速上升的再现:无约束导弹轨迹

文摘

速上升的数值程序离线轨迹优化的地对地导弹攻击固定目标。详细的数值解,从建筑的数学公式,直到生成离线攻角控制的历史,说明了。一个新颖的方法来猜一个名义上的控制程序。制定需要非线性双自由度导弹飞行动力学与混合边界条件。技术变化的变量采用free-final-time优化问题转换为一个fixed-final-time。优化算法控制参数的影响进行了研究。提出了一种新形式的加权矩阵。小说放松技术因素消除终端状态违反。最后,比较得到控制的历史和一个通过一个非线性最优控制方案提出了“GPOPS”。速上升的结果表明,使用方法,在很大程度上,可比在准确性和迭代时间GPOPS pseudospectral优化方案”。” This paper, to a great extent, is a detailed procedure for the method of Steepest-Ascent analyzed and verified by the authors from many undetailed sources to disclosure of the main problems faced by user of Steepest-Ascent.

1。介绍

在导弹任务分析的主要问题之一是建设一个可行的轨迹,允许一组任务目标,进行操作和物理约束不违反(1]。在1950年代,有一个相当大的进步技术的确定最优飞行路径的最优的角度性能标准。作者事实上提出了一个优秀的参考书目在他的调查论文2]。

优化过程可以分为两个基本顺序步骤:数学公式和一代的数值解。有三个数学公式,通常是指在优化理论中,似乎每一个都适合某些类型的优化问题:变分法,Pontryagin最大值原理和动态规划。第二步在优化过程中,数值解,可以通过使用生成的三个基本数值程序:相邻极值,速上升,quasilinearization。不幸的是,制定的一小部分的分析。问题的主要部分被认为是数值解(3]。

渐变的方法或“速上升的方法,”有时被称为,是极值问题的解决方案的基本概念。找到一个局部最小值函数的使用梯度下降法,一个步骤到当前点的梯度函数负方向。如果措施积极的梯度,一个可能的方法一个局部最大值的函数;然后被称为迭代序列梯度上升。速上升的历史可以追溯到1847年柯西。他是第一个提出使用渐变的替代品在解非线性方程或方程组。最陡下降法/或速上升,作为一个一阶梯度方法,已经成功应用到规定的车辆的优化轨迹问题自1960年代(4]。这种成功是由于方法由凯利和布赖森et al。5,6),以克服相关的两点边值问题变分法。凯利(5应用变分问题的梯度法的飞行路径优化。几乎相似的技术已经开发和采用布赖森和德纳姆(7]。

关键目标的优化技术简单,易于实现,可接受的精度和解决方案。速上升方法、一阶的,从计算的观点来看,甚至相对简单的实现对复杂问题。最初,当远离最优解,速上升方法工作得很好。这种方法的缺点是其最佳的倾向表现出较差的收敛率。几位加速收敛技术被建议8- - - - - -10]。

2。问题陈述

感兴趣的一个问题是在飞行力学领域。它涉及到设计的轨迹以及导弹的任务是完成的最好的方式。选择“最好”的历史轨迹的确定最优时间控制部队(11]。被调查的案例研究是一个典型的鳍控制导弹飞行关机飞行阶段(即。coast-fall阶段)。控制导弹轨迹将通过控制空气动力作用于在飞行这让我们控制攻角的历史。优化的目标是达到目标指定的终端影响角而最大化速度的影响。

本文的动机,特别是选择速上升,从的角度简单实现。此外,没有足够详细的出版工作中发现打开文献关于这方法鼓励我们解决这个技术。完整详细的数学工作由凯利,布赖森,德纳姆追溯到1960年代。算法控制参数的选择问题在制定时所面临的一些基本功能生成优化的代码。Gottlieb [12)建议一些线索来规避这些参数。本文将主要处理晚期Mayer类型目标函数约束优化问题。

本文的主要贡献是开发基于速上升的轨迹优化工具方法优越特性相比其他现有优化软件包对精度和解决方案的速度。这里介绍的工作处理设计师面临的一些问题在处理间接方法:猜一个控制和选择一个加权函数。此外,“放松因素”的一种新技术来处理终端约束的违反一个简单稳定,但高效的方式。

