增大至4°在600s期间，姿态误差幅值的增加过程因章动而迅速加快。结果表明，锥半角的变化率比进动频率对滚转角的影响更大。重视动态锥环境对姿态算法的影响，特别是对车辆变章动条件的影响是十分必要的。

结合表3.和4，我们选择进动角速度1440°/s和锥半角变化率0.046°/s作为动态锥环境的恶劣条件，此条件下的三轴角速度如图所示6．的角速度的轴向分量由于进动角速度而非零。每个轴向分量的大小随着章动角的增大而增大。采用圆锥算法计算圆锥姿态。如图所示7时，进动角和章动角随进动频率和锥半角变化率的变化而变化。特别地，我们注意到，在动态锥环境下的600秒内，车辆的旋转角度幅值小于．这种误差实际上是由计算机的计算误差造成的，理想情况下旋转角度不存在误差。这是因为圆锥框架的旋转顺序显示了任意圆锥运动下车辆的进动、章动和旋转，并根据旋转顺序建立了角运动模型。在求解角方程时，可以得到无误差的圆锥姿态。因此，我们确定了锥框架可以描述动态锥环境，锥算法可以计算旋转车辆的锥姿态。此外，旋转角比欧拉角更能描述圆锥环境下车辆的旋转过程。根据圆锥姿态的几何关系计算出飞行器的俯仰角和偏航角，如图所示8，可视为飞行器的真实俯仰角和偏航角。

6.结论

车辆在圆锥环境恶化时，姿态误差有强烈的发散趋势。本文首先推导了动态锥进环境模型。然后通过研究传统姿态算法等效性对欧拉姿态算法的影响，发现姿态误差实际上是包括漂移误差和振荡误差在内的滚转角误差，这是由动态锥环境直接引起的，并通过传递进一步影响俯仰角和偏航角。在圆锥框架和圆锥姿态定义的基础上，提出了一种利用旋转关系计算圆锥姿态的圆锥算法，建立了圆锥姿态与旋转飞行器欧拉姿态的关系。最后，在变进动频率和锥半角变化率的情况下进行了数值仿真，验证了动态锥环境对姿态算法的影响和锥算法的有效性。结果表明:欧拉姿态诱导误差随进动和章动的变化而波动，特别是章动的变化，滚转角误差的振荡频率是俯仰角误差和偏航角误差的两倍。此外，旋转角比欧拉角更能描述圆锥环境下车辆的旋转过程，并最终计算出真实的俯仰角和偏航角。

本文的研究有助于计算旋转物体的真实姿态，理解圆锥环境引起姿态误差的机理，发展姿态算法，也为圆锥运动的影响提供了新的观点。我们未来的工作将集中在动态圆锥环境下的姿态算法优化和高动态运动下旋转飞行器的实时姿态算法。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

承认

本研究由国家自然科学基金项目(no . 61471046, no . 61473039, no . 11202023)资助。

参考文献

1. P. G. Savage，“捷联惯性导航集成算法设计第1部分:姿态算法”，制导，控制和动力学杂志第21卷第2期1，页19-28,1998。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
2. j·w·乔丹，"精确的捷联方向余弦算法"美国国家航空航天局Technical NoteNASA tn d-5384, NASA, 1969。视图:谷歌学术搜索
3. J. E. Bortz，“捷联惯性导航的一个新的数学公式”，航空航天和电子系统学报，第7卷，第5期1，第61-66页，1971年。视图:谷歌学术搜索
4. C. W. Kang, N. I. Cho, C. G. Park，“基于IMU信号正弦建模的直接锥/桨误差补偿方法”，雷达，声纳和导航，第7卷，第5期5, pp. 527-534, 2013。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
5. M. U. Salman和B. Chang，“旋转飞行器控制的主动锥进补偿”，发表于IEEE多系统与控制会议(CCA’10)，页1832-1837,IEEE，横滨，日本，2010年9月。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. r·b·米勒，《一种新的捷联姿态算法》制导，控制和动力学杂志，第6卷，第2期4，第287-291页，1983。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
7. J. G. Lee, Y. J. Yoon, J. G. Mark, D. A. Tazartes，“捷联姿态算法的高频基座运动扩展”，制导，控制和动力学杂志，第13卷，第2期4，第738-743页，1990。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. M. B. Ignagni，《最佳捷联姿态集成算法》制导，控制和动力学杂志，第13卷，第2期2，第363-369页，1990。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
9. 蒋永飞，“改进捷联锥进算法”，航空航天和电子系统学报第28卷第2期2，第484-490页，1992。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
10. Z.-T。李,T.-J。吴,L.-H。“捷联惯导系统的高动态锥度补偿算法”，控制工程与应用信息学，第13卷，第2期3，页32-40,2011。视图:谷歌学术搜索
11. 彭译葶。唐,X.-Y。Chen，“姿态算法的广义圆锥校正结构”，工程数学问题文章编号614378,15页，2014。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
12. J. G. Mark和D. A. Tazartes， "调谐圆锥算法到陀螺数据频率响应特性"，制导，控制和动力学杂志，第24卷，第2期4，页641-647,2001。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
13. K. Kim和T. G. Lee，“用SDINS分析双频锥动”，在美国航空学会制导、导航和控制会议论文集和展览品， 2001年8月，加拿大蒙特利尔。视图:谷歌学术搜索
14. P. G. Savage，“用于伪锥环境的显式频率形锥算法”，制导，控制和动力学杂志第34卷第3期3, pp. 774-782, 2011。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
15. m·歌W.-Q。吴,x。Pan，“经典圆锥算法机动精度恢复方法”，制导，控制和动力学杂志第36卷第2期第6页，1872-1880,2013。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
16. 王丽丽，“基于奇异摄动的锥动算法”，飞机工程与航空航天技术第85卷第1期3、文章ID 17086924, pp. 178-185, 2013。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
17. M.-S。王,W.-Q。吴,J.-L。“圆锥与旋转共存环境下的高阶姿态补偿”，航空航天和电子系统学报第51卷第1期2, pp. 1178-1190, 2015。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
18. R. P. Patera， "旋转角速率矢量的姿态传播"制导，控制和动力学杂志第33卷第3期6，页1847-1855,2010。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
19. R. P. Patera，“带有时变回转率的回转角速率矢量的姿态传播”，发表于AAS/AIAA天体动力学专家会议论文集(Astrodynamics’11)，第2529-2546页，美国阿拉斯加州Girdwood, 2011年8月。视图:谷歌学术搜索
20. A. Janota, V. Šimák, D. Nemec，和J. Hrbček，“从低成本旋转传感器数据提高欧拉角计算的精度和速度，”传感器，第15卷，第5期。3, pp. 7016-7039, 2015。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
21. x。钱,R.-X。林,Y.-N。赵,导弹飞行动力学，北京理工大学出版社，北京，2000。
22. Y.-Z。刘,陀螺动力学，中国科学出版传媒，北京，2009。

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