3所示。轨迹优化问题的定义

为了讨论轨迹优化问题,一般公式和定义问题必须先。对于任何动力系统与以下假设动力学 让“”表示()状态向量,“”是最小数量的州或系统的自由度优化完全可以指定系统行为的未来所有的时间在没有干扰的情况下, 让“”表示()控制向量,““控制和决策变量的数量,可以任意改变影响系统的未来状态 优化问题的第一个要求是,一些数量的存在可以用来比较两个解决方案的性能。这个量通常被称为优化标准,回报函数,目标函数、成本函数,或性能指标。它可以采取一个标量的形式或最终成本(梅耶尔的问题);被积函数数量或运行成本(拉格朗日问题);或者一个耦合的形式(Bolza问题)。

轨迹优化过程解决寻找轨迹(1)状态和控制,extremize Bolza的任何所需的成本函数形式: 在成本指标,成本的端点可以是任何的终端状态和时间的函数,而综合成本可以是任何状态的函数,沿整个轨迹控制,和时间。

4所示。最优性必要条件

布赖森和何13和刘易斯和Syrmos14)使用变分法导出的必要条件。Pontryagin et al。15]表明,找到一个相当于极解的要求变分哈密顿是extremized(最大化或最小化),对所有容许状态和控制。完整的说明,下面将给出其中的必要条件而不需要复制的推导。

不失一般性,我们假设有一个控制()。定义哈密顿”“和辅助功能 在哪里和是拉格朗日乘数法与州和终端条件有关。构建一个优化问题的数值解,只选择一个解决方案满足下列条件: 这个解决方案然后迭代修正的方向会带来其他条件。区分什么速上升迭代过程开始时满足的条件,而不是那些。速上升的迭代过程的特点是满足条件(6),(7)和(8)在每一次迭代中,而不需要满足条件(10)。条件(9)只有在最后一次不是显式地指定。

5。速上升配方

关机轨迹优化的地对地导弹攻击固定目标包括一阶非线性微分方程和初始条件和部分规范的完整规范的最终状态变量的情况而定。是确定最优控制问题,为控制变量,从所有可能的程序的一个程序extremizes终端状态而满足所需的可变状态初始和最终的条件。这是一个两点边值问题(TPBVP),不幸的是,无法在一个封闭的形式解决。需要一个数值解。有许多方法来解决这种类型的问题,在文献中被广泛报道。速上升的方法,详细介绍了布赖森和德纳姆(7),被选来确定最优控制由于其简单性和方便容易编码。这个过程始于猜测一个控制程序。运动方程集成使用猜从初始条件控制。一般来说,产生的可变状态时间的历史可能不满足最后的条件。小扰动的标称轨迹的控制变量被认为是驱动终端数量为其指定值而extremizing回报函数。对于这个问题,回报函数是最终影响速度。通过不断迭代过程,以及提升方向控制变量hyper-space,控制变量的历史,既最大化最终速度而满足初始的和最终的边界条件,得到了。

应该注意的是,速上升的方法和其他方法,数值解决这种类型的最优控制问题,保证找到全局最优解。只能找到局部最优解。因为所有的技术被认为是有同样的缺点,这不是一个因素在选择哪一种方法使用。

6。物理和动力学模型

6.1。模型的假设

(1)一个质点动力学模型,削减了攻角空气动力学,使用。(2)飞行限制在一个垂直平面上不旋转平坦地球引力场与常数。(3)零延迟控制系统意味着没有错误,也没有推迟在飞行。(4)没有动态扰动,因此风被忽视。

6.2。动态模型

考虑以下: 在哪里是重力加速度(m /秒²);是N的气动阻力;是N的气动升力;是导弹质量公斤;是在wind-frame导弹速度米/秒;在rad飞行路线角;和在rad导弹攻角。

车辆状态的完整定义是由四元素向量组成的范围,高度,飞行路线角,分别和速度。

6.3。任务边界条件

这个问题在调查中分离边界条件;一些边界值指定初始时间和休息是在终端时指定。导弹边界条件在关机阶段表中列出1,导弹空质量与横截面积的引用。

有四个微分状态约束方程。因此,这个问题()边界值共有10边界值,初始条件,最后的条件,除了最初的和最后的时间。拟议的使命是攻击固定目标在一个特定的范围与预选的影响角度。在调查中是固定的初始条件()和混合终端条件;三个终端边界是固定的(终端范围,终端高度,和终端飞行路线角)和两个都是免费的(终端飞行时间和终端冲击速度)。八个固定边界值存在,从而使两个自由度的控制变量优化。这种控制变量的一个可以进行一些优化需求。

6.4。大气模型

标准1976大气模型(16使用)。sixth-order 1 d多项式,覆盖50公里的高度、密度()和声速()使用。使用多项式善良的均方根误差(RMSE) 0.0001的密度和声速0.001: 在哪里是多项式系数矩阵。

6.5。导弹空气动力模型

阻力系数()和升力系数(),计算通过使用导弹系统,被安排在禁售表。一个基于2 d多项式,对马赫数()和攻角(),使用MATLAB生成。使用多项式善良的RMSE 0.0450.015,: 在哪里是2 d多项式系数矩阵。

7所示。优化过程

7.1。猜一个名义上的控制

优化过程中使用速上升,作为一种间接方法,始于一个猜名义控制变量。这是所有间接方法的缺点。未能产生一个足够精确的初始猜测可以防止收敛到一个解决方案,即使存在一个解决方案。此外,优化过程的收敛速度取决于这个猜测是接近最优。

没有在文献中讨论如何猜控制导弹任务。这个问题完全是留给设计师。它不容易给好猜许多过程因为其行为可能不能完全预测。本报告中使用的名义控制主要取决于自由飞行轨迹参数(自由飞行范围和最大高度)。两种不同情况下的名义控制猜(一个是,另一个是小比自由飞行范围)如图1。

的范围大于自由飞行的,使用案例(a),代表所需的范围;代表了自由飞行轨迹的范围达到最大高度;下靶场代表的名义控制开始兴起,它等于一半的。比自由飞行的范围较小,使用案例(b),代表所需的范围。猜控制两种情况下的分段连续的。背后的理念建设的猜想,如果目标位于比自由飞行轨迹范围较小,导弹是被迫从最初的俯冲边界成功地达到目标。另一方面,如果目标位于下范围大于自由,导弹需要沥青产生升力来扩大其可及范围。此外,高投手在峰会前点会减少可及范围,这是原因开始拉高程序从边界点之间的中点(输家点)和峰会的点。

7.2。改变的变量

在大多数书籍,free-final-time正在解决第一个问题,得到最优控制的必要条件。Fixed-final-time问题被视为一个等价的变化有一个更多的时间。然而,对于数值方法,fixed-final-time问题一般形式和free-final-time问题是通过将它转换成一个fixed-final-time问题解决(17,18]。原因是,这是不可避免的数值积分(通过间接或直接的方法)。因此,这些方法必须指定时间间隔。free-final-time某个类的问题,解决一系列fixed-final-time问题的必要性可以避免通过适当的变量的变化。为了实现这一点,需要确定状态变量或函数的几个状态变量,其初始和终端值是已知的和不改变符号的时间变化率(或成为零)最优轨迹。通过这个量的独立变量,这个问题可以从一个“free-final-time”变成“fixed-final-time”问题的时间成为一个“状态”变量,和一个不需要知道它的最佳终端价值。要求新的独立变量和时间有关的函数,以便实施严格单调是状态微分方程和成本函数可以集成的新独立变量(19]。

因为“”(范围)有固定的初始和终端价值而且”“表现单调,那么它作为一个独立变量提供了一个简单的采用意味着避免并发症的自由结束时间优化问题(20.]。

通过消除第一个方程和用链式法则,可以转换为一个新的动力系统与““作为独立变量。所有方程除以第一个和重新安排将终端固定约束状态,然后自由端终端状态,动力系统将采取以下形式: 现在,新研制出向量()是,范围”“被时间””。

7.3。扩展

缺乏大规模优化问题,即当对应的目标函数非常细长的水平集,速上升方向可能不提供减少函数(21]。这导致迫使算法选择一个非常小的步长保存稳定性和线性。这是由于这样的事实,梯度向量可能近正交方向导致极值,产生混乱的迭代收敛非常缓慢。此外,在这种情况下,甚至可能发生分歧如果不进行仔细的控制步长(22]。然而,重要的是要注意,如果目标函数差了,然后速上升是一个僵硬的微分系统,这需要集成步骤保持小尽管缓慢的状态变量的变化;否则,数值不稳定可能产生剧烈的增加近似误差。这个缺点适用于任何提升方法是高度敏感的贫困比例23]。等功能,预处理,变化的几何空间绕过收敛速度慢,是必需的。许多作者与平衡,赋予这个预处理过程标准化,或平方的盒子24,25]。

罗斯和龚(25)建议尺度应该选择的州和主脉的比例大致相同的数量级。许多试验规模问题使用比例因素从自由飞行仿真中提取。令人惊讶的结论是,做优化没有比例应该是第一选择。速上升能够绕过缩放的问题由于逐步消除错误。两个试验解决,有或没有扩展。有明显减少优化时间直到收敛的比例问题。没有大幅增加缩放后最终速度;相反,有轻微的减少。GPOPS未能提供的收敛不使用自动缩放的算法。

为了简化开发,三个假设关于优化问题的形式。(1)容许控制集合是整个控制空间没有限制。(2)终端范围指定,因此可以消除横截性条件。(3)不需要指定一个终端状态值作为一个停止条件,因为它是一个优化问题与指定的独立变量。

7.4。迭代过程和评论

7.4.1。计算一个名义上的轨迹

通过远期集成的动力学模型(14)使用猜名义(从表)计划与指定的初始条件1美国列识破并存储在一个矩阵。

计算终端约束违反,然后选择的值导致接下来的名义解决方案更接近期望的值, 在哪里是晚期的数量限制。速上升采用逐步消除错误的想法。不建议在一个迭代消除错误。简单,这不会因为很多原因,首先是系统非线性,这意味着将会有一个区别预测变化和实际的终极价值观的变化;其次,这不会帮助后续迭代算法稳定。此外,不同的,与每一个晚期约束状态,可以选择根据固有的非线性系统在这个方向。所以,可以选择 在这里介绍的工作,可以被称为“松弛因子”联系在一起晚期约束状态。松弛因子背后的主要思想是放松或削弱校正终端状态的违反,可以降低逐渐达到一个值低于统一到优化的结束。图2提出了建议函数迭代数。

7.4.2。影响函数的计算(13]

通过向后集成伴随微分方程的终端值(17),并且记住,现在存储在一个相反的顺序: 在哪里 这样 快速和准确的分化,分析衍生品更有效的执行功能评估和差分。这可以称为代数雅克比和分析雅克比之间的区别。雅克比函数生成评估哈密顿对状态变量的梯度。

7.5。计算加权矩阵””

主要关注在选择加权矩阵,他们将对目标函数的影响。”的好选择“可能使算法能够允许更大一步规模领域的低敏感性,减少步骤大小在灵敏度高的地区。灵敏度这里占非线性哈密顿函数二阶导数所代表的是控制变量()。有很多选择加权矩阵”的想法”。一个新的““根据绝对值黑森的哈密顿提出了: 在哪里 这样 的绝对值因为它是一个使用最大化问题,所以呢有一个负号和“”是一个正定矩阵。最小值的限制是为了不应该零元素””。提出了“”是检查与许多轨迹和快速稳定收敛是注意到在所有试验。图3显示了一个插图的准备使用它的权重函数。

这是显示在图3那沿着轨迹可以采取积极的和消极的价值观(图3(一个))。因为它将用于一个加权函数,它必须采取正定值(图3 (b))。此外,它不能采取零为了不一体化进程中的无限值和最小值应限于一个值大于0(图3 (c))。

7.5.1。计算脉冲响应

通过远期集成使用零初始值,最后一个值 在哪里

是7.5.2。选择一个步长

在决策情况下有两种策略。一个可能更喜欢直接决定找出正确的课程应遵循或间接通过思考的课程之后。速上升前的选择,选择最陡梯度方向的最优解决方案,但关于步大小的决定在这个方向,在很大程度上,是设计师的选择就不违反线性化的假设。简单,价值”“在(26)可以选择,而不是选择一个合理的价值”“在(25)。基本上,选择“”是为了确保校正的控制程序,合理,小到足以确保线性化理论并不违反: 在哪里。布赖森和何13)之后,他们建议值为一个“”。广泛调查的选择”选择“显示,如果“零”,方法是被迫偏离控制能量达到终端约束和忽视收益函数,而选择“一”意味着被迫偏离同等能量的方法来满足终端约束,同时最大化回报函数。虽然整个过程似乎是一个系统的数值程序,它强烈需要一个合适的均方扰动的初始猜测和合理选择控制变量的程序(),它被命名为“步长。”

7.5.3。控制调整

使用(27)更新名义控制程序。更新矢量是由两个部分组成的。正式的回报函数求极值,所以积极的迹象是用于最大化的情况下,最小化和负号。后一个是减少终端约束错误,所以它有负号。考虑以下: 在获得一个新的名义轨迹,重复前面的步骤,直到达到一个最优的轨迹是必需的。

7.6。收敛性检查和迭代终止

面临最严重的问题在速上升的优化方法或其他方法不能收敛和/或假收敛。前的失败很容易实现从最初几个迭代,但后者是很难被探测到。至少五个迭代周期来决定是否需要算法指导方向提升方向。这里的上升方向包括终端约束违反抑制和目标函数最大化。几乎,所有的非线性系统展示终端约束状态和回报之间的耦合效应函数。这意味着会议终端约束减少了收益函数,反之亦然。一般来说,有三个主要条件终止的决定是: 第一个索引认为会议终端约束指定公差。因为它是不容易得到零误差,由于数值误差和系统非线性,±50 m是选择接受错误的高度”“和±0.5°错误被接受为飞行路线角””。第二个指数是关于改善收益函数。这种改进将达到最优轨迹,达到零将是一个奇异矩阵。所以,限制所需的最小值是为了不让优化轨迹退化。这个指数取不同值的使用还是no-scaled的比例问题。一个值为10⁻⁴缩放和10接受吗⁻¹no-scaled问题。最后检查时变化的信号,所以过去的轨迹最优。

8。优化结果

得到的结果是一个戴尔笔记本电脑上运行MATLAB的m Windows平台,利用核心i7处理器与6 GB的RAM。

与可变步长四阶龙格-库塔是用来减少所需的时间步骤集成的轨迹的最终状态和集成函数和阶跃响应的影响。四阶龙格-库塔算法需要四个评估每个时间步的加速度但允许时间步长四倍多的算法只需要一个加速评估每个时间步。相对和总精度10⁻⁴选择设置的数值使用MATLAB软件包。

可以验证一个轨迹的可行性比较离散轨迹的优化结果与传播轨迹。因为优化结果只在离散的节点,定义生成一个连续的参考轨迹,控制变量必须先插入节点点;然后定义系统动力学微分方程可以从初始条件传播作为初值问题。这提供了一种连续的,传播与参考轨迹离散轨迹的优化。一个可行的轨迹会两轨迹之间的误差很小。

no-scaled模型用于速上升代码和GPOPS包。GPOPS问题设置为自动扩展和使用50每个时间间隔内的节点作为一个最小的节点数量。另一个按比例缩小的模型中使用了速上升的代码。结合GPOPS INTLAB包是用于自动分化和整合;此外,SNOPT用作非线性规划解算器(NLP)。一个值为10⁻⁴与GPOPS用于所需的网格精度被迫在解决方案。

图4显示了一个比较发达了,获得的回报no-scaled代码和GPOPS,而图5显示了迭代时间比较三个码。数据6和7说明两个极值优化负荷系数的历史轨迹(最小值和最大值范围)。数据8和9显示攻角时间历史轨迹45公里和130公里。数据10和11的轨迹45公里和130公里。数据12和13现在45公里和130公里的速度剖面轨迹,分别。数据14和15开飞行路线角45公里和130公里的轨迹,分别。

9。结论和讨论

本文试图从一个新的解决轨迹优化的问题,简单,高效的观点。这种尝试,尽管它还没有一个完整的角度看,发现是一个简单有效的替代领域的轨迹设计和指导。

本文的主要贡献是重温速上升的方法。这种方法,在作者看来,并没有把大量的研究者应有的关注和关心。近四十年,致力于优化的部分通过直接的方法由于其简单和易于实现没有给出一个令人满意的注意规避通过间接方法与优化相关的问题。这些问题直接取决于设计师和他的创新在处理算法的关键参数,实际上,需要一个好经验、好判断算法的行为有不同的任务。有些人需要寻求问题从一个新的角度。

速上升代码的优越性是显而易见的迭代时间比较的代码。比较时间研究。最大限度减少迭代时间发生在100公里的轨道。45公里和130公里的情况下,速上升降低了需要解决的时间42%和74%,分别。所需的仿真时间的比较显示了良好的性能的优化轨迹的缩放速上升除了70公里的轨道,而no-scaled背后是一个一步GPOPS 60公里和70公里的轨道。目标函数和冲击速度的比较表明,获得的最终速度速上升低于GPOPS 0.38%和0.49% 45公里和130公里的轨道。通过分析获得的空间轨迹从代码,很显然,速上升的轨迹优化达到高海拔(45公里17.7公里和31.9公里,130公里轨道)比GPOPS(45公里17.5公里和31.3公里,130公里轨迹)。速上升达到那些海拔在更大范围内(25.9公里和54.8公里45公里和130公里轨道)比GPOPS(24.0公里和53.4公里45公里和130公里的轨迹)。

本文给出的结果显示一个有前途的潜在的方法作为一种快速轨迹优化工具用于类地对地战术导弹。速上升之间的良好的协议是注意到方法和在不同情况下GPOPS。然而,性能优越的速上升可能会发现在某些情况下。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

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